Graph analysis Kirsi Virrantaus GIS-E1060 Spatial Analytics 15.11.2016
Verkkoanalyysi Kirsi Virrantaus GIS-E1060 Spatial Analytics 15.11.2016
Contents of the lecture Introduction to graphs by an example on combining Digiroad and Open Street Map bus stops Introduction to graphs and graph concepts Introduction to graph optimization problems An example of graph analysis on using theories from social networks in analysis of vulnerability of physical networks
Luennon sisältö Johdatusta verkkodataan esimerkin avulla: Digiroad and Open Street Map bussipysäkkidatan yhdistäminen Johdanto graafeihin ja graafikäsitteisiin Johdanto graafioptimoinnin perusongelmiin Esimerkkejä sosiaalisten verkostojen analyysimenetelmien soveltamisesta fyysisten verkostojen haavoittuvuuden analyysiin
Introduction Johdanto
Introduction we can model several things as networks 80% of real world problems that can be modeled as mathematical models can be modeled as graphs (Taha) in most cases we think, however, physical networks like roads, water routes and utility networks TransportationGIS, navigation, intelligent traffic
Johdantoa verkon muotoon voidaan mallintaa monia asioita 80% reaalimaailman matemaattisesti mallinnettavista ongelmista voidaan mallintaa verkon muotoon (Taha) useimmiten ajatellaan kuitenkin fyysisiä verkkoja kuten tiestö, vesireitit, johtoverkot kuljetusgis, navigointi, älyliikenne
Network-GIS applications road/street network GIS-T (transportation GIS) transportation, urban planning, location, traffic forecasts routing, address finding, goods transportation, location of accidents Intelligent traffic; traffic control engineering design, bridge and road maintenance utility network GIS AM/FM/GIS mapping, utility management, custom service telecommunication network GIS network planning and maintenance
VerkkoGIS sovellusalueita tieverkkoon liittyvät GIS-T kuljetus, sijoittelu, liikenne-ennusteet reititys, osoitehaku, tavarantoimitus, onnettomuuksien paikannus älyliikenne: liikenteen ohjaus tekninen suunnittelu, silta- ja katukunnossapito johtoverkkoihin liittyvät AM/FM/GIS kartoitus, verkostojen hallinta, asiakaspalvelu televerkkoihin liittyvät televerkon suunnittelu ja ylläpito
Digiroad and Open Street Map two open data sets for network analyses Digiroad is a data set created by National Land Survey and The Fisnnish Transportation Agency Open for users Open Street Map created by the volunteers, background organization a non-profit organization Open for users Open for updates from registered users Can these be used together? Quality issues?
Digiroad ja Open Street Map kaksi avointa tieaineistoa Digiroad-tieaineistoa tuottavat Maanmittauslaitos ja Liikennevirasto Käyttäjille avoin Open Street Map- aineistoa tuottavat rekisteröidyt käyttäjät Käyttäjille avoin Rekisteröidyt käyttäjät voivat ylläpitää Voidaanko näitää käyttää yhdessä? Laatukysymykset?
Digiroad national street and road database Managed by National Land Survey and The Finnish Transport Agency all vehicle accessible city streets, public roads, rural roads, forest roads and private roads Geometry information (center lines of roads) comes from NLS most important attribute data Attritute data comes from FTA, municipalities and other related for route planning, navigation, traffic guidance and traffictelematic applications Digiroad2, the new data model and exchange formats At the moment Digiroad data is provided as shape-files in two possible formats: attributes referred to links attributes referred with dynamic segmentation www.liikennevirasto/avoindata/digiroad
Digiroad kansallinen tie- ja katutietokanta kaikki ajoneuvokelpoiset kaupunkikadut, yleiset tiet, hajaas.aluetiet, metsätiet, yksityiset tiet Geometriatieto (keskilinja) Maanmittauslaitoksen aineistoista tärkeimmät ominaisuustiedot Liikennevirastosta, kaupungeilta ja muilta tahoilta reitinsuunnitteluun, navigointiin, turismiin,liikenteen telematiikkaan Digiroad2-projektissa toteutetaan uusi tietomalli ja tiedonsiirtoformaatit Digiroad-aineistoa saa kahdessa eri muodossa Ominaisuustiedot linkeille Ominaisuustiedot dynaamisesti segmentoituina www.liikennevirasto/avoindata/digiroad
New Digiroad data model According to JHS 188, according to the INSPIRE guidelines Link-node data model Link is a line type object; typically a line between nodes Nodes are either real nodes (crossings ets.) or pseudo nodes Each object has an id The network is topologically consistent Attributes are (because of the history) managed with so-called dynamic segmentation
Uusi Digiroad tietomalli JHS 188 mukaisesti; INSPIRE ohjeiden mukaan Linkki-solmu tietomalli Linkki on viiva-tyyppinen kohde; tyypillisesti viiva solmujen välillä Solmut ovat joko aitoja solmuja (risteykset jne.) tai pseudosolmuja Jokaisella kohteella on tunniste, id Verkko on topologisesti eheä Ominaisuudet hallitaan (perinteen mukaan) nk. dynaamisella segmentoinnilla
Road link and nodes, JHS 118
Attributes linked by segmentation, JHS 118
Attribute value for a node, JHS 118
About data model and transfer model Digiroad data model is based on road links and connecting nodes Road geometry comes from NLS Gepmetry represents the center line Some attributes are georeferenced by so-called linear referencing The line (chain) is divided into small pieces (segments) according to the attributes, so that each segment has defined attribute value Digiroad is in EUREF-FIN or YKJ (old) coordinate systems Digiroad is in ESRI-shape file format, XML (GML)
Digiroadin tietomalli ja tiedonsiirto Digiroadin tietomalli pohjautuu keskilinjageometrian esittämiseen tielinkkeinä Tielinkin geometria tulee MMLn tietoaineistoista Jotkut ominaisuustiedot on georeferoitu ns. lineaarisella referoinnilla jokaisella viivanpalasella on yhtenäiset ominaisuudet; ominaisuustietojen arvot muuttuvat vain viivanpalasten päätepisteissä Digiroad on EUREF-FIN ja YKJ-koordinaatistossa Digiroad toimitetaan ESRI-shape tiedostomuodossa; XML,GML
Open Street Map Registered in UK, non-profit organization, OSMF, Open Street Map Foundation) since 2004, more than 30 000 users who update 300 millions of lines Data sources: GPS-data of the users, free data sets, satellite data sets (for digitizing the lines) Anyone can view, use or update (updating requires registration)
Open Street Map UKssa rekisteröity voittoa tavoittelematon taho, OSMF (Open Street Map Foundation) Vuodesta 2004, yli 30 000 ylläpitäjää 300 miljoonaa tieviivaa Tietolähteet: käyttäjien GPS-jäljet, vapaat aineistot, hankitut/luovutetut satelliittikuvat (digitointi) Kuka vain voi katsella, käyttää, ylläpitää
Browser editor for updating (Peltonen, 2016; MSc thesis)
Peltonen, 2016)
Data model of OSM Objects are described as nodes or lines (way) Nodes have coordinates Nodes and ways can be combined by relations One node can be a part pof several ways Ways can be open or closed Attributes are linked by tags; key-value pairs Programming languages offer this required data structure, asociative array Element change set concepts in updating For example but stop can be described as a seprate node to which attributes are linked by a tag or as an attribute linked to some node of the traffic network
OSM:n tietomalli Kohteet kuvataan solmuina (node) tai viivoina (way) Koordinaatit ovat solmuilla Solmuja ja viivoja voidaan yhdistellä relaatioilla Yksi solmu voi kuulua useampaan kohteeseen Viivat voivat olla sulkeutuvia tai sulkeutumattomia Kuvailutietoja liitetään kohteisiin tageilla; avain-arvopareilla Ohjelmointikielet tarjoavat tietorakennetta, assosiatiivinen taulukko Ylläpitoon liittyy elementti-, ja muutosjoukko- käsitteet Esim. joukkoliikennepysäkki voidaan kuvata erillisenä pisteenä, johon ominaisuudet liitetään tagilla tai liikenneverkon johonkin pisteeseen liittyvänä ominaisuutena
Two ways of adding bus stop to the data set: as an individual node or as attribute data to one of the nodes of the roads (Peltonen,2016)
How to combine Digiroad and OSM-data An example: finding bus stops Teemu Peltonen made his MSc thesis on the problem of combining two road data sets in order to find bus stops The solutions was based on algorithm development An algorithm that could identify equal bus stops Easy cases When there is only one bus stop in the neighbourhood Problems When several bus stops exist in small neighbourhood area and its needs to be checked whether they are separate nodes or if the dissimilarity is because of inaccurate coordinates
Digiroad- ja OSM-datan vertailu Esimerkki: bussipysäkkien vertailu Teemu Peltonen teki diplomityönsä liittyen kahden katuverkkoaineiston sisältämän bussipysäkkidatan vertailuun Ratkaisuna kehitettiin sopiva algoritnmi Algoritmi pystyi tunnistamaan kahdesta aineistosta samat bussipysäkit Helpot tapaukset Kun määritellyssä alueessa on vain yksi bussipysäkki Ongelmat Kun pienellä naapuruusalueella on useita bussipysäkkejä ja tarvitsee tarkistaa johtuuko niiden erilainen sijainti siitä, että ne oikeasti ovat eri pyäkit vai koordinaattien epätarkkuudesta
Easy case: There is only one
Complicated case: several stops in both data sets
Basic concepts of graphs Verkon peruskäsitteitä
Line concepts line object length, direction connectivity topology lines make a graph, network nodes, edges graph theories traditional and social network analysis measures
Viivan käsitteet viivakohteella pituus ja suunta yhdistävyys -topologia viivat muodostavat verkon solmut, kaaret/sivut verkkoteoriat perinteinen ja sosiaalisten verkostojen analyysi
Specialities in network modeling alternative solutions in data coding topological graph modeling; 2d planar or 3d graph linear referencing: starting point and distance coordinate based coding address coding cross street matching, segments as differences between nodes
Verkon mallinnuksen erityisominaisuuksia tiedonkoodauksen vaihtoehtoja topologisen verkon mallinnus: tasoverkko tai 3d verkko lineaarinen koodaus: lähtöpiste ja etäisyys pelkkiin koordinaatteihin perustuva koodaus osoitekoodaus segmenttien (kadunosien) määrittely solmujen (risteysten) erotuksena
segmenting the egdes of the graph according to the attributes when attribute values are updated, a new node is created data is on layers, several graphs dynamic segmenting
verkon osien, sivujen/kaarien segmentointi ominaisuuksien mukaan uusi solmu aina kun ominaisuusyhdistelmä muuttuu aineisto jaotellaan tasoille ja syntyy useita verkkoja ns. dynaaminen segmentointi, jossa perusverkkoa segmentoidaan kulloinkin käytössä olevien ominaisuuksien mukaan
Graph theory Euler 1700, the bridge of Königsberg since the 50 s draftsman s map coloring problem (Appel ja Haken, 1976) the polygons of an arbitrary map can be coloured by using four colours so that no neighbouring polygons have equal colour
Verkkoteoriasta verkkoteorian perusteoreemoja esitti jo Euler 1700 -luvulla, Königsbergin silta kehitys nopeaa 50 -luvulta lähtien kuuluisa verkko-ongelma: kartanpiirtäjän neliväriongelma (Appel ja Haken, 1976) mielivaltaisen tasokartan polygonit voidaan värittää neljää väriä käyttäen, niin ettei viereiset polygonit ole samaa väriä
military applications, commercial applications graph problems in the text books of quantitative geography spatial analysis GIS software, Network -modules
sotilassovellukset (!), kaupalliset sovellukset verkko-ongelmat esiintyvät maantieteen menetelmäkirjoissa - ns. spatiaalisen analyysin otsikon alla GIS -ohjelmistoihin verkko-ongelmat tulleet maantieteen kautta, ns. Network -moduulit
Graph characteristics (Taha, 216 ) graph consists of nodes and arcs (edges) graph is described (N,A) N= 1,2,3,4,5}, A={(1,3), (1,2) (3,5),(4,5)} directed, oriented: allows positive flow to one direction path: joins two nodes regardless of the direction of flow loop/cycle: connects a node to iself; directed loop connected graph: all nodes are connected at least by one path spanning tree: sp links all nodes with no loops cut vertex: if a cut vertex is removed from a connected graph the graph will become disconnected
Verkon ominaisuuksia verkko koostuu solmuista ja kaarista/sivuista verkon merkintä (N,A) N= 1,2,3,4,5}, A={(1,3), (1,2) (3,5),(4,5)} suunnattu verkko: positiivinen virtaus yhteen suuntaan polku (yhdistää kaksi solmua riippumatta sivujen suunnasta) sykli, suunnattu sykli yhdistetty verkko: kaikki solmut yhdistetty vähintään yhdellä polulla virittävä puu: yhdistää kaikki solmut ilman syklejä cut -solmu: jos cut-solmu positetaan yhdistetystä verkosta, tuloksena on ei-yhdistetty verkko
Laurini,1992)
Peruskäsitteitä Basic concepts SOLMU (node, vertex) PÄÄTESOLMU - asteluku 1 (end node) SIVU (edge, link) SUUNNATTU VERKKO (directed, oriented, digraph ) - linkeillä suunta SUUNTAMATON VERKKO (undirected, unoriented) - linkit kaksisuuntaisia (links have two directions)
NUOLI, SUUNNATTU VÄLI (arc) HAARA (branch) - päätyy päätesolmuun SILMUKKA (circuit) VIRTAUS (flow) KAPASITEETTI (capacity) YHTENÄINEN VERKKO (connected) TÄYDELLINEN VERKKO (complete)
NOLLAVERKKO (null graph) - ei linkkejä PUU (tree) - hierarkkinen verkko KETJU (chain) -peräkkäisten linkkien jono VIRITTÄJÄPUU (spanning tree) - yksi ketju kunkin solmuparin välillä ISOMORFISET VERKOT - sama topologia 2D- JA 3D-VERKOT - taso-, avaruusverkot
solmujen välinen ETÄISYYS (distance) verkon KESKUS (the distance from the furthest node is shortest) (etäisyys kauimmaisesta solmusta keskukseen on lyhin) verkon HALKAISIJA (diameter) verkon MEDIAANI (etäisyyksien summa on pienin) (median, the sum of all distances to the median is shortest) PAINOTETTU verkko (weighthed graph)
(Laurini, 1992)
Laurini,1992)
Data structures traditionally as a matrix node-node adjacency matrix nodes as rows and columns value 1 if adjacent, 0 if not adjacent shows the accessibility node-node distance matrix the value represents the geographical distance attributes describing the quality of the road can be added
Verkon kuvaaminen tietorakentein perinteisesti matriisina yhteysmatriisi, node-node adjacency matrix solmut taulukon riveinä ja sarakkeina taulukon arvot 1 jos viereinen, 0 jos ei viereinen voidaan arvioida karkeasti ns. saavutettavuutta node-node etäisyysmatriisi alkion arvo kertoo maantieteellisen etäisyyden voidaan lisätä attribuutteja, jotka kuvaavat välin laatua
node-arc incidence matrix as a list for every node a row for every link a column adjacency -list for every node a linked list of adjacent nodes
vastaavuusmatriisi, node-arc incidence matrix jokaista solmua vastaa taulukon rivi jokaista väliä vastaa taulukon sarake listarakenteena adjacency -list jokaista solmua vastaa viereisten solmujen linkitetty lista
(Cormen et al., 2001)
in a GIS data base topological relationships directed graph, digraph undirected graph examples ArcINFO data model (coverage model) TIN -model DIME coding (TIGER) DCEL
paikkatietokannassa käyttäen topologisia relaatioita ja paikkatietoohjelmistoille tyypillisiä tietorakenteita suunnatun verkon kuvaaminen perusmuoto suuntaamattoman verkon kuvaaminen pm. esimerkkejä ArcINFOn tietomalli TIN -malli DIME koodaus DCEL
(Laurini, 1992)
Graph optimization Verkko-optimointi
Network optimization Problem types shortest/fastest/cheapest path minimum spanning tree Chinese postman travelling salesman maximum flow minimum cost flow
Verkko-optimointi Ongelmatyyppejä lyhimmän/nopeimman/halvimman tien ongelma verkon virittävän minimikustannuksisen puun haku kiinalaisen postinkantajan ongelma kauppamatkustajan ongelma maksimivirtausongelma minimikustannuksiset virtausongelmat
matching problems (dinner table) scheduling problems location problems project planning problems (Pert-CPM); critical path different routing problems
ns. matching -ongelmat - kutsujen istumajärjestys töiden järjestely- ja aikatauluongelmat sijainninvalintaongelmat projektin suunnitteluongelmat (Pert-CPM); ns. kriittisen polun ongelma erilaiset reititysongelmat
Shortest path and travelling salesman shortest path: we are looking for the shortest (cost or time can also be the weight) path from node A to node B travelling salesman: we are trying to visit several specified nodes of the network by minimum cost (time, distance) once and only once and then return to the start node heuristic solution: visit always the closest non-visited node (greedy algorithm) has not always a solution
Lyhin polku ja kauppamatkustajan ongelma lyhin polku: haetaan lyhin (halvin, nopein) polku solmusta A solmuun B kauppamatkustajan ongelma: haetaan edullisin reitti, joka kulkee verkon annettujen solmujen kautta kerran ja vain kerran ja palaa alkusolmuun heuristinen ratkaisu: mennään aina lähimpään solmuun, jossa ei ole vielä käyty (ahne algoritmi) kasvaa nopeasti sellaiseksi, jolle ei ratkaisua
Shortest path and travelling salesman in GIS emergency, rescue, taxi tourist route planning schoolchildren transportation, food service for elderly people
Lyhimmän reitin ja k.m.:n ongelman esimerkkejä GIS -sovellusalueilta pelastuspalvelujärjestelmän, taksijärjestelmän tms. reitinlaskenta turistin reitinsuunnittelu koululaiskuljetusten tai vanhusten kotipalveluiden reitinlaskenta
Location problem a service or a commercial unit has to be placed in a network so that either the travelling time of all potential users is minimized median problem or the travelling time of the client in the furthest node is minimized center problem
Sijoitteluongelma on sijoitettava joko kaupallinen tai julkinen palvelu verkkoon siten, että kaikkien asiakkaiden yhteenlaskettu matka palvelupisteenseen minimoituu (mediaaniongelma) tai kauimmaisena asuvan asiakkaan matka palvelupisteeseen minimoituu (keskipiste)
Location problems is GIS social services, health centers public transportation commercial services, a new supermarket
Sijoitteluongelman esimerkkejä GIS - sovellusalueilta julkisten palveluiden esim. terveyskeskuspalveluiden suunnittelujärjestelmä julkisen liikenteen suunnittelu kaupallisten palveluiden esim. kauppaketjun uuden toimipisteen sijoittaminen
Flow problems maximum flow through the network from start node to the target node, the capacity of the network is now critical minimum cost flow from several start nodes to several targets
Virtausongelmat maksimivirtausongelma: haluataan maksimoida lähtöpisteestä päätepisteseen tapahtuva virtaus kapasiteetiltaan tunnetussa verkossa minimikustannuksinen virtaus: halutaan minimoida kustannukset tietyistä lähtöpisteistä tiettyihin päätepisteisiin tapahtuvaan kuljetukseen
Flow problems in GIS evacuation planning from the emergency area to safe place by using all possible transportation networks timber transportation; transportation of goods from the factories to retailers (several factories, several retailers) tailored models, GIS in positioning, data base management and visualization, navigation
Virtausongelman esimerkkejä GIS - sovellusalueilta evakuointisuunnitelman laatiminen onnettomuusalueelta kaikkia mahdollisia kuljetusverkkoja käyttäen turvalliselle alueelle puunkuljetuksen ongelmat; tavaroiden kuljetus tehtailta myyjille (useita tehtaita, useita myyjiä) räätälöidyt mallit, GIS -ohjelmiston käyttö paikannukseen, tiedonhallintaan ja visualisointiin, navigointiin
Spanning tree spanning tree connects all nodes so that there is only one chain between each pair of connected nodes minimum spanning tree connects all nodes by minimum costs
Virittäjäpuu virittäjäpuu yhdistää kaikki solmut niin, että kunkin solmuparin välillä on vain yksi ketju minimaalinen virittäjäpuu luo virittäjäpuun minimikustannuksin
Virittävän puun esimerkkejä GISsovellusalueilta kevyen liikenteen tieverkoston suunnitteluongelma taajamien välille - haetaan minimikustannuksinen virittävä puu (Taha) kaapelitv -verkon suunnittelu asuntoalueelle - haetaan minimikustannuksinen virittävä puu rakennusten välille (Taha)
Spanning tree in GIS pedestrian road network planning (Taha) cabel-tv network in a residential area - (Taha)
GIS software in network problems traditionally distances have been calculated as the crow flies, without spatial data - GIS databases offer more accurate distance data based on coordinates GIS software have good user interface for data collection, editing and searching visualization capabilities of GIS software we can utilize the GIS-RDBMS relationship a lot of additional background information address link programming in GIS environments is heavy
GIS -ohjelmistojen käyttö verkkooptimoinnissa perinteisesti etäisyydet laskettu koordinaateista linnuntieetäisyyksinä - GIS tietokannat tarjoavat tarkempaa etäisyysdataa GIS -ohjelmistoissa hyvä käyttöliittymä tiedon keruuseen, tallennukseen, editointiin jan hakuun GIS -ohjelmistojen visualisointi GIS -ohjelmistojen relaatiokantaliityntää voidaan hyödyntää ja hoitaa tiedonhallinta GIS -ohjelmiston kautta GIS -tietokannat tarjoavat paljon lisädataa GIS -tietokannat tarjoavat osoiteyhteyden yleisesti kuitenkin GIS -ohjelmistot eivät ole valmiita verkkosovelluksiin ja ohjelmointi on työlästä
in practical, everyday problems a suitable solution is enough, ready-made applications can be used, even when they did not guarantee the optimum in serious optimization problems a tailored model, GIS software only for datamanagement and visualization, data collection
kevyisiin, pieniin käyvän ratkaisun haku -sovelluksiin voidaan käyttää GIS -ohjelmistojen valmiita malleja raskaan sarjan optimointeihin oma malli ja sen toteutus, GIS - ohjelmisto tiedonhankintaan, hallintaan ja visualisointiin sekä mm. GPS -liityntään
Graph analysis based on social networks theory Sosiaalisten verkostojen teriaan perustuva verkkoanalyysi
Social Network Analysis in social networks a human being is a node and links represent the social connection between human beings applications for example to epidemiology how HIV spreads, rumor spreading evolution of social networks has been simulated by agent based programming small world phenomenon is a hypothesis that tells that the route to connect one single person to anybody else in the world is relatively short
six degrees of separation Milgram s experiments show that every two person in US are connected in average with a path of 6 other people experiment based on empirical test, sending letters to people in a specified area and asking whether they knew mentioned persons See for example in Wikipedia
Analysis and Measures/metrics for Social Networks in a social network the human being is a node and arcs represent his/her connections to other human beings betweennes closeness centrality/degree network analytic software: for example Pajeck
Sosiaalisten verkostojen analyysi ja mittareita sosiaalisessa verkostossa henkilö on solmu ja hänen yhteytensä muihin henkilöihin ovat linkkejä betweennes closeness centrality/degree analyysiohjelmisto: esim. Pajeck
Betweenness kyseisen solmun kautta kulkevien lyhimpien reittien määrä suhteessa kaikkiin lyhimpiin reitteihin verkossa kuvaa kyseisen verkon osan tärkeyttä verkon yhdistävyyden kannalta
Betweenness proportion of shortest path through v against all shortest paths somehow describes the importance of the node from the connectivity point of view
Closeness lyhin etäisyys solmusta v muihin solmuihin radiaalinen mitta kuvastaa solmun paikallista keskeisyyttä
Closeness the shortest distance of v to all other vertices radial measure identified local centres
Degree välittömien naapurisolmujen määrä välitön naapuruus
Degree number of immediate neighbours describes the immediate neighbourhood
Clustering coefficient shows the how strongly the nodes seem to cluster together global and local clustering proportion of actual connections of v between neighbours of v against all possible connections the neighbours the local clustering coefficient of a vertex in a graph is how close its neighbours are from being a clique (=complete graph) see for example http://en.wikipedia.org/wiki/clustering_coefficient
Klusteroitumiskerroin osoittaa solmujen klusteroitumistaipumusta globaali tai lokaali mittari yleisesti: solmun yhteyksien lukumäärä naapurustossa suhteessa mahdollisten yhteyksien lukumäärään lokaali klusteroitumiskerroin: kuinka lähellä solmun naapurusto on täydellisesti yhdistettyä verkkoa (clique)
Results Cut vertices Red = road segments that correspond to cut vertices in the line graph. Demsar
Results Betweenness red = high betweenness turquoise = medium betweenness Demsar blue = low betweenness
Results Clustering coefficient blue = high clustering coefficient orange & turquoise = medium clustering coef. red = low clustering coefficient Demsar
Kirjallisuusviittaukset Wise, S., GIS Basics, Chapter 11 Taha,H., Operations Research - An Introduction,1997. Peltonen,T., diplomityö JHS 118 Identifying critical locations in a spatial network with graph theory. / Demsar, Urska; Spatenkova, Olga; Virrantaus, Kirsi. In: Transactions in GIS, Vol. 12, No. 1, 2008, p. 61-82.