Jakoyhtälö: Jokainen kokonaisluku n voidaan esittää muodossa (missä d on positiivinen kok.luku) n = d*q + r Tässä q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 r < d. n = d * q + r number divisor quotient residue numero jakaja osamäärä jakojäännös Esim. 22 = 3*7 + 1 Eli sama asia kun jakaminen suoritetaan 22/3 = 7 +1/3 Esim. 44 = 4*11 + 0 eli 44/4 = 11
Jos r = 0, niin silloin d jakaa luvun n. Tätä merkitään d n. Silloin d on luvun n tekijä, eli n = qd Jos r 0, niin d ei jaa lukua n. Lukujärjestelmät Me käytämme 10-lukujärjestelmää Esim. 4307 tuhannet kymmenet 4 3 0 7 sadat ykköset = 4*1000 + 3*100 + 0*10 + 7*1 = 4*10^3 + 3*10^2 + 0*10^1 + 7*10^0
Binäärijärjestelmässä on vain ykkösia ja nollia. (Bi = 2) Esim. 1011 = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 11 eli binääriluku 1011 vastaa lukua 11 (There are 10 kinds of people; those who understand binary and those who don't.) Esim. Muuta luku 143 7-järjestelmän luvuksi. 7^0 = 1 7^1 = 7 7^2 = 49 7^3 = 343 343 on liian suuri! 49*3 = 147 on myös liian suuri!
49*2 = 98 143-98 = 45 45 = 6*7 +2 Eli 143 7-järjestelmässä on 262 16-järjestelmässä lukua 9 suuremmat luvut on korvattu kirjaimin: A=10, B=11,... F=15 Esim. Muuta luku 1000 16-kantaan. 1 16 16^2 = 256 16^3 = 4096 Eli 4096 on liian suuri 1000 = 3*256 + 232 232 = 14*16 + 8 Eli 1000 = 3E8 HUOMAA: (10) 9999 +1 = 10000 (2) 111111 + 1 = 1000000 (7) 666 + 1 = 1000
(16) FFFFF +1 = 100000 Siksi Esim. luku 4095 = FFF (16^3 = 4096) 7.2 Alkuluvut Alkuluvut ovat luonnollisia lukuja, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja luvulla 1. (Ja ovat suurempia kuin 1) Pienin alkuluku on 2 ja sitä seuraavia alkulukuja ovat 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Esim. Luku 9 ei ole alkuluku, koska 9 = 3*3 ja luku 20 ei ole alkuluku, koska 20=4*5 Jos luonnollinen luku ei ole alkuluku, on se yhdistetty luku, eli joidenkin lukujen tulo. (1 ei ole alkuluku EIKÄ yhdistetty luku)
Esim. Luvut 9 ja 20 ovat yhdistettyjä lukuja. Jokainen luku voidaan esittää yksikäsitteisesti alkulukujen tulona. Tätä kutsutaan alkutekijähajotelmaksi. Esim. Luku 7 on alkuluku, joten sen alkutekijähajotelma on 7 = 7 Luku 20 on yhdistetty luku, jonka alkutekijähaj. on 20 = 2*2*5 = 2^2 *5 Näin 20 on esitetty alkutekijöissään 2, 2 ja 5. Esim. Esitä luvun 378 alkutekijähajotelma 378 = 3*126 = 3*2*63 = 3*2*3*21 = 3*2*3*7*3 = 2* 3^3 * 7
Esim. Osoita, että alkulukuja on äärettömästi. Vastaoletus: alkulukuja on äärellinen määrä, eli on olemassa suurin alkuluku, merkitään N. Nyt voidaan luetella kaikki alkuluvut: n, n, n, n,..., N Muodostetaan luku K = n *n * n *... *N +1 Luku K on nyt alkuluku, koska mikään alkuluku ei jaa sitä! (MIKSI?!?!?!) Toisaalta on oltava, että K>N, koska K=k*N+1 jollakin luonnollisella luvulla k. Tästä seuraa RISTIRIITA, joten vastaoletus on väärä ja väite tosi.
7.3 Eratostheneen seula Esim. Onko 419 alkuluku? Onko jaollinen luvulla 2? Entä luvulla 3? 5? 7? 11?... Kaikkia alkulukuja ei tarvitse käydä lukuun 419 asti läpi, riittää käydä lukuun 419 asti! (Jos 419 on yhdistetty luku, on sen pienin tekijä pienempi kuin 419, sillä 419* 419 = 419) Nyt 419 = 20,42... Eli viimeinen tarkistettava alkuluku on 19<20,42 Kokeillaan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Mikään näistä ei jaa, joten 419 on alkuluku. Esim Onko 323 alkuluku? Tarvitsee käydä vain lukua 323 = 17,972... pienemmät alkuluvut! Huomataan, että 323 on jaollinen luvulla 17. Silloin 323= 17*19. Laskin osaa myös etsiä tekijät; valitaan valikoista Muunnos-> tekijä -> factor factor (323) 17*19 Esim. Laskin paljastaa, että luku 231173 ei ole alkuluku, vaan 231173 = 19*23^3
Alkulukuja on työläs etsiä, mutta toisaalta modernit salausjärjestelmät tarvitsevat hyvin suuria alkulukuja! Yksi tapa "seuloa" luonnollisista luvuista alkuluvut on Eratostheneen seula. Katso s.110 Se toimii ilman laskinta, mutta se on hidas.
7.4 Kongruenssi Mitä yhteistä on luvuilla 1, 11, 21, 31, 41,...? Entäs luvuilla 3, 10, 17, 24, 31, 38,...? Niillä on yhtä suuri jakojäännös, kun ne jaetaan tietyllä luvulla. (ekassa 10 tokassa 7) Tätä ominaisuutta merkitään kongruenssilla. a ja b ovat kongruentteja keskenään modulo n, jos n (a-b). Tämä merkitään Esim. 1 ja 51 ovat kongruentteja keskenään modulo 10, sillä 10 (51-1) lyhyemmin siis
Kongruenssi säilyy yhteen- ja kertolaskussa: (s.114 laatikko) Esim 2 = 14 (mod 4) ja 3 = -1 (mod 4) siis myös 2 + 3 = 14-1 (mod 4) eli 5 = 13 (mod 4) ja 2*3 = 14*(-1) (mod 4 ) eli 6 = -14 (mod 4) Lisäksi 3*3*3*3*3 = (-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1) (mod 4) eli 243= 3 = (-1) = -1 (mod 4) Esim. Määritä, onko luku 3 jaollinen luvulla 7. Nyt 3 = 3 = 27 Koska 27 = -1 (mod 7),
niin 3 = (-1) = 1 (mod 7) Eli 3 ei ole jaollinen seiskalla (koska jakojäännös on 1 0.) Esim. Määritä luvun 7 viimeinen numero. Nyt 7 = 7 *7 Koska 7 = 49 = -1 (mod 10) niin 7 = (-1) * 7 = -1*7 = 3 (mod 10) Koska jakojäännös kymmenellä jaettaessa on 3, on myös luvun 7 viimeinen luku 3. Osoitetaan luvun 9 jaollisuussääntö, eli Luku on jaollinen luvulla 9, jos sen kymmenjärjestelmäesityksen lukujen summa on jaollinen yhdeksällä.
Kymmenjärjestelmäesitys: Eli jotta luku jaollinen ysillä, on sen kymmenjärjestelmäesityksen lukujen summan oltava jaollinen ysillä. Esim. luku 3145826 on jaollinen ysillä, sillä 3+1+4+5+8+2+6 = 27 on jaollinen ysillä