Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x + k x + u ẋ k x + k 0 k x + u Ratkaitaan nyt alemmata X : X k 0 k X + k X + U X k X + k 0 k X + U X k X + U + k 0 + k joka voidaan ijoittaa ylempään jolloin aadaan X k 0 k X + k k X + U + k 0 + k + U joten X + k 0 + k U + k U + k 0 + k + k 0 + k + k }{{} 0 k 0 + k 0 k + k 0 k }{{ } A B Liäki Y c X joten Y annettu iirtofunktioeity on OK! yt tarkatellaan impuli ja akelvateita Impulivateen { ut a 0 δ0 Laplacemuunno on U a 0 ja akelfunktion ut 0 t < 0 b 0 t 0 U b 0 Seuraavia kohdia käytetään hyväki tietoa että ateen yteemille G voidaan etimoida parametrit α β γ ja σ α + β + γ + σ
a yt ohjauket u ja u ovat erikeen yötettyjä impuleja Tarkatellaan tapauket joia toinen on ykikköimpuli U ja toinen nolla U 0 yt Y C + k 0 + k yt vateen avulla voidaan identifioida vakiot c k 0 + k A ja B Vataavati valitaan iäänmenoiki U 0 ja U jolloin Y C k jota aadaan identifioitua vakiot C k A ja B Saatiin ii viidelle tuntemattomalle parametrille viii yhtälöä joita aadaan kaikki parametrit etimoitua Vataavati valitemalla toinen iäänmeno impuliki ja toinen akeleeki aadaan parametrit identifioitua b yt U U ja iten Y C + k 0 + k + k joten vateeta aadaan vakiot C C k 0 + k + k A ja B äitä enimmäinen C aadaan ii uoraan mutta kolme viimeitä tuottavat kolme yhtälöä mutta parametreja onkin neljä Eli parametreja ei aada identifioitua Vataava tulo aadaan jo molemman iäänmenot ovat akeleita c yt U ja U ja Y C + k 0 + k + k C k 0 + k + k Enimmäinen termi voidaan eittää oamurtokehitelmänä ja iten voidaan kirjoittaa Y C k 0 +k B C k 0 +k AC k 0 +k B B + k + miä oikean puolen enimmäinen termi vataa aikataoa akelta eli e näkyy vateea vain vakiovahvitukena Siten vateeta aadaan ratkaitua vakiot ± C k 0 +k AC k 0 +k B B + k A ja B yt tää on neljä yhtälöä mutta viii tuntematonta Jo C tunnetaan niin aadaan4 yhtälöä ja 4 tuntemationta ja iirtoparametrit k ij voidaan identifioida d Tämä kohta menee kuten edellinen yt U ja U eli aadaan Eitetään tämäkin muodoa Y C + k 0 + k + k r + t + v
Saadaan Y C k B + C k B AC k B k 0 + k Siten vateeta aadaan vakiot C k C k B B AC k B k 0 + k A ja B Siten meillä on viii yhtälöä ja viii tuntematonta joten parametrit aadaan etimoitua! Siten iäänmenon valinta vaikuttaa oleellieti iihen aadaanko mallin parametrit etimoitua! yt olkoon ut kun t ja ut 0 kun t < a Merkitään θ b b T ja φt ut ut T jolloin tarkateltava yteemi on muotoa yt θ T φt + vt Tälle PS-etimaatit aadaan kaavata: ˆθ φ T φ φ T yt φtφt T t φtyt t ut ut ut ut ut ut t yt t3 yt + t yt t3 yt t yt t3 yt t yt + t3 yt + t3 yt y y + t3 yt b + v ˆb b v + t3 vt ˆb t ut yt t ut yt yt huomataan että ˆb riippuu v:ta ei :tä Siten etimaatin tarkkuutta ei voida mielivaltaieti parantaa kavattamalla :ää Ongelma on e että φt φ ei käänny! Peruongelma on e että tää tapaukea heräte ei ole tarpeeki rika 3
b yt oletetaan että b 0 Tällöin aadaan ˆθ ˆb ut ut yt yt b + vt t Koka oletettiin että v on nollakekiarvoinen pätee joten ˆb b c yt b ut + vt vt 0 t φ T φ φtφt T ut ut ut ut ut n ut ut ut ut ut n ut nut ut nut ut n Ehto joka vaaditaan parametrien etimoimieki on että φ T φ kääntyy 3 a Tarkatetaan enin että φt φ kääntyy kun Koka φt φ ut utut utut ut pätee Ru 0 R φt φ u R u R u 0 joka kääntyy jo R u 0 ±R u ; eli aadaan käytettävää herätettä kokeva ehto Laketaan itten etimaatin variani joten ˆθ θ φ T φ φ T y θ φ T φ φ T φθ + e θ φ T φ φ T e E[ˆθ θˆθ θ T ] E[φ T φ φ T }{{} ee T φφ T φ ] σ I }{{} σ E[φ T φ ] R u 0 R u 4 Ru 0 R u R u R u 0
Eli V ar[ˆb ] E[ˆb b ] V ar[ˆb ] V ar[ˆb ] eli varianit riippuvat R u :tä ja R u 0:ta R u 0 R u 0 R u b Halutaan valita u e variani minimoituu Huomataan että minimiä R u 0 jolloin V ar[ˆb i ] R u 0 Koka oletettiin että R u 0 a aadaan liäki että minimiä R u 0 a Siten eimerkiki valkoinen kohina minimoi varianin Minimiä V ar[ˆb i ] a 4 a PRBS on determinitinen dikreetti ignaali joka on taajuiällöltään rika ja e muituttaa valkoita kohinaa Se määritellään euraavati :n mittainen PBRS ekveni on pulijono joka iältää + + 4 + 8 kappaletta puleja joiden keto on kappaletta puleja joiden keto on kappaletta puleja joiden keto on h h 3h kappaletta puleja joiden keto on n h kappaletta puleja joiden keto on n h kappaletta puleja joiden keto on nh Matlab-funktio la0t4am muodotaa tällaien ignaalin b Matlab-funktio la0t4bm 5