Sanna Hassinen. Katariina Hemmo. Timo Taskinen SIGMA. Matemaattisia malleja III. Opettajan opas. Kustannusosakeyhtiö TAMMI

L u k i o n l y h y t m a t e m a t i i k k a Sanna Hassinen Katariina Hemmo Timo Taskinen SIGMA 8 Matemaattisia malleja III Opettajan opas Kustannusosakeyhtiö TAMMI Helsinki

1. 2. painos Tekijät ja Kustannusosakeyhtiö Tammi, 2007 ISBN 978-951-26-5393-5 Multiprint Oy, Helsinki 2009

Sisällys Ohjeita kirjan käyttäjälle... 7 Opetuskertojen käyttöehdotuksia... 8 Vinkkejä oppikirjan käyttöön... 9 1.1 Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä... 10 Suunnattu kulma... 11 Yhdenmuotoiset ympyräsektorit... 12 Radiaani... 13 Radiaanit ja asteet... 14 1.2 Sini, kosini ja tangentti Kulman muuntaminen... 16 Sini, kosini ja tangentti... 18 Sini... 19 Sinin arvo eri neljänneksissä... 21 Kulman sinin arvon laskeminen... 22 Yksikköympyrä ja sinin arvo... 23 Esimerkki (oppikirja s. 16)... 25 Kosini... 26 Kosinin arvo eri neljänneksissä... 28 Esimerkki (oppikirja s. 29)... 29 Yksikköympyrä ja kosinin arvo... 30 Tangentti... 32 Tangenttisuora ja tangenttipiste... 34 Yksikköympyrä ja tangentin arvo... 35 Esimerkki (oppikirja s. 54)... 37 Sinin, kosinin ja tangentin arvon laskeminen... 38 Sini, kosini ja tangentti yksikköympyrässä... 39 Testi: Sini, kosini ja tangentti... 40 2.1 Siniyhtälöt Siniyhtälö... 41 Kulman ratkaiseminen graafisesti... 42 Siniyhtälön ratkaiseminen... 43 Kulman laskeminen yksikköympyrän avulla... 45 Siniyhtälö sovellustehtävissä... 46 Testi: Siniyhtälö... 47 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kosini- ja tangenttiyhtälöt... 48 Kulman ratkaiseminen graafisesti... 49 Kosiniyhtälö... 50 Kosiniyhtälön ratkaiseminen... 51 Kulman ratkaiseminen graafisesti... 52 Tangenttiyhtälön ratkaiseminen... 53 3

Sini, kosini ja tangentti taulukkokirjan avulla... 54 Yhteenveto trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta... 55 Sini-, kosini- ja tangenttiyhtälöitä... 56 Testi: Kosini- ja tangenttiyhtälöt... 57 Keskeisiä käsitteitä trigonometriasta... 58 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Funktio f(x) = sin x... 59 Funktio f(x) = cos x... 60 Muita trigonometrisia funktioita... 62 Nollakohtien määrittäminen graafisesti ja algebrallisesti... 63 Joitakin tehtäviä oppikirjasta... 64 3.2 Sovelluksia Sovelluksia... 66 Sovellustehtävän ratkaisu... 67 4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ja suunnikkaan ala... 68 Kolmion ala... 69 Suunnikkaan ala... 70 Alojen laskemista... 71 Kulman ratkaiseminen... 72 Oppikirjan esimerkki 2 (s. 79)... 73 4.2 Sinilause Sinilause... 74 Sinilauseen johtaminen... 75 Sinilause... 76 Sinilauseen käyttäminen sivun ratkaisemiseen... 77 Sinilauseen käyttäminen kulman ratkaisemiseen... 78 Testi: Sinilause... 79 4.3 Kosinilause Kosinilauseen johtaminen... 80 Kosinilause... 81 Kosinilauseen käyttäminen sivun ratkaisemiseen... 82 Kosinilauseen käyttäminen kulman ratkaisemiseen... 84 Testi: Kosinilause... 85 Keskeisiä käsitteitä geometriasta... 86 4

5.1 Peruskäsitteitä Peruskäsitteitä vektoreista... 87 Vektoreiden yhtäsuuruus... 89 Erilaisia vektoreita... 90 Yksikkövektori... 91 Vektorien välinen kulma... 92 5.2 Laskutoimitukset Laskutoimitukset... 94 Vektorien summa... 95 Summavektoreita piirtämällä... 96 Vektorien erotus... 97 Vektorin kertominen luvulla... 98 Vektoreiden erotus piirtämällä... 99 Vektorien yhdensuuntaisuus... 100 Esimerkkejä laskutoimituksista... 101 Testi: Laskutoimitukset... 102 Yhteenveto vektorien laskutoimituksista... 103 5.3 Komponentteihin jako Komponentteihin jako... 104 Vektorin jakaminen komponentteihin... 105 Komponentit... 106 Vektorien yhtäsuuruus... 107 Esimerkkejä komponentteihin jaosta... 108 Vektorien yhdensuuntaisuus... 110 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorit xy-koordinaatistossa... 111 xy-tason kantavektorit... 112 Pisteen paikkavektori... 113 Vektorin pituus... 114 Kahden pisteen välisen vektorin määrittäminen... 115 Kahden pisteen välinen vektori... 116 Kirjan esimerkki 4 (s. 135)... 117 Testi: Vektorit xy-koordinaatistossa... 118 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Vektorit xyz-koordinaatistossa... 119 Paikkavektori avaruuskoordinaatistossa... 120 Esimerkkejä paikkavektorin käytöstä... 121 Vektorin pituus... 123 Kahden pisteen välinen vektori... 124 Testi: Vektorit xyz-koordinaatistossa... 126 5

5.6 Pistetulo xy-tason vektorien pistetulo... 127 Vektorien kohtisuoruus... 129 Kohtisuoruusehdon käyttäminen... 130 Pistetulon määritelmä... 131 Testi: Pistetulo... 133 Keskeisiä käsitteitä vektoreista... 134 Kertaus Kertaus... 135 Monivalintakysymyksiä kurssista... 147 Kokeet Koe 1... 151 Koe 2... 152 Koe 3... 154 Kokeiden ratkaisut Koe 1... 155 Koe 2... 158 Koe 3... 163 6

Ohjeita kirjan käyttäjälle Sigma-kirjoihin on saatavana laaja opettajan materiaali, joka sisältää opettajan oppaan kirjan tehtävien lasketut ratkaisut CD-ROMin, johon on tallennettu opettajan opas ja kirjan tehtävien lasketut ratkaisut digitaalisessa muodossa. Tämä opettajan opas on tehty tukemaan lukion lyhyen matematiikan oppikirjaa Sigma 8, Matemaattisia malleja III. Oppaaseen on koottu paljon erilaista lisämateriaalia tuntien suunnittelua, itse opetusta ja kurssikoetta varten. Oppaan alussa on yleisiä ohjeita mm. ajankäytöstä. Suurin osa oppaan sisällöstä on erilaisia kalvo- ja tehtäväpohjia, jotka on koottu kirjan lukujen mukaiseen järjestykseen. Oppaan lopussa on kurssikokeita ratkaisuineen. Logojen selitykset KALVOPOHJAT kirjan pohdintatehtävät kirjan taulukot ja kaaviot teoriakalvot laskuesimerkit LASKINPOHJAT opastus yleisimpään tapaan käyttää laskinta tietyssä tilanteessa lisäksi muutama nopea harjoitus MONISTEPOHJAT erilaisia lisätehtäviä tukiopetusmateriaalia TESTIT lyhyitä pistareita 7

Opetuskertojen käyttöehdotuksia Koska eri oppilaitoksissa oppituntien pituudet voivat poiketa hyvinkin paljon toisistaan, ajankäyttöehdotus on tehty opetuskertojen mukaan. Kurssiin mahtuu opetuskertojen pituudesta riippumatta yleensä 16 19 opetuskertaa (kolme opetuskertaa/viikko). Tapa 1 Ei käsitellä geometrian ylimääräistä opetuskokonaisuutta 1.1 Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä 1 1.2 Sini, kosini ja tangentti 2 3 Tapa 2 Painotetaan sovelluksia 1.1 Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä 1 1.2 Sini, kosini ja tangentti 2 2.1 Siniyhtälö 1 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälö 1 2 2.1 Siniyhtälö 1 2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälö 2 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus 1 3.2 Sovelluksia 1 3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus 0 1 3.2 Sovelluksia 0 1 4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala 1 4.2 Sinilause 1 2 4.3 Kosinilause 1 2 5.1 Peruskäsitteitä 1 5.2 Laskutoimitukset 2 5.3 Komponentteihin jako 1 2 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa 1 2 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa 1 5.6 Vektorien pistetulo eli skalaaritulo 1 2 Kertaus 5.1 Peruskäsitteitä 1 5.2 Laskutoimitukset 1 2 5.3 Komponentteihin jako 1 2 5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa 1 2 5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa 1 5.6 Vektorien pistetulo eli skalaaritulo 1 2 Kertaus 8

Vinkkejä oppikirjan käyttöön POHDINTATEHTÄVÄT Opiskelijan motivointi, sekä rohkaiseminen tutkivaan ja keksivään oppimiseen, on useimmiten hankalaa. Sigma tarjoaa pohdintatehtävillään yhden ratkaisun näiden tavoitteiden saavuttamiseksi. Moni kirjan luvuista alkaa pohdintatehtävällä, jonka tarkoitus voi olla esimerkiksi johdatella aiheeseen herättää kiinnostusta opettaa uutta asiaa kerrata nopeasti jo opittua. Pohdintatehtävän voi esimerkiksi antaa kotitehtäväksi edellisellä tunnilla tai sen voi käydä tunnin alussa yhdessä läpi. Pohdintatehtävän avulla opiskelija voi myös itse tutustua tai opiskella uutta asiaa. Kirjan läpikäyminen ei missään vaiheessa vaadi pohdintatehtävien käsittelyä. Näiden käyttö jätetään opettajan päätettäväksi. Oppikirjan pohdintatehtävistä on opettajan oppaassa kalvopohjat. KAAVIOT JA TAULUKOT Erilaisten ongelmanratkaisutapojen keksiminen ja tarkasteltavan ongelman tunnistaminen on opiskelijalle vaativa tehtävä. Tästä syystä opiskelijalle tulisi tarjota erilaisia keinoja tilanteiden tarkasteluun. Taulukoiden ja kaavioiden käyttö sekä teorian että esimerkkien kohdalla antaa opiskelijalle erilaisia hahmottamis- ja mallintamiskeinoja. Oppikirjan taulukoihin on useimmiten koottu ennestään tuttua asiaa juuri opittua uutta asiaa laskuesimerkkejä. Oppikirjan kaaviot ovat teoriaa visuaalisemmassa muodossa. Usein uusi asia on selitetty sanallisesti tekstiosioissa ja havainnollistettu vielä kaavion avulla. Kaavioita voi käyttää teoriaopetuksen apuna tai ohjeena, esimerkiksi yhtälön muodostamiseen, riippuen kaavion luonteesta. KÄSITEKARTAT Käsitekartat ovat myös matematiikassa hyvä keino koota yhteen keskeiset asiat sekä niiden hierarkia. Oppikirjan jokainen pääluku loppuu käsitekarttaan. Oppikirjan käsitekarttoja voi käyttää esimerkiksi kurssin kertaamiseen. Niistä voi ottaa myös mallia omiin käsitekarttoihin. Oppikirjan käsitekartoista on kalvopohjat opettajan oppaassa. 9

1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Erilaisia kulmia ja kulman yksiköitä Pohdinta 1 Ympyrän kehän pituus p lasketaan kaavalla p = 2πr, jossa r on ympyrän säde. Laske punaisella merkityn osan pituus, kun r = 1. 10

1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Suunnattu kulma Kulma syntyy kahdesta päällekkäin asetetusta puolisuorasta. Toinen puolisuora jää paikalleen ja toista kierretään vastapäivään. Paikalleen jäävää puolisuoraa kutsutaan alkukyljeksi ja kierrettyä puolisuoraa taas loppukyljeksi. Jos kiertäminen tehdään vastapäivään, syntyy positiivinen kulma (esim. α). Jos kiertäminen tehdään myötäpäivään, syntyy negatiivinen kulma (esim. β). Kiertämistä voidaan jatkaa yli täyden kulman 360. Kulman suuruudella ei ole ala- eikä ylärajaa. 11

1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Yhdenmuotoiset ympyräsektorit Tarkastellaan kahta ympyräsektoria: isomman säde on R ja pienemmän r. Sektorit ovat yhdenmuotoiset vastinosien suhteet ovat samat. B R = b r br = Br b B = r R Kerrotaan ristiin. Jaetaan molemmat puolet ensin luvulla R ja sitten luvulla r. Kaaren ja säteen suhde on sama yhdenmuotoisilla sektoreilla. 12

1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Radiaani Kaaren ja säteen suhde on aina sama yhdenmuotoisilla ympyräsektoreilla. Kun sektorin kaarta pidennetään, kaaren ja säteen suhde kasvaa (säteen pituus säilyy samana). Sektorin kaaren pituus riippuu aina kulmasta. Kaaren ja säteen suhde on hyvä kulmanyksikkö. Kaaren ja säteen suhdetta sanotaan radiaaniksi (rad). Radiaani α = b r r α b Esimerkki Määritä kulma β radiaaneina kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. 28 cm 28 cm β 26 cm 13

1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Radiaanit ja asteet Tutkitaan radiaania yksikköympyrän avulla. - Yksikköympyrän säteen pituus on 1. r = 1 p = 2πr = 2π 1 = 2π Ympyrän asteluku on 360. 2π = 360 :2 π = 180 :π 1= 180 π 360 = 2π :360 π 1 = 180 14

1.1 Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Esimerkki 1 Muunna radiaanit asteiksi. Anna vastaus asteen tarkkuudella. 2,4 = 0,85 = 3π 4 = Esimerkki 2 Muunna asteet radiaaneiksi. Anna vastaus sekä tarkkana arvona että likiarvona kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. 45 = 300 = 117 = 15

1.2 Sini, kosini ja tangentti Kulman muuntaminen Asteiden muuntaminen radiaaneiksi: 1 = π 180 Muunna asteet radiaaneiksi. Anna vastaus kahden desimaalin tarkkuudella. 1. 3 = 2. 0,6 = 3. 35,5 = 4. 234 = Muuta asteet radiaaneiksi. Anna vastaus tarkkana arvona. 5. 3 = 6. 10 = 7. 200 = 8. 270 = 16

1.2 Sini, kosini ja tangentti Radiaanien muuntaminen asteiksi: 1 = 180 π Muuta radiaanit asteiksi. Anna vastaus asteen tarkkuudella. 9. 3 = 10. 10 = 11. 50,7 = 12. 7,3 = Muuta radiaanit asteiksi. Anna vastaus tarkkana arvona. 13. π = 14. 4π = 3 5π 15. = 6 16. 9 π = Vastaukset: 1. 0,05 2. 0,01 3. 0,62 4. 4,085; 60 π 8. 3π 2 6. 18 π 7. 10π 9 9. 172 10. 573 11. 2905 12. 418 13. 180 14. 240 15. 150 16. 20 17

1.2 Sini, kosini ja tangentti Sini, kosini ja tangentti Pohdinta 1 Kuvaan on piirretty 53 kulma. Laske laskimella yhden desimaalin tarkkuudella a) sin53 b) cos53 c) tan53. Määritä kuvasta pisteen P koordinaatit sekä y-akselin arvo b yhden desimaalin tarkkuudella. Vertaa näitä edellä laskettuihin tuloksiin. Mitä havaitset? 18

1.2 Sini, kosini ja tangentti Sini sinα = 19

1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki Piirrä yksikköympyrään seuraavat kulmat ja päättele kuvan perusteella kulmien sinin arvo yhden desimaalin tarkkuudella. Kulma 45 90 120 180 200 300 Sini 20

1.2 Sini, kosini ja tangentti Sinin arvo eri neljänneksissä Koordinaattiakselit jakavat yksikköympyrän neljään osaan. Näitä kutsutaan neljänneksiksi. Sinin arvo = kehäpisteen y-koordinaatti Sinin arvo vaihtelee välillä [ 1, 1]. 21

1.2 Sini, kosini ja tangentti Kulman sinin arvon laskeminen Tarkista, että laskimesi asetukset ovat asteina eli laskimesi on DEG-tilassa. Lasku sin 40 Näppäilyohje funktiolaskin graafinen laskin 4 0 sin sin 4 0 Vastaus 0,642 sin 60 6 0 sin sin 6 0 0,866 sin( 40 ) sin 4 0 +/ sin (-) 4 0 0,642 Muuta asetukset radiaaneiksi eli RAD-tilaan. Lasku sin 40 Näppäilyohje funktiolaskin graafinen laskin 4 0 sin sin 4 0 Vastaus 0,745 sin π π sin sin π 0 sin ( 5) sin 5 +/ sin 5 (-) 0,958 3π sin 4 3 π 4 = sin sin 3 π a b 4 c 0,707 22

1.2 Sini, kosini ja tangentti Yksikköympyrä ja sinin arvo Laske laskimella, mitä on sin 30. sin 30 = Piirrä tämän tiedon perusteella yksikköympyrään 30 kulma. Piirrä yksikköympyrään 150 kulma, kun 180 30 = 150. Määritä yksikköympyrän avulla sin 150. Piirrä yksikköympyrään 210 kulma, kun 180 + 30 = 210. Määritä yksikköympyrän avulla sin 210. Piirrä yksikköympyrään 330 kulma, kun 360 30 = 330. Määritä yksikköympyrän avulla sin 330. 23

1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki Määritä yksikköympyrän avulla a) sin 66 b) sin ( 66 ) c) sin 294 d) sin 246. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. Taulukkokirjasta löytyy joidenkin kulmien trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja. Täydennä taulukko. Kulma π Sinin tarkka arvo 45 150 4π/3 330 2π 24

1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki (oppikirja s. 16) a) Muutetaan ensin kulma asteiksi: b) Muutetaan ensin kulma asteiksi: c) Muutetaan ensin kulma asteiksi: 25

1.2 Sini, kosini ja tangentti Kosini cos α = 26

1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki Piirrä yksikköympyrään seuraavat kulmat ja päättele kuvan perusteella kulmien kosinin arvo yhden desimaalin tarkkuudella. Kulma 45 90 120 180 200 300 Kosini 27

1.2 Sini, kosini ja tangentti Kosinin arvo eri neljänneksissä Kosinin arvo = kehäpisteen x-koordinaatti Neljännes Kulma Kosinin arvo I 25 cos25 0,91 II 100 cos100 0,17 III 190 cos190 0,98 IV 280 cos280 0,17 Kosinin arvo vaihtelee välillä [ 1, 1]. 28

1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki (oppikirja s. 20) 29

1.2 Sini, kosini ja tangentti Yksikköympyrä ja kosinin arvo Laske laskimella cos 60. cos 60 = Piirrä tämän tiedon perusteella yksikköympyrään 60 kulma. Peilataan 60 kulma x-akselin suhteen. Muodostunut kulma on 60, koska kiertosuunta on myötäpäivään. Piirrä yksikköympyrään kulma 60. Huom! Kulma 60 tarkoittaa kulmaa 360 60 = 300, kun kiertosuunta on vastapäivään. Määritä yksikköympyrän avulla cos ( 60 ). Mitä siis on cos 300? Piirrä yksikköympyrään 120 kulma, kun 180 60 = 120. Määritä yksikköympyrän avulla cos 120. Piirrä yksikköympyrään 240 kulma, kun 180 + 60 = 240. Määritä yksikköympyrän avulla cos 240. 30

1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki Määritä yksikköympyrän avulla a) cos 35 b) cos ( 35 ) c) cos 145 d) cos 325. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. Taulukkokirjasta löytyy joidenkin kulmien trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja. Täydennä taulukko. Kulma Kosinin tarkka arvo π 45 150 4π/3 330 2π 31

1.2 Sini, kosini ja tangentti Tangentti Suorakulmainen kolmio Tangentti on vastaisen kateetin suhde viereiseen. 32

1.2 Sini, kosini ja tangentti Tangentti Tangentin arvo eri neljänneksissä 33

1.2 Sini, kosini ja tangentti Tangenttisuora ja tangenttipiste Esimerkki Piirrä yksikköympyrään 30 asteen kulma. Määritä tangenttisuoran avulla kahden desimaalin tarkkuudella tan30 tan210. 34

1.2 Sini, kosini ja tangentti Yksikköympyrä ja tangentin arvo Laske laskimella, mitä on tan 30. tan 30 = Piirrä tämän tiedon perusteella yksikköympyrään 30 kulma. 30 + 180 = 210 Piirrä tämän perusteella yksikköympyrään 210 kulma. Määritä tangenttisuoran avulla tan 210. Esimerkki 1: Määritä tangenttisuoran avulla a) tan 0 = b) tan 90 = c) tan 270 = d) tan 360 = 35

1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki 2: Määritä kuvan avulla a) tan 35 b) tan ( 35 ) c) tan 215 d) tan 395. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. Taulukkokirjasta löytyy joidenkin kulmien trigonometristen funktioiden tarkkoja arvoja. Täydennä taulukko. Kulma π Tangentin tarkka arvo 45 150 4π/3 330 2π 36

1.2 Sini, kosini ja tangentti Esimerkki (oppikirja s. 54) 37

1.2 Sini, kosini ja tangentti Sinin, kosinin ja tangentin arvon laskeminen Määritä laskimen avulla. 1. a) sin 25 b) sin 2, 7 c) sin 190 d) sin 4, 3 2. a) cos 25 b) cos 25 c) cos( 159 ) d) cos 5, 6 3. a) tan 36 b) tan 36 c) tan 215 d) tan( 4,5) Vastaukset: 1. a) 0,4226 b) 0,427 c) 0,173 d) 0,916 2. a) 0,906 b) 0,991 c) 0,933 d) 0,927 3. a) 0,726 b) 7,75 c) 0,700 d) 4,637 38

1.2 Sini, kosini ja tangentti Sini, kosini ja tangentti yksikköympyrässä 39

1.2 Sini, kosini ja tangentti Testi: Sini, kosini ja tangentti 1. Määritä yksikköympyrän avulla graafisesti (yhden desimaalin tarkkuudella) a) sin 70 b) cos 70 c) sin 210 d) cos 210. 2. Määritä graafisesti (yhden desimaalin tarkkuudella) a) tan 60 b) tan 160. 3. Määritä taulukkokirjan avulla tarkat arvot lausekkeille a) tan π 3 b) sin 7π 10 c) cos 11π. 6 40

2.1 Siniyhtälöt Siniyhtälö Pohdinta 1 Välillä [0, 360 ] on kaksi sellaista kulmaa, joiden sini on 0,6. Piirrä kulmat ja mittaa ne astemitalla. Mikä yhteys näiden kulmien välillä näyttäisi olevan? Pohdinta 2 Välillä [0, 360 ] on kaksi sellaista kulmaa, joiden sini on 0,8. Piirrä kulmat ja mittaa ne astemitalla. Mikä yhteys näiden kulmien välillä näyttäisi olevan? 41

2.1 Siniyhtälöt Kulman ratkaiseminen graafisesti 1) Piirrä ensimmäiseen neljännekseen sellainen kulma, jonka sinin arvo on 0,7. Mittaa kulman suuruus asteina. 2) Myös toisesta neljänneksestä löytyy kulma, jonka sini on 0,7. Piirrä kulma ja mittaa kulman suuruus asteina. 3) Mieti, millä muilla kulmilla voi sinin arvo olla 0,7. Anna esimerkkejä tällaisista kulmista. 4) Miten kaikki kulmat, joiden sini on 0,7, voitaisiin esittää mahdollisimman yksinkertaisella tavalla? 42

2.1 Siniyhtälöt Siniyhtälön ratkaiseminen Tarkastellaan sellaista alle 90 kulmaa α, jonka sinin arvo on y eli 0 sin α 0 = y. Sama sinin arvo y on myös kulmilla α + 360, α + 2 360 jne. 0 0 sekä kulmilla 180 α 0, 180 α0 + 360, 180 α0 + 2 360 jne. Siniyhtälön sin α = y ratkaisu: α = α0 + n 360 tai α = 180 α0 + 360 n = 0, ±1, ±2, ±3, n, 43

2.1 Siniyhtälöt Esimerkki 1 Ratkaise yhtälö sin x = 0,15 asteen tarkkuudella. Ratkaisu: Esimerkki 2 Ratkaise yhtälö sin x = 0,15 radiaaneina kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. Ratkaisu: Esimerkki 3 Ratkaise yhtälön sin 2x = 0,761 juurista ne, jotka ovat välillä [0, π]. Ratkaisu: 44

2.1 Siniyhtälöt Kulman laskeminen yksikköympyrän avulla Lue kuvasta tarvittavat tiedot ja määritä laskimella kulman suuruus. Kulman suuruus asteen tarkkuudella Kulman suuruus radiaaneina kahden desimaalin tarkkuudella 45

2.1 Siniyhtälöt Siniyhtälö sovellustehtävissä Esimerkki 5 (oppikirja s. 39) Teräsputki pyörii alas ramppia kuvan mukaisesti. Kappaleen kiihtyvyys a riippuu rampin kallistuskulmasta β yhtälön 1 a = g sin β 2 m mukaisesti, jossa g = 9,81. 2 s Määritä kulma β, kun putken kiihtyvyys rampilla on 2,45 2 s Ratkaisu: m. 46

2.1 Siniyhtälöt Testi: Siniyhtälö 1. Ratkaise yhtälö asteen tarkkuudella. sin x = 0,32 2. Ratkaise yhtälö radiaaneina kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. 2 sin β 0,40 = 0 3. Ratkaise yhtälö ilman likiarvoja taulukkokirjan avulla. sin 2x = 1 3 47

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kosini- ja tangenttiyhtälöt Pohdinta 1 Väliltä [0, 90 ] löytyy yksi kulma, jonka kosini on 0,5. Piirrä tämä kulma ja mittaa kulma astemitalla. Etsi ainakin yksi kulma, jonka kosinilla on sama arvo kuin edellä. Piirrä kulma ja mittaa se. Pohdinta 2 Etsi väliltä [0, 360 ] kaksi kulmaa, joiden tangentin arvo on 0,6. Piirrä kulmat ja mittaa ne. Millainen riippuvuus kulmien välillä näyttäisi olevan? 48

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kulman ratkaiseminen graafisesti 1) Piirrä ensimmäiseen neljännekseen sellainen kulma, jonka kosinin arvo on 0,7. Mittaa kulman suuruus asteina. 2) Myös neljännestä neljänneksestä löytyy kulma, jonka kosini on 0,7. Piirrä kulma ja mittaa kulman suuruus asteina. 3) Mieti, millä muilla kulmilla kosinin arvo voi olla 0,7. Anna esimerkkejä tällaisista kulmista. 4) Miten kaikki kulmat, joiden kosini on 0,7, voitaisiin esittää mahdollisimman yksinkertaisella tavalla? 49

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kosiniyhtälö 1. Kosinin arvo toistuu aina 360 asteen välein. 2. x-akselin suhteen peilatulla kulmalla on sama kosinin arvo. Myös tämä toistuu 360 asteen välein. 50

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kosiniyhtälön ratkaiseminen Esimerkki Ratkaise yhtälö cos α = 0,25 asteina ja radiaaneina. Anna vastaus kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. asteina radiaaneina Esimerkki Ratkaise yhtälö 2cos α + 1 = 0 taulukkokirjan avulla. Anna vastaus radiaaneina ja tarkkana arvona. 51

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Kulman ratkaiseminen graafisesti 1) Piirrä ensimmäiseen neljännekseen sellainen kulma, jonka tangentin arvo on 0,7. Mittaa kulman suuruus asteina. 2) Myös kolmannesta neljänneksestä löytyy kulma, jonka tangentti on 0,7. Piirrä kulma ja mittaa kulman suuruus asteina. 3) Mieti, millä muilla kulmilla tangentin arvo voi olla 0,7. Anna esimerkkejä tällaisista kulmista. 4) Miten kaikki kulmat, joiden tangentti on 0,7, voitaisiin esittää mahdollisimman yksinkertaisella tavalla? 52

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Tangenttiyhtälön ratkaiseminen Tangentin arvo saadaan tangenttisuoran avulla. Sana tangentin arvo toistuu 180 asteen välein. Esimerkki Ratkaise yhtälö tan α = 1,2 asteina kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. Esimerkki Ratkaise taulukkokirjan avulla radiaaneina yhtälö 3 tan x 1 = 0. 53

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Sini, kosini ja tangentti taulukkokirjan avulla 1. Ratkaise taulukkokirjan avulla a) sin 45 b) cos 30 4 c) tan 210 d) sin π 3 5π e) cos 6 f) tan 5π. 3 2. Ratkaise taulukkokirjan avulla ne ratkaisut, jotka kuuluvat välille [, 2π] 1 a) sin x = b) cosα = 1 2 2 0. 3 c) tanϕ = 3 d) cos β = 0 2 Vastaukset: 1. a) 1 2 b) 3 2 c) 1 3 d) 3 e) 2 3 f) 3 2 2. a) x = π tai x = 5π b) α = 3π 6 6 4 c) ϕ = π 3 tai ϕ = 4π 3 d) β = π 6 tai α = 5π 4 tai ϕ = 11π 6 54

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Yhteenveto trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisesta SINIYHTÄLÖ sinα = y α = α + n 360 tai α= 180 α + n 360, n = 0, ± 1, ± 2,... 0 0 Esimerkki: Ratkaise sinα = 0,5 α = 30 + n 360 tai α = 180 14243 30 + n 360, n= 0, ± 1, ± 2,... 150 KOSINIYHTÄLÖ cosα = x α = α + n 360 tai α= α + n 360, n = 0, ± 1, ± 2,... 0 0 Esimerkki: Ratkaise cosα = 0,5 α = 60 + n 360 tai α = { 60 + n 360, n = 0, ± 1, ± 2,... 300 TANGENTTIHTÄLÖ tanα = α = α0 + n 180, n = 0, ± 1, ± 2,... k Esimerkki: Ratkaise tanα = 0,5. α = 26,5... + n 180, n = 0, ± 1, ± 2,... 55

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Sini-, kosini- ja tangenttiyhtälöitä 1. Ratkaise yhtälö. Ilmoita vastaus asteina. 1 a) sin x = b) 2 sin 3x = 1 2 c) α = 1 cos 2 d) cos( 2x ) = 0, 6 e) tan β = 2 + 1 f) tan( x ) = 0, 5 2. Ratkaise yhtälö. Ilmoita vastaus radiaaneina. a) 4sin x = 2 b) sin 2x 3 = 2, 2 1 1 c) cosx = d) cos( x ) + 2 = 3 3 5 e) tan x = 7 f) 2tan2α 3= 5 Vastaukset: 1. a) x = 225 + n 360 tai x = 315 + n 360, n Z b) x = 10 + n 120 tai x = 50 + n 120, n Z c) α =± 45 + n 120, n Z d) x = 18,4... + n 180, n Z e) β = 67, 5 + n 180, n Z f) x = 26,56... + n 180, n Z π 7π 2. a) x = + n 2π tai x = + n 2π, n Z 6 6 b) x = 0,46... + n π tai x = 1,107... + n π, n Z c) x = ± 2,21... + n 2π, n Z d) x = n 2π, n Z e) x = 1,428... + n π, n Z f) α = 0,662... + n π, n Z 2 56

2.2 Kosini- ja tangenttiyhtälöt Testi: Kosini- ja tangenttiyhtälöt 1. Ratkaise yhtälö asteen tarkkuudella. cos x = 0, 24 2. Ratkaise yhtälö radiaaneina kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. 3tanβ 2,1= 0 3. Ratkaise yhtälö ilman likiarvoja taulukkokirjan avulla. tan 2x = 2 1 57

Keskeisiä käsitteitä Keskeisiä käsitteitä trigonometriasta 58

3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Funktio f(x) = sin x Tutkitaan funktiota f(x) = sin x laskemalla ensin funktiolle muutamia arvoja. Piirretään arvojen avulla kuvaaja. Sinin arvot toistuvat määrätyn jakson välein, eli sini on jaksollinen funktio. - jaksona 2π Sinifunktio f(x) = sin x saa arvoja välillä [ 1, 1]. 59

3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Funktio f(x) = cos x Tutkitaan funktiota f(x) = cos x laskemalla ensin funktiolle muutamia arvoja: x f ( x ) = cos x 0 π 4 π2 π 2 5π 6 5π 6 π 3π 2 11π 6 60

3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Lisää arvoja voi etsiä vaikkapa taulukkokirjasta. Piirretään pisteiden avulla funktion kuvaaja. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6-0,8-1 -1,2 61

3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Muita trigonometrisia funktioita f(x) = cos 2x f(x) = tan x f(x) = sin x ja g(x) = sin ( x) 62

3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Nollakohtien määrittäminen graafisesti ja algebrallisesti Esimerkki 1 Määritä kuvaajan avulla funktion g nollakohdat välillä [ π, π]. Anna nollakohdat yhden desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu: Esimerkki 2 Määritä funktion f(x) = 2sin x 0,3 nollakohdat kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. 63

3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Joitakin tehtäviä oppikirjasta Tehtävä 96 Kuvassa on esitetty funktioiden f ( x) 0,5sin kx ( ) = 3sinx kuvaajat. = x, g( x ) = sin x ja a) Yhdistä funktio oikeaan kuvaajaan. b) Funktio g saa kaikki arvot välillä [ 1, 1]. Määritä kahden muun funktion saamat arvot. Tehtävä 97 Kuvissa on esitetty funktioiden cos 0,5x, cos x ja cos 2x kuvaajat. Päättele kuvien avulla funktioiden cos 0,5x ja cos 2x jaksojen pituus. Päättele edelleen funktion cos 4x jakson pituus. 64

3.1 Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Tehtävä 101 Kuvassa on esitetty funktion f ( x ) sin kx = kuvaajia, kun k = 0,5, k = 1 ja k = 2. a) Yhdistä k:n arvo ja oikea kuvaaja. b) Millainen vaikutus k:n arvolla on funktioon f? 65

3.2 Sovelluksia Sovelluksia Trigonometrisilla funktioilla mallinnetaan jaksollisia ilmiöitä. Harmoninen värähtely Kvanttimekaniikka, aaltofunktio Vuorovesi-ilmiö Aaltoliike 66

3.2 Sovelluksia Sovellustehtävän ratkaisu 1. Jos kysytään funktion arvoa, muista katsoa, missä yksikössä kulmat on ilmoitettu (asteet/radiaanit). 2. Suurimman/pienimmän arvon tutkimisessa käytä hyväksesi tietoa, että sinin ja kosinin arvot ovat välillä [ 1, 1]. Esimerkki Yksittäisen aallon korkeutta senttimetreinä eräässä koetilanteessa kuvasi funktio f(t) = 1,25cos (3,2t + π/4), jossa t on aika sekunteina kokeen alusta lukien. a) Laske aallon korkeus, kun aikaa kokeen alusta on kulunut 1,4 sekuntia. b) Laske aallon suurin korkeus. c) Milloin aikavälillä 0 t 6,0 s aalto on korkeimmillaan? Ratkaisu 67

4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ja suunnikkaan ala Pohdinta 1 a) Mittaa viivoittimella kanta a ja korkeus h. Laske niiden avulla kolmion ala kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. β b a h b) Mittaa sivujanan pituus b sekä kulma β. Sijoita mittaustulokset kaavaan 1 sin 2 ab β. Vertaa tätä tulosta kohdan a tulokseen. Pohdinta 2 Laske suunnikkaan ala sopivien mittausten avulla. Mittaa lisäksi sivujanan pituus b sekä kulma β. Sijoita tulokset kaavaan ab sin β. b h β a 68

4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ala h sin β = c h = c sin β Kolmion ala 1 A = ah 2 1 A = a c sin 2 1 = ac sin 2 Kolmion ala 1 A = ac 2 sin β 69

4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Suunnikkaan ala Suunnikas voidaan jakaa lävistäjällä kahdeksi yhteneväksi kolmioksi. Koska kolmion ala on puolet sen kahden sivun ja niiden välisen kulman sinin tulosta, 1 A = 2 A = 2 ab sin β = suunnikas kolmio 2 ab sin β Suunnikkaan ala A = ah = ab sin β 70

4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Alojen laskemista Esimerkki 1 Laske kuvioiden alat. a) b) 2,3 m 11 cm 72 37 2,9 m 14 cm Ratkaisu: 71

4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Kulman ratkaiseminen Esimerkki Kolmion kaksi sivua ovat 1,9 dm ja 0,85 dm. Kolmion ala on 0,80 dm 2. Laske annettujen sivujen välinen kulma. Ratkaisu: 72

4.1 Kolmion ja suunnikkaan ala Oppikirjan esimerkki 2 (s. 79) Salmiakkiruutu on muodoltaan suora särmiö, jonka pohjana on neljäkäs. Neljäkkään sivun pituus on 1,5 cm, ja sivujen välinen terävä kulma on 35. Laske salmiakkiruudun tilavuus, kun ruudun paksuus on 2,3 mm. Ratkaisu: 73

4.2 Sinilause Sinilause 74

4.2 Sinilause Sinilauseen johtaminen 75

4.2 Sinilause Sinilause b h a α β SINILAUSE a γ b β α c 76

4.2 Sinilause Sinilauseen käyttäminen sivun ratkaisemiseen Esimerkki Ratkaise sivun x pituus. 52 35 m 63 x 38 x 46 12,8 cm 77

4.2 Sinilause Sinilauseen käyttäminen kulman ratkaisemiseen Esimerkki Kolmion kahden sivun pituudet ovat 3,5 cm ja 6,8 cm. Näistä pidemmän sivun vastaisen kulman suuruus on 36 astetta. Laske kolmion muut kulmat. 78

4.2 Sinilause Testi: Sinilause Nimi: 1. Laske sivun pituus x. 18,2 m 42 34 x 2. Suoran särmiön pohjana on kolmio, jonka kahden sivun pituudet ovat 45 cm ja 53 cm. Jälkimmäisen sivun vastainen kulma on 72. Särmiön korkeus on 19 cm. Särmiö on tehty metalliseoksesta, jonka tiheys on 2,14 kg/dm 3. Kuinka paljon kappale painaa? 79

4.3 Kosinilause Kosinilauseen johtaminen 80

4.3 Kosinilause Kosinilause Kolmion kolmas sivu voidaan laskea, jos tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma. a b c α a 2 = b 2 + c 2 2bc cosα Kun kahden sivun välinen kulma on 90, kosinilause saa Pythagoraan lauseen muodon. Kosinilauseella voidaan ratkaista myös kolmion kulmia, jos kaikki sivut tunnetaan. 81

4.3 Kosinilause Kosinilauseen käyttäminen sivun ratkaisemiseen Esimerkki 1 Ratkaise sivun pituus c. Ratkaisu: 84 mm 117 c 68 mm 82

4.3 Kosinilause Esimerkki 2 Pekan kodilta johtaa suora tie kauppaan. Etäisyys kauppaan on 870 m. Kodilta johtaa toinen tie pankkiin, jonne etäisyyttä on 550 m. Teiden väliin muodostuu 85 kulma. Laske kaupan ja postin välinen etäisyys. Ratkaisu: kauppa posti koti 83

4.3 Kosinilause Kosinilauseen käyttäminen kulman ratkaisemiseen Esimerkki Ratkaise kulma β. 7,2 cm 6,6 cm Ratkaisu: β 4,3 cm 84

4.3 Kosinilause Testi: Kosinilause Nimi: 1. Laske sivun pituus x. 32 110 mm 135 mm x 2. Kolmion sivujen pituudet ovat 14 cm, 19 cm ja 28 cm. Laske kahden jälkimmäisen sivun välinen kulma asteen tarkkuudella. 85

4.3 Kosinilause Keskeisiä käsitteitä geometriasta 86

5.1 Peruskäsitteitä Peruskäsitteitä vektoreista Janan AB alkupiste on A ja loppupiste B. suuntajana, jolla pituus ja tietty suunta Suuntajanaa kutsutaan vektoriksi. Vektoria voidaan merkitä myös yhdellä kirjaimella. Esimerkiksi vektori a. Vastakkaissuuntaiset vektorit Samansuuntaiset vektorit Yhdensuuntaiset vektorit Vastavektorit Vektorit ovat yhtä pitkät, mutta vastakkaissuuntaiset. Vektorit ovat yhdensuuntaiset. 87

5.1 Peruskäsitteitä Esimerkki 1 Piirrä vektorin a kanssa samansuuntainen vektori b, vastakkaissuuntainen vektori c ja vastavektori a. a 88

5.1 Peruskäsitteitä Vektoreiden yhtäsuuruus Vektorit a ja b ovat identtiset eli samat, a = Pituudet ovat samat eli a = b. Suunta on sama eli a b. b, kun Esimerkki 1 Etsi kuvasta identtiset vektorit. b a d c e h k f g Esimerkki 2 Millä vakion k arvolla vektorit a = 4p 7t ja b = 4 p+ kt ovat identtiset? 89

5.1 Peruskäsitteitä Erilaisia vektoreita 90

5.1 Peruskäsitteitä Yksikkövektori Kun vektori jaetaan pituudellaan, saadaan yksikkövektori. Esimerkki Tarkastellaan vektoria AB. a) Piirrä vektori, kun A = (1, 3) ja B = (4, 1). b) Laske vektorin pituus (eli kahden pisteen välinen etäisyys). c) Piirrä koordinaatistoon yksikkövektori. d) Muodosta yksikkövektorin lauseke. 91

5.1 Peruskäsitteitä Vektorien välinen kulma Vektorin siirretään alkamaan samasta pisteestä. Vektorien välinen kulma on syntyneistä kulmista pienempi. Samansuuntaisten vektorien välinen kulma on 0º. Vastakkaissuuntaisten vektorien välinen kulma on 180º. 92

5.1 Peruskäsitteitä Esimerkki Määritä vektorien a) a ja b b) b ja c c) a ja c välinen kulma. a b c 93

5.2 Laskutoimitukset Laskutoimitukset Pohdinta 1 Pekka ja Jalmari työntävät pyöreää rullaa voimilla 180 N ja 120 N. Kuinka suurella voimalla yhteensä rullaa työnnetään? Piirrä annettujen voimavektoreiden avulla yhteisvoimaa kuvaava vektori. Miten voimien summavektori on muodostettu? 94

5.2 Laskutoimitukset Vektorien summa Vektorit lasketaan yhteen liittämällä ne peräkkäin. - Vektorien suunnat säilyvät. - Vektorien pituudet säilyvät. Edellisen vektorin loppupisteeseen yhdistetään seuraavan vektorin alkupiste. a b summavektori a+ b Summavektoria kutsutaan resultantiksi. Summa noudattaa vaihdantalakia. a a+ b b b+ a= a+ b b a Summa noudattaa liitäntälakia. a+ b+ c = a+ b + c = a+ b+ c 95

5.2 Laskutoimitukset Summavektoreita piirtämällä Muodosta piirtämällä summavektori a) a + b b) a + b+ c. b a a b c c) s + t + v d) x+ y+ z s t v x y z 96

5.2 Laskutoimitukset Vektorien erotus Vektorien a ja b erotus a b saadaan lisäämällä vektoriin a vektorin b vastavektori b. Vastavektori b on pituudeltaan yhtä suuri, mutta suunnaltaan vastakkainen kuin b. a b b a b= a+ b b a b a 97

5.2 Laskutoimitukset Vektorin kertominen luvulla Vektorit a ja b ovat samansuuntaiset, mutta b on kolme kertaa vektorin a pituinen. a b b=3a Kun vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla, sen pituus muuttuu mutta suunta ei muutu. Jos vektori kerrotaan negatiivisella reaaliluvulla, pituus muuttuu ja suunta muuttuu vastakkaissuuntaiseksi. a c c = 3a Huomaa, että luvulla 1 kertominen ei muuta vektorin pituutta! 98

5.2 Laskutoimitukset Vektoreiden erotus piirtämällä Muodosta piirtämällä vektoreiden erotus. a) a b b) a b c b a a b c c) s 2t v d) x y 2z s t v x y z 99

5.2 Laskutoimitukset Vektorien yhdensuuntaisuus Samansuuntaiset ja vastakkaissuuntaiset vektorit ovat yhdensuuntaisia keskenään. ta a, jos t > 0 t a a, jos t < 0 t a = 0, jos t = 0 Kaksi vektoria a ja b ovat yhdensuuntaisia, jos on olemassa reaaliluku t ( t 0) siten, että a saadaan kertomalla vektori b luvulla t eli a b, jos a = tb t 0 100

5.2 Laskutoimitukset Esimerkkejä laskutoimituksista Piirrä vektorien s, t ja v avulla v a) 2 s t b) 0,5t 2v c) 3 s+ ( 2 t) v. s t 101

5.2 Laskutoimitukset Testi: Laskutoimitukset Nimi: 1. Piirrä vektorien s, t ja v avulla a) t + v b) s v c) 0,5s + 0, 5v d) 2 t + 2s. s t v 102

5.2 Laskutoimitukset Yhteenveto vektorien laskutoimituksista 103

5.3 Komponentteihin jako Komponentteihin jako Pohdinta 1 Lausu vektorit u ja v vektorien a ja b avulla. 104

5.3 Komponentteihin jako Vektorin jakaminen komponentteihin Tason vektorit voidaan lausua kahden erisuuntaisen vektorin avulla. a = 2c + 3d Komponentit Esimerkki Jaa vektori b vektorien x ja y suuntaisiin komponentteihin. a) b) x b y x y b 105

5.3 Komponentteihin jako Komponentit Jaa vektorit c, d, e ja f vektorien a ja b suuntaisiin komponentteihin. b a a b c d a b a f b e 106

5.3 Komponentteihin jako Vektorien yhtäsuuruus Kaksi vektoria ovat yhtä suuret, kun niiden komponentit ovat samat. Esimerkki Millä vakion t arvolla vektorit suuria? a 2x 6y = ja b = t( 2y x) 4 ovat yhtä 107

5.3 Komponentteihin jako Esimerkkejä komponentteihin jaosta Esimerkki 1 Millä vakioiden s ja t arvoilla vektorit 14a 20b ja s a + 2b 2t 2a 4b ovat yhtä suuret? ( ) ( ) 108

5.3 Komponentteihin jako Esimerkki 2 Jaa vektori a = 6 x + 10y vektorien 2x + y ja x 3 y suuntaisiin komponentteihin. 109

5.3 Komponentteihin jako Vektorien yhdensuuntaisuus Vektorit ovat yhdensuuntaisia, kun ne saadaan toisistaan kertomalla nollasta eroavalla luvulla. Esimerkki 1 Ovatko vektorit c = 8a+ 4b ja d = 2a+ b yhdensuuntaisia? Esimerkki 2 Ovatko vektorit c = 2a 10b ja d = 16a 60b yhdensuuntaisia? 110

5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorit xy-koordinaatistossa Pohdinta 1 Koordinaatistoon on piirretty vektori pisteestä O = (0, 0) pisteeseen A. Ilmoita vektori OA annettujen vektoreiden a ja c avulla. a) b) Pohdinta 2 Päättele edellisen pohdintatehtävän perusteella, miten ilmoittaisit vektorin OA vektoreiden a ja c avulla, kun piste O sijaitsee origossa ja pisteen A koordinaatit ovat a) (5, 7) b) ( 4, 2) c) (x, y). 111

5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa xy-tason kantavektorit Sovitaan, että x-akselin suuntainen yksikkövektori on i. i = 1 Olkoon lisäksi y-akselin suuntainen yksikkövektori nimeltään j. j = 1 Koska koordinaattiakselit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, i j Kaikki muut xy-tason vektorit voidaan ilmoittaa kantavektorien i ja j y avulla. s t = = s v v = x t 112

5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Pisteen paikkavektori Tarkastellaan vektoria a, jonka alkupisteenä on origo O = (0, 0) ja loppupisteenä A = (4, 2). y Vektori a voidaan esittää tason kantavektorien i ja j avulla: a = 4 i + 2 j a 4 i 2 j x Vektori a = 4 i + 2 j on pisteen (4, 2) paikkavektori. Vastaavalla tavalla mielivaltaisen tason pisteen (x, y) paikkavektori voidaan esittää muodossa x i + y j. 113

5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Vektorin pituus Tarkastellaan vektoria a = 3 i + 4 j. Vektorin a pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla: 3 i = 3 4 j = 4 a 2 = 3 2 + 4 2 a 2 = 25 a = 25 = 5 Esimerkki Laske vektorin v = 2 i + 5 j pituus. Ratkaisu: 5 j v = 2 i + 5 j 2i 114

5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Kahden pisteen välisen vektorin määrittäminen Esimerkki Määritä vektori, jonka alkupisteenä on A = (1, 5) ja loppupisteenä B = (6, 2). y Ratkaisu: A = (1, 5) Käytetään apuna pisteiden A ja B Paikkavektoreita: OA = B = (6, 2) OB = O = (0, 0) x Lausutaan vektori AB paikkavektorien avulla: AB = 115

5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Kahden pisteen välinen vektori Esimerkki Määritä vektori, jonka alkupisteenä on A = ( 6, 3) ja loppupisteenä B = (7, 4). Ratkaisu: 116

5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Kirjan esimerkki 4 (s. 135) Janan AB päätepisteet ovat A = ( 1, 5) ja B = (3, 2). Piste C jakaa janan suhteessa 2:3. Määritä pisteen C koordinaatit. Ratkaisu: Määritetään vektori AB: AB = Muodostetaan vektori OC. Tähän tarvitaan joko vektoria AC tai BC : AC = Pisteen C paikkavektori OC voidaan nyt lausua vektorien OA ja AC avulla: OC = 117

5.4 Vektorit xy-koordinaatistossa Testi: Vektorit xy-koordinaatistossa Nimi: 1. Vektorin PQ alkupisteenä on P = ( 5, 10) ja loppupisteenä Q = (8, 12). a) Määritä vektori PQ. b) Laske PQ. c) Piste X jakaa janan PQ suhteessa 1:1. Määritä pisteen X koordinaatit. 118

5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Vektorit xyz-koordinaatistossa Pohdinta 1 Erään yrityksen arkisto koostuu 4 hyllyköstä, joissa jokaisessa on 7 hyllyä. Jokaisessa hyllyssä on 5 laatikkoa vierekkäin. Arkistoa voidaan kuvata koordinaatistomallilla, jossa lattiaa kuvaa xy-taso. Jos hyllyköitä kuvaa koordinaatti x, laatikoita koordinaatti y ja hyllyjä koordinaatti z, niin missä sijaitsee asiakirja, joka on hyllykössä kolme, viidennessä laatikossa ja hyllyllä seitsemän? 119

5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Paikkavektori avaruuskoordinaatistossa Kolmiulotteisen koordinaatiston kantavektorit ovat i, j ja k. Pisteen A paikkavektori avaruuskoordinaatistossa on vektori OA. 120

5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Esimerkkejä paikkavektorin käytöstä Esimerkki 1 Koordinaatistoon on merkitty neljä pistettä A, B, C ja D. Pisteen A koordinaatit ovat ( 1, 3, 5) ja pisteen B koordinaatit (3, 2, 7). a) Muodosta paikkavektorit OA ja OB. b) Määritä paikkavektorin avulla pisteiden C ja D koordinaatit, kun AC = 4i 2j + k ja BD = 3i + 5j 2k. 121

5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Esimerkki 2 Piste P jakaa janan AC suhteessa 3:2. Määritä pisteen P koordinaatit, kun A = ( 2, 1, 3) ja C = ( 7, 1, 13). 122

5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Vektorin pituus Suorakulmaisen särmiön sivuvektorit: 2 i, 3 j, 4 k. Särmiön avaruuslävistäjä: a = 2 i + 3 j + 4k Avaruuslävistäjän pituus: a = 2 2 + 3 2 + 4 2 = 29 Esimerkki Laske vektorin b= 3i 5j k pituus. 123

5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Kahden pisteen välinen vektori 124

5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Esimerkki 1 Määritä vektori AB ja laske sen pituus, kun a) A(4, 5, 2) ja B(2, 4, 3) b) A( 6, 3, 1) ja B(1, 3, 7). Esimerkki 2 Piste P jakaa janan AB suhteessa 1:3. Määritä pisteen P koordinaatit, kun A = (4, 1, 6) ja B = (12, 5, 6). 125

5.5 Vektorit xyz-koordinaatistossa Testi: Vektorit xyz-koordinaatistossa Nimi 1. Määritä vektori AB ja laske sen pituus, kun A = (4, 6, 7) ja B = ( 1, 6, 2). 2. Pisteen A koordinaatit ovat (4, 0, 6). Määritä pisteen C koordinaatit, kun AC = 3 i 9 j + 2k. 126

5.6 Pistetulo xy-tason vektorien pistetulo Määritellään kahden tason vektorin a = x i + y j ja 1 2 = x i y j pistetulo eli skalaaritulo seuraavasti: b + 2 2 Esimerkki 1 Laske vektorien v = 2 i + 5 j ja s = 7i 3 j pistetulo. Ratkaisu: 127

5.6 Pistetulo Esimerkki 2 Määritä vakio t siten, että vektorien x = i + ( 2 + t ) j pistetulo on 3. 3 ja y = 2ti 4 j Ratkaisu: 128

5.6 Pistetulo Vektorien kohtisuoruus Vektoreiden 4 i + 2 j ja i + 2 j välinen kulma on 90, eli vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. y 4 i + 2 j i + 2 j x Lasketaan näiden vektorien pistetulo: ( 4 i + 2 j ) ( i + 2 j ) = Jos kaksi vektoria ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden pistetulo on nolla. a = 4 i + 2 j 129

5.6 Pistetulo Kohtisuoruusehdon käyttäminen Esimerkki Määritä vakio k siten, että vektorit a = ki + j ja b = ( k 2) i 3 j ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ratkaisu: Määritetään pistetulo vektoreille a = ki + j ja b = ( k 2) i 3 j : a b = Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. Näin saadaan toisen asteen yhtälö, josta ratkaistaan k: 130

5.6 Pistetulo Pistetulon määritelmä Tarkastellaan kahta vektoria a ja b. Pistetulo voidaan määritellä näiden vektorien pituuksien sekä niiden välisen kulman kosinin avulla seuraavasti: Esimerkki 1 Määritä vektorien s ja t pituudet, kun vektorin s pituus on 3 yksikköä pienempi kuin vektorin t. Lisäksi tiedetään, että vektorien välinen kulma on 60 ja vektorien pistetulo on 90. 131

5.6 Pistetulo Esimerkki 2 Määritä vektorien tarkkuudella. s = i + 4 j ja t = 2i 3 j välinen kulma asteen Ratkaisu: 132

5.6 Pistetulo Testi: Pistetulo Nimi: 2. Laske vektorien x = 12i + 7 j ja y = 9i 5j pistetulo. 3. Määritä vektorien a = i 2 j ja b = 2i 3 j välinen kulma asteen tarkkuudella. 133

Keskeisiä käsitteitä vektoreista Keskeisiä käsitteitä vektoreista 134

Kertaus Kertaus Erilaisia kulmia ja kulmanyksiköitä Suunnattu kulma syntyy, kun kahdesta päällekkäin asetetusta puolisuorasta toinen jää paikalleen ja toista kierretään vastapäivään (positiivinen kulma) tai myötäpäivään (negatiivinen kulma). 40 40 Kulman suuruus ilmoitetaan yleensä asteina tai radiaaneina. Radiaanin määritelmä: b α = r Kulmanyksiköiden muuntaminen: 1 o π = ( rad) ( ) o 180 1 rad = 180 π Sini, kosini ja tangentti Trigonometrisista funktioista sini ja kosini määritellään yksikköympyrän avulla seuraavasti: sini on kulmaa α vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti ja kosini x-koordinaatti. r α b 135

Kertaus Tangentti voidaan määritellä pisteeseen (1, 0) piirretyn tangenttisuoran avulla: Kulman α vasemman kyljen ja tangenttisuoran leikkauspistettä sanotaan tangenttipisteeksi. Tämän pisteen y-koordinaatti on tanα. Trigonometrisia funktioita sitoo toisiinsa yhtälö α tan α = sin cosα Trigonometristen funktioiden merkki yksikköympyrän eri neljänneksissä: 136

Kertaus Siniyhtälö Yhtälön sin α = y ratkaisut ovat α = α + n 360 tai 0 o o α = 180 α0 + n 360, o jossa n = 0, ± 1, ± 2,... Kosini- ja tangenttiyhtälöt Yhtälön cos α = x ratkaisut ovat α = α 0 + n 360 tai o o α = α 0 + n 360, n = 0, ± 1, ± 2,.. Yhtälön tan α = k ratkaisut ovat α o = α0 + n 180, n = 0, ± 1, ± 2,... Kulman tangenttipiste on A. 137

Kertaus Trigonometristen funktioiden jaksollisuus Sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita. Molempien jakso on 2π, eli niiden arvot toistuvat 2π:n välein. Myös tangentti on jaksollinen funktio, mutta sen jaksona on π. 138

Kertaus Sovelluksia Trigonometrisilla funktioilla voidaan mallintaa jaksollisia ilmiöitä, joita ovat esimerkiksi - harmoninen värähtely - vuoroveden vaihtelu - aaltoliike. Aaltoliikkeen muotoja ovat esimerkiksi näkyvä valo radioaallot röntgensäteily ääni gravitaatioaallot. Malleissa hyödynnetään kahta sinin ja kosinin ominaisuutta: 1. Sini ja kosini on määritelty kaikilla reaalilukujen arvoilla. 2. Sinin ja kosinin arvot vaihtelevat välillä [ 1, 1]. Esimerkiksi funktio f ( x ) 5sin x [ 5, 5]. = saa siis kaikki arvot väliltä 139

Kertaus Kolmion ja suunnikkaan ala Kolmion ala voidaan laskea, jos tunnetaan kaksi kolmion sivua sekä niiden välinen kulma: A = 1 ac 2 sin β c β Suunnikkaan ala kahden sivun ja niiden välisen kulman avulla laskettuna on a A = ah = ab sin β b h β a Sinilause Sinilauseen mukaan kolmiolle on voimassa yhtälö a = sin α b sin β α b β a Sinilauseen avulla voidaan ratkaista kolmion sivuja ja kulmia, kun tunnetaan - kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma - kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu. 140

Kertaus Kosinilause Kosinilauseen mukaan kolmiolle on voimassa yhtälö a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α a c b α Lauseen avulla voidaan ratkaista kolmion kolmas sivu, kun kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnetaan. Myös kulmien ratkaiseminen on mahdollista, jos kolmiosta tunnetaan kaikki sivut. Peruskäsitteitä Yhdensuuntaisia vektoreita ovat: - samansuuntaiset vektorit, a b - vastakkaissuuntaiset vektorit, a b - vastavektorit, a ja a - identtiset eli yhtä suuret vektorit: a = b, kun a b ja vektoreiden pituudet ovat samat. Yhdensuuntaisuutta merkitään a b. Yksikkövektori saadaan, kun vektori jaetaan pituudellaan. Yksikkövektorin pituus on yksi yksikkö. a a = a, jossa a on vektorin a pituus 141

Kertaus Nollavektorin suuntaa ei ole määrätty, mutta sen pituus on nolla. Erisuuntaiset vektorit eivät ole yhdensuuntaisia. Tätä merkitään a b. Vektoreiden a ja b välinen kulma α saadaan, kun vektorit asetetaan alkamaan samasta pisteestä, 0 α 180. a b b a ( a, b) Laskutoimitukset Vektorit liitetään peräkkäin suuntansa ja pituutensa säilyttäen. Vektorien summa eli resultantti R saadaan, kun ensimmäisen vektorin alkupiste yhdistetään viimeisen loppupisteeseen. Vektoreiden a ja b erotus a b saadaan lisäämällä vektoriin a vektorin b vastavektori ( b) = a b a +. b eli 142

Kertaus Vektoria a voidaan kertoa reaaliluvulla t, jolloin vektorin pituus muuttuu ja suunta voi muuttua vastakkaiseksi tai pysyä samana. ta ta ta a, a, = 0, t jost jost = 0 > 0 < 0 Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaisia eli a b, jos a = tb, jossa t 0 Komponentteihin jako Tason vektorit voidaan jakaa kahteen erisuuntaiseen komponenttiin. Avaruusvektorien komponenttiesitykseen tarvitaan kolme erisuuntaista vektoria. Komponenttien summana saadaan tarkasteltava vektori. Vektorit ovat yhtä suuret eli identtiset, kun niiden komponentit ovat samat 143

Kertaus Vektorit xy-koordinaatistossa xy-tason kantavektorit ovat i ja j. Pisteen A = (x, y) paikkavektori on origosta pisteeseen A piirretty vektori OA. Vektorin a = r i + t j pituus on a + 2 2 = r t. Pisteiden ( ) x 1, y 1 A = ja ( ) ( x x ) i + ( y y ) j AB = 2 1 2 1. B = x 2, y 2 välinen vektori on 144

Kertaus Vektorit xyz-koordinaatistossa Avaruuden xyz kantavektorit ovat i, j ja k. Jokainen avaruuden xyz vektori voidaan esittää kantavektoreiden avulla komponenttiensa summana. Pisteen A = (x, y, z) paikkavektori on origosta pisteeseen A piirretty vektori OA. Vektorin a = r i + t j + uk pituus on a + 2 2 2 = r + t u. Pisteiden A = ( x, y z ) ja ( x, y z ) 1 1, 1 B = välinen vektori on 2 2, 2 145

Kertaus Vektoreiden pistetulo Pistetulo eli skalaaritulo voidaan laskea kahdella eri tavalla: 1) Jos tiedetään vektoreiden välinen kulma α sekä vektoreiden pituudet, niin a b = a b cosα. 2) Jos vektoreiden välistä kulmaa ei tiedetä, niin tasossa a b = x 1x 2 + y 1 y 2 ja avaruudessa a b = x 1x 2 + y1 y 2 + z 1z 2. Pistetulon arvo on aina reaaliluku. Jos pistetulo on nolla, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. a b = 0, niin a b eli α = 90 Vektoreiden välinen kulma saadaan pistetulon avulla cosα = a b ab 146

Kertaus Monivalintakysymyksiä kurssista Valitse yksi neljästä vaihtoehdosta. 11... 1,34 radiaania on asteina likimain a) 134 b) 77 c) 1,34 d) 0,023. 22... Lausekkeen a) 1,11 b) 0,02 c) 0,89 d) 0,78. 2π sin 7 likiarvo kahden desimaalin tarkkuudella on 33... Kulma, jonka suuruus on 4π 3, sijaitsee a) 1. neljänneksessä b) 2. neljänneksessä c) 3. neljänneksessä d) 4. neljänneksessä. 44... Yhtälön sin x = 0,52 ratkaisu kahden merkitsevän numeron tarkkuudella on o o a) x ± 31 + n 360 b) o x 31 + n 360 tai o c) x 31 + n 180 tai d) x 31 + n 180. o o o x 149 + n 360 o x 149 + n 180 o o 55... Yhtälön tan x = 120 ratkaisu kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella on a) x 1, 56 + n π b) x ± 1, 56 + n 2π c) x ± 1, 56 + n π d) x 1, 56 + n 2π. 66... Kolmion sivujen pituudet ovat 14 cm ja 19 cm, ja niiden välinen kulma on 49. Kolmion ala on siis likimain a) 200 b) 175 c) 125 d) 100. 147

Kertaus 77... Mikä seuraavista väitteistä ei pidä paikkaansa? a) Vektorit ovat yhtä suuret, jos niillä on sama pituus. b) Vastakkaissuuntaiset vektorit ovat yhdensuuntaisia. c) Samansuuntaiset vektorit ovat yhdensuuntaisia. d) Jos kaksi vektoria on toistensa vastavektoreita, niillä on sama pituus. 88... Jos A = ( 2, 3) ja B = (8, 10), a) AB = 6 i + 7 j b) AB = 10 i + 7 j c) AB = 6i 7 j d) AB = 10i 7 j. 99... Mikä seuraavista väitteistä pitää paikkansa? a) a = b b) a c c) a = b d) a c 1100... Vektorin c = 6 i j pituus on a) 7 b) 7 c) 35 d) 37. 1111... Vektori OA = 2 i + 7 j ja AB = i + 3 j. Tällöin pisteen B koordinaatit ovat a) (2, 7) b) (3, 10) c) (1, 3) d) (1, 4). 1122... Pisteen ( 1, 3, 2) paikkavektori on a) i 3 j + 2k b) i 3 j + 2k c) i + 3 j 2k d) i + 3 j 2k. 148

Kertaus 1133... Vektorien a = 2 i + 9 j ja b = 5i 3 j pistetulo on a) 37 b) 17 c) 17 d) 37. 1144... Seuraavilla kulmilla, yhtä lukuun ottamatta, on sama kehäpiste. Mikä kulmista eroaa näin muista? a) 50 b) 50 c) 310 d) 670 1155... Yhtälön 3 sin β = tarkka ratkaisu välillä 2 a) π β = 3 b) 2π β = 3 c) π β = + n 2π 3 d) 2π β = + n 2 π. 3 0, π 2 on πt 1166... Funktio g() t = 0,90 cos + 3, 5 kuvaa veden syvyyttä metreinä satamassa. Aika t on tunteja 12 hetkestä, jolloin syvyys on suurimmillaan. Mikä on suurin syvyys? a) 3,5 m b) 0,90 m c) 4,4 m d) 2,6 m 1177... Minkä yhtälön avulla voidaan ratkaista sivun pituus x? a) x 14 = o o sin 65 sin 52 b) x 14 = o o sin 52 sin 65 c) d) 65 52 2 2 2 2 = 14 + x 2 x 14 cos52 2 2 = 14 + x 2 x 14 cos65 o o 65 x 52 14 m 149

Kertaus 1188... Vektorille a = 4i 3 j on a) 0 a = i j b) 0 1 1 a = i j 5 5 c) a 0 = 1 d) 0 4 3 a = i j. 5 5 1199... Mikä seuraavista vektoreista ei ole yhdensuuntainen vektorin x = a + b kanssa? a) a b b) a + 2b c) 3 a + 3b d) 1 1 a b 4 4 2200... Mikä seuraavista väitteistä ei pidä paikkaansa vektorille v = i j 5k? a) v on pisteen (1, 1, 5) paikkavektori. b) v on yhdensuuntainen vektorin v = 2 i + 2 j + 10k kanssa. c) v = 7 d) v on kohtisuorassa vektoria v = 4 i j + k vastaan. 2211... Vektorien a ja b pituudet ovat 10 ja 15, ja niiden välinen kulma on 60. Tällöin a) a b = 75 b) a b = 150 c) a b = 0 d) a b = 130. 2222... Neljäkkään sivun pituus 7,0 cm. Sivujen välinen kulma on 38, eli neljäkkään ala on likimain a) 30 cm 2 b) 49 cm 2 c) 15 cm 2 d) 60 cm 2. Monivalintakysymysten oikea rivi: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C B A D A B D D B D 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 C A A C B D B C A A 150