Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014

Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M237 Kurssin kotisivu https://noppa.oulu.fi/noppa/kurssi/802151p/etusivu Luennot Ti 9:15-12, Ke 9:15-12 ja Ke 9:15-12 salissa L7. Ohjausryhmä ti, ke ja to klo 12:15-14 salissa L7 (Vetäjä: Topi Törmä, topi.torma@oulu.fi, huone M239). 2 / 92

Kurssin opiskelusta Hox Hox a) Älä opettele asioita ulkoa. 3 / 92

Kurssin opiskelusta Hox Hox a) Älä opettele asioita ulkoa. b) Lue määritelmät tarkasti. Yritä liittää esitetty teoria aina johonkin esimerkkiin. 3 / 92

Kurssin opiskelusta Hox Hox a) Älä opettele asioita ulkoa. b) Lue määritelmät tarkasti. Yritä liittää esitetty teoria aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! Kysy kaverilta, kysy luennoitsijalta,... 3 / 92

Kurssin opiskelusta Hox Hox a) Älä opettele asioita ulkoa. b) Lue määritelmät tarkasti. Yritä liittää esitetty teoria aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! Kysy kaverilta, kysy luennoitsijalta,... d) Tee harjoitustehtäviä! 3 / 92

Kurssin opiskelusta Hox Hox a) Älä opettele asioita ulkoa. b) Lue määritelmät tarkasti. Yritä liittää esitetty teoria aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! Kysy kaverilta, kysy luennoitsijalta,... d) Tee harjoitustehtäviä! e) Tee yhteistyötä kurssikavereiden kanssa ja miettikää tehtäviä ja teoriaa yhdessä. 3 / 92

Kurssin suoritus Suoritus Kurssin suoritus loppukokeella (arvostelu hyväksytty/hylätty.). Loppukokeessa 4-5 tehtävää (max. 6p/tehtävä). Läpipääsyyn vaaditaan 2/3 maksimipisteistä. 4 / 92

Sisältö Kurssin asiakokonaisuuksia: 1 Todistamisesta (Suora todistus, epäsuora todistus, induktiotodistus) 2 Joukko-oppia 3 Funktiot 4 Injektiivisyys, surjektiivisyys 5 Yhdistetty kuvaus 6 Käänteiskuvaus 5 / 92

ESITIETOJA 6 / 92

Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {0, 1, 2, 3,...}. Merkintä n N tarkoittaa, että n kuuluu joukkoon N, ts. n on joukon N alkio eli n on luonnollinen luku. Luonnollisten lukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi: kahden luonnollisen luvun tulo ja summa ovat luonnollisia lukuja. 7 / 92

Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {0, 1, 2, 3,...}. Merkintä n N tarkoittaa, että n kuuluu joukkoon N, ts. n on joukon N alkio eli n on luonnollinen luku. Luonnollisten lukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi: kahden luonnollisen luvun tulo ja summa ovat luonnollisia lukuja. Määritelmä 1 Luonnollinen luku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k N, että n = 2k, ja pariton, jos on olemassa sellainen l N, että n = 2l + 1. 7 / 92

Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {0, 1, 2, 3,...}. Merkintä n N tarkoittaa, että n kuuluu joukkoon N, ts. n on joukon N alkio eli n on luonnollinen luku. Luonnollisten lukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi: kahden luonnollisen luvun tulo ja summa ovat luonnollisia lukuja. Määritelmä 1 Luonnollinen luku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k N, että n = 2k, ja pariton, jos on olemassa sellainen l N, että n = 2l + 1. Huomautus 1 Jokainen luonnollinen luku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa luonnollista lukua, joka on parillinen ja pariton. 7 / 92

Määritelmä 2 (i) Olkoot n, m N. Luku m on jaollinen luvulla n, jos on olemassa sellainen k N, että m = kn. 8 / 92

Määritelmä 2 (i) Olkoot n, m N. Luku m on jaollinen luvulla n, jos on olemassa sellainen k N, että m = kn. (ii) Luonnollinen luku m on alkuluku, jos m 2 ja jos m on jaollinen ainoastaan luvuilla 1 ja m. 8 / 92

Määritelmä 2 (i) Olkoot n, m N. Luku m on jaollinen luvulla n, jos on olemassa sellainen k N, että m = kn. (ii) Luonnollinen luku m on alkuluku, jos m 2 ja jos m on jaollinen ainoastaan luvuilla 1 ja m. Merkitään kokonaislukujen joukkoa symbolilla Z, ts. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. 8 / 92

Määritelmä 2 (i) Olkoot n, m N. Luku m on jaollinen luvulla n, jos on olemassa sellainen k N, että m = kn. (ii) Luonnollinen luku m on alkuluku, jos m 2 ja jos m on jaollinen ainoastaan luvuilla 1 ja m. Merkitään kokonaislukujen joukkoa symbolilla Z, ts. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}. Kokonaisluku n on parillinen, jos on olemassa sellainen k Z, että n = 2k, ja pariton, jos on olemassa sellainen l Z, että n = 2l + 1. (Vertaa määritelmä 1.) 8 / 92

Määritelmä 3 Reaaliluku x on rationaaliluku, jos on olemassa sellaiset n, m Z, että n 0 ja x = m n. Reaalilukua, joka ei ole rationaaliluku, sanotaan irrationaaliluvuksi. 9 / 92

Määritelmä 3 Reaaliluku x on rationaaliluku, jos on olemassa sellaiset n, m Z, että n 0 ja x = m n. Reaalilukua, joka ei ole rationaaliluku, sanotaan irrationaaliluvuksi. Rationaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla Q ja reaalilukujen joukkoa symbolilla R. (Reaalilukuja ei tällä kurssilla määritellä, ne ajatellaan lukusuoran pisteinä.) Rationaalilukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi. 9 / 92

Määritelmä 3 Reaaliluku x on rationaaliluku, jos on olemassa sellaiset n, m Z, että n 0 ja x = m n. Reaalilukua, joka ei ole rationaaliluku, sanotaan irrationaaliluvuksi. Rationaalilukujen joukkoa merkitään symbolilla Q ja reaalilukujen joukkoa symbolilla R. (Reaalilukuja ei tällä kurssilla määritellä, ne ajatellaan lukusuoran pisteinä.) Rationaalilukujen laskutoimitukset oletetaan tunnetuiksi. Huomautus 2 Jokainen kokonaisluku on joko parillinen tai pariton, ts. ei ole olemassa kokonaislukua, joka on parillinen ja pariton. 9 / 92

TODISTAMISESTA 10 / 92

Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: Jos P on totta, niin Q on totta. 11 / 92

Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: Jos P on totta, niin Q on totta. Tässä ehtoa P kutsutaan oletukseksi ja ehtoa Q väitteeksi. Jos yo. väitelause on totta, sanotaan, että ehdosta P seuraa ehto Q tai että ehto P on riittävä ehto ehdolle Q 11 / 92

Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: Jos P on totta, niin Q on totta. Tässä ehtoa P kutsutaan oletukseksi ja ehtoa Q väitteeksi. Jos yo. väitelause on totta, sanotaan, että ehdosta P seuraa ehto Q tai että ehto P on riittävä ehto ehdolle Q Usein merkitään lyhentäen myös P Q. Nuolta kutsutaan implikaationuoleksi. Merkintä P Q luetaan joko P:stä seuraa Q tai P implikoi Q:n. 11 / 92

Todistamisesta Esimerkki 4 1 Jos x 0 (oletus), niin x 0 (väite). 12 / 92

Todistamisesta Esimerkki 4 1 Jos x 0 (oletus), niin x 0 (väite). 2 Jos n on parillinen luonnollinen luku (oletus), niin n 2 on parillinen luonnollinen luku (väite). 12 / 92

Todistamisesta Esimerkki 4 1 Jos x 0 (oletus), niin x 0 (väite). 2 Jos n on parillinen luonnollinen luku (oletus), niin n 2 on parillinen luonnollinen luku (väite). 3 Olkoot n ja m parittomia luonnollisia lukuja (oletus). Tällöin mn on pariton luonnollinen luku (väite). 12 / 92

Todistamisesta Esimerkki 4 1 Jos x 0 (oletus), niin x 0 (väite). 2 Jos n on parillinen luonnollinen luku (oletus), niin n 2 on parillinen luonnollinen luku (väite). 3 Olkoot n ja m parittomia luonnollisia lukuja (oletus). Tällöin mn on pariton luonnollinen luku (väite). 4 Kahden parillisen luonnollisen luvun tulo on parillinen. 12 / 92

Todistamisesta Esimerkki 4 1 Jos x 0 (oletus), niin x 0 (väite). 2 Jos n on parillinen luonnollinen luku (oletus), niin n 2 on parillinen luonnollinen luku (väite). 3 Olkoot n ja m parittomia luonnollisia lukuja (oletus). Tällöin mn on pariton luonnollinen luku (väite). 4 Kahden parillisen luonnollisen luvun tulo on parillinen. Oletus: n ja m ovat parillisia luonnollisia lukuja. Väite: nm on parillinen. 12 / 92

Todistamisesta Kysymys Mikä on todistus? 13 / 92

Todistamisesta Kysymys Mikä on todistus? Väitelauseen todistus kertoo, miksi ja miten väite seuraa oletuksista. Tarkastellaan seuraavaksi, miten väitelauseita todistetaan. 13 / 92

Suora todistus Suora todistus Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja edetään vaiheittain väitteeseen. Päättelyn jokainen välivaihe on pystyttävä perustelemaan ja käytettävät käsitteet on määriteltävä tarkasti. Perusteluissa käytetään oletusta, aiemmin todistettuja lauseita tai muita tunnettuja tosiasioita. 14 / 92

Suora todistus Esimerkki 5 Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Todistus. 15 / 92

Suora todistus Esimerkki 5 Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N ja l N, että n = 2m + 1 ja k = 2l + 1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, että n + k = 2p. Todistus. 15 / 92

Suora todistus Esimerkki 5 Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N ja l N, että n = 2m + 1 ja k = 2l + 1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, että n + k = 2p. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen p N, että n + k = 2p. 15 / 92

Suora todistus Esimerkki 5 Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N ja l N, että n = 2m + 1 ja k = 2l + 1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, että n + k = 2p. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen p N, että n + k = 2p. Oletuksen perusteella joten n + k = (2m + 1) + (2l + 1) = 2(m + l + 1), 15 / 92

Suora todistus Esimerkki 5 Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N ja l N, että n = 2m + 1 ja k = 2l + 1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, että n + k = 2p. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen p N, että n + k = 2p. Oletuksen perusteella n + k = (2m + 1) + (2l + 1) = 2(m + l + 1), joten n + k = 2p, kun valitaan p = m + l + 1 N. Siis n + k on parillinen. 15 / 92

Suora todistus Esimerkki 6 Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. Todistus. 16 / 92

Suora todistus Esimerkki 6 Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, että n = 2k. Todistus. 16 / 92

Suora todistus Esimerkki 6 Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, että n = 2k. Väite: n 2 on parillinen, ts. on olemassa sellainen l N, että n 2 = 2l. Todistus. 16 / 92

Suora todistus Esimerkki 6 Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, että n = 2k. Väite: n 2 on parillinen, ts. on olemassa sellainen l N, että n 2 = 2l. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen l N, että n 2 = 2l. 16 / 92

Suora todistus Esimerkki 6 Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, että n = 2k. Väite: n 2 on parillinen, ts. on olemassa sellainen l N, että n 2 = 2l. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen l N, että n 2 = 2l. Oletuksesta saadaan joten n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ), 16 / 92

Suora todistus Esimerkki 6 Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, että n = 2k. Väite: n 2 on parillinen, ts. on olemassa sellainen l N, että n 2 = 2l. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen l N, että n 2 = 2l. Oletuksesta saadaan n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ), joten valitsemalla l = 2k 2 = (2k)k N nähdään, että n 2 on parillinen. 16 / 92

Suora todistus Huomautus 3 Seuraava taulukko ei kelpaa todistukseksi, sillä kaikkia parillisia lukuja ja niiden neliöitä ei ole mahdollista taulukoida: n n 2 2 4 4 16 6 36.. 17 / 92

Suora todistus Huomautus 3 Seuraava taulukko ei kelpaa todistukseksi, sillä kaikkia parillisia lukuja ja niiden neliöitä ei ole mahdollista taulukoida: n n 2 2 4 4 16 6 36.. Huomautus 4 Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja päädytään väitteeseen. Päättelyssä voidaan käyttää oletusta ja tunnettuja tuloksia, väitettä ei saa käyttää. 17 / 92

Epäsuora todistus Epäsuorassa todistuksessa muodostetaan aluksi antiteesi, ts. oletetaan, että väite ei pidä paikkaansa, ja päädytään ristiriitaan joko oletusten tai tunnettujen tosiasioiden kanssa. Näin ollen väitteen on oltava totta. 18 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. Antiteesi: 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. Antiteesi: n ei ole parillinen, ts. n on pariton. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. Antiteesi: n ei ole parillinen, ts. n on pariton. Antiteesin perusteella löydetään sellainen k N, että n = 2k + 1. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. Antiteesi: n ei ole parillinen, ts. n on pariton. Antiteesin perusteella löydetään sellainen k N, että n = 2k + 1. Nyt n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k } 2 {{ + 2k } ) + 1, merk.m missä m = 2k 2 + 2k N. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. Antiteesi: n ei ole parillinen, ts. n on pariton. Antiteesin perusteella löydetään sellainen k N, että n = 2k + 1. Nyt n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k } 2 {{ + 2k } ) + 1, merk.m missä m = 2k 2 + 2k N. Siis n 2 on pariton. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 7 Osoita, että jos n 2 on parillinen, niin n on parillinen. Oletus: n 2 on parillinen. Väite: n on parillinen. Todistus. Antiteesi: n ei ole parillinen, ts. n on pariton. Antiteesin perusteella löydetään sellainen k N, että n = 2k + 1. Nyt n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k } 2 {{ + 2k } ) + 1, merk.m missä m = 2k 2 + 2k N. Siis n 2 on pariton. Tämä on ristiriita, sillä oletuksen mukaan n 2 on parillinen. Näin ollen antiteesi on epätosi ja väite on totta. 19 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 8 Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Osoita, että tällöin sekä n että m ovat parittomia. 20 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 8 Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Osoita, että tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. 20 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 8 Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Osoita, että tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. 20 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 8 Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Osoita, että tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus. Antiteesi: 20 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 8 Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Osoita, että tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus. Antiteesi: Toinen luvuista on parillinen. 20 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 8 Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Osoita, että tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus. Antiteesi: Toinen luvuista on parillinen. Olkoon tämä parillinen luku n, ts. n = 2k jollakin k N. 20 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 8 Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Osoita, että tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus. Antiteesi: Toinen luvuista on parillinen. Olkoon tämä parillinen luku n, ts. n = 2k jollakin k N. Nyt nm = 2km on parillinen, mikä on ristiriita, sillä oletuksen perusteella nm on pariton. 20 / 92

Epäsuora todistus Esimerkki 8 Olkoot m ja n luonnollisia lukuja, joiden tulo on pariton. Osoita, että tällöin sekä n että m ovat parittomia. Oletus: m ja n ovat luonnollisia lukuja ja nm on pariton. Väite: sekä n että m ovat parittomia. Todistus. Antiteesi: Toinen luvuista on parillinen. Olkoon tämä parillinen luku n, ts. n = 2k jollakin k N. Nyt nm = 2km on parillinen, mikä on ristiriita, sillä oletuksen perusteella nm on pariton. Siis antiteesi on epätosi ja väite on totta. 20 / 92

Epäsuora todistus Huomautus 5 1 Epäsuorassa päättelyssä antiteesin muodostaminen on tärkeää: on mietittävä huolellisesti, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. Antiteesin muodostamiseen palataan myöhemmin. 21 / 92

Epäsuora todistus Huomautus 5 1 Epäsuorassa päättelyssä antiteesin muodostaminen on tärkeää: on mietittävä huolellisesti, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. Antiteesin muodostamiseen palataan myöhemmin. 2 Epäsuorassa todistuksessa ei ole selvää, mistä ja miten ristiriita löydetään. 21 / 92

Epäsuora todistus Huomautus 5 1 Epäsuorassa päättelyssä antiteesin muodostaminen on tärkeää: on mietittävä huolellisesti, mitä tarkoittaa se, että väite ei olisikaan totta. Antiteesin muodostamiseen palataan myöhemmin. 2 Epäsuorassa todistuksessa ei ole selvää, mistä ja miten ristiriita löydetään. 3 Aikaisemmassa esimerkissä (Esim. 6) osoitettiin, että SIIS... n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Lisäksi osoitettiin, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). 21 / 92

Siis... Nämä kaksi väitelausetta voidaan yhdistää ja kirjoittaa muodossa n on parillinen n 2 on parillinen. Nuolta kutsutaan ekvivalenssinuoleksi, ja merkintä luetaan joko n on pariton, jos ja vain jos n 2 on pariton tai n on pariton, täsmälleen silloin, kun n 2 on pariton. Merkintä P Q tarkoittaa siis (P Q) ja (Q P). 22 / 92

Esimerkki 9 Osoita, että luonnollinen luku n on parillinen, jos ja vain jos luonnollinen luku n + 1 on pariton. Todistus. (Luennolla) 23 / 92

Esimerkki 9 Osoita, että luonnollinen luku n on parillinen, jos ja vain jos luonnollinen luku n + 1 on pariton. Todistus. (Luennolla) Esimerkki 10 1 Osoita, että luonnollinen luku n on jaollinen luvulla 6, jos ja vain jos se on jaollinen sekä luvuilla 2 että 3. Todistus. (Luennolla) 2 Osoita, että 2 on irrationaaliluku. (Pythagoras n. 550 eaa.) Todistus. (Luennolla) 3 Olkoon n Z pariton. Osoitetaan sekä suoraa että epäsuoraa todistusta käyttäen, että 5n 3 on parillinen kokonaisluku. Todistus. (Luennolla) 23 / 92

Antiteesin muodostaminen Antiteesi Antiteesi eli vastaväite on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. 24 / 92

Antiteesin muodostaminen Antiteesi Antiteesi eli vastaväite on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Huomio Väite ja antiteesi yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset tilanteet. Epäsuorassa todistuksessa antiteesi on lisäoletus, jota hyödynnetään ristiriitaan pyrittäessä. Väite on totta täsmälleen silloin, kun antiteesi ei ole totta, ts. väite on tosi antiteesi on epätosi. 24 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. Antiteesi: ei sada ja ei tuule. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. Antiteesi: ei sada ja ei tuule. (4) Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. Antiteesi: ei sada ja ei tuule. (4) Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. Antiteesi: on olemassa syyspäivä, joka ei ole aurinkoinen tai ei ole tuulinen. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. Antiteesi: ei sada ja ei tuule. (4) Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. Antiteesi: on olemassa syyspäivä, joka ei ole aurinkoinen tai ei ole tuulinen. (5) Väite: on olemassa syyspäivä, jolloin tuulee tai sataa. 25 / 92

Esimerkki 11 Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteille. Huomaa, miten sanat ja, tai, kaikki ja on olemassa muuttuvat antiteesiä muodostettaessa. (1) Väite: tänään on pilvistä. Antiteesi: tänään ei ole pilvistä. (2) Väite: aurinko paistaa ja tuulee. Antiteesi: aurinko ei paista tai ei tuule. (3) Väite: sataa tai tuulee. Antiteesi: ei sada ja ei tuule. (4) Väite: kaikki syyspäivät ovat aurinkoisia ja tuulisia. Antiteesi: on olemassa syyspäivä, joka ei ole aurinkoinen tai ei ole tuulinen. (5) Väite: on olemassa syyspäivä, jolloin tuulee tai sataa. Antiteesi: kaikki syyspäivät ovat tuulettomia ja sateettomia. 25 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Antiteesi: x 0 tai x > 1. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Antiteesi: x 0 tai x > 1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Antiteesi: x 0 tai x > 1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. Antiteesi: ei ole olemassa sellaista lukua k N, että x = 2k + 1, ts. kaikille luvuille k N pätee x 2k + 1. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Antiteesi: x 0 tai x > 1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. Antiteesi: ei ole olemassa sellaista lukua k N, että x = 2k + 1, ts. kaikille luvuille k N pätee x 2k + 1. (4) Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että nm + 1 N. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Antiteesi: x 0 tai x > 1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. Antiteesi: ei ole olemassa sellaista lukua k N, että x = 2k + 1, ts. kaikille luvuille k N pätee x 2k + 1. (4) Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että nm + 1 N. Antiteesi: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee nm + 1 / N. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Antiteesi: x 0 tai x > 1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. Antiteesi: ei ole olemassa sellaista lukua k N, että x = 2k + 1, ts. kaikille luvuille k N pätee x 2k + 1. (4) Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että nm + 1 N. Antiteesi: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee nm + 1 / N. (5) Väite: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee m n ja mn N. 26 / 92

Esimerkki 12 Olkoon x R. Muodostetaan antiteesit seuraaville väitteillle. (1) Väite: x 1. Antiteesi: x > 1. (2) Väite: 0 < x 1, ts. x > 0 ja x 1. Antiteesi: x 0 tai x > 1. (3) Väite: on olemassa sellainen k N, että x = 2k + 1. Antiteesi: ei ole olemassa sellaista lukua k N, että x = 2k + 1, ts. kaikille luvuille k N pätee x 2k + 1. (4) Väite: kaikille n N on olemassa sellainen m N, että nm + 1 N. Antiteesi: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee nm + 1 / N. (5) Väite: on olemassa sellainen n N, että kaikille m N pätee m n ja mn N. Antiteesi: kaikilla n N on olemassa sellainen m N, että n = m tai nm / N. 26 / 92

Esimerkki 13 Todista suoraa ja epäsuoraa päättelyä käyttäen väitelause: jos x R ja x 2 3x + 2 < 0, niin x > 0. 27 / 92

Huomautus 6 1 Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden avulla: kaikki (All) on olemassa (Exist). 28 / 92

Huomautus 6 1 Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden avulla: kaikki (All) on olemassa (Exist). 2 Antiteesiä muodostettaessa sanat ja, tai sekä kvanttorit ja vaihtuvat. 28 / 92

Huomautus 6 1 Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden avulla: kaikki (All) on olemassa (Exist). 2 Antiteesiä muodostettaessa sanat ja, tai sekä kvanttorit ja vaihtuvat. 3 Matematiikassa tai ei ole joko-tai. Siis P on tosi tai Q on tosi tarkoittaa (i) P tosi, Q epätosi, (ii) P epätosi, Q tosi tai (iii) P tosi, Q tosi. 28 / 92

Huomautus 6 1 Matemaattista tekstiä voidaan tiivistää nk. kvanttoreiden avulla: kaikki (All) on olemassa (Exist). 2 Antiteesiä muodostettaessa sanat ja, tai sekä kvanttorit ja vaihtuvat. 3 Matematiikassa tai ei ole joko-tai. Siis P on tosi tai Q on tosi tarkoittaa (i) P tosi, Q epätosi, (ii) P epätosi, Q tosi tai (iii) P tosi, Q tosi. 4 Monesti kvanttoreita ei kuitenkaan käytetä matemaattista tekstiä kirjoitettaessa (esim. esitelmät, kirjat, yms.). 28 / 92

KUINKA OSOITETAAN, ETTÄ VÄITE EI OLE TOTTA? 29 / 92

Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. 30 / 92

Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. Esimerkki 14 Osoita, että ao. väitelauseet eivät ole tosia. 1 Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. 30 / 92

Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. Esimerkki 14 Osoita, että ao. väitelauseet eivät ole tosia. 1 Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. Ratkaisu. Väite ei ole totta, sillä 1 ja 2 ovat negatiivisia kokonaislukuja, mutta 1 ( 2) = 1 on positiivinen kokonaisluku. 30 / 92

Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. Esimerkki 14 Osoita, että ao. väitelauseet eivät ole tosia. 1 Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. Ratkaisu. Väite ei ole totta, sillä 1 ja 2 ovat negatiivisia kokonaislukuja, mutta 1 ( 2) = 1 on positiivinen kokonaisluku. 2 Jos x on irrationaaliluku, niin x x on irrationaaliluku. 30 / 92

Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. Esimerkki 14 Osoita, että ao. väitelauseet eivät ole tosia. 1 Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. Ratkaisu. Väite ei ole totta, sillä 1 ja 2 ovat negatiivisia kokonaislukuja, mutta 1 ( 2) = 1 on positiivinen kokonaisluku. 2 Jos x on irrationaaliluku, niin x x on irrationaaliluku. Ratkaisu. Väite ei ole totta, sillä 2 on irrationaaliluku, mutta x x = 2 2 = 2 ei ole irrationaaliluku. 30 / 92

Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Esimerkki 15 1 Olkoot n, m N. Jos n + m on parillinen, niin joko n ja m ovat molemmat parillisia tai n ja m ovat molemmat parittomia. 2 Lukua 512 ei voida esittää yhden parittoman ja kahden parillisen luonnollisen luvun summana. 3 Olkoot n, m ja k luonnollisia lukuja. Onko väite totta? jos m + k on jaollinen n:llä, niin m on jaollinen n:llä tai k on jaollinen n:llä 4 Olkoot n, m ja k luonnollisia lukuja. Onko väite totta? jos m on jaollinen n:llä ja k on jaollinen n:llä, niin m + k on jaollinen n:llä 5 Osoita, että on olemassa sellaiset irrationaaliluvut x ja y, että x y on rationaaliluku. 31 / 92

INDUKTIOTODISTUS 32 / 92

Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa mm. luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0, 1, 2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. 33 / 92

Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa mm. luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0, 1, 2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Induktioperiaate Todistuksessa on kaksi vaihetta: (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 0. (ii) Oletetaan, että väite on totta, kun n = k (tätä kutsutaan induktio-oletukseksi), ja osoitetaan, että se on totta, kun n = k + 1 (tätä kutsutaan induktioväitteeksi). 33 / 92

Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa mm. luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0, 1, 2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Induktioperiaate Todistuksessa on kaksi vaihetta: (i) Osoitetaan, että väite on totta, kun n = 0. (ii) Oletetaan, että väite on totta, kun n = k (tätä kutsutaan induktio-oletukseksi), ja osoitetaan, että se on totta, kun n = k + 1 (tätä kutsutaan induktioväitteeksi). Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että väite on totta kaikilla n = 0, 1, 2,..., sillä kohdan (i) perusteella väite on totta, kun n = 0, joten kohdan (ii) perusteella väite on totta, kun n = 1. Edelleen kohdan (ii) perusteella väite totta, kun n = 2 jne. 33 / 92

Induktiotodistus Huomautus 7 Induktion ei tarvitse välttämättä alkaa luvusta n = 0: induktion avulla voidaan todistaa myös muotoa väite P(n) on totta kaikille n = n 0, n 0 + 1, n 0 + 2,... oleva väite, kun n 0 N. 34 / 92

Induktiotodistus Esimerkki 16 Osoita, että 1 + 3 +... + (2n 1) = n 2 kaikilla n = 1, 2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. 35 / 92

Induktiotodistus Esimerkki 16 Osoita, että 1 + 3 +... + (2n 1) = n 2 kaikilla n = 1, 2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruuus on voimassa, kun n = 1: 35 / 92

Induktiotodistus Esimerkki 16 Osoita, että 1 + 3 +... + (2n 1) = n 2 kaikilla n = 1, 2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruuus on voimassa, kun n = 1: Vasen puoli: 1 35 / 92

Induktiotodistus Esimerkki 16 Osoita, että 1 + 3 +... + (2n 1) = n 2 kaikilla n = 1, 2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruuus on voimassa, kun n = 1: Vasen puoli: 1 Oikea puoli: 1 2 = 1. 35 / 92

Induktiotodistus Esimerkki 16 Osoita, että 1 + 3 +... + (2n 1) = n 2 kaikilla n = 1, 2,.... Todistus. Todistetaan väite induktiota käyttäen. (i) Tarkistetaan, että yhtäsuuruuus on voimassa, kun n = 1: Vasen puoli: 1 Oikea puoli: 1 2 = 1. Siis väite pätee kun n = 1. 35 / 92

Induktiotodistus (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. 36 / 92

Induktiotodistus (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. 36 / 92

Induktiotodistus (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. Induktioväite: 1 + 3 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. 36 / 92

Induktiotodistus (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. Induktioväite: 1 + 3 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. Induktioväitteen todistus. 36 / 92

Induktiotodistus (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. Induktioväite: 1 + 3 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. Induktioväitteen todistus. Lähdetään liikkeelle induktioväitteen vasemmalta puolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan 36 / 92

Induktiotodistus (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. Induktioväite: 1 + 3 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. Induktioväitteen todistus. Lähdetään liikkeelle induktioväitteen vasemmalta puolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan =k 2 (induktio-oletus) {}}{ 1 + 3 +... + (2k 1) +(2(k + 1) 1) = k 2 + 2(k + 1) 1 = k 2 + 2k + 2 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. 36 / 92

Induktiotodistus (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. Induktioväite: 1 + 3 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. Induktioväitteen todistus. Lähdetään liikkeelle induktioväitteen vasemmalta puolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan =k 2 (induktio-oletus) {}}{ 1 + 3 +... + (2k 1) +(2(k + 1) 1) = k 2 + 2(k + 1) 1 = k 2 + 2k + 2 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. Näin päädyttiin induktioväitteen oikealle puolelle. 36 / 92

Induktiotodistus (ii) Oletetaan, että väite pätee, kun n = k, ja osoitetaan, että väite pätee, kun n = k + 1. Induktio-oletus: 1 + 3 +... + (2k 1) = k 2. Induktioväite: 1 + 3 +... + (2k 1) + (2(k + 1) 1) = (k + 1) 2. Induktioväitteen todistus. Lähdetään liikkeelle induktioväitteen vasemmalta puolelta. Induktio-oletusta käyttäen saadaan =k 2 (induktio-oletus) {}}{ 1 + 3 +... + (2k 1) +(2(k + 1) 1) = k 2 + 2(k + 1) 1 = k 2 + 2k + 2 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2. Näin päädyttiin induktioväitteen oikealle puolelle. Siis induktioväite on tosi. Induktioperiaatteen perusteella väite on tosi kaikille n = 1, 2,.... 36 / 92

Summamerkintä Merkintä Olkoot a 1, a 2,..., a n R. Merkitään n a j = a 1 + a 2 +... + a n. j=1 37 / 92

Summamerkintä Merkintä Olkoot a 1, a 2,..., a n R. Merkitään n a j = a 1 + a 2 +... + a n. j=1 Esimerkki 17 (1) 3 2 i = 2 1 + 2 2 + 2 3 i=1 37 / 92

Summamerkintä Merkintä Olkoot a 1, a 2,..., a n R. Merkitään n a j = a 1 + a 2 +... + a n. j=1 Esimerkki 17 (1) (2) 3 2 i = 2 1 + 2 2 + 2 3 i=1 l a k = a + a 2 +... + a l j=1 37 / 92

Summamerkintä (4) m m a2 k = a 2 k = a(2 + 4 + 8 +... + 2 m ) k=1 k=1 Huomaa, että a ei riipu summausindeksistä k, joten sen saa viedä -merkin eteen. 38 / 92

Summamerkintä (4) (5) m m a2 k = a 2 k = a(2 + 4 + 8 +... + 2 m ) k=1 k=1 Huomaa, että a ei riipu summausindeksistä k, joten sen saa viedä -merkin eteen. p (αx j + βjy j+1 ) = α j=1 p x j + β j=1 p j=1 jy j+1 = α(x + x 2 +... + x p ) + β(y 2 + 2y 3 +... + py p+1 ). 38 / 92

Summamerkintä (4) (5) m m a2 k = a 2 k = a(2 + 4 + 8 +... + 2 m ) k=1 k=1 Huomaa, että a ei riipu summausindeksistä k, joten sen saa viedä -merkin eteen. p (αx j + βjy j+1 ) = α j=1 p x j + β j=1 p j=1 jy j+1 = α(x + x 2 +... + x p ) + β(y 2 + 2y 3 +... + py p+1 ). (6) n (2j 1) = 1 + 3 +... + (2n 1) j=1 38 / 92

Induktiotodistus (7) Tarkastellaan geometrisen sarjan osasummia: Olkoon b sellainen reaaliluku, että b 0 ja b 1. Merkitään S n = n b j. j=0 Osoita, että kaikilla n = 0, 1, 2,.... Todistus. (Luennolla) S n = bn+1 1 b 1 39 / 92

Induktiotodistus (8) Osoita, että 3 n > 2n kaikilla n = 1, 2,.... Todistus. (Luennolla) (9) Osoita, että äärellisen monen rationaaliluvun q 1, q 2,..., q n summa q 1 + q 2 +... + q n on rationaaliluku. Todistus. (Luennolla) 40 / 92

JOUKKO-OPPIA 41 / 92

Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin keskeisimpiä käsitteitä ja harjoitellaan matemaattista päättelyä niitä käyttäen. Joukko koostuu alkioista ja jokaisesta alkiosta on pystyttävä sanomaan, kuuluuko se tiettyyn joukkoon. 42 / 92

Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin keskeisimpiä käsitteitä ja harjoitellaan matemaattista päättelyä niitä käyttäen. Joukko koostuu alkioista ja jokaisesta alkiosta on pystyttävä sanomaan, kuuluuko se tiettyyn joukkoon. Merkintä Mitä tarkoittaa? x A x on joukon A alkio, ts. x kuuluu joukkoon A y / A y ei ole joukon A alkio, ts. y ei kuulu joukkoon A {x P(x)} niiden alkioiden joukko, joilla on ominaisuus P(x) tyhjä joukko eli joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota 42 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 18 (1) 1 {1, 2}, 2 {1, 2}, 0 / {1, 2} 43 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 18 (1) 1 {1, 2}, 2 {1, 2}, 0 / {1, 2} (2) {n N 0 < n < 5} = {1, 2, 3, 4} 43 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 18 (1) 1 {1, 2}, 2 {1, 2}, 0 / {1, 2} (2) {n N 0 < n < 5} = {1, 2, 3, 4} (3) {0, 1} = {0, 0, 1} = {1, 0} 43 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 18 (1) 1 {1, 2}, 2 {1, 2}, 0 / {1, 2} (2) {n N 0 < n < 5} = {1, 2, 3, 4} (3) {0, 1} = {0, 0, 1} = {1, 0} (4) {1}, sillä 1 {1}. 43 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 18 (1) 1 {1, 2}, 2 {1, 2}, 0 / {1, 2} (2) {n N 0 < n < 5} = {1, 2, 3, 4} (3) {0, 1} = {0, 0, 1} = {1, 0} (4) {1}, sillä 1 {1}. (5) { }, sillä on joukon { } alkio. 43 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 19 Joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio, ts. jos x A, niin x B. Tällöin merkitään A B (tai A B). Lisäksi jos halutaan korostaa, että joukko A on joukon B on aito osajoukko (ts. joukossa B on alkioita, mitkä eivät kuulu joukkoon A), niin merkitään A B. 44 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 19 Joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio, ts. jos x A, niin x B. Tällöin merkitään A B (tai A B). Lisäksi jos halutaan korostaa, että joukko A on joukon B on aito osajoukko (ts. joukossa B on alkioita, mitkä eivät kuulu joukkoon A), niin merkitään A B. Huomautus 8 1) Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. (Huom. Miten siis osoitat joukot samoiksi?) 44 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 19 Joukko A on joukon B osajoukko, jos jokainen joukon A alkio on myös joukon B alkio, ts. jos x A, niin x B. Tällöin merkitään A B (tai A B). Lisäksi jos halutaan korostaa, että joukko A on joukon B on aito osajoukko (ts. joukossa B on alkioita, mitkä eivät kuulu joukkoon A), niin merkitään A B. Huomautus 8 1) Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. (Huom. Miten siis osoitat joukot samoiksi?) 2) Joukko A ei ole joukon B osajoukko, jos joukossa A on sellainen alkio, joka ei kuulu joukkoon B, ts. jos on olemassa sellainen a A, että a / B. Tällöin merkitään A B. 44 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 20 (1) {1, 2}, {1} {1, 2}, {2} {1, 2} ja {1, 2} {1, 2} 45 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 20 (1) {1, 2}, {1} {1, 2}, {2} {1, 2} ja {1, 2} {1, 2} (2) {3, 7, 11, 15} {n N n pariton} N 45 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 20 (1) {1, 2}, {1} {1, 2}, {2} {1, 2} ja {1, 2} {1, 2} (2) {3, 7, 11, 15} {n N n pariton} N (3) {2, 3, 4} {2, 4, 6}, sillä 3 {2, 3, 4}, mutta 3 / {2, 4, 6}. 45 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 20 (1) {1, 2}, {1} {1, 2}, {2} {1, 2} ja {1, 2} {1, 2} (2) {3, 7, 11, 15} {n N n pariton} N (3) {2, 3, 4} {2, 4, 6}, sillä 3 {2, 3, 4}, mutta 3 / {2, 4, 6}. (4) {n N n < 3} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 45 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 20 (1) {1, 2}, {1} {1, 2}, {2} {1, 2} ja {1, 2} {1, 2} (2) {3, 7, 11, 15} {n N n pariton} N (3) {2, 3, 4} {2, 4, 6}, sillä 3 {2, 3, 4}, mutta 3 / {2, 4, 6}. (4) {n N n < 3} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (5) Parittomien luonnollisten lukujen määritelmän perusteella {n N n on pariton} = {2k + 1 k N}, ja aikaisempien esimerkkien/harjoitustehtävän perusteella (n pariton joss. n 2 pariton). {n N n on pariton} = {n N n 2 pariton}. 45 / 92

Joukko-oppia (8) N Z Q R (9) Koska N Z (esimerkiksi 1 Z, mutta 1 / N), niin N on joukon Z aito osajoukko. Vastaavasti Z on joukon Q aito osajoukko ( 1 2 Q, mutta 1 2 / Z) ja Q on joukon R aito osajoukko ( 2 R, mutta 2 / Q). 46 / 92

Joukko-oppia (8) N Z Q R (9) Koska N Z (esimerkiksi 1 Z, mutta 1 / N), niin N on joukon Z aito osajoukko. Vastaavasti Z on joukon Q aito osajoukko ( 1 2 Q, mutta 1 2 / Z) ja Q on joukon R aito osajoukko ( 2 R, mutta 2 / Q). (10) Osoita, että {0, 1} = {x R x 2 = x}. Todistus. (Luennolla) 46 / 92

Joukko-oppia (8) N Z Q R (9) Koska N Z (esimerkiksi 1 Z, mutta 1 / N), niin N on joukon Z aito osajoukko. Vastaavasti Z on joukon Q aito osajoukko ( 1 2 Q, mutta 1 2 / Z) ja Q on joukon R aito osajoukko ( 2 R, mutta 2 / Q). (10) Osoita, että {0, 1} = {x R x 2 = x}. Todistus. (Luennolla) (11) Onko väite tosi? jos a A ja A B, niin a / B 46 / 92

Joukko-oppia (8) N Z Q R (9) Koska N Z (esimerkiksi 1 Z, mutta 1 / N), niin N on joukon Z aito osajoukko. Vastaavasti Z on joukon Q aito osajoukko ( 1 2 Q, mutta 1 2 / Z) ja Q on joukon R aito osajoukko ( 2 R, mutta 2 / Q). (10) Osoita, että {0, 1} = {x R x 2 = x}. Todistus. (Luennolla) (11) Onko väite jos a A ja A B, niin a / B tosi? Ratkaisu. Väite ei ole totta, mikä nähdään, kun valitaan A = {0, 1}, B = {1, 2} ja a = 1. Tällöin a A ja A B, sillä 0 A, mutta 0 / B. Lisäksi a B. 46 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 21 Olkoot A, B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) 47 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 21 Olkoot A, B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) Määritellään joukkojen A ja B yhdiste A B = {x X x A tai x B}, 47 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 21 Olkoot A, B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) Määritellään joukkojen A ja B yhdiste leikkaus A B = {x X x A tai x B}, A B = {x X x A ja x B}, 47 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 21 Olkoot A, B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) Määritellään joukkojen A ja B yhdiste leikkaus erotus A B = {x X x A tai x B}, A B = {x X x A ja x B}, A\B = {x X x A ja x / B} 47 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 21 Olkoot A, B X. (Tässä X on jokin perusjoukko, esimerkiksi R, Q, Z tai N.) Määritellään joukkojen A ja B yhdiste leikkaus erotus ja komplementti A B = {x X x A tai x B}, A B = {x X x A ja x B}, A\B = {x X x A ja x / B} A C = {x X x / A}. 47 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 22 Olkoot A = {0, 2, 4, 6} ja B = {0, 1, 2, 3}. Tällöin A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}, A B = {0, 2}, A \ B = {4, 6} ja (A B) (A \ B) = {0, 2} {4, 6} = {0, 2, 4, 6} = A. 48 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 23 Olkoot A = {0, 1, a, b}, B = {1, 2, a} ja C = {2, 3, c}. Tällöin A B = {0, 1, 2, a, b}, A B = {1, a}, A\B = {0, b}, B\A = {2}, A C =, B C = {2} A (B C) = A {2} = ja (A B) (A C) = {0, 1, 2, a, b} {0, 1, 2, 3, a, b, c} = {0, 1, 2, a, b}. 49 / 92

Avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit Määritelmä 24 Olkoot a, b R sellaisia, että a < b. Määritellään ]a, b[ = {x R a < x < b} [a, b] = {x R a x b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} (avoin väli) (suljettu väli) (puoliavoin väli) (puoliavoin väli). Lisäksi ]a, [ = {x R x > a} [a, [ = {x R x a} ], a[ = {x R x < a} ], a] = {x R x a}. ( Tässä on äärettömän symboli.) 50 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 25 Olkoot A = [0, 1], B = [1, 2] ja C = ] 1 2, 3 2[. Nyt A B = {x R 0 x 1 tai 1 x 2} = [0, 2], A B = {x R 0 x 1 ja 1 x 2} = {1}, A C = {x R 0 x 1 tai 1 2 < x < 3 2 } = [ 0, 3 2[, A C = {x R 0 x 1 ja 1 2 < x < 3 2 } = ] 1 2, 1], B C = {x R 1 x 2 tai 1 2 < x < 3 2 } = ] 1 2, 2] B C = {x R 1 x 2 ja 1 2 < x < 3 2 } = [ 1, 3 2[, A\B = {x R 0 x 1 ja (x < 1 tai x > 2)} = [0, 1[, A\C = {x R 0 x 1 ja (x 1 2 tai x 3 2 )} = [ 0, 1 2] ja B\C = {x R 1 x 2 ja (x 1 2 tai x 3 2 )} = [ 3 3, 2]. 51 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 26 Olkoot A = [ 2, 2[ ja B = [1, [. Tällöin A B = {x R 2 x 2 tai x 1} = [ 2, [ A B = {x R 2 x 2 ja x 1} = [1, 2[, R \ A = {x R x < 2 tai x 2} =], 2[ [2, [, R \ B = {x R x < 1} =], 1[, A \ B = { 2 x < 2 x < 1} = [ 2, 1[ ja B \ A = {x 1 x < 2 tai x 2} = [2, [. 52 / 92

Joukko-oppia Määritellään seuraavaksi joukkojen äärelliset ja numeroituvat yhdisteet ja leikkaukset. Määritelmä 27 Joukkojen A 1, A 2,..., A k äärellinen yhdiste on k A i = A 1 A 2... A k = {x x A 1 tai x A 2 tai... tai x A k } i=1 = {x x A i jollakin i = 1,..., k} ja äärellinen leikkaus on k A i = A 1 A 2... A k = {x x A 1 ja x A 2 ja... ja x A k } i=1 = {x x A i kaikilla i = 1,..., k}. 53 / 92

Joukko-oppia Määritelmä 28 Joukkojen A 1, A 2,... numeroituva yhdiste on A i = {x x A i jollakin i = 1, 2,...} i=1 ja numeroituva leikkaus on A i = {x x A i kaikilla i = 1, 2,...}. i=1 54 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 29 Ratkaise seuraavat tehtävät (luennolla): (1) Tarkastellaan joukkoja A = ] 1, 0[, B = ]0, 1], C = [ 1 2, 2] ja D = {0, 3}. Mitä ovat A B, A B D, B C D, A B C D ja B C D? 55 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 29 Ratkaise seuraavat tehtävät (luennolla): (1) Tarkastellaan joukkoja A = ] 1, 0[, B = ]0, 1], C = [ 1 2, 2] ja D = {0, 3}. Mitä ovat A B, A B D, B C D, A B C D ja B C D? (2) Kaikilla k N määritellään A k = [k, k + 1[. Mitä ovat 5 A k, 10 A k, 10 A k ja A k? k=1 k=1 k=5 k=1 55 / 92

Joukko-oppia Esimerkki 29 Ratkaise seuraavat tehtävät (luennolla): (1) Tarkastellaan joukkoja A = ] 1, 0[, B = ]0, 1], C = [ 1 2, 2] ja D = {0, 3}. Mitä ovat A B, A B D, B C D, A B C D ja B C D? (2) Kaikilla k N määritellään A k = [k, k + 1[. Mitä ovat 5 A k, 10 A k, 10 A k ja A k? k=1 k=1 k=5 k=1 (3) Kaikilla k = 1, 2,... määritellään A k = [0, 1 k [. Mitä ovat 5 A k, 10 A k, 10 A k ja A k? k=1 k=1 k=5 k=1 55 / 92

Karteesinen tulo Määritelmä 30 Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B = {(a, b) a A, b B}. 56 / 92

Karteesinen tulo Määritelmä 30 Joukkojen A ja B tulojoukko eli karteesinen tulo on A B = {(a, b) a A, b B}. Karteesisen tulon alkioita (a, b) sanotaan järjestetyiksi pareiksi. Järjestettyjen parien olennainen ominaisuus on seuraava: jos (x, y) ja (a, b) ovat järjestettyjä pareja, niin (x, y) = (a, b) jos ja vain jos x = a ja y = b. 56 / 92

Karteesinen tulo Esimerkki 31 (1) Jos A = {a, b, c} ja B = {0, a}, niin A B = {(a, 0), (a, a), (b, 0), (b, a), (c, 0), (c, a)}. (2) Olkoot A = {1}, B = {2, 3}, C = {1, 2} ja D = {3}. Mitä ovat A (B C), (A B) (A C), A (B \ C), (A B) \ (A C), (A B) (C D) ja (A C) (B D)? 57 / 92

Karteesinen tulo Esimerkki 32 Euklidinen avaruus R n : R 2 = R R = {(x, y) x R ja y R} (xy-taso) R 3 = R R R = {(x, y, z) x R, y R ja z R} R n = R R... R }{{} n-kpl (n-ulotteinen euklidinen avaruus). 58 / 92

Karteesinen tulo Esimerkki 33 Olkoon A = [ 1, 1[, B = ]0, 1[ ja C = [1, [. Määrää joukot A B, A C sekä C A. 59 / 92

Miten joukot osoitetaan samoiksi? Muistutus Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts. jos x A, niin x B, (ii) osoitetaan, että B A, ts. jos x B, niin x A. 60 / 92

Miten joukot osoitetaan samoiksi? Esimerkki 34 (1) Olkoot A = {x R x 2 5x + 6 = 0} ja B = {n N 3 < n 2 < 10}. Osoita, että A = B. (2) Osoita, että A (B C) = (A B) (A C). (3) Osoita, että (A B) C = A C B C. (3) Osoita, että A (B C) = (A B) (A C). 61 / 92

FUNKTIOISTA 62 / 92

Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Tässä luvussa tarkastellaan fuktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Funktiokäsitteen omaksumiseen kannattaa käyttää aikaa ja vaivaa runsaasti. Funktio on eräs modernin matematiikan peruspilareista. 63 / 92

Funktioista Määritelmä 35 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden joukon B alkion f (a) B, jota kutsutaan funktion f arvoksi pisteessä a tai a:n kuvaksi tai kuvapisteeksi kuvauksessa f. 64 / 92

Funktioista Määritelmä 35 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden joukon B alkion f (a) B, jota kutsutaan funktion f arvoksi pisteessä a tai a:n kuvaksi tai kuvapisteeksi kuvauksessa f. Joukkoa A kutsutaan funktion f määrittely- tai lähtöjoukoksi ja joukkoa B maalijoukoksi. 64 / 92

Funktioista Huomautus 9 Kuvaus muodostuu kolmikosta (f, A, B). Kaksi kuvausta f : A B ja g : C D ovat samat, jos A = C, B = D ja f (x) = g(x) kaikilla x A = C. Tehtävä Anna esimerkki funktiosta ja anna esimerkki tapauksesta mikä ei ole funktio (miksi?). 65 / 92