Linjär programmering grunder Lineaarinen ohjelmointi lähtökohdat (Svend Rasmussen kapitel 18-, luvut 18- Doll Orazem, kapitel 9 luku 9, s 3-369) Linjär programmering (lineär programmering) (LP) lineaarinen ohjelmointi Doll&Orazem kapitel 9 s. 319 LP är en av de viktigaste metoderna inom lantbruksekonomi sedan 19 talet Används för planering av driften på gårdar, (maatilan toiminnan suunnitteluun) för foderblandningar (rehuseoksiin) och för transport modeller (kuljetusmalleihin) Kurser: Y115 (operationsanalys operaatiotutkimus) MAL 17 (maatilan kehittämissuunnitelma) Optimering med begräsningar (optimointi rajoituksilla) Utgångspunkt: Man vill undersöka hur resurserna på en gård bör allokeras mellan olika produktionsinriktningar då gården är utsatt för olika begränsningar.. Gården är således utsatt för olika typer av restriktioner som berör arbetskraft, åker, villkor för miljöstöd, växtföljd, foder mm. Optimointi rajoituksilla Lähtökohta: halutaan tutkia kuinka maatilan käytettävissä olevat resurssit tulisi allokoida kun tilaa kohtaa erilaisie rajoituksia. Tila kohtaa erityyppisiä rajoituksia, jotka koskevat työvoimaa, peltoa, ympäristötuen ehtoja, kasvivuorottelua, rehuja yms. 1
I den linjära programmering är relationen mellan insatser fast och man kan inte ersätta en produktionsfaktor med en annan (lineaarisessa ohjelmoinnissa tuotantopanosten välillä on kiinteä suhde ja tuotantopanosta ei voida korvata toisella) G;dsel X2 5 2 1 4 3 Isokvant Arbetstimmar X1 1 2 3 4 5 Produktions med fast Skoefficient (fixed proportions) X1 och X2 Isokvant;...relationen mellan insatser är fast...(tuotantopanosten välillä on kiinteä suhde). av denna orsak karakteriseras produktionsfunktionen inte av de tidigare presenterade egenskaperna om tre faser och avtagande meravkastning (tästä johtuen tuotantofunktiota ei luonnehdi aikaisemmin esitettyä kolme vaihetta tai vähenevien tuoton lakia) I den linjära programmeringen är alla produktionsfunktioner och isointäktslinjer linjära (Lineaarisessa ohjelmoinnissa kaikki tuotantofunktio ja samatuottosuorat ovat lineaarisia) Exempel på produktionsfunktion i LP modeller: Exempel på en linjär produktionsfunktion: Y = a 1 X 1 + a 2 X 2 Þ konstant meravkastning (kiinteä rajatuotto) 2
Exempel på en linjär produktionsfunktion på basen av uppgifter i lantbrukskalendern (NSL): 2,55 ton vete = 11 h arbete + 490 kg Y3 gödsel + 234 kg eget utsäde + 41 kg köpt utsäde +1 ggr ogräsbekämpningsmedel 3,84 ton vete = 12 h arbete + 590 kg Y3 gödsel + 2 kg eget utsäde + 55 kg köpt utsäde +1 ggr ogräsbekämpningsmedel 4,35 ton vete = 13 h arbete + 690 kg Y3 gödsel + 6 kg eget utsäde + 69 kg köpt utsäde + 1 ggr ogräsbekämpningsmedel Objektivfunktion (kohdefunktio) I linjär programmering maximeras eller minimeras en objektivfunktion (lineaarisessa ohjelmoinnissa kohdefunktio maksimoidaan tai minimoidaan) t. ex. kan en vinstfunktion maximeras (voidaan esim. maksimoida voittofunktio) Man kan maximera vinstfunktionen för t. ex. en växtodlingsgård: (Esim. kasvinviljelytilan voittofunktio maksimoidaan) Isointäktslinjen visar den kombination av två produkter som kan säljas så att samma intäkt erhålls Samatuottosuora kertoo niiden kahden tuotteenyhdistelmän, joka pitää tuoton saman suuruisena p = p Y1 * Y 1 + p Y2 * Y 2 Var p = Täckningsbidrag (TB/ha) (katetuotto/ha) Y 1 = hektar vete Y 2 = hektar rybs p Y1 = TB/ha för vete p Y2 = TB/ha för rybs Ha höstvete 80 60 P Lutningsvinkel = - P y2 Y 1 Ha rybs 3
En förskjutning av isointäktslinjen visar en ny intäktsnivå, t.ex.: Samatuottosuoran siirtyminen osoittaa uuden tuottotason, esim. : Y2 kg Olika begränsningar för kombinationen av två eller flere produktionsgrenar existerar, t.ex. arealbegränsning för åker vid odling av två olika grödor. 80 60 Isointäktslinjen Samatuottosuora P Lutningsvinkel P y 2 Y1 Åkerbegränsing Parellel isointäktslinje visar en lägre intäktsnivå Rinnakkainen samatuottosuora osoittaa matalampaa tuottotasoa Ha, rybs Y2kg Åkerbegränsingen på växtodlingsgården Tuotannonhaarojen yhdistämiselle on olemassa rajoituksia, esim. peltoalarajoite kahdelle eri viljelyskasville Ha,syysvehnä Peltoalarajoite En annan begränsning är den till budstående arbetskraften, Höstvete kan tänkas kräva lite mer arbete än ryps på denna gård Toinen rajoite on käytettävissä oleva työvoima kevättöiden aikana eli kylvötuntirajoite. Tällä tilalla syysvehnä vaati hieman enemmän työtä Ha, höstvete Timbegransning Timbegränsning for varbruket vårbruket ( Toukotöiden kylvötuntirajoite) Mojligt Möjligt omrade område Kasvinviljelytilan peltoalarajoite kahdelle viljelyskasville Ha, rypsi Ha, rybs 4
Rotationsbegränsning för oljeväxter: max % oljeväxter. Kasvivuorottelurajoite öljykasveille: korkeintaan % öljykasveja Vi kan kombinera alla begränsningar grafiskt för att se vilken kombination av produktionsgrenarna som är möjlig: Ha,höstvete Höstvete, ha Möjligt område Mahdollinen alue Rotationsbegränsning/ Vuoroviljelyrajoite Rotationsbegränsning Möjligt område Timbegränsning Åkerbegränsning Rybs, ha Ha, rybs Vi inför isointäktlinjen i figuren. Den maximala vinsten uppnås då man odlar ca 17 ha rybs och 33 ha vete. Rotationsbegränsningen är bindande. Ifall ingen rotationsbegränsning skulle finnas skulle den maximala vinsten vara vid odling av ca ha rybs. Ha,höstvete Voimme yhdistää kaikki rajoitukset graafisesti: Ha, syysvehnä Timbegränsning Rotationsbegränsning Vuoroviljelyrajoite Kylvötuntirajoite Isointäktslinjen Åkerbegränsning Peltoalarajoite Möjligt område Parallell linje till isointäktslinjen Mahdollinen alue Ha, rybs Ha, rypsi 5
Viemme samatuottosuoran kuvioon. Suurin voitto saadaan kun viljellään 17 ha rypsiä ja 33 ha vehnää. Vuoroviljelyrajoite on sitova. Jollei vuoroviljelyrajoitetta olisi voittoa maksimoiva rypsin viljelyala käsittäisi noin ha. Ha, syysvehnä Vuoroviljelyrajoite Mahdollinen alue Kylvötuntirajoite Samatuottosuora Peltoalarajoite Samatuottosuoran rinnakkaissuora Ha, rypsiä Alternativkostnaden Vaihtoehtoiskustannus (eng. opportunity cost) Det belopp man ger avkall på genom att välja en viss handling Se rahamäärä, josta luovutaan tietyn toimenpiteen valinnan johdosta. Man bör ha olika handlingsalternativ att välja mellan Då man som regel i allmänhet har många alternativ att välja mellan är denna regel nästan alltid uppfylld Exempel (esimerkki) på alternativkostnad (1): En jordbrukare kan i ett visst fall förbättra lönsamheten från växtodlingen genom att välja att odla camelina (viljelijä voi tietyssä tapauksessa parantaa kasvinviljelyn kannattavuutta valitsemalla camelinaa eli kitupellava tai kansanomaisemmin ruistankio) För att kunna odla camelina måste han skära ner odlingen av vete (viljelläkseen camelinaa hänen on vähennettävä vehnän viljelyä) En uppoffring av inkomsterna från veteodlingen kallas för en alternativkostnad (vehnän viljelystä saatujen tulojen uhraus on vaihtoehtoiskustannus) Exempel...(2) I motsats till en verklig kostnad utvisar alternativkostnaden värdet av den alternativa produkt man avstått ifrån (Todellisen kustannuksen sijasta vaihtoehtoiskustannus osoittaa sen tuotteen arvo, josta on luovuttu) Man tänker sig den uppoffrade produkten som en insats medan den framställda produkten motsvarar avkastningen (Uhrattu tuote ajatellaan panoksena ja tuotettu tuote vastaa tuotosta) I linjära programmeringsmodeller tänker man sig de alternativa produkterna som alternativkostnader (Lineaareissa ohjelmointimalleissa vaihtoehtoiset tuotteet mielletään vaihtoehtoiskustannuksina) 6
I linjära programmeringsmodeller för hela gårdar gör man vissa antaganden (Kokonaisia maatiloja käsittävissä lineaarisissa malleissa tehdään joukko oletuksia) Val av aktiviteter (toimintojen valinta) Val av priser och mängder (hintojen ja määrien valinta) Begränsningar och resurser (rajoitteet ja resurssit) Tidsperiod och indelning av kostnader i fasta och rörliga (ajanjakso ja jako kiinteisiin ja muuttuviin kustannuksiin) Anpassning av täckningsbidrag för avsedda ändamål t. ex. stöd och priskänslighet mellanprodukters relativa fördelaktighet (välituotteiden suhteellinen edullisuus) Resultaten innebär (tulokset merkitsevät) Information för beslut på gårdsnivå (tietoa päätöksenteolle tilatasolla) priskänslighet (hintaherkkyys) produktionsmedlens kombination (tuotantovälineiden yhdistelmiä) kan användas för planering på lång eller kort sikt (voidaan käyttää lyhyen ja pitkän tähtäimen suunnittelussa) stödkänslighet eller övriga institutionella förändringar (riippuvuus tuista tai institutionaalisista muutoksista) alternativa kostnader för de insatser som är begränsande (vaihtoehtoiskustannukset niille panoksille, jotka ovat rajoitettuja) Resultaten förmedlar information om (tulokset välittävät tietoa) Grödor, växtföljd (viljelykasveista, kasvinvuorottelusta) Besättningsstorlek (karjan koosta) Övriga kapacitetsutnyttjande (arbete, maskiner) (kapasiteetin hyödyntämisestä) Men kan också användas för val av produktionsinriktning (voidaan myös käyttää tuotantosuunnan valinnalle) Exempel/(esimerkki) Maximera vinstfunktionen för ett jordbruksföretag (maksimoi voittofunktion) I exemplet finns bara två produkter (sk. aktiviteter): vårvete och rybs (vain kaksi tuotetta, nk. toimintoja kevätvehnä ja rypsi) Södra Finland Begränsningar (rajoitteet): ha, max % rybs, begränsad arbetskraft (rajoitettu työvoima) 7
Tabell 1. Täckningsbidrag för växtodlingsgården med stöd Vårvete Rybs Brödsäd, frö, skörd ton 3,4 2,0 Foderssäd, skörd ton 0,6 Brödsäd, frö, försäljningsintäkter, vete 218 euro/ton, rybs 485 euro/ton ) 741 970 Vete: foderssäd, försäljningsintäkter vete 0 euro/ton Rybs: produktionsbidrag ( stödform, minst 15% högst % av åkerareal 1 46 CAP gårdsstöd 227 227 Nationella stöd Miljöstöd 93 93 Kompensationsbidrag (LFA) 1) 170 170 Intäkter 1351 16 Rörliga kostnader 459 368 Täckningsbidrag 892 1138 Behov av reurser: Åker 1 1 - Arbetstimmar Taulukko 1 Kasvinviljelytilan katetuotto ml. tuet ja tarvittavat resurssit Vårvete Rybs Leipävilja siemen, sato tonnia 3,4 2,0 Rehuvilja, sato tonnia 0,6 Leipävilja siemen, myyntitulot 741 970 vehnä 218 euro/tonni, rypsi 485 euro/tonni) Rehuvilja, myyntitulot (0 1 46 euro/ton) Tutoantotuki (uusi tukimuoto, väh 15% kork % vilejlyalasta CAP tilatuki 227 227 Kansalliset tuet Ympäristötuki 93 93 Luonnonhaittakorvaus (LFA) 170 170 Tuotot 1351 16 Muuttuvat kustannukset 459 368 Katetuotto I 892 1137 Resurssien tarve: peltoa 1 1 -" työtunteja Tabell 2/taulukko 2. De disponibla resurserna och resursbehovet för växtodlingsgården (Kasvinviljelytilan käytettävissä olevat resurssit ja resurssitarve) Resurs eller begränsning Resurssi tai rajoitus Max. åker, ha Maksimimäärä peltoa, ha Max. arbetstimmar för skörd Maksimimäärä työtunteja puintiin, h Max. arbetstimmar för vårbruk Maksimimäärä työtunteja kylvötöihin, h Max. % ryps rotationsbegränsning Maks. % rypsiä vuoroviljelyrajoite Disponibelt Käytettävissä Vete/Vehnä Per ha Ha kohti Max åker Maks. Peltoala Rybs/Rypsi Per ha Max Ha kohti åker Maks. Peltoala 1 1 1 1,6 75 2 60 0 4 3,8 52,6 - - - 0,3 17 Matematisk formulering av problemet: Ongelman matemaattinen muotoilu Objektivfunktion: maximera täckningsbidraget Tavoitefunktio: Maksimoi katetuotto Max p (892 X 1 + 1137X 2 ) Med villkor att / Ehdolla, että (1) X 1 + X 2 < (2) 1,6X 1 + 2X 2 < 1 (3) 4 X 1 + 3,8 X 2 < 0 (4) X 2 < 0, * (5) X 1, X 2 >0 8
Resultaten Visar vilken omfattning vete och rybs bör odlas för att maximera täckningsbidraget (osoittaa sitä rypsi ja vehnäalaa, joka maksimoi katetuoton) Visar vilka begräsningarna (rajoitukset) är Visar skuggpriserna eller värdet av begränsningarna (osoittaa rajoitteiden varjohinnat eli niiden arvot) Grafisk lösning av LP problemet Ongelman graafinen ratkaisu 1. Beskriv problemet matematiskt med siffror (Määrittele ongelma matemaattisesti numeroilla) 2. Rita begränsningarna (Piirrä rajoitteet) 3. Sök de hörn som bestämmer det möjliga området (eng. feasible region) (Etsi nurkat, jotka määrittävät madollisen alueen) 4. Rita in isointäktslinjen och flytta den så långt från origo som möjligt dock så att den tangerar det möjliga området (Piirrä samatuottokäyrä ja siirrä se mahdollisimman kauas origosta niin että se edelleen sivuaa mahdollista aluetta) Matematisk lösning (matemaattinen ratkaisu) Sker med hjälp av datorer I excel finns en s.k. solver som kan lösa LP problem Ofta använt program: GAMS Ofta används den s.k. simplex metoden som många dataprogram baserar sig på. (Usein käytetään SIMPLEX menetelmää. Monet tietokoneohjelmat perustuvat simplex menetelmään). Exempel från Beras projektet, artikel Local food options a linear programming perspective on three organic farms in South Savolax, Finland (Veronika Krumalova, Stefan Bäckman, 05) Syftet är att studera hur tre ekologiska gårdar i Juva kan förbättra sitt täckningsbidrag genom linjär programmering samt att undersöka hur självförsörjning av foder inverkar på deras täckningsbidrag och näringsbalans Tarkoituksena on tutkia kolme luomu-tilaa Juvalla ja kuinka heidän katetuottonsa voidaan parantaa lineaarisen ohjelmoinnin menetelmällä sekä kuinka rehuomavaraisuus vaatimukset vaikuttavat katetuottoon ja ravinnetaseeseen. 9
Var är Juva beläget? Missä Juva sijaitsee? Gårdar i Juva (Veronika Krumalova, Stefan Bäckman, 05) Lantbruket i Juva, södra Savolax: Odlingsmark 8%, 15% är ekologiskt (luomu) (02) Mjölk är huvudproduktionslinje Markanvändningen på de ekologiska gårdarna: Vall (nurmi) 57% Säd (vilja) (främst fodersäd) 34% Trädesareal (kesanto) 5% Annat (muu) 5% Tabell 1. Markanvändning på de ekologiska gårdarna och på alla gårdar i Juva(02). (Veronika Krumalova, Stefan Bäckman, 05 Tabell 1. Markanvändning på de ekologiska gårdarna och på alla gårdar i Juva(02. Ekologiska gårdar (%) Alla gårdar (%) (ha) (ha) Vall (nurmi) 762 57 % 16 45 % Säd (vilja) 448 34 % 2971 33 % Träda (kes.) 62 5 % 545 6 % Trädgård 1 % 143 2 % Annat (muu) 52 4 % 1226 14 % Totalt (yht) 1335 8901 Linjär programmering (lineaarinen ohjelmointi): Linjär programmering (LP) är en metod som representerar planering av driften på hela gården. (= koko tilan talouden suunnittelu) LP modellen visar hur jordbrukaren kunde reagera på förändringar i politik och marknads förändringar (viljelijän mahdolliset reaktiot politiikka ja markkinamuutoksiin) På kort sikt är de rörliga kostnaderna föränderliga medan de fasta kostnaderna är givna (åker, maskiner byggnader) (lyhyellä tähtäimellä muuttuvat kustannukset ovat vaihtuvia kun taas kiinteät kustannukset (maa, koneet, rakennukset) ovat annettuja.
Lineär programmering (lineaarinen ohjelmointi): På lång sikt är också de fasta kostnaderna rörliga (pitkällä tähtäimellä myös kiinteät kustannukset ovat vaihtuvia) Man granskar således förändringar på kort sikt (tarkastellaan siis muutoksia lyhyellä tähtäimellä) Utfallet är ett resultat av de existerande resurserna på gården (tulos riippuu tilan olemassa olevista resursseista) IIV. Gårdarna (Veronika Krumalova, Stefan Bäckman) Bakgrunden (tausta) för de undersökta gårdarna: Hög självförsörjning av foder (korkea rehuomavaraisuus) djurtätheten (eläintiheys) på mjölkgårdarna ca 0,6 NE/ha, på köttgårdarna ca.1 NE/ha Samarbete på gårdarna (åkerbruk, gemensamma maskinparker) och handel med kalvar (välitysvasikoita) Sidoinkomster viktiga bl.a. skogsbruk (sivuansiot tärkeitä, metsätalous) BERAS final conference in Järna24-25.1.06 IIV.. Resultat på gårdsnivå (Veronika Krumalova, Stefan Bäckman) Tabell: skuggpriser (varjohinnat) för näringsbalansen (ravinnetase) på naturenligt (luomu) odlade gårdar i Juva Närings Gård 1 Gård 2 balans Skuggpris NE/ha Skuggpris NE/ha (kgn/ha) ( /Nkg/ha) ( /Nkg/ha) 25 26 0.5 55 0.6 35 26 0.6 45 0.6 23 0.8 34 0.8 Antaganden: Ingen export av stallgödsel, fria växtföljder, import av foder möjlig Gård 1: Åkern kan alternativt användas för att odla grödor till försäljning Gård 2: Åker kan endast användas för odling av foder till eget behov IIV. Gårdsnivå (Veronika Krumalova, Stefan Bäckman) En del slutsatser Handel med foder förbättrar täckningsbidrag vilket gör det möjligt att ha högre djurintensiteter men detta förvärrar näringsbalansen. Rehukauppa parantaa katetuotto mikä mahdollista korkeampia eläintiheyksiä mutta tämä huonontaa ravinnetasetta. Om fodersäd kan köpas så ökar arealen av vall och spannmål köps in till gårdarna. Detta kan förklaras antingen genom låga skördar eller låga priser för ekologiskt spannmål. Mikäli rehuviljaa voidaan ostaa nurmen osuus lisääntyy ja vilja ostetaan. Tämä voidaan selittää alhaisilla sadoilla ja alhaisilla luomuviljan hinnoilla. 11