Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa. Oletetaan että puhumme unktiosta : R n R. Funktio siis ottaa argumentikseen n-ulotteisen vektorin ja saa arvokseen jonkun reaaliluvun. :n kuvaaja on jokin pinta n ulotteisessa avaruudessa ts.... n. Esim. jos n niin kuvaaja on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa. Se voisi nättää vaikkapa tältä: Emme tee eroa vektorin ja pisteen välille. Ne tarkoittavat samaa mutta havainnollisuuden vuoksi kätän toisinaan htä ilmausta toisinaan toista koska sanaan vektori liitt vähän erilainen mielikuva kuin sanaan piste.
Suunnattu derivaatta SD on vastaus ksmkseen: Kuinka nopeaa on :n arvon muutos kun :n argumenttina olevaa vektoria muutetaan? Jos :n arvot ovat reaalilukuja niin mös SD on reaaliluku. Ylläolevassa kuvassa alempi punainen piste osoittaa unktion argumenttina olevan pisteen tasossa. Ylemmän punaisen pisteen korkeus kertoo unktion arvon ko. pisteessä. Suuntaan A suunnattu derivaatta on positiivinen suuntaan C se on negatiivinen ja suuntaan B se näkisi olevan suunnilleen nolla. SD:n arvo riippuu - :n gradientista joka puolestaan vaihtelee :n määritteljoukon R n pisteestä toiseen; - muutosvektorista eli suunnasta johon sana suunnattu viittaa. Toisin sanoen: leensä kun meiltä kstään :n SD:tä ksms on muotoa: Laske :n suunnattu derivaatta pisteessä p suuntaan v. Tämä siis tarkoittaa suunnilleen: Laske :n marginaalinen muutosnopeus pisteessä p suuntaan v. Jos p ja v on annettu tulokseksi saadaan jokin reaaliluku. Kokonaisdierentiaali KD on n muuttujan unktio kuten :kin. KD vastaa ksmkseen: Miten :n muutos riippuu argumenttivektorin muutoksesta? Siinä missä suunnattu derivaatta on luku kokonaisdierentiaali on unktio. Sen argumentteina ovat :n argumenttivektorin komponenttien muutokset d d n. :n kokonaisdierentiaalia pisteessä voidaan merkitä vaikkapa d. Sen kaava on: d d d... d n n [Huom. Jos et muista miten pistetulo vektorien kertominen keskenään menee kertaa se muuten et tule tajuamaan näitä juttuja kunnolla. Linis II ei ole pakollinen kurssi mutta sen monisteesta kannattaa lukea ensimmäiset kaksi sivua: http://mathstat.helsinki.i/kurssit/linmatr/hh.pd sivut 6 64. Siellä nämä jutut on pistett kerralla nättiin pakettiin. Helppoa ja hödllistä suosittelen lämpimästi.] Jokainen tekijöistä d d n ilmoittaa miten paljon ja mihin suuntaan kutakin i muutetaan. Kokonaisdierentiaalin laskemiseksi d i :iä ei kuitenkaan tarvitse tietää: ne jätetään avoimeksi. d on unktio ja d:t ovat sen argumentit. Voimme mös sanoa: d:n argumentti on vektori missä d... d. n Kokonaisdierentiaalia kättämällä voidaan approksimoida unktion arvon muutosta kun unktion argumenttivektori muuttuu. Approksimaatio on sitä parempi mitä pienempi muutos on.
Esimerkki. Edellä esitetssä kuvassa on unktion kuvaaja [-] [-]:ssa. Leikitään että alempi punainen piste merkkaa pistettä jolloin.laske :n kokonaisdierentiaali tässä pisteessä. 4 Siis d d d 4 4 d d Tässä d on :n muutos neg. tai pos. ja d on :n muutos. Näemme nt että marginaalisesti :n muutos on puolet :n muutoksesta plus puolet :n muutoksesta. Esim. jos :ää lisätään ja :tä vähennetään samalla määrällä niin :n muutos on nolla. Näin voidaan approksimoida pienten :n ja :n muutosten vaikutusta :n arvoon. Esimerkki suunnattu derivaatta. Laske :n suunnattu derivaatta pisteessä vektorin suuntaan. SD 67. 5 5 [Jos et muista miten vektorin v normi v lasketaan kertaa se: http://mathstat.helsinki.i/kurssit/linmatr/hh.pd sivu 6.] Kstt suunnatun derivaatan arvo on siis n..67. Koska kseessä on derivaatta tällä tarkoitetaan :n arvon marginaalista muutosherkkttä kun :tä aletaan liikuttaa vektorin osoittamaan suuntaan.
Dierentiaalikehitelmä DK on jälleen n muuttujan unktio. Pointtina on unktion approksimoiminen jonkin pisteen mpäristössä. Sanomme: :n dierentiaalikehitelmä pisteessä on :n lineaariapproksimaatio pisteen mpäristössä plus virhetermi virhe joka snt kun :ää approksimoidaan. Yhtälössä ε 44 44 α β oikea puoli on :n dierentiaalikehitelmä. α on kokonaisdierentiaali β on virhetermi. Kun virhetermi unohdetaan jäljelle jää :n lineaariapproksimaatio eli :n arvo :ssa plus :n kokonaisdierentiaali :ssa. Virhetermin arvoa emme laske koska emme osaa tai viitsi. Muutenhan ei olisi mitään stä approksimoida. Virhetermiä voi laskiessa joko roikuttaa mukana tai tiputtaa sen pois kirjoittamalla edellisen htälön perään Esimerkki. Muodosta :n dierentiaalikehitelmä pisteessä. [ d d] d d d d d ε d d d d d Vasemmalla oikealla :n lineaariapproksimaatio: d d d d ε d d d d ε d d Lineaariapproksimaatio ei siis juurikaan muistuta :ää paitsi juuri pisteen välittömässä läheisdessä. Siinä kohdassa se on ihan ok :n approksimaatio.
Implisiittinen derivointi Ksms: määritteleekö htälö :n :n unktiona pisteen mpäristössä? Ensimmäisenä kannattaa tarkistaa päteekö htälö pisteessä. Kllä pätee ja jos ei pätisi vastaus ksmkseen olisi ei. Edellisen sivun kuvaa katsomalla on aika helppo nähdä että htälö pätee pisteen mpäristössä ainoastaan eräällä -tason suoralla joka kulkee ko. pisteen kautta. Nättäisi siis siltä että jos meille kerrotaan mikä on sekä se että niin voimme laskea :n. Katsotaanpa samaa asiaa algebrallisesti: Tästä saadaan ratkaistua : ± ; pisteessä on joten. On siis tosiaankin niin että htälö määrittelee implisiittisesti :n :n unktiona. Tässä implisiittisesti tarkoittaa sitä että :tä ei ole ratkaistu htälöstä. Yhtälö jossa on ratkaistu määrittelee :n :n unktiona eksplisiittisesti. Ksms: laske :n derivaatta :n suhteen pisteen mpäristössä htälön pätiessä. Yläpuolella olemme ratkaisseet :n ja derivoimalla saamme. Mutta :n ratkaiseminen ei ole aina mahdollista kun on jokin hankalampi unktio. Silti on leensä mahdollista selvittää ilmankin. Tällöin kätetään kaavaa joka on kansiksen opiskelijoille tuttu mikron kurssilta indierenssikärän kulmakertoimen laskeminesta. Useamman muuttujan tapauksessa kaava on pitempi. Katsokaa se sieltä Partasen monisteesta. Tämä tietenkin toimii vain mikäli. Esimerkkitapauksessa. Yllä ksttiin määritteleekö htälö :n :n unktiona pisteen mpäristössä. Se että saimme laskettua :lle implisiittiderivaatan :n suhteen riittää todistamaan että vastaus ksmkseen on kllä.
Otetaan vielä toinen esimerkki jossa emme pst ratkaisemaan :tä htälöstä. Esimerkki. Olkoon nt. Määritteleekö htälö implisiittisesti :n :n unktiona a origon mpäristössä b pisteen - mpäristössä? Laske kummassakin tapauksessa :n derivaatta :n suhteen. a Ensin tarkistetaan päteekö htälö lipäänsä origossa eli onko : kllä pätee. Sitten katsotaan onko :n osittaisderivaatta :n suhteen erisuuri kuin nolla: joten. Jos tulos olisi ollut jotain muuta kuin nolla se todistaisi että htälö määrittelee :n :n unktiona mutta nt näin ei ole. Toisaalta se että tulos on nolla ei riitä todistamaan että htälö ei määrittelisi :tä :n unktiona. Voidaan kuitenkin huomata että kun niin riippumatta :stä. Toisin sanoen ei ole totta että origon tuntumassa jokaista vastaisi vain ksi jolla htälö toteutuisi. Siis htälö ei määrittele :tä :n unktiona origon mpäristössä.
b Ensin tarkistetaan päteekö htälö lipäänsä -:ssa eli onko : kllä pätee. Sitten katsotaan onko :n osittaisderivaatta :n suhteen erisuuri kuin nolla: Tämä riittää todistamaan että -:n mpäristössä htälö määrittelee :n :n unktiona. Sitten lasketaan :n derivaatta :n suhteen: d d 8 8 5