37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen luvun mukaisesti haemme ratkaisua vektoriavaruudesta C ( I ). Yhtälö () on operaattorimuodossa () L= b, jolloin vastaava homogeeninen htälö on (3) L =.. Homogeeniset htälöt Yhtälön (3) ratkaisut muodostavat edellisen luvun nojalla avaruuden C ( I ) aliavaruuden H = C ( I) L= = KerL. (4) { } Osoitamme, että tämän avaruuden dimensio dim H =. Esim. Verrttelnä tarkastellaan ensin vastaavaa ensimmäisen kertaluvun htälöä ( x) + a( x) ( x) =, jonka ratkaisuavaruuden dimension näemme olevan. Jos nimittäin on sen jokin nollafunktiosta eroava ratkaisu, niin a( x) dx ( ) x = e c, jollakin c. Jos sitten on toinen ratkaisu, niin sekin on muotoa a( x) dx ( ) x = e c,
38 c joten =. Siis funktiot, ovat lineaarisesti riippuvia. Ratkaisuavaruuden c dimensio on siis. Korkeamman kertaluvun htälöissä ratkaisufunktioiden joukon lineaarisen riippuvuuden tutkiminen ei kä enää niin ksinkertaisesti kuin llä. Apuvälineeksi saadaan seuraava determinanttifunktio. Funktioiden, C ( I) Wronskin detrminantti on funktio W C( I), ( x) ( x) W( x) = W(, )( x): =. ( x) ( x) Lause (Välttämätön ehto funktioiden lineaariselle riippuvuudelle) Olkoot funktiot, C ( I) lineaarisesti riippuvuvia. Silloin (5) W(, )( x) =, I. Todistus: Jos, C ( I) ovat lineaarisesti riippuvia, niin = tai = c jollakin c. Silloin W(, )( x ) = tai ( x) c ( x) W x I x c x = =. (, )( ), ( ) ( ) Tämä tarkoittaa, että jos hdelläkin x I on W(, )( x), niin funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia.
39 Esim. Funktioille, C ( I), ( x) = x, ( x) = ln x, I = (, ) on voimassa x ln x W(, )( x) = = lnx. x Funktiot eivät siis ole lineaarisesti riippuvia, eli ovat lineaarisesti riippumattomia. Eritistapauksissa Wronskin determinantille saadaan oma lausekkeensa: Lause Jos funktiot, C ( I) ovat htälön (3) ratkaisuavaruuden (4) funktioita, niiden Wronskin determinantti on (6) W x ce a ( x) dx (, )( ) = jollakin reaaliluvulla c. Todistus: Koska L( ) = ja L( ) =, on + a( x) + a( x) =. + a ( x) + a ( x) = Kerrotaan lempi htälö :lla ja alempi :llä ja vähennetään saadut htälöt toisistaan, jolloin saadaan eli ( ) + a( ) = W + aw =, jonka ratkaisu on (6). Haemme htälön (3) ratkaisuavaruuden H kantaa eli lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, joiden lineaarikombinaationa saadaan kaikki ratkaisut. Tällaista kantaa sanotaan mös htälön (3) perusjärjestelmäksi.
4 Lause 3 Jos, C ( I) ovat kaksi htälön (3) ratkaisua ja W(, )( x) jollakin x I, niin, muodostavat ratkaisuavaruuden H kannan. Todistus: Merkitään nojalla on g = e a ( x) dx. Jos H, niin edellisen lauseen W(, ) = c g, W(, ) = c g, W(, ) = c g, joillakin c, c, c. Koska W( d, + d) = dw(, ) + dw(, ) = dc+ dc =, kun d = c, d = c, ovat funktiot, c+ c lineaarisesti riippuvia. Koska c + c oletuksen W(, ) nojalla, on siis olemassa d, = d( c+ c) = ( dc) + ( dc), joten funktiot, virittävät aliavaruuden H. Koska W(, ) ne ovat lineaarisesti riippumattomia, joten ne muodostavat H:n kannan eli ovat htälön (3) ratkaisujen perusjärjestelmä. Seuraavaksi todetaan, että mitkä hvänsä kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua riittävät antamaan leisen ratkaisun: Lause 4 Jos, ovat htälön (3) lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, niin ne muodostavat ratkaisuavaruuden H kannan. Todistus: Edellisen lauseen ansiosta riittää osoittaa, että W(, ) jossakin pisteessä x I. Koska funktiot, ovat lineaarisesti riippumattomia, kumpikaan niistä ei ole nollafunktio. Olkoon x sellainen piste, jossa ( x). Jatkuvuuden perusteella on silloin olemassa väli J I, jolla ( x). Jos silloin olisi W( x ) =, olisi lauseen perusteella W( x ) = koko välillä I. Tällöin olisi
4 d ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) W( x) = = =, dx ( x) ( x) ( x) joten ( x) = c( x) välillä J ja siis ksikäsitteisslauseen nojalla koko välillä I. Tällöin, olisivat lineaarisesti riippuvia välillä I. Siis W( x ). Lopuksi saadaan päätulos: Lause 5. Yhtälön (3) ratkaisuavaruudelle H on voimassa: dim H =. Todistus: Seuraa edellisistä lauseista, kunhan nätetään, että htälöllä on aina vähintään kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Tämä seuraa edellisen luvun olemassaolo- ja ksikäsitteisslauseesta (Lause ). Ensimmäinen ratkaisu otetaan alkuarvoilla ( x) =, ( x) =, toinen alkuehdoilla ( x) =, ( x) =. Silloin W(, )( x ) =, joten ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia. Yhtälön (3) ratkaisemiseksi on siis lödettävä kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua, jolloin leinen ratkaisu on niiden lineaarinen kombinaatio. Eräs menetelmä konstruoida toinen ratkaisu, jos ksi tunnetaan, on seuraavaa vakioiden variointi eli kertaluvun pudotus: Olkoon htälön (3) sellainen ratkaisu, joka ei saa arvoa välillä I. Asetetaan = v ja määritetään v niin, että, on htälön perusjärjestelmä.
4 Derivoimalla ja sijoittamalla saadaan = v + v, = v + v + v, v( + a + a) + v ( + a) + v =. Koska L =, tämä sievenee muotoon v ( + a ) + v =, josta saadaan :llä jakamalla + a v + =, ( ) v joka on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen htälö v :lle. Silloin on konstruktionsa takia htälön (3) ratkaisu ja W(, )( x) = v ( x) ( x), joten funktiot, ovat lineaarisesti riippumattomia. Esim. 3 Yhtälön L = + =, x > eräs ratkaisu on selvästi =. Toinen x saadaan muodossa = v = v. Kertaluvun pudotus johtaa htälöön v + v =, x >, josta ratkeaa v =, v = lnx. Siis ( x) =, ( x) = lnx ovat x x perusjärjestelmä välillä I = (, ), ja htälön leinen ratkaisu on siis = c + c ln x, x >.. Homogeeniset vakiokertoimiset htälöt Tarkastellaan nt htälöä (7) L= ''( t) + a'( t) + a( t) = missä kerroinfunktiot a, a ovat vakioita.
43 Koska eksponenttifunktio on ainoa funktio, joka derivoitaessa antaa takaisin saman funktion vakiolla kerrottuna, voidaan ratkaisua hakea rt sijoittamalla t ( ) = e. Jakamalla sijoituksen jälkeen nollasta rt poikkeavalla lausekkeella e nähdään, että htälö toteutuu, jos r on karakteristisen htälön (8) r + ar + a = juuri. Tilanne jakaantuu juurten ominaisuuksien mukaan kolmeen tapaukseen. Olkoot karakteristisen htälön r + ar + a = juuret λ ja μ. Silloin llä olevan differentiaalihtälön leinen ratkaisu on. t () t t ce ce μ. t () λt λt ce cte 3. αt β = +, jos juuret ovat reaalisia ja λ μ = +, jos λ=μ t () = ce sin( αt t) + ce cos( βt), jos λ=α+iβ, μ=α-iβ, β. Tulokset nähdään oikeiksi, kun todetaan, että kussakin tapauksessa ratkaisufunktioiden Wronskin determinantit ovat nollasta poikkeavat. Kohdan toinen ratkaisufunktio keksitään vakion varioinnilla. Esim. 4 Hae differentiaalihtälön ''- '- = leinen ratkaisu Karakteristinen htälö r r =, juuret ja -. Siis tapaus. Yleinen t t ratkaisu t () = ce + ce. Esim. 5 Ratkaise alkuarvoprobleema π '' + ' + 5 =, ( π) = e, '( π) = 3e π Karakteristinen htälö r + r+ 5=, juuret kompleksiset: -+i ja --i. Siis tapaus 3. Yleinen ratkaisu () t t t = ce sint+ ce cost. π π π Alkuehdot: ( π ) = e ce = e c = ; t t t t '( t) = ce sin t+ ce cost e cost e sin t, π π π π '( π ) = 3e ce e = 3e c =. Siis alkuarvoprobleeman ratkaisu on t t () t = e sint+ e cost.
44 Tapauksessa 3 ratkaisu on usein hödllistä esittää htenä sinilausekkeena (tai kosini-). Siihen päästään kättämällä ns. harmonisia identiteettejä acosωt+ bsinωt= Asin( ωt+ φ) b a missä A = a + b ja cos φ =, sinφ =, sekä A A acosωt+ bsinωt= Acos( ωt δ), a b missä A = a + b ja cos δ =, sinδ =. A A Esim. 6 Edellisen esimerkin ratkaisufunktiolle saadaan muoto ( ) t (cos sin ) t t = e t+ t = e + 4 cos( t δ ) = 5e t cos( t δ ), missä π cos δ =, sinδ =, joten < δ < eli δ = arctan.7. 5 5