k = 1,...,r. L(x 1 (t), x

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun t ja t f ovat kiinteitä ja tiedetään reunaehdot y (k) (t ) = y k,, y (k) (t f ) = y k,f, k =,..., r 1 eli yhteensä 2r reunaehtoa. Määritellään uusi r 1 tilamuuttuja x k (t) = y (k 1) (t), k = 1,...,r, jolloin funktionaali on muotoa rajoitusehdolla J(x) = t g(x 1 (t), x 1 (t),...,ẋ r (t), t) dt ẋ k (t) = x k+1 (t), k = 1,...r 1. Ottamalla käyttöön Lagrangen kerroinfunktiot λ k (t) saadaan kirjoitettua täydennetty funktionaali missä J a = t L(x 1 (t), x 1 (t),...,ẋ r (t), λ 1 (t),..., λ r 1 (t), t) dt, r 1 L = g + λ 1 (ẋ 1 x 2 ) +... + λ r 1 (ẋ r 1 x r ) = g + λ k (ẋ k x k+1 ), ja silloin tehtävän Eulerin yhtälöt ovat k=1 L d L =, x k dt ẋ k k = 1,...,r. Kun nyt k {1,...,r 2}, niin silloin L d L = x k+1 dt ẋ k+1 g x k+1 }{{} = λ k d dt [ g ẋ k+1 + λ k+1 = eli Lisäksi pätee eli λ k = d dt [ g ẋ k+1 + λ k+1. (1) L d L = g λ r 1 d g = x r dt ẋ r x r dt ẋ r λ r 1 = d g. (2) dt ẋ r

Lähtemällä liikkeelle ensimmäisestä Eulerin yhtälöstä ja käyttämällä kaavoja (1) ja (2) saadaan = L d L x 1 dt ẋ 1 = g d [ g + λ 1 x 1 dt ẋ 1 = g d g + d2 [ g + λ x 1 dt ẋ 1 dt 2 2 ẋ 2 = g d g + d2 g d3 [ g x 1 dt ẋ 1 dt 2 ẋ 2 dt 3 ẋ3 + λ 3 =... = g r + ( 1) k dk g =. x 1 dt k ẋ k k=1 Sijoittamalla y(t):n derivaatat x k (t):den paikalle saadaan r k= ( 1) k dk dt k [ g y (k) ( y (t), ẏ (t),..., dr y (t) dt r, t ) =. 2. Ihmisen hengitysjärjestelmän malli: P(t) V (t) V (t) Keuhkojen ja ilmakehän välinen paine-ero Keuhkojen tilavuuden lisäys tasapainotilasta Ilmavirtaus keuhkoihin Keuhkojen tilayhtälö: P(t) = KV (t) + R V (t), (3) missä KV (t) on rintakehän laajentumista vastustava mekaaninen jousivoima ja R V (t) sisäänulosvirtauksen vastus. Ihmisen hengityselimet toimivat siten, että sisään hengitettäessä kriteeri min J = minimoituu. Reunaehdot ovat ja loppuaika T kiinteä. T { [ V (t) 2 + αp(t) V (t) } dt, α > V () =, V () =, V (T) = VT, V (T) = a) Miten kriteeri J tulee tulkita? Termi [ V (t) 2 pyrkii minimoimaan ilmavirtauksen kiihtyvyyden, jolloin saadaan mahdollisimman tasainen hengitysliike. Termi P(t) V (t) vastaa virtauksen ulkoista tehonkulutusta. Minimoimalla tätä minimoidaan samalla hengitykseen käytetty ulkoinen työ.

b) Muodostetaan Eulerin yhtälö: F(t) = V 2 (t) + αp(t) V (t) = V 2 (t) + α[kv (t) + R V (t) V (t) = V 2 (t) + αr V 2 (t) + αkv (t) V (t) F V = αk V, F V = 2αR V + αkv, F V = 2 V. Käyttämällä tehtävän 1 tulosta saadaan Eulerin yhtälö: F V d [ F [ dt V + d2 F dt 2 V =. αk V [ [ d dt 2αR V + αkv + d 2 dt 2 V [ 2 d αkv 2αR V αkv + d [2 V dt dt [ d 2 αrv + V dt 2 = = = V αrv = c1 t + c 2. c) Ratkaistaan Eulerin yhtälö. Olkoon ω = αr. Homogeenisen yhtälön V αrv = ratkaisu on V (t) = c 3 e ωt + c 4 e ωt. Täydelliseen yhtälöön saadaan erikoisratkaisu yritteellä V (t) = At + B, jolloin eli Yhtälön koko ratkaisu on siis αrat αrb = c 1 t + c 2 A = c 1 αr, B = c 2 αr. V (t) = c 1 αr t c 2 αr + c 3e ωt + c 4 e ωt. Miltä ratkaisu näyttää, jos ulkoisen työn tekijä jätetään pois? Olkoon α = ja K = R = V T = T = 1. Tällöin yhtälö on yksinkertaisesti ja sen ratkaisu on V (t) = c 1 t + c 2 V (t) = c 1 t 3 + c 2 t 2 + c 3 t + c 4, eli ratkaisu on kolmannen asteen Hermiten interpolaatiopolynomi, missä vakiot määräytyvät reunaehdoista. Annetuilla lukuarvoilla ja ratkaisukäyrä on esitetty kuvassa 1. V (t) = 2t 3 + 3t 2

1.9.8 Keuhkojen tilavuuden lisäys V(t).7.6.5.4.3.2.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Aika t Kuva 1: Optimaalinen sisäänhengitys, kun α = ja K = R = V T = T = 1. 3. Etsittävä ekstremaalit funktionaalille min J = 4 [ẋ(t) 1 2 [ẋ(t) + 1 2 dt = 4 F(x, ẋ, t) dt reunaehdoilla x() = ja x(4) = 2. Olkoon mahdollinen taitekohta t 1. Weierstrass-Erdmannin kulmaehtojen mukaan funktioiden Fẋ, F Fẋẋ on oltavia jatkuvia taitekohdassa. Nyt siis funktiot Fẋ = 2 [ ẋ(t) 1 [ ẋ(t) + 1 2 + 2 [ẋ(t) 1 2 [ẋ(t) + 1 = 2 [ ẋ(t) 1 [ ẋ(t) + 1 [ ẋ(t) 1 + ẋ(t) + 1 = 4 [ ẋ(t) 1 [ ẋ(t) + 1 ẋ(t) F Fẋẋ = [ ẋ(t) 1 2[ẋ(t) + 1 2 4 [ẋ(t) 1 [ẋ(t) + 1 ẋ2 (t) = [ ẋ(t) 1 [ ẋ(t) + 1 [ ẋ 2 (t) 1 4ẋ 2 (t) = [ ẋ(t) 1 [ ẋ(t) + 1 [ 3ẋ 2 (t) + 1 ovat jatkuvia, kun taas ẋ (t) on epäjatkuva pisteessä t 1. Olkoon nyt a := lim t t + ẋ(t); 1 b := lim t t ẋ(t); 1 a b. Tavoite on etsiä raja-arvojen a ja b mahdolliset arvot. Ensimmäinen jatkuvuusehto antaa 4(a 1)(a + 1)a = 4(b 1)(b + 1)b = p(a) = p(b), missä p on polynomi. Toinen jatkuvuusehto antaa (a 1)(a + 1)(3a 2 + 1) = (b 1)(b + 1)(3b 2 + 1) = q(a) = q(b),

missä q on eräs toinen polynomi. Koska ehdot ovat yhtä aikaa voimassa, pätee myös p(a)q(b) p(b)q(a) =. Kirjoittamalla tämä auki ja ryhmittelemällä tekijöitä saadaan (a 2 1)(b 2 1) [ a(3b 2 + 1) b(3a 2 + 1) =. Voidaan osoittaa, että kaksi mahdollista ratkaisuparia (a, b), joille pätee a b, ovat (a, b) = (1, 1) (a, b) = ( 1, 1). Siis olemme löytäneet ẋ (t 1 ):n molemmanpuoleiset raja-arvot (kaksi eri tapausta). Kirjoitetaan nyt Eulerin yhtälö: d dt F ẋ = Fẋẋ ẋ = [3ẋ 2 1ẍ = jonka ratkaisu on suora x(t) = c 1 t + c 2. Koska ratkaisut ovat jatkuvia paloittain lineaarisia funktioita, joilla on yksi kulma ja joiden derivaatat ovat siis edellä päätellyn mukaisesti ±1, niin on olemassa vain kaksi mahdollista funktiota, jotka toteuttavat Eulerin yhtälön paloittain sekä WE-kulmaehdot: { t, t < x t1 1(t) = t 2, t 1 t 4 Kuvassa 2 on esitetty ratkaisut. { t, t < x 2 (t) = t1 6 t, t 1 t 4. 3 2.5 2 1.5 x(t) 1.5.5 1.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 t Kuva 2: Optimaaliset trajektorit tehtävälle 3, kun trajektorissa saa olla yksi kulma. Mahdolliset kulmapisteet ovat t = 1 ja t = 3.

4. Etsittävä ekstremaalit funktionaalille isoperimetrisellä rajoitusehdolla sekä reunaehdoilla J = ẋ 2 (t) dt x 2 (t) dt = 2 x() = x(1) =. Isoperimetrinen rajoite voidaan sisällyttää tehtävään seuraavasti. Olkoon ( t z(t) = ) x 2 (τ) dτ ylimääräinen tilamuuttuja em.tehtävälle, jolloin isoperimetrinen rajoitus vastaa ehtoja Derivoimalla saadaan rajoitus muodossa z() =, z(1) = 2. ż(t) = x 2 (t). Ekvivalentti funktionaali rajoitusten vallitessa on tällöin J a = g a (x, ẋ, z, ż, t) dt = {ẋ 2 (t) + p(t)[x 2 (t) ż(t)} dt, missä p(t) on Lagrangen kerroinfunktio. Muodostamalla Eulerin yhtälöt sekä tilamuuttujalle x(t) että ylimääräiselle tilamuuttujalle z(t) saadaan välttämättömät ehdot ekstremaalille: p(t)x(t) d [2ẋ(t) = dt d dt [ p(t) = Tällöin ratkaisut ovat tunnetusti muotoa ẍ(t) = p(t)x(t), p(t) λ (vakio). x(t) = c 1 e t λ + c 2 e t λ. Vakiot c 1,c 2 ja λ määräytyvät reunaehdoista. Jos olisi λ >, niin silloin reunaehdoista seuraa c 1 = c 2 =, eli x(t), mutta silloin isoperimetrinen rajoite ei voi toteutua. Samoin käy jos λ =. On siis oltava λ <. Olkoon ω = λ. Ratkaisut ovat tällöin muotoa x(t) = c 1 sin(ωt) + c 2 cos(ωt). Reunaehdoista seuraa, että jolloin c 1 sin(ω) =, c 2 =, x(t) = c 1 sin(πnt), n Z\{}.

Vakion c 1 kiinnittää isoperimetrinen ehto: x 2 (t) dt = c 2 1 Ekstremaaliehdokkaita ovat siis funktiot sin 2 (πnt) dt = c2 1 2 = 2 c 1 = ±2. x(t) = ±2 sin(πnt), n Z\{}. Laskemalla funktionaalin arvot saadaan J(x(t)) = ẋ 2 (t) dt = 4π 2 n 2 cos 2 (πxt) dt = 2π 2 n 2, joten minimi löytyy, kun x min (t) = ± sin(πt), ja maksimia ei ole olemassa. 5. Funktionaali differentiaaliyhtälörajoituksella J = t F(x, ẋ, t) dt kun x(t ) = x, t f on kiinteä ja x(t f ) vapaa. Tässä siis f(x, ẋ, t) = (4) x : R R n+m, f : R n+m R n+m R R n. Differentiaaliyhtälörajoitteet otetaan mukaan Lagrangen kerroinfunktioiden p 1 (t),...,p n (t) avulla: [ J a = F(x, ẋ, t) + p T (t)f(x, ẋ, t) dt. t Laajennettu funktionaali J a yhtyy alkuperäiseen funktionaaliin J, kun f(x, ẋ, t) =. Varioidaan nyt laajennettua funktionaalia. Huomattavaa on, että Lagrangen kerroinfunktioita tulee myös varioida, ja ne toimivat ylimääräisinä tilamuuttujina (jatkossa puhumme liittotilamuuttujista): δj a (x, δx, p, δp) = Osittaisintegroimalla saadaan t t t ( F ẋ [( F x f ) ( F + pt δx + x ẋ f ) + pt δẋ dt ẋ f ) + pt δẋ + f T δp dt. ẋ = [ F ẋ (x(t f), ẋ(t f ), t f ) + p T f ẋ (x(t f), ẋ(t f ), t f ) δx(t f ) d [ F f + pt δx dt. dt ẋ ẋ Siis δj a = [ F ẋ (x(t f), ẋ(t f ), t f ) + p T f ẋ (x(t f), ẋ(t f ), t f ) δx(t f ) {[( F f ) d ( F f ) + + pt + pt δx + f T δp } dt. x x dt ẋ ẋ t

Ekstremaalilla tulee toteutua δj a =, f =. Reunaehdoista riippumatta integraalin tulee aina hävitä, kuten todettua aikaisemmin (katso esimerkiksi harjoitus 5 tehtävä 6). Integraalin alla oleva osa vaaditaan differentiaaliyhtälöjen toteutuessa siis nollaksi: n+m k=1 [( F + p T f ) d ( F + p T f ) δxk =. (5) x k x k dt ẋ k ẋ k Nyt on muistettava, että termit δx 1,...δx n+m eivät ole riippumattomia! Niitä sitoo n kpl rajoitteita (4). Kuitenkin rajoitteiden toteutuessa p k (t) voidaan valita mielivaltaisesti. Valitaan ne siten, että lausekkeessa (5) n kpl δx k :iden kertoimista tulee nolliksi, ja jäljelle jää m kpl mahdollisesti nollasta poikkeavia kertoimia. Jäljelle jäävät muutokset δx k ovat riippumattomia, joten niiden lineaarikombinaation ollessa nolla täytyy myös jäljelle jääneiden kertoimien olla nollia. Silloin kaikkien δx k kertoimien tulee olla nollia. Saadaan n+m kpl differentiaaliyhtälöjä missä F a d F a =, k = 1,...,n + m, x k dt ẋ k F a F(x, ẋ, t) + p T (t)f(x, ẋ, t) on laajennettu kustannusfunktio. Lisäksi tulee toteutua differentiaaliyhtälörajoite ja koska lopputila x(t f ) oli vapaa niin myöskin eli saadaan n + m transversaalisuusehtoa f(x, ẋ, t) =, F ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) + p T f ẋ (x (t f ), ẋ (t f ), t f ) = }{{} =, optimitrajektorilla F a ẋ k (x (t f ), ẋ (t f ), p (t f ), t f ) =, k = 1,...,n + m. Lisäksi vielä alkuehdot x(t ) = x (n + m kpl).