Pohditaan seuraavaksi maksimi-operaatiota, jonka funktio antaa kuvan pikselien maksimiarvon. Tämä on epälineaarinen, joka osoitetaan vastaesimerkillä lineaarisuudelle. Olkoot kaksi kuvaa. Toisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos. Olkoot edelleen a 1 =1 ja a 2 =-1. Käytetään lineaarisuuden määritelmää edeltä. Koska vasen ja oikea puoli saivat eri arvot, lineaarisuus ei vallitse, vaan max on epälineaarinen operaattori. Kun epälineaariset operaattorit ovat monimutkaisempia ja huonommin tunnettuja kuin lineaariset, monesti pyritään lineaaristen soveltamiseen. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 81 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 82 Kuvien väliset taulukko-operaatiot suoritetaan pikseliparittain. Tällöin aritmeettiset operaatiot ovat oheiset. Olkoon g(x,y) korruptoitunut kuva, joka on saatu lisäämällä alkuperäiseen f(x,y) kohinaa (x,y) Operaatiot suoritetaan siis pikseleittäin, kun x=0,1,2,,m-1 ja y=0,1,2,,n-1. Tuloskuvat ovat s, d,pja v. Kuvien koko on M N. jossa oletetaan, että jokaisessa koordinaattiparissa (x,y) kohina on korreloimatonta ja sen keskiarvo on 0. (Satunnaismuuttujan z varianssi on E[(z-m) 2 ], missä m on sen keskiarvo ja E on odotusarvo. Kahden muuttujan kovarianssi määritellään vastaavasti E[(z i m i )(z j m j )]. Jos muuttujat ovat korreloimattomia, niiden kovarianssi on 0.) Seuraavan proseduurin tarkoitus on vähentää kohinaa summaamalla yhteen kohinaisten kuvien joukkoa. Tätä käytetään monesti kuvan korostamisessa. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 83 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 84
Em. rajoittein muodostettaessa kuva keskiarvoistamalla K kertaa kohteen kohinaltaan hieman erilaista kuvaa saadaan jolloin seuraa, että ja missä E{ } on keskiarvoistetun kuvan odotusarvo ja 2 :t ovat kuvan ja kohinan varianssit. Keskihajonta kuvan pisteissä on seuraava. Kun K kasvaa, nämä osoittavat, että pikseliarvojen varianssi ja keskihajonta jokaisessa pisteessä vähenee. Tulee kuitenkin huomata, että K:n kasvaessa kohinan keskihajonta pienenee vain suhteessa K:n neliöjuureen. Jotta kuvatut toimenpiteet olisivat mahdollisia, kuvat pitää tietysti kohdistaa päällekkäin toisiinsa nähden. Todellisuudessa kohinaa (x,y) ei tietysti tunneta, koska se on yleensä satunnaista, mutta sitä voidaan vähentää näin keskiarvoistamalla ja myöhemmin kuvattavalla suodattamisella. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 85 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 86 Tärkeä keskiarvoistamisen käyttökohde on esim. astronomisessa datassa, kun samaa kohdetta on kuvattu useilla kuvilla lyhyin aikavälein (jos on kuvattu maasta, maan liike korjattu sinä aikana yms.). Kuva 2.22. esittää 8 bitin tilannetta, jossa korruptiota simuloitiin lisäämällä normaalijakautunutta kohinaa (0-keskiarvo ja keskihajonta 64 intensiteettitasoa). Alkuperäisen kuvan ollessa heikko jo keskiarvoistamalla K=50 kertaa kuva puhdistui kohtalaisesti, mutta K=100 ei juurikaan siitä parantunut (huom. K:n neliöjuuri ed. kaavassa). Kuva 2.22. (a) Erään galaksin kuva, johon on lisätty kohinaa. Keskiarvoistamista on suoritettu (b) 5, (c) 10, (d) 20, (e) 50 ja (f) 100 kertaa (NASA). Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 87 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 88
Kuvan erojen korostamiseksi voidaan käyttää kuvien vähentämistä. Kuvasta 2.23(a) muodostetussa kuvassa 2.23(b) jokaisen pikselin vähiten merkitsevä bitti on asetettu 0:ksi. Nämä ovat visuaalisesti samannäköisiä. Kuva 2.23(c) osoittaa kuitenkin, kun kuva on vähennetty toisesta, niiden erot. Mustat (0) arvot osoittavat erotuskuvan paikat, joissa ei ole eroa kuvissa 2.23(a) ja (b). Kuva 2.23. (a) Infrapunakuva Washington D.C. alueesta, (b) kuvan pikselien vähiten merkitsevät bitit asetettu nolliksi ja (c) edellisten erotus. Kuvan kertomisen (ja jakamisen) tärkeä sovellus on sävynkorjaus. Oletetaan, että kuvausjärjestelmä tuottaa kuvia, jotka voidaan mallintaa täydellisen kuvan f(x,y) ja sävytysfunktion h(x,y) tulona, ts. g(x,y) =f(x,y)h(x,y). Jos h(x,y) tunnetaan, f(x,y) saadaan kertomalla kuva h(x,y):n käänteisfunktiolla, tässä jaetaan gh:lla. Jos h(x,y):ää ei tunneta, mutta kuvausjärjestelmän ominaisuuksista on tietoa, sävytysfunktiota voidaan approksimoida kuvaamalla kohde vakiointensiteetillä. Jos tällaista tietoa ei ole, sävytyshahmoa voidaan estimoida suoraan kuvastakin. Kuva 2.24. esittää esimerkin sävynkorjauksesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 89 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 90 Toinen kuvan kertomisen käyttö on maskaus- eli kiinnostavuusalueoperaatiot (region of interest, ROI). Syötekuva kerrotaan maskilla, jossa on 1:siä ROI:ssa ja 0:ia muualla. Maskissa voi olla useita ROI:ta, joiden muoto voi olla mikä tahansa, vaikka käytännössä luonnollisesti tyypillisesti suorakulmio. Kuva 2.25. on tästä esimerkki. (a) (b) (c) Kuva 2.24. Sävynkorjaus: (a) sävytetty wolframikuitu tukivarren ympärillä (130-kertainen suurennos), (b) sävytyshahmo ja (c) alkuperäisen kuvan (a) ja (b):n käänteiskuvauksen tulo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 91 (a) (b) (c) Kuva 2.25. (a) Digitaalinen hammasröntgenkuva, (b) ROI-maski paikattujen hampaiden erottamiseksi muista (valkoinen vastaa 1:iä ja musta 0:ia) ja (c) edellisten tulo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 92
a b c Joukko-operaatioita voidaan soveltaa kuviin, tarkemmin näiden pikseleihin. Kun universumi U on yhtä kuin koko kuva, koordinaattijoukot A ja B ovat (rajat sisältäen) esim. kuten kuvassa 2.26. Näille voidaan suorittaa tavallisia joukko-operaatioita. d e Yllä oletettiin itse asiassa, että pikselien intensiteetti on sama. Ym. oletuksen ollessa paikkansapitämätön on määriteltävä, miten toimia alkioiden intensiteettien vaihdellessa (sovellettaessa saman kuvan eri versioita). Unioni ja leikkaus intensiteetti- eli harmaasävyarvojen yhteydessä määritellään käyttäen pikseliparien maksimia ja minimiä. Komplementti määritellään pikselin intensiteetin ja vakion parittaisina erotuksina. Kuva 2.26. (a) Kaksi koordinaattijoukkoa, A ja B, tasolla, (b) joukkojen unioni, (c) leikkaus, (d) A:n komplementti ja (e) joukkojen erotus. Tummennetut alueet edustavat tulosjoukkoja. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 93 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 94 Tarkastellaan joukon A alkioita, jotka ovat kolmikkoja (x,y,z). Tässä z on intensiteettiarvo. A:n komplementti voidaan määritellä Kahden harmaasävypikselijoukon A ja B unioni määritellään joukkona jossa pikselien intensiteetit on vähennetty vakiosta K=2 k -1, kun k on z:n esittämiseen käytetty bittien lukumäärä. Tämä on monesti 8-bittinen harmaasävykuvaa varten. Esim. kuvasta 2.27.(a) halutaan muodostaa A:n negaatio joukko-operaatioilla. Muodostetaan seuraava. A edustakoon kuvaa 2.27.(a). B on samankokoinen suorakulmiotaulukko, jonka kaikki z-arvot ovat yhtä kuin kolme kertaa A:n alkioiden intensiteettien keskiarvo m. Kuva 2.27.(c) on näiden unioni, jossa kaikki 3m:n ylittävät arvot esiintyvät sellaisenaan A:n arvoina ja kaikki muut arvoina 3m, keskiharmaa arvo. Saadaan kuva 2.27.(b). Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 95 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 96
Käsiteltäessä binäärikuvia edusta (1-arvot) ja tausta (0-arvot) voidaan mieltää pikselijoukkona. Määriteltäessä kuvan kohteiden olevan 1-arvoista muodostettuja esim. kuvan 2.26. joukko-operaatiot ovat operaatioita kohteiden koordinaattien välillä. Binäärikuville on tavallista joukko-operaatioiden asemesta soveltaa loogisia operaattoreita OR, AND ja NOT, kun 1 tarkoittaa arvoa tosi ja 0 arvoa epätosi. (a) (b) (c) Kuva 2.27. (a) Alkuperäinen kuva, (b) komplementilla saatu kuvan negaatio ja (c) alkuperäisen ja vakion erotuskuva. Joukkojen tai alueiden A ja B tapauksessa sovellettaessa esim. OR:ia tuloksessa ovat kummankin alkiot. Tavanomaiset periaatteet ovat voimassa tietysti muillekin loogisille operaatioille, joissa on mukana myös XOR. Kuva 2.28. havainnollistaa tärkeimpiä operaatioita, joissa neljäs rivi vastaa joukko-operaatioiden erotusta. Huomattakoon, että nämä ovat alueiden välisiä operaatioita toisin kuin joukkojen yhteydessä (samankokoisten kuvien taulukkooperaatioita), joten harmaasävytasoissa ei tarvitse nyt välittää. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 97 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 98 Spatiaaliset operaatiot suoritetaan suoraan kuvan pikseleille. Niitä on kolmea lajia: yksittäispikselien operaatiot, (2) naapurustooperaatiot ja (3) geometriset muunnokset. Yksittäisiä pikseleitä voidaan muuntaa muunnoksilla s = T(z), Kuva 2.28. Loogisten operaatioiden käyttöä. Musta vastaa 0:ia ja valkoinen 1:siä. jossa z on pikselin alkuperäinen intensiteetti ja s on prosessoidun kuvan pikselin intensiteetti. Esim. kuva 2.29. esittää 8-bittisen kuvan pikselin negaation kuvan 2.27.(b) tapaan. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 99 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 100
Olkoon S xy johonkin pisteeseen (x,y) keskitetyn naapuruston koordinaattijoukko. Naapurustokäsittely generoi vastaavan pikselin tuloskuvan g samoille koordinaateille niin, että pikselin arvo määrätään jollakin joukolle S xy suoritetulla operaatiolla. Esim. käytetään pikselien keskiarvoa suorakulmionmuotoisessa naapurustossa kokoa m n. Kuva 2.30. havainnollistaa. Operaatio on nyt muotoa Kuva 2.29. Intensiteettimuunnosfunktio 8-bittisen kuvan negaation muodostamista varten. Katkonuolet osoittavat mielivaltaisesti valitun intensiteettiarvon z 0 muunnoksen. jossa r ja c ovat joukon S xy pikselirivien ja -sarakkeiden lukumäärät. Kuva g on luotu liu uttamalla ikkunaa pikseleittäin pitkin kutakin riviä vuorollaan ja laskemalla joka pisteessä, joka on tuloskuvan vastaavan kohdan arvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 101 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 102 a b Geometriset muunnokset muuntavat kuvassa pikselien välisiä spatiaalisia suhteita. Kahta perusoperaatiotyyppiä käytetään: spatiaaliset koordinaattien muunnokset ja intensiteettien interpolointi, joka määrää spatiaalisesti muunnettujen pikselien intensiteettiarvot. Kuva 2.30. Lokaalinen keskiarvoistaminen soveltaen naapurustokäsittelyä. (a) ja (b) Yksittäinen suorakulmio eli ikkuna sekä (c) alkuperäinen aorttakuva ja (d) sama keskiarvoistettuna, kun m=n=41 ja kuvan koko 790 686 pikseliä. c d Koordinaattien muunnos ilmaistaan jossa (v,w):t ovat alkuperäisen kuvan pikselikoordinaatteja ja (x,y):t ovat vastaavasti muunnetun. Esim. muunnos (x,y) =T{(v,w)}= (v/2,w/2) kutistaa alkuperäistä puoleen kummankin suunnan suhteen. Tavallinen spatiaalinen on affiini muunnos, yleisesti oheisessa muodossa. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 103 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 104
Taulukko 2.2. Affiinit muunnokset. Edellinen kaava kattaa muunnokset skaalaus, rotaatio, translaatio ja shearing. Taulukko 2.2. esittää nämä, joita voidaan yhdistää peräkkäin. Voidaan esim. muuttaa kuvan kokoa, kiertää sitä ja siirtää uuteen paikkaan laskemalla näiden operaatioiden matriisien tulo. Edellistä kaava käytetään kahdella eri tavalla. Eteenpäinkuvauksessa selataan kuvaa pikseleittäin ja jokaiselle pisteelle (v,w) lasketaan tuloskuvan vastaavan pikselin spatiaalinen paikka (x,y). Ongelmana on, että kaksi tai useampaa pikseliä saattaa kuvautua samaan paikkaan tuloskuvassa, jolloin tämä on jotenkin ratkaistava. Niinpä monesti käytetään käänteiskuvausta selaten tulospikselipaikkoja (x,y) ja laskien vastaavan syötekuvan paikan (v,w) =T -1 (x,y). Interpoloidaan (esitetyillä menetelmillä) sitten lähimpien naapuripikselien avulla tulospikselin intensiteettiarvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 105 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 106 Käänteiskuvaus on tehokkaampi vaihtoehto. Sitä käytetään yleisemmin kuin eteenpäinkuvausta. Esim. Matlab-ohjelmisto soveltaa sitä. Tarkastellaan esimerkkinä kuvaa 2.31, jossa kierretään kohdetta 21 käyttäen lähimmän naapurin, bilineaaria ja kaksoiskuutiollista interpolointia. Rotaatio eli kierto on vaativa muunnos, koska suorien säilyminen suorannäköisinä on monesti ongelma. Katsomalla suurennettuja osia kuvan 2.31. osissa (c) ja (d) voi havaita, että edellisessä on enemmän intensiteetin harmaita välimuotopikseleitä (mustan ja valkoisen väliltä). Täten (d) on parempi tuloskuva. Tässä oli käytetty käänteiskuvausta. Kuva 2.31. (a) Tarkkuuden 300 dpi kuva, (b) kuva kierrettynä soveltaen lähimmän naapurin, (c) bilineaaria ja (d) kaksoiskuutiollista interpolointia. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 107 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 108
Kuvanrekisteröinti on hyödyllinen menetelmä rinnastaa kaksi tai useampaa kuvaa samaan näkymään. Tällöin tunnetaan syöte- ja tuloskuva, mutta niiden välinen muunnos on tuntematon, joka halutaan selvittää. Viitekuvaa vasten halutaan syötekuva rekisteröidä. Tällainen on hyödyllistä esim. lääketieteellisen kuvantamisen yhteydessä rinnastettaessa saman kohteen MRI-kuva ja PET-kuva (edellinen anatominen ja jälkimmäinen pikemmin funktionaalinen). Kuvauskohde ja -väline voivat toisaalta olla samoja, mutta kohteesta otetaan määräväliajoin kuvia. Hyvä esimerkki on tähtitieteelliset kohteet, joissa kuvauksen väliaika voi nousta jopa vuosiin. Pääasiallinen keino ratkaista esitetty ongelma on käyttää sidos- eli kontrollipisteitä. Nämä ovat pisteitä, joiden sijainti tiedetään tarkkaan sekä syöte- että viitekuvissa. Pisteet voidaan valita vaihtelevin tavoin, kuten vuorovaikutteisesti tai soveltamalla algoritmia, joka yrittää havaita nämä pisteet automaattisesti. Muunnosfunktion estimointiongelma on mallintamistehtävä. Olkoon neljän sidospisteen joukko jokaisessa syöte- ja viitekuvassa. Bilineaaria approksimointia soveltaen saadaan ja Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 109 jossa estimointivaiheen aikana (v,w) ja (x,y) ovat syöte- ja viitekuvan sidospisteiden koordinaatit. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 110 Kun on neljä paria sidospisteitä kahdessa kuvassa, kahdeksan yhtälöä voidaan kirjoittaa eo. tapaan ja ratkaista niistä kahdeksan tuntematonta kerrointa c 1,, c 8. Kertoimet muodostavat mallin, joka muuntaa kuvan pikselit toisen kuvan pikselien paikkoihin rekisteröinnin aikaansaamiseksi. Jos neljä sidospistettä ovat riittämättömiä tyydyttävän rekisteröinnin tuottamiseksi, voidaan käyttää suurempaa sidospisteiden määrää ja käsitellä neljän pisteen joukkojen muodostamia nelikulmioita alikuvina. On mahdollista käyttää myös monimutkaisempia alueita ja malleja, esim. polynomeja, jotka on sovitettu pienimmän neliösumman menetelmällä. Kuva 2.32.(a) esittää viitekuvan ja kuva 2.32.(b) saman, mutta geometrisesti vääristettynä horisontaalisen ja vertikaalisen shearingoperaation avulla. Viitekuvan avulla määrättiin manuaalisesti neljä sidospistettä (pienet valkoiset nurkissa), ja sitten näitä käyttäen rekisteröitiin kuva. Neljä sidospistettä riitti, koska kumpikin muunnos on lineaarinen. Kuva 2.32. (c) esittää rekisteröintituloksen, joka ei ole täydellinen, minkä osoittaa kuvan mustat reunat. Erotuskuva 2.32.(d) osoittaa rekisteröinnin puutteet viite- ja korjatun kuvan välillä. Nämä johtuivat sidospisteiden hieman epätarkasta manuaalisesta asettamisesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 111 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 112
a b sidospiste Värikuvien yhteydessä tarvitaan vektori- ja matriisioperaatioita. Värikuvat muodostetaan RGB-väriavaruudessa käyttäen kolmea komponenttia: punainen, vihreä ja sininen (kuva 2.33.). Jokaisella värikuvan pikselillä on tällöin pystyvektori c d Kuva 2.32. Rekisteröinti: (a) viitekuva, (b) syöte (geometrisesti vääristetty), (c) rekisteröity kuva ja (d) vaiheiden (a) ja (c) erotuskuva, joka sisältää virheitä. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 113 jossa komponentit vastaavat pikselin kolmen värin intensiteettejä. Näin koon M N RGB-kuva edustaa kaikkiaan MN 3-ulotteista vektoria. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 114 Euklidinen etäisyys voidaan määrätä pikselivektorin z ja mielivaltaisesti valitun pisteen a välillä n-ulotteisessa avaruudessa. Tärkeät lineaariset muunnokset ovat tehtävissä muotona Kuva 2.33. Vektorin muodostaminen kolmen RGBkomponenttikuvan vastaavista pikseliarvoista. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 115 jossa A on m n-matriisi sekä z ja a ovat m 1-pystyvektoreita. Koko kuva on esitettävissä matriisina M N tai vaihtoehtoisesti vektorina kokoa MN 1. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 116
Tällä tavalla voidaan kuvaan soveltaa monia lineaarisia prosesseja merkitsemällä Näin yleisen muodon kaksiulotteinen lineaarinen muunnos on (5) jossa f on MN 1-vektori esittäen syötekuvaa, n on MN 1-vektori esittäen kohinaa, g on MN 1-vektori esittäen prosessoitua kuvaa ja H on MN MN-matriisi esittäen syötekuvaan sovellettua lineaarista prosessia. Käsitellyt muunnokset ovat käyttäneet suoraan pikselejä eli operoineet spatiaalisesti. Toisinaan on kuitenkin parempi toimia epäsuorasti ensiksi muuntamalla syötekuvat muunnosavaruuteen, käsittelemällä siellä kuvaa ja muuntamalla takaisin käänteismuunnoksella spatiaaliseen. jossa f(x,y) on syötekuva, r(x,y,u,v) on muunnoskerneli ja kaava evaluoidaan arvoille u=0,1,2,,m-1 ja v=0,1,2,,n-1. Muuttujat x ja y ovat spatiaalisia sekä u ja v muunnosmuuttujia. T(u,v) on f(x,y):n muunnos. Tunnettaessa T(u,v) voidaan muodostaa f(x,y) käänteismuunnoksen (6) avulla, jossa on x=0,1,2,,m-1 ja y=0,1,2,,n-1. Tässä s(x,y,u,v) on käänteismuunnoskerneli. Kaavat (5) ja (6) muodostavat muunnosparin. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 117 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 118 f(x,y) spatiaalinen määritysalue muunnos T(u,v) operaatio R R[T(u,v)] käänteismuunnos Kuva 2.34. Yleinen lähestymistapa ja prosessointia lineaarisessa muunnosavaruudessa. spatiaalinen kuvausalue Kuva 2.34. esittää, miten kuvalle suoritetaan muunnos, operointi muunnosavaruudessa ja käänteismuunnos. Kuvassa 2.35. esitetään edellisen mukaan erityisesti Fourier-muunnos. g(x,y) Kuvassa 2.35.(b) on Fourier-muunnoksen itseisarvoesitys, joka on kuvan 2.34. ensimmäisen vaiheen tulos. Spatiaalisen datan puhtaasti sinimuotoinen kohina ilmenee kirkkaina intensiteettipurskeina Fourier-muunnoksen kuvausavaruudessa. Tässä tapauksessa purskeet ovat ympyränmuotoisia (kuva 2.35.(b)). Kuva 2.35.(c) esittää maskin (suodin eli filtteri), jossa on vain valkoista ja mustaa, ts. 1- ja 0-arvoja. Kuvan 2.34. toisessa vaiheessa (laatikko) kerrotaan maskilla muunnoksen tulos suodattaen täten häiriön aiheuttamat purskeet. Kuva 2.35.(d) esittää lopullisen tuloksen, jota varten on laskettu vielä modifioidun muunnoksen käänteismuunnos eli palautettu muunnosavaruudesta takaisin määritysalueen avaruuteen, kuvaksi. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 119 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 120
a b Muunnoskerneli on separoituva eli erottuva seuraavan ehdon täyttyessä. c d Kerneli on lisäksi symmetrinen, jos r 1 (x,y) on vaikutukseltaan sama kuin r 2 (x,y) seuraavasti. Kuva 2.35. (a) Sinimuotoisella häiriöllä korruptoitu kuva, (b) Fouriermuunnoksen itseisarvokuvaus, joka osoittaa häiriön tuottamat energiapurskeet, (c) energiapurskeiden eliminoimiseen käytetty maski ja (d) modifioidun Fourier-käänteismuunnoksen antama tulos (NASA). Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 121 Sama periaate soveltuu myös käänteismuunnokselle, kun tässä on s r:n asemesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 122 Kaksiulotteisella (2D) Fourier-muunnoksella on seuraava eteenpäin- ja käänteiskerneli. Nämä yhtälöt ovat keskeisiä kuvanprosessoinnissa. Tässä kompleksiesityksessä käytetään (fysiikan) merkintätapaa imaginääriyksikölle j=(-1) 1/2. Korvaamalla kernelit yleisiin muunnoskaaavoihin (5) ja (6) (s. 118) saadaan diskreetti Fouriermuunnospari, joka on laskettavissa tietokoneella. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 123 Fourier-kernelit ovat separoituvia ja symmetrisiä, joten 2D-muunnokset on mahdollista hajottaa 1D-muunnoksiksi. Muunnosparien kernelien täyttäessä nämä ehdot ja kuvan f(x,y) ollessa kokoa M N kaavat (5) ja (6) (s. 118) ovat kirjoitettavissa muodossa (7) jossa F on f(x,y):n alkioiden M N-matriisi, A on M N-matriisi alkioinaan a ij =r 1 (i,j) ja T on M N-muunnos arvoinaan T(u,v), kun u,v=0,1,2,,m-1. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 124
Käänteismuunnoksen saamiseksi (7) kerrotaan kummastakin suunnasta käänteismuunnosmatriisilla B. Jos B=A -1, osoittaen, että F (tämän alkiot ovat yhtä kuin kuva f(x,y)) voidaan palauttaa täydellisesti muunnoksestaan. Jos B ei ole yhtä kuin A -1, niin (8):n käyttö tuottaa seuraavan approksimaation. Fourierin lisäksi monet muutkin muunnokset ovat esitettävissä yhtälöillä (5) ja (6) tai ekvivalentisti (7) ja (8), kuten Walsh, Hadamard, diskreetti kosini ja Haar. (8) Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 125 Todennäköisyyslaskenta on monessa yhteydessä oiva väline, niin kuvanprosessoinnissakin. Intensiteettiarvoja voidaan tarkastella satunnaislukuina. Olkoot z i, i=0,1,2,,l-1, kaikki mahdolliset intensiteettiarvot kuvassa kooltaan M N. Intensiteettitason z k todennäköisyys p(z k ) estimoidaan arvona jossa n k on z k :oiden esiintymien lukumäärä kuvassa ja MN pikselien lukumäärä. Todennäköisyyksien summan on oltava yhtä kuin 1. Intensiteettien keskiarvo ja varianssi voidaan laskea luonnehtimaan kuvaa kuten korkeammatkin momentit (3. potenssi luonnehtii 0:sta erotessaan jakauman vinoutta). Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 126 (a) (b) (c) Kuva 2.36. (a) Vähäinen, (b) keskitason ja (c) suuri kontrasti. Kuva 2.36. esittää 8-bittistä kuvaa vähäisen, keskitason ja suuren kontrastin tapauksissa. Pikseli-intensiteettien keskihajonnat olivat 14.3., 31.6 ja 49.2. tapauksille (a)-(c). Keskihajonta varianssin neliöjuurena oli tässä kätevämpi suure ajateltaessa intensiteettien arvoväliä [0,255]. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 127