Smmetrialuokat Pisterhmän elementit kuuluvat samaan luokkaan, Jos jokin rhmän operaatioista muuttaa ne keskenään toisikseen : P R - Q R missä P, Q, R kuuluvat samaan pisterhmään P, Q kuuluvat samaan luokkaan Esimerkki Pisterhmä C v E C C Cv E C C E E C C C C C E C C E C E C C C E C C C E
Smmetriaelementit muodostavat kolme luokkaa: () E, () C, C, (),, C C - E C C C - C E (C ) - C C C Smmetriaoperaatioiden matriisiesitkset Identiteetti, E 0 0 0 0 0 0 Inversio, i - 0 0 0-0 0 0 - - - - Heijastus, σ() - 0 0 0 0 0 0 - Rotaatio, C n cos(π/n) sin(π/n) 0 -sin(π/n) cos(π/n) 0 0 0 cos(π/n)+ sin(π/n) - sin(π/n)+ cos(π/n)
Pisterhmän matriisiesitkset Pisterhmä C v : - smmetriaoperaatiot E, C, σ(), σ() - kiertoakseli -akseli) E 0 0 0 0 0 0 Esitksen karakteri diagonaalielementtien summa σ() 0 0 σ() - 0 0 Χ(E) Χ(C ) - 0-0 0 0 0 0 0 0 Huom! Χ[σ()] Χ[σ()] -koordinaatti on riippumaton - ja - koordinaatista C cos(π/) sin(π/n) 0 -sin(π/) cos(π/) 0 0 0-0 0 0-0 0 0 (, ) 0 0-0 0-0 0 - - 0 0 E C σ() σ() () () () () () Esits, jota voidaan ksinkertaistaa: redusoituva esits Esits, jota ei voida ksinkertaistaa: redusoitumaton esits
Suuri ortogonaalisuuslause Rhmän kertaluku h i:nnen operaation redusoitumattoman esitksen dimensio l i Smmetriaoperaatio R i:nnen redusoitumattoman esitksen operaatiota R vastaavan matriisin m:nnen rivin ja n:nnen sarakkeen elementti on Γ i (R) mn h Γi ( R) mnγj ( R) m' n' δijδmm' δnn' l l δ δ rs rs, jos r s 0, jos r s i j Säännöt redusoitumattomille esitksille () Rhmän redusoitumattomien esitsten dimensioiden neliöiden summa on rhmän kertaluku Σl i h () Ortogonaalisuusehto Σχ i (R)χ j (R) 0 kun i j () Redusoitumattoman esitksen karakterien neliöiden summa on h Σ[χi(R)] h Σn g χi(r) h missä n g luokassa olevien oeraatioiden lukumäärä (4) Samaan luokkaan kuuluvien operaatioiden matriisien karakterit ovat samat annetulle esitkselle (5) Rhmän redusoitumattomien esitsten lkm on rhmän luokkien lkm.
Karakteritaulut Tarkastellaan pisterhmän C v karakteritaulua: C v E C A +, A - R E - 0 (,)(R,R ) ( -,)(,) C v E C A +, Alue I: Karakterit Alue II: Redusoitumattomien esitsten Mullikenin smbolit A - R E - 0 (,)(R,R ) ( -,)(,) () ksidimensionaaliset esitkset A tai B kaksidimensionaaliset esitkset E kolmidimensionaaliset esitkset T C v E C A +, A - R E - 0 (,)(R,R ) ( -,)(,) () A: esits smmetrinen pääkiertoakselin suhteen B: esits epäsmmetrinen pääkiertoakselin suhteen () alaindeksit ja : esits smmetrinen tai epäsmmetrinen pääkiertoakselia vastaan kohtisuorassa olevan C :n suhteen tai, jos sellaista ei ole, pääkiertoakselin suuntaisen peilitason suhteen (4) heittomerkit ja : smmetrinen tai epäsmmetrinen horisontaalin peilitason suhteen (5) alaindeksit g ja u: smmetrinen tai epäsmmetrinen smmetriakeskuksen suhteen
Alue III: Koordinaattiakselin, ja sekä akselien mpäri tapahtuvien kiertojen R, R, R esitkset C v E C Kättö: () IR-aktiivisten perusvärähteljen luokittelu () spektroskooppiset valintasäännöt A +, A - R E - 0 (,)(R,R ) ( -,)(,) Alue IV: Koordinaattien binääritulojen luokittelu Kättö: C v E C A +, A - R E - 0 (,)(R,R ) ( -,)(,) () keskusatomin d-orbitaalien luokittelu ligandikenttäteoriassa () Raman-aktiivisten perusvärähteljen luokittelu Esitksen redusointi Redusoitumaton esits: tarkoin rajattu lkm Redusoituva esits: rajaton lkm Redusoituvat esitkset redusoitumattomien esitsten lineaarikombinaatioita n Γ h g n g Χ R Χ Γ redusoitumattoman esitksen lkm redusoituvassa esitksessä redusoitumattoman esitksen karakteri rhmän kertaluku redusoituvan esitksen karakteri luokan operaatioiden lkm
Esimerkki N-H sidosten smmetria NH -moleklissä Redusoituvan esitksen muodostaminen: Suoritetaan ksi operaatio kustakin luokasta ja tarkastellaan muuttuvia vektoreita (tässä tapauksessa sidoksia): () Jos vektori ei muutu, annetaan arvo + () Jos vektorin merkki muuttuu, annetaan arvo - () Kaikki muut muutokset johtavat arvoon 0