Sosiaalisten verkostojen datan notaatio Notation for Social Network Data Jari Jussila 14.11.2008
2 Notaatio Notaatiota tarvitaan / auttaa kuvaamaan: toimijat tai toimijoiden muodostamat joukot, toimijoiden ominaisuudet, sekä suhteet toimijoiden välillä On olemassa monta tapaa kuvata sosiaalisten verkostojen dataa matemaattisesti. Seuraavaksi esitellään kolme erilaista skeemaa [1] : Graafiteorinen notaatio Sosiometrinen notaatio Algebrallinen notaatio [1] Skeema tarkoittaa mallia, tietorakennetta, jonka avulla ihmiset tulkitsevat tapahtumia ja luovat niihin järjestystä. (ks. Kalliopuska 2005).
3 Notaatio skeemat Graafiteorinen notaatio sopii parhaiten centrality ja prestige cohesive subgroup ideas dyad and triad networks Sosiometrinen notaatio sopii parhaiten study of structural equivalence blockmodels Algebrallinen notaatio sopii parhaiten role and positional analysis relational algebra
4 Graafiteorinen notaatio Graafiteorinen notaatio mahdollistaa yksinkertaisen tavan esittää toimijoita ja suhteita. Graafiteoriaa on hyödynnetty 1940-luvulta lähtien sosiaalisten verkostojen tutkimiseen. Graafiteorinen notaatio on täysin yhdenmukainen sosiometrisen ja algebrallisen notaation kanssa. Graafiit koostuvat solmuista (engl. node) ja viivoista niiden välillä.
5 Sosiometrinen notaatio Sosiometrinen notaatio on yleisin sosiaalisten verkostojen kirjallisuudessa. Sosiometrinen notaatio esittää datan jokaisesta suhteesta sosiomatriisin muodossa, jossa rivit ja sarakkeet viittaavat toimijoiden pareihin. Sosiomatriisit esiintyivät ensimmäisen kerran Morenon (1934) sosiometrisissä tutkimuksissa. Useimmat ohjelmistot sosiaalisten verkostojen datan analyysiin hyödyntävät sosiomatriiseja. Sosiomatriisit ovat naapuruusmatriiseja (engl. adjacency matrices) graafeille, ja näin ollen liittyvät suoraan graafiteoreettiseen notaation.
6 Algrebrallinen notaatio Algebrallista notaatiota käytetään tutkimaan useita suhteita. Tämä notaatio on hyödyllinen tutkittaessa verkoston rooli rakenteita ja suhteiden algebraa. Algebrallisessa notaatiossa hyödynnetään algebrallisia menetelmiä vertaamaan ja rinnastamaan mitattuja suhteita ja niistä johdettuja yhdistelmä (engl. compound) suhteita. Esimerkiksi jos olemme mitanneet kahta suhdetta: on ystävä ja on vihollinen, niin meitä saattaa kiinnostaa seuraava suhde: ystävän vihollinen. Tämä notaatio on tarkoitettu yksimoodisille (saman tyyppisten toimijaryhmien) verkostoille ja sitä sovelsivat ensimmäisen kerran White (1963) ja Boyd (1969)
7 Graafiteorinen notaatio matemaattisesti N = toimijoiden joukko N sisältää g määrän toimijoita, joihin viitataan N = {n 1,n 2,..., n g } Esimerkiksi: g = 6, opiskelijaa: Allison, Drew, Eliot, Keith, Ross, Sarah N= {Allison, Drew, Eliot, Keith, Ross, Sarah} Eli meillä on toimijoiden joukko N, jonka toimijoihin voidaan viitata niiden symboleilla: n 1 = Allison, n 2 = Drew, n 3 = Eliot, n 4 = Keith, n 5 = Ross, n 6 = Sarah
8 Graafiteorinen notaatio: yksi suhde Oletetaan, että meillä on yksi suhde toimijoiden joukolle N Tällöin kuvaamme, miten jokainen toimija (toimijoiden joukossa N) on suhteessa toiseensa. Oletetaan myös, että suhteet ovat dikotomisia (binäärisiä) ja suunnattuja. Dikotominen tarkoittaa sitä, että toimija joko on suhteessa toiseen toimijaan tai se ei ole. Suunnattu puolestaan tarkoittaa sitä, että toimijoiden pari n i ja n j ovat eri asia kuin pari n j ja n i, järjestyksellä on siis merkitystä. Jos yhdysside on olemassa niin voidaan sanoa, että järjestetty pari on elementti erityisessä kokoelmassa pareja, jota kutsutaan L. Jos järjestetty pari on osa L, niin ensimmäinen toimija parista on suhteessa toiseen toimijaan tarkasteltavan suhteen laadun mukaisesti. On mahdollista olla 0:sta g(g 1) elementtiä (lukumäärä järjestettyjä pareja L kohden)
Dikotomisten verkostojen matemaattinen kuvaus 9 Jos järjestetty pari on < n i, n j > ja on olemassa yhdysside, niin n i n j Elementeistä (tai järjestetyistä pareista), jotka ovat osa kokoelmaa L käytetään symbolia l. Kun on olemassa L määrä elementtejä kokoelmassa L, joten L = {l 1. l 2,..., l L } Elementit kokoelmassa L voidaan esittää graafisesti piirtämällä viiva ensimmäisestä toimijasta toiseen toimijaan. Tälläisiä graafeja kutsutaan suunnatuiksi graafeiksi, koska viivoilla on suunta. Suunnatusta viivasta käytetään nimitystä kaari (engl. arc). Symbolia L käytetään viittaamaan kokoelmaan suunnattuja viivoja ja symboli l viittaa yksittäisiin suunnattuihin viivoihin kokoelmassa. Koska graafit koostuvat setistä solmuja N ja setistä viivoja L, niin graafeja voidaan matemaattisesti kuvata kahdella setillä (N, L). G symbolia käytetään kuvaamaan graafia. On tärkeätä huomata, että nämä kaksi settiä (toimijat ja järjestettyjen parien setti / kaarien setti) riittää kuvaamaan matemaattisesti verkostoja, joissa mitataan dikotomisia suhteita.
10 Suunnatut ja ei-suunnatut suhteet Joissain tilanteissa suunnalla ei ole merkitystä, toisin sanottuna ei voida erottaa viivaa n i ja n j välillä viivasta n j ja n i välillä. Esimerkkinä tällaisesta suhteesta on asuu lähellä toista Tälläisessä tapauksessa parien järjestyksellä ei ole merkitystä.
11 Suunnatun suhteen merkityksestä Suunnatut suhteet eivät automaattisesti merkitse kahden suuntaista yhteyttä. Esimerkiksi, jos ajatellaan joukon lapsia (toimijoita) välistä dikotomista suhdetta on ystävä, toinen toimija ei välttämättä ole samaa mieltä asiasta.
12 Suunnatun suhteen esimerkki Esimerkkinä kahdeksan mahdollisesta kolmesta kymmenestä järjestetystä parista ovat ystäviä (eli on olemassa kahdeksan kaarta kolmesta kymmenestä mahdollisesta) ja loput kaksikymmentä kaksi eivät ole ystäviä (puuttuu kaksikymmentä kaksi viivaa).. Olkoon nämä L=8 parit <Allison, Drew>, <Allison, Ross>, <Drew, Sarah>, <Drew, Eliot>, <Eliot, Drew>, <Keith, Ross>, <Ross, Sarah> ja <Sarah, Drew> Eli elementeille L, l 1 = <Allison, Drew>, l 2 = <Allison, Ross>,..., ja l 8 = <Sarah, Drew> Data kertoo meille, että Allison näkee Drew:n ystävänä, Alison näkee Rossin ystävänä, Drew näkee Sarahin ystävänä, jne. Huomattavaa on, että suhde, tässä tapauksessa ystävyys ei ole molemmanpuoleista, eli jos n i väittääettän j on hänen ystävänsä (tai n i n j ), niin on mahdollista, että tunne ei ole molemmanpuoleinen n j ei välttämättä valitse n i ystäväkseen (tai n j n i ).
13 Suunnattu suhde graafisesti Sama asia voidaan esittää graafina, jossa solmut ovat pisteitä kaksiulotteisessa avaruudessa ja kaaret edustaa suunnattuja nuolia pisteiden välillä. Kuusi lasta voidaan siis esittää pisteinä kaksi-ulotteisessa avaruudessa. On tärkeää huomata, että pisteiden sijainnilla ei ole mitään merkitystä (ei ole olennaista).
Sosiogrammi: 6 toimijaa ja suunnatut viivat niiden välillä 14 Allison Drew Elliot Keith Ross Sarah
15 Useita suhteita Kun meitä kiinnostaa useammat toimijoiden N väliset suhteet, olkoon R suhteiden lukumäärä. Jokaisella suhteella on setti kaaria, L r, joka sisältää L r järjestettyjä pareja toimijoita elementtinä. vaihtelee välillä 1 R. Jokainen näistä R seteistä määrittelee graafin N solmuille. Joten jokainen suhde on määritelty samalle joukolle solmuja, mutta jokaisella on yksilöllinen määrä kaaria. r -suhde voidaan kvantifioida seuraavasti: (N r, L r ), jossa r = 1,2,..., R.
16 Useiden suhteiden esimerkki Meillä on R = 3 suhdetta: 1. Kuka valitsee kenenkä ystäväkseen koulu vuoden alussa 2. Kuka valitsee kenenkä ystäväkseen koulu vuoden lopussa 3. Kuka asuu lähellä ketä Ensimmäiset kaksi suhdetta ovat suunnattuja ja viimeinen on eisuunnattu. Meillä on L 1 = 8 paria toimijoita L 2 = 11 paria toimijoita L 3 = 12 paria toimijoita Ei suunnatuille suhteille, jokainen pari voidaan listata useammasti kuin kerran, esim. jos Allison asuu lähellä Rossia, niin Ross asuu myös lähellä Allisonia (, ) tarkoittaa ei suunnattu suhdetta, ja <, > suunnattua suhdetta
17 Graafiteorinen notaatio taulukkona Suhde 1. Ystävyys alussa Suhde 2. Ystävyys lopussa Suhde 3. Asuu lähellä <Allison, Drew> <Allison, Drew> (Allison, Ross) <Allison, Ross> <Allison, Ross> (Allison, Sarah) <Drew, Sarah> <Drew, Sarah> (Drew, Elliot) <Drew, Eliot> <Drew, Eliot> (Keith, Ross) <Eliot, Drew> <Drew, Ross> (Keith, Sarah) <Keith, Ross> <Eliot, Ross> (Ross, Sarah) <Ross, Sarah> <Sarah, Drew> <Keith, Drew> <Keith, Ross> <Ross, Keith> <Ross, Sarah> <Sarah, Drew>
6 toimijaa ja kolmenlaisia suunnattuja viivoja 18 Allison Drew Elliot Keith Ross Sarah Ystävyys alussa Ystävyys lopussa Asuu lähellä
19 Graafiteoreettisen notaation soveltuvuus Grafiteoreettinen notaatio soveltuu heikommin tilanteisiin, jossa suhteet on arvotetu. Eli sellaisiin data joukkoihin, joissa suhteiden vahvuutta tai frekvenssiä on tarkasteltu. Näihin on olemassa erikoisgraafeja, kuten signed graphs ja valued graphs, mutta sosiometrinen notaatio soveltuu yleisesti paremmin arvotettujen suhteiden käsittelyyn.
20 Sosiometrinen notaatio Sosiometriikka tutkii ihmisjoukkojen positiivisia ja negatiivisia tunteisiin liittyviä (engl. affective) suhteita, kuten pitää/ei pidä, ystävä/vihamies. Suhde data esitetään usein kahden suuntaisina matriiseina, joita kutsutaan sosiomatriiseiksi. Sosiomatriisin kaksi dimensiota ovat indeksoitu lähettäviin toimijoihin (rivit) ja vastaanottaviin toimijoihin (sarakkeet). Yksimoodisessa verkostossa sosiomatriisi on neliö. Sosiomatriisi dikotomisille suhteille on täsmälleen naapuruusmatriisi graafeille (sosiogrammi), joka kvantifioi yhdyssidokset toimijoiden ja tutkittavan suhteen välillä.
21 Sosiometrinen notaatio: yksi suhde Oletetaan, että meillä on yksi suhde, jota mitataan g kokoisen joukon toimijoita N = {n 1, n 2,, n g } suhteen. Tästä yksiarvoisesta suunnatusta suhteesta käytetään symbolia X. Määritellään x ij yhdyssiteiden arvoiksi i toimijasta j toimijaan yhden suhteen mukaan. Tämän jälkeen mittaukset sijoitetaan sosiomatriisiin. Rivit ja sarakkeet ovat yksittäisiä toimijoita järjestettynä identtiseen järjestykseen. Koska on olemassa g määrä toimijoita, niin matriisin koko on g x g. Suhteelle X., määritellään sitä vastaava sosiomatriisi X. Tällä sosiomatriisilla on g riviä ja g sarakkeita. Yhdyssiteen arvo n i n j sijoitetaan X matriisin (i, j) elementteihin. x ij = yhdyssiteen arvo n i n j suhteelle X, jossa i ja j (i j) vaihtelevat kokonaislukujen 1 ja g välillä. X matriisin elementtejä voidaan ajatella olevan koodattuja arvoja suhteesta X. Jos kyseessä on dikotominen suhde, niin yhdyssiteen arvo on joko 0 tai 1.
22 Sosiometrinen notaatio: useita suhteita Oletetaan, että on useampia suhteita R, X. 1, X. 2,..., X. R joita mitataan samalla toimijoiden joukolla. Nämä suhteet ovat arvotettuja ja arvot suhteeseen X. R tulevat setistä {0, 1, 2,..., C r 1}. Määritellään x ijr yhdyssiteen voimakkuutena toimijasta i toimijaan j r suhteen suhteen. Tämän jälkeen mittaukset sijoitellaan kokoelmaan sosiomatriiseja, yksi jokaista suhdetta kohde. Rivit ja sarakkeet jokaisesta sosiomatriisista indeksoi yksittäiset toimijat identtiseen järjestykseen. Rivit ja sarakkeet nimetään siis identtisesti. Jokaisen matriisin koko on g x g. Ajatellaan yhtä suhdetta, X. r, ja määritellään tälle suhteella sosiomatriisi X r. Yhdyssiteen arvo n i n j sijoitetaan X r matriisin (i, j) elementteihin. x ijr = yhdyssiteen arvo n i :stä n j :hin X. r suhteen mukaan, jossa i ja j (i j) saavat kokonaisluvun arvon väliltä 1 g ja r = 1,2,..., R X r elementtien arvoja voidaan ajatella koodattuina arvoina suhteesta X. r On olemassa R, g x g sosiomatriiseja, yksi jokaista suhdetta kohden toimijoiden joukossa N
23 Sosiomatriisi: ystävyys vuoden alussa Ystävyys vuoden alussa Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah Allison - 1 0 0 1 0 Drew 0-1 0 0 1 Eliot 0 1-0 0 0 Keith 0 0 0-1 0 Ross 0 0 0 0-1 Sarah 0 1 0 0 0 -
Graafiteoreettisen ja sosiometrisen notaation vertailu 24 Esimerkissä huomioitavaa on ensimmäinen suhde ja ensimmäinen kaari L 1. Ensimmäinen kaari (viiva) on l 1 = <Allison, Drew>. Allison Drew suhdetta kuvaa kaari l 1. Allison on siis valinnut Drew:n ystäväkseen kouluvuoden alussa. Tämä kaari (l 1 ) kuvaa graafiteoreettista notaatiota. Sosiometrisessä notaatiossa Allison (n 1 ) on lähettäjä (ensimmäinen rivi) ja Drew (n 2 ) on vastaanottaja (toinen sarake) suhteessa X. 1 Tämä arvo on tallennettu (1,2) soluun sosiomatriisissa ja sisältöö arvon 1: X 121 = yhdyssiteen arvo n 1 :stä n 2 : een X. 1 suhteen X 121 = 1 Kiinnitä huomiota myös X 211 = 0, eli Drew ei pidä Allisonia ystävänään vuoden alussa, eli Drew Allison Huomaa myös diagonaaliset määrittelemättömät arvot (-) Eli opiskelijoille ei ole annettu mahdollisuutta arvioida ovatko he itsensä ystäviä ja että asuvatko he lähellä itseään Nämä sosiomatriisit ovat naapuruusmatriiseja kahdelle suunnatulle graafille ja yhden suuntaamattomalle graafille kolmen dikotomisen suhteen suhteen.
25 Sosiomatriisi: ystävyys vuoden lopussa Ystävyys vuoden lopussa Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah Allison - 1 0 0 1 0 Drew 0-1 0 1 1 Eliot 0 0-0 1 0 Keith 0 1 0-1 0 Ross 0 0 0 1-1 Sarah 0 1 0 0 0 -
26 Sosiomatriisi: asuu lähellä Asuu lähellä Allison Drew Eliot Keith Ross Sarah Allison - 0 0 0 1 1 Drew 0-1 0 0 0 Eliot 0 1-0 0 0 Keith 0 0 0-1 1 Ross 1 0 0 1-1 Sarah 1 0 0 1 1 -
27 Algebrallinen notaatio Algebrallinen notaatio on erilainen, mutta yhdenmukainen graafiteoreettisen ja sosiometrisen notaation kanssa. Algebrallisella ja sosiometrisella notaatiolla on kaksi merkittävää eroavaisuutta: 1. Algebrallinen notaatio viitaa suhteisiin isolla kirjaimella, esim. Y on ystävä ja V on vihamies [ X. 1, X. 2,..., X. r ] 2. Yhdysside toimijasta i toimijaan j merkitään suhteelle Y : iyj
28 Algebrallinen notaatio esimerkki Esimerkiksi on ystävä vuoden alussa on Y. Yhdysside tallennetaan opiskelija i valitsee opiskelijan j ystäväkseen vuoden alussa muotoon iyj. Sosiometrisisessa notaatiossa iyj tarkoitaa X ijy = 1, ja viittaa siihen, että on olemassa arvo 1 rivillä i ja sarakkeessa j sosiomatriisin solussa. Algebrallinen notaatio soveltuu hyvin dikotomisten suhteiden ja suhteiden kombinaatioiden kuvaamiseen: ystävän vihamies, äidin veli, tai ystävän naapuri Algebrallinen notaatio ei kuitenkaan sovellu arvotettujen suhteiden tai toimijoiden ominaisuuksien kuvaamiseen
29 Kaksi toimijajoukkoa Esimerkiksi, meillä voi olla kaksi joukkoa: opiskelijat ja opettajat. Tarkasteltavia suhteita voi olla esimerkiksi: on oppilas ja osallistuu tiedekunnan palavereihin. on oppilas suhde pätee vain opiskelijan ja opettajan välillä osallistuu tiedekunnan palavereihin suhde pätee vain opettajien pareilla Kutsumme ensimmäistä toimijaa pareista lähettäjäksi (engl. sender) ja toista toimijaa vastaanottajaksi (engl. receiver). Näistä on myös käytetty nimityksiä perustaja (engl. originator) ja saaja (engl. recipient) tai toimija (engl. actor) ja partneri (engl. partner). Ensimmäisestä toimijajoukosta käytetään symbolia N ja toisesta symbolia M. N joukko koostuu g toimijoista ja M joukko koostu h toimijoista. M joukko koostuu elementeistä {m 1, m 2,..., m h }, ja m i on tyypillinen toimija toisessa toimijajoukossa. h Lisäksi on olemassa dyadit, jotka voidaan muodostaa M toimijoista. 2
30 Kahden toimijajoukon esimerkki Olkoon N opiskelijoiden joukko ja M opettajien joukko. M koostuu h = 4 opettajasta. m 1 = Mr. Jones, m 2 = Ms. Smith, m 3 = Mr. White ja m 4 = Ms. Davis Kokonaisuudessaan on kymmenen toimijaa, jotka on ryhmitelty kahteen joukkoon. Toimijoiden joukko M tuo itsessään 4(4-1)/2 = 6 järjestämätöntä paria lisää.
Sosiomatriisi suhteesta on oppilas määritetty heterogeenisille pareillen ja M 31 N M Mr. Jones Ms. Smith Ms. Davis Mr. White Allison 1 0 0 0 Drew 0 1 0 0 Eliot 0 0 1 0 Keith 0 0 0 1 Ross 0 0 1 0 Sarah 0 1 0 0 X NM 6 x 4 = 24 heterogeenistä paria X N r X M r X NM r X MN r, dimensiot = g x g, dimensiot = h x h, dimensiot = g x h, dimensiot = h x g
32 Eri tyyppiset parit Kahden toimijajoukon sisällä voi olla kahden tyyppisiä pareja niitä jotka koostuvat saman joukon toimijoista ja niitä jotka koostuvat eri joukon toimijoista. Saman joukon toimijoiden pareja kutsutaan homogeeniseksi pareiksi. On olemassa kahdenlaisia homogeenisia pareja: 1. Lähettäjä ja vastaanottaja kuuluvat joukkoon N 2. Lähettäjä ja vastaanottaja kuuluvat joukkoon M Eri joukon toimijoiden pareja kutsutaan puolestaan heterogeenisiksi pareiksi Heterogeenisiä pareja on myös olemassa kahdenlaisia: 1. Lähettäjä kuuluu joukkoon N ja vastaanottajia kuuluu joukkoon M 2. Lähettäjä kuuluu joukkoon M ja vastaanottajia kuuluu joukkoon N
33 Yhteenveto Joukko toimijoita, informaatio toimijaparien suhteista, ja mahdolliset toimijoiden ominaisuudet muodostavat kokoelman dataa, jota voidaan kutsua sosiaalisten suhteiden järjestelmäksi (engl. social relational system). Dikotomisten suhteiden osalta kaikki kolme notaatio skeemaa pystyvät kuvaamaan koko data joukon. Symbolit n i n j on lyhennys notaatiosta: n i valitsee n j :n tietyn suhteen suhteen; eli kaari n i :stä n j :hin kuuluu joukkoon L, jolloin on olemassa yhdysside järjestettyjen parien < n i, n j > välillä. Algebrallisessa notaatiossa suhteet nimetään isoin kirjaimin ja suhteen olemassa oloon kahden parin välillä viitataan esim. iyj. Sosiometrisessä notaatiossa yhdysside kirjataan sosiomatriisiin: x ij = 1. Jos on olemassa yksi joukko g toimijoita, niin on olemassa g(g 1) järjestettyjä pareja toimijoita. N lisäksi on olemassa joukko L, joka sisältää kokoelman järjestettyjä pareja toimijoista, joiden välillä on yhdysside.
34 Yhteenveto kaavana S = {N, L } algebrallinen rakenne, jossa S on yksinkertaisin mahdollinen sosiaalinen verkosto (Freeman 1989). Freeman (1989) kuvaa kolmirakenteen, joka koostuu algebrallisesta rakenteesta S, suunnatusta graafista tai sosiogrammista G d ja naapuruusmatriisista tai sosiomatriisista X: P = <S, G d, X > Tämä kolmirakenne osoittaa, että eri notaatiot tarjoavat olennaisimmat komponentit yksinkertaisten sosiaalisten verkostojen tarkasteluun: Joukko solmuja ja kaaria (graafiteoreettisesta notaatiosta) Sosiogrammi tai graafi (tuotettu solmuista ja kaarista) Sosiomatriisi (sosiometrisestä notaatiosta)