KERROSKEHAN RATKAISEMINEN P -.6.- M ENETELMALLA ESA MAKKONEN Rakente iden Mekaniikka, Vol. 24 No 2 1991, ss. 3-41 TIIVISTELMA: Tassa kirjoituksessa on kehitetty P -.6.- menetelman nimella tunnettua geometrisesti ealineaaristen rakenteiden ratkaisutaaa matriisilaskentaa auna kayttaen sellaiseksi, etta iteratiivisen ratkaisun sijasta saadaan loutulos suoraan. Lisaksi talla menetelmalla on mahdollista saada vahaisella lisavaivalla arvio rakenteen kriittisen kuorman suuruudelle. Ratkaisun tarkkuutta voidaan lisata kayttamalla tihennettya elementtijakoa. JOHDANTO Sauvarakenteiden voima- ja siirtymasuureiden laskennassa tehdaan yleisesti oletus, etta rakenteiden muodonmuutokset ovat mittoihin verrattuna hyvin ienia. Rakenteen geometrisen muodon otaksutaan talloin sailyvan muuttumattomana. Tata laskutaaa kutsutaan 1-kertaluvun ratkaisumenetelmaksi (kuva 1). Pl h M - inta Hh +PI Kuva 1. 1-kertaluvun ratkaisu. 3
Aina ei nain voi kuitenkaan menetella. Jos rakenteessa on hoikat ilarit ja sita kuormittavat suuret ystykuormat, niin muodonmuutosten vaikutus rakenteen geometriaan on niin suuri, etta neon otettava huomioon (kuva 2). H M- inta Kuva 2. 2- kertaluvun ratkaisu. Monikerroskehien taauksessa taman eriaatteen mukainen ns. 2-kertaluvun teorian mukainen ratkaisu on ty61as laskettava. M 1 Momentti 1-kertaluvun teorian mukaan M 2 Lisamomentti 2-kertaluvun teorian mukaan. P -!:!.. - MENETELMAN PERIAATE Rakenteen muuttaessa muotoaan ystykuormat siirtyvat sivusuunnassa. Voiman sivusiirtyman vaikutus voidaan ottaa huomioon korjaamalla alkueraista kuormitusta voimaarilla: { 1) Tama voimaari asetetaan vaikuttamaan rakenteeseen kuvitellun lisavaakavoiman avulla, jolloin saadaan likimaaraisesti jaljiteltya kuormien sivusiirtyman vaikutusta (kuva 3).!:!..M h (2) 31
!:J. 7fT H!:J.H H ~ () h!:j.m - - ~ I I I I!:J.H +--- Kuva 3. Lisavaakavoiman eriaate. Rakenteen sivusiirtyman uusi arannettu arvo saadaan, kun alkueraista rakennetta kuormitetaan voimasysteemilla, johon on lisa tty kuvitellut lisavaakavoimat. Nain saaduista uusista siirtyman arvoista voidaan laskea taas entista tarkemmat arvot lisavaakavoimille ja edelleen uudet siirtyman arvot. Ratkaisu on iteratiivinen ja suenee tavallisesti noeasti loullisiin siirtyman arvoihin. SOVELLUS KERROSKEHALLE Tarkastellaan oheisen kuvan (kuva 4) mukaista vaaka- ja ystykuormien kuormittamaa kerroskehaa, jonka voimasuureet ja siirtymat ovat helosti laskettavissa 1-kertaluvun teorian mukaisilla tasokehaohjelmilla. Kuva 4. Kerroskeha Merkitaan kerroskehien ilarikuormien summaa seuraavasti: N 1 LP 1 N2 LP 1 + LP 2 (3) 32
1-kertaluvun siirtymista voidaan laskea voimaarien voimat, jotka ovat (kuva 5) seuraavat: * />,.M1 l'lfl1 h1 * />,.M2 M/2 h2 * /:!,.M3 M/3 h3 N1(1o- 2o) h1 Nl( 2o- 3o) h2 N 33 h3 (4) * M/1 --+,!>;o A A A ~!>' * ~ M/1 * ~ M/3 Kuva 5. Voimaarikuormat. Yhdistamalla nama saadaan eri kerroksien kohdalla vaikuttavat lisavaakavoimat (kuva 6) matriisimuotoon kirjoittamalla M/1 N1 h1 N1 h1 Ow M/2 N1 N 1 N 2 N2 - +- 2 (5) h1 h1 h2 h2 M/3 H2 N2 N 3 -+h2 h2 h3 3 M/1 --+ M/2 --+ M/3 --+ "'"' A'?.!I" Kuva 6. Lisavaakavoimat. 33
Kayttaen lyhytta kirjoitustaaa voidaan merkita seuraavasti: [Llli] = [Kc][ ] Tass a [ Kc J on ns. geometrinen jaykkyysmatriisi ja [ o ] on kerrossiirtymien muodostama 1- kerta luvun teorian' mukainen siirtymavektori. (6) [ J (7) Kun kuormitetaan kehaa vaakavoimalla 1 vuoroneraa.n kunkin kerroksen kohdalta, saadaan vastaavista kerrossiirtymista rakenteen joustomatriisin [A] alkiot. Naiden lukuarvot voidaan laskea naarasti kehaohjelmalla 1-kertaluvun teorian mukaan. Joustomatriisin avulla saadaan lisavaakavoimien aiheuttamat muutokset [do] kerrossiirtymiin. [do] =[A] [Llli] (8) Kun tahan sijoitetaan lisavaakavoimien lauseke, saadaan [do] =[A][Kc][o] (9) Parannettu arvo rakenteen kerrossiirtymille saadaan, kun nama lisataan 1-kertaluvun siirtymiin. [ o] = [ o] + [A] [Kc] [ o] I. (1 ) Toistamalla tama iteraatio kayttaen arannettuja kerrossiirtymien arvoja uudelleen saadaan iteraatiokaava [o] [ o ] + [A ] [ Kc] [.o ] n-1.-.+[s]") [o] <. (11) jossa [B J = [.AJ[Kc] Huomataan, etta auki kehitettyna iteraatiokaavasta muodostuu kerroinmatriisien suhteen geometrinen sarja. Kuitenkin erakkaisista iteraafiokierroksista saadut jonkin kerrossiirtyman arvot eivat sita tee. Vain yhden vaausasteen taauksessa siirtymalle' lasketut arvot muodostavat geometrisen sarjan. Jos rakenteen kuormitus on ienemi kuinkriittinen kuorma, niin iteraatio suenee lou- 34
ratkaisuun, joka my6s toteuttaa iteraatiokaavan. Saadaan tihen loulta ratkaisu lineaarisesta yhta16ryhmasta [ o] = [ o] + [A ][Ka][ o] (12) joka voidaan kirjoittaa muotoon ( [I] -[A ][Ka] )[ o] = [ o] (13) Taman yhta16ryhman ratkaisu onnistuu normaalimenetelmin, ja sen antama tulos on sama kuin iteroimalla saatu, kun kuormitus on kriittisen kuorman alauolella. KRIITTISEN KUORMAN ARVIOINTI Mikali rakenteen kuorma on kriittisen kuorman ylauolella, niin iteraatio hajaantuu tai yhtal6ryhmasta lasketut siirtyman arvot eivat vastaa todellista tilannetta. Taman toteamiseksi on syyta selvittaa rakenteen kriittisen kuorman suuruus. Kun yhtal6ryhman (13) kerroinmatriisin determinantti lahenee nollaa, lasketut siirtyman arvot kasvavat iiiirett6man suuriksi eli keha nurjahtaa. Tasta saadaan ehto kriittisen kuorman maarittamiseksi. (14) Jos kuormat ovat kaikki verrannollisia samaan kuormitusarametrin P arvoon, voidaan kirjoittaa determinaattiyhtal6 muotoon (15) Kayttamalla merkintiiii A. 1 voidaan muuntaa yhtal6 seuraavasti: (16) jolloin tehtava on tyyillinen ominaisarvorobleema. Suurimman ominaisarvon avulla saadaan kuormitusarametrin alin kriittinen arvo. Nain lasketut kriittisen kuorman arvot ovat aina todellista arvoa suuremmat. Esimerkiksi mastoilarille laskutaa antaa P~u = 3EI/U, kun se Eulerin kaavalla laskettuna olisi likimain 2, 47EI/U. Tulosta voidaan arantaa ottamalla auisteita ilarijanteelta. Esimerkiksi ilarin jakaminen kolmeen osaan antaa kertoimelle arvon 2, 52. 35
LASKUMENETELMAN TARKENTAMINEN Menetelman tarkkuutta voidaan arantaa ottamalla valiisteita ja tutkimalla kutakin ilaria erikseen seuraavaija, tavalla (kuva 7). -H 2 ~ II 3 4 h h Kuva 7. Tihennetty elementtijako. Tassakin joustomatriisin alkiot [A J ja siirtymat [ o ] lasketaan tavalliseen taaan kehaohjelmalla. Lisavaakavoimien laskemisessa tarvittavat geometrisen jaykkyysmatriisin alkiot ovat nyt [KG] N1 N1 h h N1 LNI hl h Nu Nu h h Nu '2Nu h h (17) Merkinnat yllaolevassa tarkoittavat: N 1 = ilarivoima ilarissa I, N 11 = ilarivoima ilarissa II. Jos kerrosalkin ituus ei muutu, ovat siirtymat 6 1 ja 6 2 yhta suuret ja voimme suistaa yhden vaausasteen ois, jolloin geometrinen jaykkyysmatriisi saa muodon N 1 Nu N1 Nu - +- h h h h [KG] N1 hl LNI h (18) N1 ' hl '2Nu h Pilarivoimat N 1 ja N 11 voidaan ottaa 1-kertaluvun ratkaisusta. 36
SOVELLUKSIA Laskuesimerkki 1 Ratkaistaan oheisen kuvan rriukainen kaksikerroksinen keha kayttaen auna tasokehaohjelmaa. Numeroarvoina kaytetaan E = MN/m 2, I= 1m 4, L = 1m, A = 1m 2 H 2..l----""""1 2 L Pilarikuormat ylemi kerros N 1 alemi kerros N 2 L 1. voimien avulla laskettu joustomatriisi on [A] = c.1747.759j u.759.576 EI Geometrinen jaykkyysmatriisi on uolestaan [Ka] = [ 1. -1] ~ -1 2 L Kertomalla matriisit keskenaan saadaan [ B ] = [A][ Ka] [ B J = ~.988 -.229] PU Lo.183 o.o393 EI Olkoon esimerkiksi kuormittavilla voimilla seuraavat lukuarvot:' 2EI u ja H,5P jolloin kehaohjelmalla laskien saadaan 1-kertaluvun siirtymiksi [ ] = c.1747j L.759 37
Tulomatriisin [ B J termit ovat tassa kuormitustilassa vastaavat: [ B] = jo.1976 - o.o4s8j Lo.o366 o.786 Yhtaloryhma (13), josta voidaan laskea 2- kertaluvun siirtymat, on siten [.824.458] [ Ot J = j.1747] L - o.o366.9214 o2 Lo.759 Ratkaisuksi saadaan siirtymat [ J = C.2125] L.98 Samat siirtyman arvot sadaan myos iteroimalla kaavaa (11) kayttaen, jolloin kohden louratkaisua sueneva siirtymavektorin jono on [ J = c.257] L 1.883 ' [ J = c.2113] L [ J 3 2.94 ' C.2123] L.97 jne. Lisavaakavoimien loulliset arvot saadaan kaavan (6) avulla: [Llli] = [ 2-2] C.2125] = [.2434] EI - 2 4.98 -.618 u Kuormittamalla kehaa oheisen kuvan osoittamalla tavalla saadaan selville 2-kertaluvun rasitukset. 1 1 1, 2434 ~ ~-----., 618._ 1-----1 Kriittisen kuorman selvittamiseksi muodoste.taan yhtal6 (16). I.988-1.183 -.2291.393-1 38
Ratkaisuksi saadaan 1 1 =, 964 ja ~ h = 1/A.J = 11, OEI/U., 4746 ja suurimman ominaisarvon erusteella Laskuesimerkki 2 1 kn 3 kn 1 kn m 1 ktv-. I I I I I I I I I I I I -> / 2 G) /1 /1 5 m E 3 MN/m 2 /1 6, 75. 1-4 m' / 2 54 1-4 m 4 CD..::~ 8 m "'~ 1-kertaluvun ratkaisuksi saadaan [ o ] = 11, 32 1-3 m M 21 = 11, 92 knm ja M3-61,92 knm Joustomatriisi [A J 1,132 ::N Geom. jiiykkyysmatriisi [Ka] = ~ =, 88 ~ [ B ] = [ A J [ K J =, 9962 Kerrosiirtymiin ratkaisuyhtiil6 antaa: (1 -, 9962)o u, 32 1-3 12,57 1-3 Lisiivaakavoima [Llli] = [Ka][ o], 88 12, 57 1-3 MN 1, 16 1-3 MN ja sauvaniiiimomentit ovat M21 = 9, 16 knm ja M34-64,69 knm 39
Lasku esimerkki 3 Arvioidaan kehan kriittisen kuorman suuruutta yksikerrosmallin avulla ~ ~,...------, L L [Ka] 2P/L [B J, 5PL2/EI Yhta16sta (16) saadaan, 5PL 2 /EI -1 = Tarkemman tuloksen saamiseksi otetaan valiisteet keskelta kehajalkoja. L/2 L/2 L Kehaohjelmalla laskien saadaan 4
U.25.1563.156u.1563.1122.961.1563.961.1122 Geometrinen jaykkyysmatriisi kaavan (18) mukaan on [ -4-2 -2-2 4 L jolloin [B J [A J[Ka] saa kertolaskun tuloksena U.3748.1252.286.1362.286.718.125u.718.1362 PU EI Taman ominaisarvot ovat A. 1.5347 '~.481 ja A. 3 =.644 ja suurimman ominaisarvon avulla saadaan Pkr 1, 87EI/L 2 Verrataan tulosta lahteessa /3/ laskettuun tarkkaan arvoon, joka on 1, 82EI/L 2. Saatu tulos on siis noin 3% suuremi. LAHTEET 1. Buckling and Instability. CEB I FIP manual. Comite sura-international du beton, Federation internationals de Ia recontrainte. Lancaster 1978 2. Varga, R.S., Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N J 1962 3. Simitses, G. J., Elastic Stability of structures, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N J 1976 4. Makkonen, E., P- L:l.-menetelman kaytt6 kerroskehan 2-kertaluvun siirtymien laskemisessa. Kuoion teknillinen oilaitos, julkaisu no. 8, Kuoio 199 Esa Makkonen, dil. ins., ylioettaja, Kuoion teknillinen oilaitos 41