Toisen asteen kärät 1/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Toisen asteen kärä Toisen asteen käräksi kutsutaan kärää, jonka htälö -ssa on muuttujien ja suhteen toista astetta. Yleisimmässä muodossaan tämä on A + B 2 +2C +2D +2E + F =0, missä A, B, C, D, E ja F ovat vakioita. (Yhtälössä esiintvät kakkoset ovat epäolennaisia; kertoimet on tapana kirjoittaa tähän muotoon, koska tällöin htälön pidemmälle menevä käsittel johtaa hieman ksinkertaisempiin lausekkeisiin.) Kertoimista riippuen htälö esittää erilaisia käriä. Päätpit ovat ellipsi (sisältäen erikoistapauksenaan mprän), paraabeli ja hperbeli. Yhtälö voi esittää mös htä tai kahta suoraa tai htä ainoaa pistettä. Lisäksi on mahdollista, että mikään piste (, ) ei toteuta sitä eikä se siis esitä geometrisesti mitään. Ellipsien, paraabelien ja hperbelien tarkempi käsittel on edempänä. Seuraavat esimerkit esittävät htä suoraa, kahta hdensuuntaista suoraa, kahta toisensa leikkaavaa suoraa ja pistettä; viimeinen ei esitä mitään: kärä (taso-) htälö (-) mprä suora (htälö) ( + 1) 2 =0, (+ 1)( + 2)=0, (+ 1)( 1)=0, 2( 1) 2 +3( 2) 2 =0, 2( 1) 2 +3( 2) 2 +1=0. Tarkempaa leisen toisen asteen kärän tutkimista ei tässä käsitellä.
Toisen asteen kärät 2/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Ellipsi Ellipsi voidaan määritellä käränä, jonka pisteillä on seuraava ominaisuus: Niiden kahdesta kiinteästä pisteestä (polttopisteistä) mitattujen etäisksien summa on vakio. Jos polttopisteiksi valitaan -tason pisteet (, 0) ja (, 0) ( 0) jaem.vakioksi 2a (a >), saadaan ellipsin htälö ksinkertaiseen muotoon: a 2 + 2 b 2 =1, ellipsi (ala) kärä (taso-) (-) htälö missä b = a 2 2. Lukua a sanotaan ellipsin ison akselin puolikkaaksi, luku b on pikku akselin puolikas. a 2 + 2 b 2 =1 b a Suhdetta e = /a kutsutaan ellipsin eksentrisdeksi ja se mittaa ellipsin litistneisttä. Koska 0 <a,on0 e<1. Jos =0, polttopisteet htvät ja kärästä tulee mprä. Eksentriss on tällöin e =0.Josaon kiinteä ja a, jolloin b 0 ja e 1, niin ellipsin iso akseli säil muuttumattomana, mutta pikku akseli pienenee ja kärä litist kohden polttopisteitä hdistävää janaa. Nimits polttopiste aiheutuu siitä, että jos toisesta polttopisteestä lähtee säde, joka ellipsiin osuessaan heijastuu heijastumislain mukaisesti, niin heijastunut säde kulkee toisen polttopisteen kautta. Geometrisesti tulkittuna tämä tarkoittaa, että ellipsin pisteestä polttopisteisiin piirrettjen janojen välisen kulman puolittaja on ellipsin normaali. Ellipsille kätetään usein mös parametriesitstä: = a os t, = b sin t, t [0, 2π]. mprä normaali parametriesits (tasokärän) sini kosini
Toisen asteen kärät 3/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Hperbeli Hperbeli määritellään samaan tapaan kuin ellipsi. Kseessä on kärä, jonka pisteillä on seuraava ominaisuus: Niiden kahdesta kiinteästä pisteestä (polttopisteistä) mitattujen etäisksien erotuksen itseisarvo on vakio. Kun polttopisteiksi valitaan -tason pisteet (, 0) ja (, 0) ( 0) ja vakioksi 2a (0 <a<), saadaan hperbelille htälö a 2 2 b 2 =1, kärä (taso-) (-) htälö missä b = 2 a 2. Lukuja a ja b sanotaan hperbelin puoliakseleiksi. a 2 2 b 2 =1 Jos a = b, sanotaan, että hperbeli on tasasivuinen. Suhde e = /a on hperbelin eksentriss. Koska >a,one>1. Hperbelillä on monia samantppisiä geometrisia ominaisuuksia kuin ellipsillä. Esimerkiksi hperbelin pisteestä polttopisteisiin piirrettjen hdsjanojen välisen kulman puolittaja on hperbelin tangentti. Hperbelille voidaan kättää parametriesitstä = ±a osh t, = b sinh t, t R. tangentti (suora) parametriesits (tasokärän) hperbelisini hperbelikosini
Toisen asteen kärät 4/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Liittohperbeli ja asmptootit Jos hperbelinhtälössä a 2 2 b =1, 2 koordinaattien ja roolit vaihdetaan, jolloin hperbelin polttopisteet (0,) ja (0, ) sijoitetaan -akselille, ja vakioksi otetaan 2b, saadaan alkuperäisen hperbelin liittohperbeli a 2 2 b 2 = 1. Jos htälössä asetetaan oikeaksi puoleksi 0, saadaan toisen asteen htälö, joka esittää kahta suoraa: a 2 2 b =0 eli = ± b 2 a. Näitä kutsutaan hperbelin ja liittohperbelin hteisiksi asmptooteiksi. 2 = 1 a 2 b 2 asmptootti (rationaalifunktion) a 2 2 =1 b 2
Toisen asteen kärät 5/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Paraabeli Paraabeli on kärä, jonka pisteillä on seuraava ominaisuus: Jokaisen pisteen etäiss kiinteästä pisteestä (polttopisteestä) on htä suuri kuin sen etäiss kiinteästä suorasta (johtosuorasta). Jos polttopiste on (0,d) ja johtosuora -akselin suuntainen suora = d, on paraabelin htälö -ssa = a, missä a = 1 4d. Polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali on paraabelin akseli, jonka suhteen kärä on smmetrinen. Jos paraabeli sijoitetaan on edellä kuvatulla tavalla, sen akseli on -akseli. = a kärä (taso-) (-) htälö normaali = d d Heijastuessaan paraabelista akselin suuntaiset säteet kohtaavat polttopisteessä. Tämän johdosta paraabelimuotoa kätetään mm. lautasantenneissa. Tietssä mielessä paraabeli on ellipsin ja hperbelin välitapaus. Tämä ei ole nähtävissä edellä käsitellistä kärien htälöistä, mutta esimerkiksi napakoordinaattihtälöistä (joissa (toinen) polttopiste asetetaan origoon) se ilmenee. Tämän johdosta on luontevaa sanoa, että paraabelin eksentriss on =1. (napa-)
Toisen asteen kärät 6/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Kartioleikkaukset Ellipsejä, paraabeleja ja hperbelejä kutsutaan usein hteisellä nimellä kartioleikkaukset. Tämä johtuu siitä, että suoran mpräkartion ja tason leikkauskärä on aina jokin näistä. Mikä on kseessä, riippuu leikkaavan tason ja kartion sivuviivan välisestä kulmasta seuraavan kuvion osoittamalla tavalla: hperbeli mpräkartio (suora) taso paraabeli ellipsi α Jos kartion sivuviivan kaltevuuskulma kartion pohjatasoon nähden on α ja leikkaavan tason kaltevuuskulma β, niin leikkauskärä on ellipsi, jos β<α; paraabeli, jos β = α; hperbeli, jos β>α. Jotta hperbelin molemmat haarat tulisivat mukaan, on tarkasteltava kartiota kaksihaaraisena, so. kärkipisteensä suhteen smmetrisenä molempiin vastakkaisiin suuntiin avautuvana pintana. Että leikkauskärät todella ovat ellipsejä, paraabeleja ja hperbelejä, voidaan todistaa snteettisen avaruusgeometrian keinoin. Tällöin on apukonstruktiona sijoitettava kartion sisään kaksi Dandelinin palloa, paraabelitapauksessa ksi. Nämä ovat palloja, jotka sivuavat kartiopintaa pitkin mpräviivaa ja koskettavat leikkaavaa tasoa hdessä pisteessä, joka osoittautuu leikkauskärän polttopisteeksi. geometria (snteettinen) pallo
Toisen asteen kärät 7/7 Sisältö ESITIEDOT: kärä, kartio ja lieriö Hakemisto KATSO MYÖS: mprä, toisen asteen pinnat Kartioleikkausten napakoordinaattihtälöt Jos (toinen) polttopiste sijoitetaan origoon, voidaan ellipsi, paraabeli ja hperbeli esittää napakoordinaattihtälön avulla: r = p 1 e os ϕ, (napa-) missä p on vakio ja e eksentriss (vakio). Jos e<1, kseessä on ellipsi. Jos e>1, saadaan hperbelin toinen haara. Arvo e =1antaa paraabelin. r ϕ 2 2a r 2a + r 2 r ϕ ϕ r = p Tässä muodossa on luontevaa käsitellä kartioleikkausten tärkeää sovellusta, planeettaliikettä. Gravitaatiolaista seuraa nimittäin, että jos tarkastellaan hden planeetan liikettä Auringon mpärillä ottamatta huomioon muiden planeettojen aiheuttamia häiriöitä, rata on ellipsi, paraabeli tai hperbeli, jonka polttopisteessä Aurinko on.