Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23
Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23
Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen, mutta ei voida luoda eikä tuhota Tarkastellaan energian suhdetta suureisiin työ ja teho Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavan, liikkeen suunnan kanssa yhdensuuntainen vakiovoiman tekemä työ on W = Fs Työn yksikkö Joule ([W ] = J, 1 J = 1 N m = 1 kg m 2 s 1 ) Muuttuva voima siirtää kappaletta rataa l pitkin r 1 r 2 W = r 2 r 1 F( r) d l 3 / 23
Skalaari- eli pistetulo B ϕ B A = B cos ϕ A Kahden vektorin A ja B välinen skalaari- eli pistetulo A B = A B cos ϕ, missä vektorien välissä kulma ϕ Merkitään B:n projektiota A:lla BA :lla Toisaalta B A = B cos ϕ, jolloin pistetulo voidaan esittää A B = A BA = B AB 4 / 23
Vektorin projektio ja pistetulon laskeminen Projektio B:stä A:lle, BA on pistetulon avulla B A = B A ê A, ja B A = B A A = BA ê A xyz-koordinaatisto on suorakulmainen, joten î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1 ja î ĵ =... = 0, jolloin pistetulo komponenttimuodossa on ) ( ) A B = (A x î + A y ĵ + A z ˆk B x î + B y ĵ + B z ˆk = A x B x + A y B y + A z B z = A n B n n={x,y,z} 5 / 23
Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 6 / 23
Työ käyräviivaisessa liikkeessä Suoraviivaisesti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttavan, liikkeen suunnan kanssa yhdensuuntainen vakiovoiman tekemä työ on W = Fs Oletetaan voimavektori F toistaiseksi vakioksi Voima ja siirtymä s eivät yleisessä tapauksessa samansuuntaiset Työ määriteltävä pistetulon kautta (työ skalaarisuure) W = F s = Fs cos ϕ Jos kappaleeseen vaikuttaa useita voimia, on niiden tekemä työ W = F 1 s + F 2 s +... = i F i s = R s 7 / 23
Työ ja nopeuden muutos Kokonaistyö yhteydessä kappaleen nopeuden muutoksiin Kappaleella massa m, liikkuu positiivisen x-akselin suuntaan Voima F vakio, ja samansuuntainen Newtonin 2. lain mukaan F = m a, mutta toisaalta tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä v 2 2 v 2 1 = 2a(x 2 x 1 ) = a = v 2 2 v 2 1 2(x 2 x 1 ) a = v 2 2 v 2 1 2s 8 / 23
Kineettinen energia Lasketaan työ vastaavassa tilanteessa W = Fs = m a s = m v 2 2 v 2 1 2s s = 1 2 mv 2 2 1 2 mv 2 1, josta nähdään että voiman tekemä työ on kahden termin erotus Määritellään suure kineettinen energia K = E k = E kin = 1 2 mv 2, josta seuraa että voiman tekemä työ on kineettisen energian muutos W = K 2 K 1 = K 9 / 23
Kineettisen energian ominaisuuksia Skalaarisuure joka aina positiivinen tai nolla. Jos W tot > 0, K kasvaa Nopeudella v kineettinen energia se työ, joka vaaditaan kiihdyttämään kappale levosta ko. nopeuteen Toisaalta kappale voi tehdä saman työn pysähtyessään nopeudesta v lepotilaan Kertoo nopeuden itseisarvon muutoksesta, ei nopeusvektorin suunnasta Johdettiin Newtonin lakien avulla, joten se pätee vain inertiaalikoordinaatistossa 10 / 23
Muuttuva voima Tarkastellaan suoraviivaista liikettä, jossa voiman suuruus ei ole vakio matkalla x 1 x 2 Jaetaan matka s = x 2 x 1 osaväleihin x i Approksimoidaan voimaa kullakin välillä vakiovoimalla Tällöin voiman tekemä työ on noin W = i F i x i Pienennetään välit nollaan, jolloin W = lim x 0 F i x i = i x 2 x 1 F(x)dx.
Jousen venymä Esimerkki muuttuvan voiman tekemästä työstä on jousen venytys Hooken lain mukaan jousen venymä x on suoraan verrannollinen venyttävään voimaan F = kx, missä k on jousivakio (spring constant). Kun jousta venytetään siten, että sen toinen pää liikkuu x 1 x 2, tehdään työtä W = x 2 x 1 Fdx = x 2 x 1 kxdx = 1 2 kx 2 2 1 2 kx 2 1 12 / 23
Muuttuva voima: kineettinen energia Työn ja kineettisen energian välinen yhteys muuttuvan voiman tapauksessa Ilmaistaan kiihtyvyys muodossa a = dv dt = dv dx dx dt jolloin hiukkaseen vaikuttava nettovoima tekee työn W tot = x2 x 1 F net dx = x 2 x 1 madx = x 2 x 1 dv mv dx dx = dv dx v, = v 2 v 1 mvdv = 1 2 mv 2 2 1 2 mv 2 1 = K
Käyräviivainen liike Jaetaan reitti differentiaalisiin siirtymiin d l Voiman F tekemä työ matkalla d l on dw = F T dl = F cos ϕdl = F d l, Kokonaistyö välilä [P 1, P 2 ] on W tot = P 2 P 1 F d l Viivaintegraali 14 / 23
Mikä ihmeen viivaintegraali? C F d l Integraali jossa integroitavan funktion F arvoa lasketaan jotain käyrää C pitkin Taustaa ja kivoja kuvia Wikipediassa http://en.wikipedia.org/wiki/line_integral Esiintyy fysiikassa mm. mekaniikassa työn määritelmässä ja sähkömagnetiikassa Maxwellin lakien yhteydessä Vektorikentillä viivaintegraalin arvo on summa käyrän C differentiaalisen suuntavektorin d l ja vektorikentän F pistetulon arvoista käyrän jokaisessa pisteessä
Esimerkki Tarkastellaan voimaa F = yî + xĵ, joka vaikuttaa hiukkaseen. Laske voiman tekemä työ, kun hiukkanen siirtyy tasossa pisteestä (0, 0) pisteeseen (2, 2) a) koordinaattiakselien suuntaisesti pisteen (0, 2) kautta ja b) suoraviivaisesti y P 1 C 1 C 2 P 2 x 16 / 23
Esimerkin ratkaisu esitetään luennolla 17 / 23
Kineettinen energia yleisessä tapauksessa Hiukkaseen vaikuttava (mielivaltainen, mutta tunnettu) nettovoima F tekee työn hiukkasen kulkiessa pisteestä P 1 P 2 W tot = = P 2 P 1 F d l = P 2 P 1 P 2 dv m dt ds = P 1 F T ds = P 2 P 1 = 1 2 mv 2 2 1 2 mv 2 1 = K P 2 P 1 ma T ds ds dv m dt ds ds = v 2 v 1 mvdv = Työn ja kineettisen energian välinen yhteys on edelleen voimassa samassa muodossa!
Kineettisen energian ja liikemäärän ero Liikemäärä p = m v ja kineettinen energia K = mv 2 /2 riippuvat molemmat hiukkasen nopeudesta Tarkastellaan hiukkasta, johon kohdistuu vakiovoima F net Voiman impulssi (vektorisuure): J = F net (t 2 t 1 ) = F net t N-II: kun F net on vakio, niin myös d p/dt on vakio, joten J = F net t = d p p t = dt t t = p 2 p 1 19 / 23
Kineettisen energian ja liikemäärän ero Liikemäärän muutos riippuu voiman vaikutusajasta Jos hiukkasen lähtee levosta liikkeelle (eli p 1 = 0), niin J = p2 p 1 = p 2 = p 1 + J = J eli liikemäärä on se impulssi, joka tarvitaan hiukkasen kiihdyttämiseksi levosta kyseiseen nopeuteen Kineettinen energia on se työ, joka tarvitaan hiukkasen kiihdyttämiseen levosta kyseiseen nopeuteen Työ riippuu voiman vaikutusmatkasta Impulssi voiman vaikutusajasta 20 / 23
Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 21 / 23
Tehon määritelmä Työ määritelty siirtymän kautta Ei ota kantaa siirtymään käytettyyn aikaan Määritellään tätä varten teho (power) Keskimääräinen teho on tehty työ jaettuna kuluneella ajalla P ave = W t Hetkellinen teho W P = lim t 0 t = dw dt Teho Tehon yksikkö on watti 1 W = 1 J s 1 22 / 23
Teho voiman funktiona Kun voima F vaikuttaa kappaleeseen sen siirtyessä lyhyen matkan s, niin keskimääräinen teho tällä matkalla P ave = F T s, t missä F T on radan tangentin suuntainen F :n komponentti Hetkellinen teho F T s P = lim t 0 t s = F T lim t 0 t = F T v = F v = P 23 / 23