MAA11 Ratkaisuja Vapaa matikka 11-kirjan tehtäviin

Transkriptio

1 MAA11 Ratkaisuja Vapaa matikka 11-kirjan tehtäviin Samuli Hanski 28. huhtikuuta 2014 Tehtävät ja niiden numerointi pohjautuvat oppikirjan 2., korjattuun painokseen. 5.1 Jaollisuus ja jakojäännös Harjoitustehtäviä Tehtävä 1. a) Ei ole. On. On. d) Ei ole. a) Jakaa. Jakaa. Ei jaa. d) Ei jaa. Tehtävä 3. a) 3 66,koska66= ,koska120:7=17 1 7,jokaeiolekokonaisluku. 15 ( 330),koska 330= d) 11 ( 619),koska 619:11= ,jokaei ole kokonaisluku. Tehtävä 4. Väite on a) epätosi, tosi, tosi, d) tosi, e) tosi. a) 7= = = d) 3858= Tehtävä 6. Huomaa, että jakojäännös on aina ei-negatiivinen. a) 22= = =

2 Tehtävä 7. a) 9= = = d) 124= Tehtävä 8. a) 2, 4, 26, d) 41. Tehtävä 9. a) 10täyttäpussia,ylijää täyttä pussia, yli ei jää yhtään. 43täyttäpussia,ylijää2. d) 65 täyttä pussia, yli ei jää yhtään. Tehtävä 10. Kello oli Tehtävä 11. a) 1671, 1092, 48, d) 1,5,13tai65. Tehtävä 12. a) Osamäärä on 8, jakojäännös on 2. Osamääräon9,jakojäännöson10. 1 Tehtävä13. Aloitaesittämälläluvutbjacluvunaavulla. Tehtävä14. Aloitaesittämälläcluvunaavullajadluvunbavulla. Tehtävä 15. Missä muodossa jokainen pariton luku voidaan esittää? Tehtävä16. Jokoa=btaia= b.miksi? Tehtävä 17. a) Osamääräonn,jakojäännöson3.Jakoyhtälöon5n+3=n 5+3. Osamääräonn+1,jakojäännöson1.Jakoyhtälöonn 2 +2n+2=(n+1)(n+1)+1. Osamääräonn 2 1,jakojäännöson0.Jakoyhtälöonn 3 +3n 2 n 3=(n 2 1)(n+3).Ohje:jaa tekijöihin ryhmittelemällä. d) Osamääräonn 2 +2,jakojäännöson3.Jakoyhtälöon2n 3 +3n 2 +4n+9=(n 2 +2)(2n+3)+3. Tehtävä 18. a) Jakojäännösvoisaadaarvot0,1,2ja3. Tee epäsuora todistus. Käy läpi eri vaihtoehdot jakojäännökselle, kun a ja b jaetaan kolmella. 1 Tässä tehtävässä laskimen laskentatarkkuus loppuu kesken. Laskimen käytöllä voi aloittaa, mutta oikea jakojäännös on pääteltävä jollain muulla tavalla. Miten?

3 Kotitehtäviä Tehtävä 1. a) On. Ei ole. Ei ole. d) On. a) Jakaa. Ei jaa. Ei jaa. d) Jakaa. Tehtävä 3. Ks. tarvittaessa apua esimerkistä Tehtävä 4. a) Ei ole. On. Ei ole. d) On. e) On. a) 9= = = Tehtävä 6. a) 12= = = Tehtävä 7. a) 3= = = d) 88= Tehtävä 8. a) 3, 1, 56, d) 79. Tehtävä 9. a) Tiistai. Sunnuntai. Tehtävä tunnin kuluttua on perjantai klo Tehtävä 11. a) C Tehtävä 12.

4 a) d) 11,13tai143. Tehtävä13. Otayhteiseksitekijäksi(3n+1) 3. Tehtävä 14. Poista sulkeet esimerkiksi symbolisen laskimen avulla. Tehtävä 15. a) Vaillinainenosamääräon49,jakojäännöson50jajakoyhtälöon =49(7 48 1)+50. Osamääräon7 25 1,jakojäännöson0jajakoyhtälöon7 25 1=(7 25 1)( )+0. Tehtävä16. Koskaa b,niinb=kajollakinkokonaisluvullak.jatkaesittämälläb+cvastaavasti. Tehtävä 17. Toimi samalla tavalla kuin tehtävässä 16. Tehtävä 18. Toimi samalla tavalla kuin tehtävässä 16. Tehtävä19. Jos3 a 2b,niin(a 2=3kjollakinkokonaisluvullak.Kirjoitasittena+bmuodossa, jostakolmellajaollisuusnäkyy.toisaalta,jos3 (a+,niina+b=3mjollakinkokonaisluvullam.kirjoitanyt a 2b muodossa, josta kolmella jaollisuus näkyy. Tehtävä 20. a) Vaillinainenosamääräon2n 3,jakojäännöson1jajakoyhtälöon2n 2 n 2=(2n 3)(n+1)+1. Vaillinainenosamääräonn 2 n+2,jakojäännöson2jajakoyhtälöonn 3 +n 2 +6=(n 2 n+2)(n+2)+2. Vaillinainenosamääräonn+2,jakojäännöson 1jajakoyhtälöonn 2 +2n 1=(n+2) n 1. 2 Tehtävä 21. Muokkaa tapauksen a 0 todistusta. Tehtävä 22. a) 10, , Polynomienjakolaskussajakojäännökseltavaaditaan,ettäsenastelukuonjakajaapienempi.Jakojäännösvoisiksiollanegatiivinen.

5 5.2 Kongruenssi Harjoitustehtäviä Tehtävä 1. Ks. apua esimerkistä a) 2, 0, 5. Tehtävä3. 19,31,43,55,67,79,91,103,115,127.Minkäsäännönluvuttoteuttavat? Tehtävä 4. Eivät sammuneet. a) 15.00, On lauantai. Tehtävä 6. Kannattaa soveltaa kongruenssin laskusääntöjä. a) 3, 2, 1. Tehtävä7. 0.Se,ettänjättääviidelläjaettaessajakojäännöksen2,tarkoittaa,ettän 2(mod5). Tehtävä 8. Käy läpi eri vaihtoehdot jakojäännökselle. Tehtävä 9. Mitkä ovat pienimmät ei-negatiiviset kokonaisluvut, joiden kanssa n voi olla kongruentti modulo 2? Tarkista, että väite pätee kaikilla näillä vaihtoehdoilla. Ks. apua esimerkistä Tehtävän voi tietenkin ratkaista myös ilman kongruenssien käsittelyä. Tehtävä 10. Parilliset luvut ja vain ne ovat kongruentteja luvun 0 kanssa modulo 2. Ks. esimerkki Tehtävä 11. Ks. esimerkki Tehtävä 12. Ks. esimerkki Tehtävä 13. Ks. esimerkki Tehtävä 14. Ks. esimerkki Tehtävä 15. Modulo 3 tarkoittaa, että tarkastellaan jaollisuutta kolmella. Kolmella jaollisuuden tarkastelu osittaa kokonaislukujen joukon kolmeen osajoukkoon. Millaiset luvut näihin osajoukkoihin kuuluvat? Kongruenssin toteuttavatkaikkineluvut,jotkaovatkongruenttejaluvun2kanssamodulo3,ts.x=2+3k,k Z. Tehtävä16. Oletetaan,ettäa b(modk)sekäa=mk+r 1 jab=nk+r 2,joissar 1 jar 2 ovatjakojäännökset ja0 r 1,r 2 <k.etenekirjoittamallaa btoisellatavalla.mitähuomaatluvunr 1 r 2 jaollisuudesta?osoita, ettätästäseuraar 1 = r 2.Toisaalta,josajabjättävätluvullak jaettaessasamanjakojäännöksenr,niin a=mk+rjab=nk+r.tutkinyterotustaa b. Tehtävä 17. Osaat kyllä itse! Tehtävä 18.

6 a) Osaat kyllä! Tämänkin osaat itse! f(n)=n 13(mod28),f(n)= 1 3 (n 7)(mod28). Kotitehtäviä Tehtävä 1. Ks. apua esimerkistä a) 0, 4, 2. Tehtävä3. 45, 37, 29, 21, 13, 5,3,11,19,27,35,43.Minkäsäännönluvuttoteuttavat? Tehtävä 4. On. Ketkään henkilöistä eivät ole syntyneet samana viikonpäivänä. Vastaus ei riipu siitä, osuuko vuosi 2000(joka ei ollut karkausvuosi) tarkastelujaksolle. Tehtävä 6. a) On toukokuu. Oli lokakuu. Tehtävä 7. Kannattaa soveltaa kongruenssin laskusääntöjä. a) 7, 0, 2. Tehtävä Tehtävä9. Oletuksistaseuraa,ettäa c=mkjab d=nkjoillakinm,n Z.Tarkastelenytlauseketta a b c+d. Tehtävä 10. Ks. apua esimerkistä Tehtävä 11. Ks. apua esimerkistä Tehtävä 12. Ks. apua esimerkistä Tehtävä 13. Ks. apua esimerkistä Tehtävä14. x=4+7k,jossak Z. Tehtävä15. Väiteonepätosi.Etsivastaesimerkkielivalitsesopivatluvuta,bjam,joillaab 0(modm) muttasiltia 0jab 0. Tehtävä 16. Väite on epätosi. Etsi vastaesimerkki. Tehtävä 17.

7 a) Jäännösluokatmodulo5ovat0={5k k Z},1={5k+1 k Z},2={5k+2 k Z}, 3={5k+3 k Z}ja4={5k+4 k Z} d) e) f) Jäännösluokkien0,1,2,3ja4vasta-alkiotovat0,4,3,2ja1. Jäännösluokalla 0 ei ole käänteisalkiota. Jäännösluokkien 1, 2, 3 ja 4 käänteisalkiot ovat 1, 3, 2 ja 4. x=3. x=2 x= Kongruenssin sovelluksia Harjoituksia Tehtävä 1. a) 4, 1, 0. a) 3, 4, 0, d) 2. Tehtävä3. Käytäapunatietoa,että7 1(mod3)ja2 1(mod3). Tehtävä4. 0.Summakoostuumuotoa3n 2,3n 1ja3nolevienlukujenkuutioista.Tarkastele,minkä jakojäännöksen nämä luvut jättävät, ja sovella kongruenssin laskusääntöjä. a) 2, 3. Tarkastele pienemmillä luvuilla, kuinka viimeinen numero muuttuu eksponentin kasvaessa. Tehtävä6. Huomaa,että7 1(mod3). Tehtävä 7. Aloita yksinkertaistamalla lauseketta potenssin laskusääntöjen avulla. Tehtävä 8. a) Luku on jaollinen kolmella. Luku ei ole jaollinen kolmella. Tehtävä 9. a) 8, 3. Tehtävä10. Huomaa,että10 1(mod9).