Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu. Puussa T on täsmälleen n 1 nuolta ja lisäksi jokaista särmää {x, y} E(T ) kohti on vähintään toinen ehdoista (x, y) E(G) ja (y, x) E(G) voimassa. Siten myös väite E(G) n 1 pätee. Olkoon seuraavaksi G sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, jonka solmujoukko on {1,..., n} ja jonka särmärelaatio on { (k, k + 1 ) : k { 1,..., n 1 } }. Toisin sanoen verkko G on n eri solmua sisältävä suunnattu polku. Verkko G on toispuoleisesti yhtenäinen, sillä joukon V (G ) jokaisella ehdon i j toteuttavalla osajoukolla {i, j} solmuja i ja j yhdistää suunnattu polku, jonka solmujoukko {k N : i k j} virittää. Lisäksi verkko G sisältää vain n 1 nuolta. b) Alkuperäistä tehtävänantoa vahvemmin oletetaan ehdon n 1 toteutuvan. Yhdestä solmusta koostuva suunnattu verkko on vahvasti yhtenäinen, mutta sillä ei ole yhtään nuolta. Toisaalta tyhjä suunnattu verkko ei sisällä yhtään solmua ja nuolta, jolloin myös haluttu väite toteutuu. Oletetaan väitteen n pätevän. Olkoon G jokin vahvasti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on n eri solmua. Erityisesti verkko G on nyt myös heikosti yhtenäinen. Olkoon T jokin verkon G S virittävä alipuu ja olkoon H sellainen verkon G aliverkko, joka sisältää jokaista puun T särmää e kohti täsmälleen yhden verkon G nuolen (x, y) siten, että ehto {x, y} = e on voimassa. Tällöin ehto H S = T toteutuu. Oletuksen n nojalla on olemassa jokin kaksio {a, b} V(G) siten, että ehto (a, b) E(H) toteutuu. Verkko G on vahvasti yhtenäinen, joten solmusta b lähtee jokin verkon G polku P siten, että solmu a on sen toinen päätepiste. Väite (a, b) / E(P) on voimassa, sillä muussa tapauksessa verkko P ei olisi solmusta b solmuun a kulkeva suunnattu polku. Verkko T on puu, joten särmän {a, b} poistaminen tekee siitä epäyhtenäisen. Tällöin tiedon H S = T perusteella nuolen (a, b) poistamisella verkosta H saatu 1
verkko ei ole heikosti yhtenäinen. Tiedon (a, b) / E(P) nojalla polku P ei siis ole verkon H aliverkko. Siten jokin polun P nuolista ei ole verkon H nuoli. Näin ollen verkossa G on vähintään n nuolta, sillä ehto E(H) = n 1 pätee. Olkoon G 3 sellainen verkko, joka saadaan edellisessä kohdassa määritellystä verkosta G nuolen (n, 1) lisäämisellä. Nyt jokainen verkon G 3 solmu sijaitsee solmusta 1 solmuun n kulkevalla suunnatulla polulla G sekä toisaalta solmusta n on myös solmuun 1 vievä nuoli. Verkko G 3 on siis vahvasti yhtenäinen. Lisäksi se sisältää vain n nuolta. Tehtävä 1 : Oletetaan hieman tehtävänantoa yleisemmin vain ehdon n 3 olevan voimassa. Olkoon G 1 sellainen suunnattu verkko, jonka solmujoukko on {1,..., n} ja jonka särmärelaatio on { (, ) } { (k, ) { } } 1 k + 1 : k,..., n 1. Tällöin verkko G 1 on heikosti yhtenäinen. Solmusta 1 ei lähde nuolta mihinkään verkon G 1 solmuun ja toisaalta vain solmusta lähtee solmuun 1 päättyvä nuoli. Lisäksi solmuun ei saavu yhtään verkon G 3 nuolta. Siten erityisesti solmujen 1 ja 3 välillä ei ole suunnattu polkua. Yhteensä n 1 nuolta sisältävä verkko G 1 ei siis ole toispuoleisesti yhtenäinen. Tehtävä 1 : 3 a) Oletetaan ehdon E(G) (n 1)(n ) + 1 olevan voimassa. Osoitetaan, että jokaisella kaksiolla {x, y} V(G) on itse asiassa sellainen suunnattu polku solmujen x ja y välillä, että sen varrella on korkeintaan kaksi nuolta. Tehdään nyt vastaoletus, että jollakin kaksiolla {a, b} V(G) kyseinen tilanne ei toteudu. Erityisesti siis ehdot (a, b) / E(G) ja (b, a) / E(G) ovat voimassa. Lisäksi jokaisella solmulla r V(G) \ {a, b} pätee, että joukossa { } (a, r), (r, a), (b, r), (r, b) E(G)
on korkeintaan kaksi alkiota. Toisaalta joukossa V (G) \ {a, b} on n solmua, joten kyseisen joukon virittämässä aliverkossa on enintään (n )(n 3) nuolta. Jokaisesta joukon V(G)\{a, b} alkiosta voi nimittäin lähteä enintään n 3 nuolta, sillä verkko G on silmukaton. Verkossa G on siis korkeintaan (n ) + (n )(n 3) eri nuolta. Ottamalla lausekkeessa luku n yhteiseksi tekijäksi havaitaan ehdon E(G) (n 1)(n ) olevan voimassa, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Verkon G jokaista solmuparia yhdistää siis jokin enintään kaksi nuolta sisältävä suunnattu polku. Erityisesti verkko G on toispuoleisesti yhtenäinen. Tehtävänannossa annettua toispuoleiseen yhtenäisyyteen tarvittavaa nuolten lukumäärän alarajaa ei yleisessä tapauksessa voida parantaa. Esimerkkinä toimii sellainen n solmua sisältävä verkko, jossa johonkin tasan n 1 solmua sisältävään täydelliseen ja silmukattomaan suunnattuun verkkoon on lisätty erakkosolmu. b) Oletetaan verkossa G olevan vähintään (n 1) + 1 nuolta ja osoitetaan sen olevan vahvasti yhtenäinen. Tehdään nyt vastaoletus, että verkko G ei ole vahvasti yhtenäinen. Vahvasti yhtenäiset komponentit muodostavat verkon solmujoukon osituksen, joten on olemassa verkon G vahvasti yhtenäinen komponentti C siten, että ehto V(C) V(G) toteutuu. Olkoon m verkon C solmujen lukumäärä. Silmukattomassa suunnatussa verkossa C on korkeintaan m(m 1) eri nuolta. Vastaavasti n m solmua sisältävässä suunnatussa verkossa G V(C) on enintään (n m)(n m 1) nuolta. Toisaalta jokaisella solmulla x V(C) ja jokaisella solmulla y V (G) \V(C) on solmujen x ja y välillä enintään yksi verkon G nuoli, sillä muussa tapauksessa solmut x ja y kuuluisivat samaan vahvasti yhtenäiseen komponenttiin. Näin ollen verkossa G on korkeintaan m(m 1) + (n m)(n m 1) + m(n m) eri nuolta. Laskemalla havaitaan tällöin ehdon E(G) n n + m nm olevan voimassa. Kyseessä on siis luvun m suhteen ylöspäin aukeava toisen asteen käyrä. Nyt tiedon m {1,..., n 1} nojalla kyseisen lausekkeen arvo on suurimmillaan 3
ehdon m {1, n 1} toteutuessa. Siten havainnon m nm = m(m n) mukaan väittämä E(G) (n 1) on voimassa vastoin alkuperäistä oletusta. Näin ollen verkko G on vahvasti yhtenäinen. Annettua vahvaan yhtenäisyyteen tarvittavaa nuolten lukumäärän alarajaa ei voida parantaa ilman muita oletuksia. Tarvittavana esimerkkinä voidaan käyttää sellaista verkkoa, jossa n 1 solmua sisältävään täydelliseen ja silmukattomaan suunnattuun verkkoon on lisätty jokin uusi solmu ja yhdistetty se nuolella verkon jokaiseen muuhun solmuun. Tehtävä 1 : 4 Turnauksen T jokaisen solmuparin välillä on määritelmän perusteella täsmälleen yksi nuoli. Verkon T särmärelaatiossa on näin ollen yhteensä ( n ) alkiota. Toisaalta jokainen nuoli lasketaan mukaan täsmälleen yhden solmun lähtöasteeseen, joten luku E(T ) on verkon T kaikkien solmujen lähtöasteiden summa. Tulosjonolta haluttu ehto s 0 + + s n 1 = ( n ) on siis voimassa. Olkoon toisaalta k joukon {1,..., n 1} alkio. Tällöin joukko {x 0,..., x k 1 } virittää turnauksen T aliverkon T k siten, että myös suunnattu verkko T k on turnaus. Joukon {x 0,..., x k 1 } jokaisesta solmusta lähtee verkossa T k ainakin yhtä monta nuolta kuin verkon T tapauksessa. Lisäksi verkossa T k on tasan ( k ) nuolta, jolloin vaatimus s 0 + + s k 1 ( k ) on voimassa. Tehtävä 1 : 5 Osoitetaan induktiolla luvun n Z + suhteen, että jokainen tehtävän 4 yhteydessä esitetyt ehdot toteuttava n alkiota sisältävä kasvava jono on jonkin n eri solmua sisältävän turnauksen tulosjono. Induktion alkuaskel toteutuu, sillä ehto ( 1 ) = 0 on voimassa. Tällöin ainoa tehtävän 4 ehdot toteuttava yhden alkion muodostama jono on yhden solmun muodostaman turnauksen tulosjono. Oletetaan induktio-oletuksena luvun n Z + olevan sellainen, että jokainen tehtävän 4 ehdot toteuttava n alkiota sisältävä kasvava jono on n solmua sisältävän 4
turnauksen tulosjono. Olkoon nyt (s 0,..., s n ) N n+1 sellainen kasvava jono, että se toteuttaa tehtävän 4 yhteydessä mainitut ehdot. Havaitaan väitteen ( n+1) ( = n ) ( + n ( 1) olevan voimassa. Luku n+1 ) nimittäin tarkoittaa niiden tapojen määrää, joilla n + 1 alkiota sisältävästä joukosta voidaan valita kaksi alkiota. Vaihtoehtoisten tapojen määrä on sama, jos kiinnitetään ensin tarkastellun joukon jokin alkio ja valitaan joko kaksi muuta alkiota tai kiinnitetty alkio sekä sen lisäksi jokin toinen alkio. Näin ollen oletuksen s 0 + +s n = ( n+1) perusteella saadaan tulos ( ) ( ) n + 1 n s 0 + + s n 1 = s n = + (n s n ). Toisaalta jono (s 0,..., s n ) on kasvava ja ehdot n sekä ( n+1) 1 toteutuvat, joten väite s n 1 pätee. Siten myös ehto n 1 n s n on voimassa. Edellisen päättelyn perusteella voidaan nyt valita luvuksi p pienin sellainen joukon {0,..., n s n } alkio, jolla jollakin luvulla m {p,..., n 1} on ehto ( ) m + 1 s 0 + + s m = + p voimassa. Jokin kyseisen ehdon toteuttava luku m pidetään jatkossa kiinnitettynä. Määritellään lukujono (r 0,..., r m ) Z m+1 siten, että jokaisella ehdon k p 1 toteuttavalla luvulla k N pätee r k = s k 1 ja että jokaisella k {p,..., m} ehto r k = s k on voimassa. Olkoon vastaavasti jono (r m+1,..., r n ) Z n m sellainen, että väite r n = s n + p m 1 pätee ja että jokaisella ehdot m + 1 k ja k n 1 toteuttavalla alkiolla k N on ehto r k = s k m 1 voimassa. Osoitetaan seuraavaksi, että jonot (r 0,..., r m ) ja (r m+1,..., r n ) ovat kasvavia jonoja, jotka toteuttavat tehtävässä 4 esitetyt ehdot. Jokaisella ehdon k p 1 toteuttavalla luvulla k N havaitaan väittämän ( ) k + 1 s 0 + + s k + k + 1 ) toteuttaisi toteutuvan, sillä muutoin lukua p pienempi luku (s 0 + + s k ) ( k+1 sellaiset ehdot, jotka minimaaliselta luvulta p oletettiin. Tällöin jokaisella ehdon k p 1 toteuttavalla luvulla k N saadaan tulos ( ) k + 1 r 0 + + r k = (s 0 1) + + (s k 1) 5
sekä huomataan samalla, että lukujono (r 0,..., r m ) on ei-negatiivisten alkioiden muodostama kasvava jono. Luvusta p tehdyn oletuksen mukaan luku ( m+1) on lisäksi kyseisen jonon jäsenten summana, joten jono toteuttaa tehtävän 4 ehdot. Edelleen luvusta p tehtyä oletusta käyttämällä havaitaan myös, että jokaisella ehdot m + 1 k ja k n 1 toteuttavalla alkiolla k N on väite ( ) k + 1 r m+1 + + r k + p (s 0 + + s m ) (k m)(m + 1) ( ) ( ) ( ) k + 1 m + 1 k m = (k m)(m + 1) = voimassa, sillä soveltamalla kombinatorista päättelyä jonkin kiinnitetyn k + 1 eri alkiota sisältävän joukon kaksialkioisten osajoukkojen lukumäärän laskemiseen voidaan huomata ehdon ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k + 1 m + 1 k m m + 1 k m = + + 1 1 toteutuvan. Erityisesti jonon (r m+1,..., r n ) kaikki jäsenet ovat ei-negatiivisia, sillä myös ehto p 0 pätee. Toisaalta kyseessä on kasvava jono. Lisäksi vaatimus r m+1 + + r n = s m+1 + + s n (n m)(m + 1) + p ( ) n + 1 = (s 0 + + s m ) (n m)(m + 1) + p ( ) ( ) ( ) n + 1 m + 1 n m = (n m)(m + 1) = on voimassa. Näin ollen jono (r m+1,..., r n ) toteuttaa kaikki tehtävän 4 yhteydessä esitetyt tulosjonon vaatimukset. Induktio-oletuksen perusteella on olemassa solmujoukkojensa osalta erilliset turnaukset T 1 ja T siten, että jono (r 1,..., r m ) on turnauksen T 1 tulosjono ja että jono (r m+1,..., r n ) on turnauksen T tulosjono. Olkoon nyt joukon V (T 1 ) V(T ) numerointi {x 0,..., x n } sellainen, että jokaisella luvulla k {0,..., n} solmu x k on tulosjonojen alkiota r k vastaava solmu. Määritellään lopuksi suunnattu verkko T turnausten T 1 ja T yhdisteenä siten, että jokaisella parilla (i, j) {0,..., m} {m + 1,..., n} pätee, että pari (x i, x j ) on mukana verkon T särmärelaatiossa, jos ehdoista i p 1 ja j = n molemmat 6
ovat voimassa, ja että muutoin pari (x j, x i ) on mukana verkon T särmärelaatiossa. Tällöin n + 1 solmua sisältävä suunnattu verkko T on turnaus. Edelleen jonojen (r 0,..., r m ) sekä (r m+1,..., r n ) alkuperäisiä määritelmiä tarkastelemalla voidaan havaita, että itse asiassa jono (s 0,..., s n ) on turnauksen T tulosjono. Induktioaskel on näin ollen käsitelty. Haluttu lopputulos pätee induktioperiaatteen nojalla. Tehtävä 1 : 6 Olkoon {x 0,..., x n 1 } turnauksen T solmujoukon numerointi tehtävän 4 tavoin siten, että jokaisella indeksillä l {0,..., n 1} luku s l on solmun x l lähtöaste. Oletetaan ensin, että turnaus T on vahvasti yhtenäinen. Olkoon tällöin luku k jokin mielivaltainen joukon {1,..., n 1} alkio. Solmujoukon {x 0,..., x k 1 } virittämä verkon T aliverkko T k on turnaus, jossa on yhteensä ( k ) nuolta. Verkko T on vahvasti yhtenäinen, jolloin solmusta x0 on solmuun x n 1 jokin verkon T suunnattu polku. Olkoon P tällainen polku. Nyt ehto x n 1 / V(T k ) toteutuu, joten polku P ei ole verkon T k polku. Tällöin jokin polun P nuolista kulkee jostakin joukon V(T k ) solmusta a johonkin joukon V(T ) \V(T k ) solmuun. Siten saadaan tulos s 0 + + s k 1 ( ) k + 1, sillä solmusta a joukon V(T k ) ulkopuolelle verkossa T lähtevä nuoli ei ole joukon E(T k ) alkio. Tehtävässä kysytyn väitteen ensimmäinen suunta on todistettu. Oletetaan seuraavaksi kääntäen, että jokaisella alkiolla k {1,..., n 1} on ehto s 0 + + s k 1 > ( k ) voimassa. Osoitetaan verkon T olevan tällöin vahvasti yhtenäinen olettamalla vastaoletuksena, että verkko T ei ole vahvasti yhtenäinen. Erityisesti verkolla T on ainakin kaksi vahvasti yhtenäistä komponenttia. Olkoon joukko C turnauksen T vahvasti yhtenäisten komponenttien kokoelma. Kurssin luennoilla on osoitettu, että on olemassa joukon C relaatio C siten, että relaatio C on joukon C lineaarijärjestys, jolla joukon C jokaisella kaksiolla {C, C } ja jokaisella parilla (r, s) V(C) V(C ) ehdot (r, s) E(T) ja C C C ovat keskenään yhtäpitävät. Olkoon C 0 joukon C pienin alkio lineaarijärjestyksen 7
C suhteen ja olkoon m verkon C 0 solmujen lukumäärä. Tiedon C 1 mukaan erityisesti ehdot m 1 ja m n 1 toteutuvat. Komponentista C 0 tehdyn oletuksen nojalla joukon V(C 0 ) ( V (T ) \V(C 0 ) ) jokaisella solmuparilla (r, s) on väite (r, s) E(T ) voimassa. Jokaisesta joukon V (C 0 ) solmusta lähtee siis vähintään n m nuolta. Joukon V(T )\V (C 0 ) jokaisesta solmusta lähtee vuorostaan enintään n m 1 nuolta, sillä määritelmän mukaan turnaukset ovat silmukattomia. Tulosjono (s 0,..., s n 1 ) on kasvava, joten väite V (T) \V(C 0 ) = { x 0,..., x n m 1 } on voimassa. Verkossa T joukon V(T ) \V (C 0 ) solmuista ei lähde yhtään nuolta joukon V (C 0 ) solmuihin, joten väite ( ) n m s 0 + + s n m 1 = on ristiriitaisesti voimassa. Näin ollen verkko T on vahvasti yhtenäinen ja haluttu yhtäpitävyys on osoitettu todeksi. 8