Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla c a b ja d a + b c) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla a b d) Kaikki muotoa (a + c a b b + c a + d) olevat vektorit Jokaisessa kohdassa a)-d) annetut vektorit muodostavat lineaariavaruuden emmekä ryhdy tätä tosiseikkaa tarkemmin tutkimaan a) Kaikki elementit ovat muotoa josta saadaan (a b c a + b) (a b c a+b) (a a)+( b b)+( c ) a(1 1)+b( 1 1)+c( 1 ) Jokainen annetun avaruuden vektori voidaan siis esittää vektoreiden (yksikäsitteisenä) lineaarikombinaationa f 1 (1 1) f 2 ( 1 1) f 3 ( 1 ) af 1 + bf 2 + cf 3 Ko vektorit f j j 1 2 3 siis virittävät annetun avaruuden Koska avaruuden dimensio lineaarisesti riippumattomien virittävien vektoreiden lukumäärä kantavektoreiden lukumäärä on vielä tutkittava moniko vektoreista f 1 f 2 ja f 3 on lineaarisesti riippumaton Tämä nähdään yhtälöstä ξ 1 f 1 + ξ 2 f 2 + ξ 3 f 3 matriisimuodossa (4 3 pystyvektoreina vektorit f j ) 1 1 ξ 1 ξ 1 2 ξ 1 1 3 mistä saadaan suoraan että ξ 1 ξ 2 ξ 3 Näin ollen ξ 1 f 1 + ξ 2 f 2 + ξ 3 f 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3 vektorit f 1 f 2 ja f 3 ovat lineaarisesti riippumattomia ja koska ne virittävät avaruuden niin ne ovat sen kantavektorit Siispä annettu lineaariavaruus on 3-dimensioinen b) Tässä avaruuden alkiot ovat muotoa Havaitaan että (a b a b a + b) (a b a b a + b) (a a a) + ( b b b) a(1 1 1) + b( 1 1 1) Vektorit (1 1 1) ja ( 1 1 1) ovat lineaarisesti riippumattomia (totea!) ja niiden avulla voidaan siis esittää jokainen annettua muotoa oleva vektori; siispä ko 2 vektoria muodostavat annetulle avaruudelle kannan ja avaruus on siten 2-dimensioinen 1
c) Tässä vektorit ovat muotoa ja koska (a a c d) (a a c d) (a a ) + ( c ) + ( d) a(1 1 ) + c( 1 ) + d( 1) niin annetun avaruuden kantavektoreiksi voidaan valita lineaarisesti riippumattomat (totea!) (1 1 ) ( 1 ) ( 1) Avaruus on siis 3-dimensioinen d) Annetun avaruuden vektorit ovat muotoa jotka voidaan hajottaa muotoon (a + c a b b + c a + d) (a + c a b b + c a + d) (a a a) + ( b b ) + (c c ) + ( d) a(1 1 1) + b( 1 1 ) + c(1 1 ) + d( 1) Jokainen annetun avaruuden vektorit voidaan siis esittää vektoreiden f 1 (1 1 1) f 2 ( 1 1 ) f 3 (1 1 ) f 4 ( 1) lineaarikombinaationa Nämä vektorit siis virittävät annetun lineaariavaruuden Tämän avaruuden dimension määrittämiseksi on tarkistettava moniko näistä vektoreista on lineaarisesti riippumaton Vektoreiden lineaarisesti riippumattomuus/riippuvuus nähdään tarkastelemalla yhtälöä: ξ 1 f 1 + ξ 2 f 2 + ξ 3 f 3 + ξ 4 f 4 ( ) (1) missä ξ 1 ξ 4 ovat tuntemattomia reaalilukuja (tai kompleksilukuja) Tämä yhtälö on matriisimuodossa 1 1 ξ 1 1 1 ξ 2 1 1 ξ 3 1 1 ξ 4 missä 4 4 matriisissa ovat pystyriveinä vektorit f 1 f 4 Gaussin minaatiolla saadaan: 1 1 1 1 1 1 1 1 Siispä saimme yhtälöstä (1) että 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ξ 1 1 1 ξ 2 ξ 3 1 1 ξ 4 ξ 3 ξ 4 ξ 2 ξ 4 ξ 1 ξ 4 ξ 4 f 1 + ξ 4 f 2 ξ 4 f 3 + ξ 4 f 4 ( ) 1 1 1 1 1 1 mistä saamme (esimerkiksi) f 4 f 1 f 2 + f 3 2
mikä edelleen tarkoittaa sitä että f 4 voidaan esittää on vektoreiden f 1 f 2 f 3 lineaarikombinaationa f 4 on lineaarisesti riippuva vektoreista f 1 f 2 f 3 Voidaan edelleen todeta että vektorit f 1 (1 1 1) f 2 ( 1 1 ) f 3 (1 1 ) ovat lineaarisesti riippumattomia Nämä vektorit myös virittävät annetun avaruuden sillä kuten edellä totesimme jokainen ko avaruuden vektori voidaan esittää vektoreiden f 1 f 2 f 3 f 4 lineaarikombinaationa ja edelleen f 4 voidaan esittää vektoreiden f 1 f 2 f 3 lineaarikombinaationa Siispä jokainen avaruuden vektori voidaan esittää (lineaarisesti riippumattomien) vektoreiden f 1 f 2 f 3 lineaarikombinaationa Annettu lineaariavaruus on 3-dimensioinen 2 Mitkä seuraavista vektorisysteemeistä muodostavat R 3 :n kannan? a) {(1 2 ) ( 1 1)} b) {(1 1 1) (2 3 4) (4 1 1) ( 1 1)} c) {(3 2 2) ( 1 2 1) ( 1 )} d) {(1 ) ( 2 1) (3 4 1) ( 1 )} a) Liian vähän vektoreita: virittävät 2-ulotteisen R 3 :n aliavaruuden mutta eivät pysty virittämään 3-ulotteista avaruutta Esimerkiksi vektoria ( 2 1 1) ei voida esittää annettujen vektoreiden lineaarikombinaationa Siispä annettu vektorijoukko ei ole R 3 :n kanta b) Vektorit a (1 1 1) b (2 3 4) ja c (4 1 1) ovat lineaarisesti riippumattomia sillä yhtälöstä αa + βb + γc ( ) (α + 2β + 4γ α + 3β + γ α + 4β γ) ( ) ainoaksi ratkaisuksi saadaan α β ja γ Nämä vektorit siis ovat R 3 :n kanta ja koska d ( 1 1) on R 3 :n vektori niin se voidaan esittää a b ja c:n lineaarikombinaationa d 4 3 a 1 3 c eikä siten tuo uusia ulottuvuuksia R3 :een Siispä annettu vektorijoukko ei ole R 3 :n kanta sillä siinä on liian monta vektoria c) Olkoon a (3 2 2) b ( 1 2 1) c ( 1 ) Yhtälön αa + βb + γc ( ) α(3 2 2)+β( 1 2 1)+γ( 1 ) ( ) (3α β 2α+2β+γ 2α+β) ( ) ainoaksi ratkaisuksi saadaan α β γ vektorit {(3 2 2) ( 1 2 1) ( 1 )} ovat lineaarisesti riippumattomia ja ne ovat siten 3-ulotteisen avaruuden R 3 kanta d) Liian monta vektoria; vrt kohta b) 3
3 a) Olkoon M 2 2 2-matriisien muodostama vektoriavaruus Onko seuraava matriisisysteemi M 2 :n kanta vai ei? { } 1 1 1 1 B 1 1 1 1 1 b) Osoita että symmetriset 2 2-matriisitjoiden joukkoa merkitään S 2 :lla muodostavat M 2 :n aliavaruuden c) Konstruoi jokin S 2 :n kanta a) Merkitään A 1 1 1 A 2 1 1 1 A 3 1 1 A 4 1 1 Nämä ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos (määritelmä) yhtälön αa 1 + βa 2 + γa 3 + δa 4 ainoa ratkaisu on α β γ δ Saadaan siis yhtälö α α γ δ + + + β β γ δ δ α + γ α + δ β + δ β + γ + δ Tästä saadaan α δ β γ annettu matriisijoukko B on lineaarisesti riippumaton ja koska matriiseja on 4 kappaletta ne myös virittävät M 2 :n (joka on 4- ulotteinen lineaariavaruus) ja siten B on M 2 :n kanta b) Matriisi A M 2 on symmetrinen (määritelmä) jos A T A Ensinkin S 2 M 2 symmetristen 2 2-matriisien joukko on M 2 :n osajoukko Toisaalta olkoon A B S 2 ja α β R mivaltaisesti valittu Silloin transpoosin laskusääntöjen nojalla (αa + βb) T αa T + βb T αa + βb αa + βb S 2 kaikilla A B S 2 sekä kaikilla α β R Tämä tarkoittaa sitä että S 2 on lineaariavaruus Siispä S 2 on M 2 :n aliavaruus c) Jokainen symmetrinen matriisi A S 2 on välttämättä muotoa a b A b c Kannaksi kelpaa esimerkiksi matriisijoukko { 1 1 } 1 1 Lukija osoittakoon/todetkoon tämän joukon lineaarisesti riippumattomuuden Jokainen symmetrinen matriisi A S 2 voidaan esittää näiden lineaarikombinaatioina a b 1 1 A a + b + c b c 1 1 Todetaan vielä lopuksi että symmetristen 2 2-matriisien joukko S 2 on 3-ulotteinen 4
4 Olkoon R 2 :ssa kaksi kantaa B {(1 1) ( 1 1)} sekä B {( 1 ) ( 1)} Olkoon pisteen x (x 1 x 2 ) koordinaatit x B ( 2 1) kannassa B Määrää kannanvaihtomatriisi T sekä x:n koordinaatit kannassa B Ratkaistaan mikä on oikea piste 2 x x B k B k 2( 1 ) + 1( 1) (2 1) k1 Kannoille pätee B BT 1 1 josta saadaan yhtälöryhmä 1 1 t11 t 12 1 1 t 21 t 22 t11 t 21 t 12 t 22 t 11 + t 21 t 12 + t 22 Ratkaisemalla tämä saadaan T t 11 t 21 1 t 12 t 22 t 11 + t 21 t 12 + t 22 1 1/2 1/2 1/2 1/2 Edelleen koordinaatit kannassa B saadaan kaavasta x B T x B x B (1/2 3/2) 5 Olkoon {e 1 e 2 } avaruuden R 2 luonnollinen kanta ja {b 1 b 2 } tästä kulman ϕ suuruisella kierrolla (kellon) positiiviseen kiertosuuntaan saatu kanta Etsi molemmat kannanvaihtomatriisit ts matriisit T ja S siten että Miten T ja S suhtautuvat toisiinsa? b 1 b 2 e 1 e 2 T e 1 e 2 b 1 b 2 S Kun vektoreita e 1 (1 ) T ja e 2 ( 1) T kierretään kellon positiiviseen kiertosuuntaan (myötäpäivään) kulman ϕ verran ne muuntuvat seuraavasti: 1 cos(ϕ) e 1 b 1 sin(ϕ) sin(ϕ) e 2 b 1 2 cos(ϕ) 5
Voidaan osoittaa että kiertokuvaus on lineaarikuvaus joten etsitään ko lineaarikuvausta vastaavaa matriisia T jonka on oltava 2 2 sillä lineaarikuvauksen lähtö- ja tuloavaruudet ovat molemmat R 2 Olkoon a b T c d Tälle on oltava voimassa b 1 b 2 e 1 e 2 T mikä tarkoittaa b 1 e 1 T ja b 2 e 2 T Edelleen tämä on matriisimuodossa cos(ϕ) sin(ϕ) 1 a b sin(ϕ) cos(ϕ) 1 c d josta siis cos(ϕ) sin(ϕ) T sin(ϕ) cos(ϕ) Etsitään sitten S siten että e 1 e 2 b 1 b 2 S ja koska I e 1 e 2 niin tämä tarkoittaa että I e 1 e 2 b 1 b 2 S e 1 e 2 T S T S ja vastaavasti ST I S on T :n käänteismatriisi Relaatio T S I tarkoittaa että kiertämällä vektorit e 1 ja e 2 ensin kulman ϕ verran kellon positiiviseen kiertosuuntaan kertomalla ko vektorit T :llä niin matriisin S on kierrettävä käännetyt vektorit takaisin alkuperäisiin asentoihin e 1 ja e 2 Siispä S on kuten matriisi T paitsi ϕ korvattu ϕ:llä cos(ϕ) sin(ϕ) S sin(ϕ) cos(ϕ) ja voidaan todeta että todellakin T S ST I 6 Tutki mitkä seuraavista kuvauksista ovat lineaarisia a) F : R 2 R 2 se F (x y) (x 1) b) F : R 2 R 3 se F (x y) (x + y x 2x y) c) F : R R se F (x) ax + b missä a ja b ovat vakioita d) F : C( 1 R) R se F (f) f(t) dt missä merkintä C( 1 R) tarkoittaa välillä 1 Riemann integroituvia funktioita a) Olkoon (x 1 y 1 ) R 2 ja (x 2 y 2 ) R 2 Tällöin F ((x 1 y 1 )+(x 2 y 2 )) F ((x 1 +x 2 ) (y 1 +y 2 )) (x 1 +x 2 1) (x 1 )+(x 2 1) F (x 1 y 1 )+F (x 2 y 2 ) ei ole lineaarinen b) F ((x 1 y 1 ) + (x 2 y 2 )) F ((x 1 + x 2 ) (y 1 + y 2 )) (x 1 + x 2 1) (x 1 + x 2 + y 1 + y 2 x 1 + x 2 2((x 1 + x 2 ) (x 1 + y 1 x 1 2x 1 y 1 ) + (x 2 + y 2 x 2 2x 2 y 2 ) F (x 1 F (λ(x y)) F (λx λy) (λx + λy λx 2λx λy) (λ(x + y) λx λ(2x y)) λ(x + y x 2x y) λf (x y Eli on lineaarinen 6
c) F (x 1 + x 2 ) a(x 1 + x 2 ) + b (ax 1 + b) + ax 2 + F (x 1 ) + F (x 2 ) Eli ei ole lineaarinen d) F ((f+g)(x)) F (f(x)+g(x)) ja F ((λf)(x)) F (λf(x)) on lineaarinen f(x)+g(x) dx f(x) dx+ λf(x) dx λ g(x) dx F (f(x))+f (g(x)) f(x) dx λf (f(x)) 7