1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälösysteemeihin, jotka ovat muotoa x '(t) = f(t, x(t)), x(t) n. n n Tässä f on jatkuva funktio:. Vektorin x(t) voidaan sanoa esittävän systeemin tilaa ajanhetkellä t. Geometrisesti x muodostaa ratakäyrän n-ulotteisessa avaruudessa. Systeemin ratkaisu avoimella välillä I on tällä välillä määritelty jatkuvasti derivoituva vektoriarvoinen funktio x, joka toteuttaa yllä mainitun yhtälön tämän välin jokaisessa pisteessä. Ratkaisuja on yleensä ääretön määrä. Alkuarvotehtävässä x '(t) = f(x(t),t), x(t 0 )=c ratkaisun määrätään kulkevan ajanhetkellä t 0 pisteen c kautta. Edellisessä luvussa olevan lauseen mukaan ratkaisu on tällöin yksikäsitteinen. Ensimmäisen kertaluvun derivaattaan keskittyminen edellä ei ole kovin yleisyyttä rajoittavaa: Korkeampaa kertalukua olevat differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa ensimmäisen kertaluvun systeemiksi. Edellytyksenä tälle on, että esiintyvä korkein derivaatta voidaan ratkaista yhtälöstä.
2 Esim. 1 Muutetaan seuraava differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun systeemiksi: 2 y'''( t) - 3 y''( t) + 4 y'( t) - y( t) = 0. Valitaan x1( t) = y( t), x2( t) = y'( t), x3( t) = y''( t), jolloin näiden derivaatoille saadaan x '( t) = x ( t) 1 2 x '( t) = x ( t) 2 3 x '( t) = 1/2 x ( t)-2 x ( t) + 3/2 x ( t). 3 1 2 3 Differentiaaliyhtälösysteemien tasapainotilat ja stabiilius. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu ajasta t: x'(t) = f(x(t)). Jos vakiotila x(t) x 0 toteuttaa yhtälön, niin silloin vakiona sen derivaatta x'(t) 0 ja sanomme, että systeemi on tasapainotilassa ja x 0 on systeemin tasapainopiste. Tasapainopistettä karakterisoi siis yhtälö f(x 0 ) = 0, josta systeemin tasapainopisteet voidaan ratkaista.
3 Esim. 2 Systeemin tasapainopisteet ovat (0, nπ). f(x) = [sin(x 1 +x 2 ) exp(x 1 )-1] T Systeemi on tasapainopisteessä x 0 stabiili, jos sen tila x(t) eroaa ajan kuluessa tasapainostaan hallitun vähän, kun poikkeama tasapainopisteestä on riittävän pieni. Eli jos systeemi lähtee poikkeutetusta alkutilasta x * ja etenee alkuarvoprobleeman x' = f(x), x(0) = x * ratkaisuna x(t), niin jokaista ε > 0 kohti on olemassa δ > 0 siten,että x * - x 0 < δ x(t) - x 0 < ε kaikilla t>0. Tällöin sanotaan myös, että kyseinen tasapainopiste on stabiili. Voimakkaampi ominaisuus on asymptoottinen stabiilius: Systeemi on stabiili ja x(t) x 0, kun t. Eli kun poikkeutus tasapainopisteestä on riittävän pieni, niin systeemi palaa ajan kuluessa lopulta takaisin tasapainotilaansa raja-arvona. Globaalissa asymptoottisessa stabiiliudessa poikkeaman suuruus K saa olla mikä hyvänsä. Jos systeemi ei ole stabiili, se on epästabiili. Silloin poikkeutuksen vähäisyys ei riitä takaamaan systeemin tilan pysymistä hallituissa rajoissa. Oheinen kuva havainnollistaa stabiilin, asymptoottisesti stabiilin ja epästabiilin tasapainopisteen käsitteitä:
4 Avaruuden n lineaarisille systeemeille x' = Ax stabiiliuskysymykset voidaan selvittää ominaisarvojen avulla. Olkoon det(a) 0, jolloin ainoa tasapainopiste on origo 0. Origo on systeemin stabiili tasapainotila täsmälleen silloin, kun sen ominaisarvojen reaaliosat ovat 0 ja lisäksi niiden ominaisarvojen, joilla geometrinen kertaluku on pienempi kuin algebrallinen, reaaliosa on < 0. Jos lisäksi kaikkien ominaisarvojen reaaliosat ovat <0, niin origo on globaalisti asymptoottisesti stabiili tasapainotila.
5 Yleisemmän lineaarisen systeemin x' = Ax + b tasapainotila on (A:n ollessa kääntyvä) yhtälön ratkaisu Ax 0 + b = 0 x 0 = -A -1 b. Sen stabiiliusominaisuudet määräytyvät A:n ominaisarvoista täsmälleen kuten origon tapauksessa yllä. Siis lineaarisen systeemin x' = Ax + b (det(a) 0) tasapainotila on globaalisti asymptoottisesti stabiili, jos A:n ominaisarvot λ C ovat aidosti vasemmassa puolitasossa (ei imaginääriakselilla). Jos ne ovat vasemmassa puolitasossa, mutta jokin on imaginääriakselilla, systeemi on silti stabiili. Jos jokin ominaisarvoista on aidosti oikeassa puolitasossa (Reλ>0), systeemi on tasapainotilassaan epästabiili.
6 Epälineaarisen systeemin x' = f(x) tasapainotilan x 0 stabiilius selvitetään tutkimalla pisteen x 0 ympäristössä linearisoitua systeemiä f(x) = f(x 0 ) + f '(x 0 )(x-x 0 ). Koska tasapainopisteessä x 0 on f(x 0 ) = 0, on linearisoitu systeemi x' = Ax +b, missä A = f '(x 0 ) on f:n derivaatta eli Jacobin matriisi pisteessä x 0 ja b = - f '(x 0 )x 0. Jos Jacobin matriisin ominaisarvojen reaaliosat ovat < 0, niin tasapainotila x 0 on epälineaariselle systeemille asymptoottisesti stabiili. Jos yksikin ominaisarvoista on reaaliosaltaan positiivinen, tasapainotila on epästabiili.
7 2 Tason lineaarisille systeemeille x' = Ax voidaan eri tilanteet tasapainotilalle 0 luokitella seuraavasti ominaisarvojen λ 1, λ 2 avulla:
8