VIII KIERTOPROSESSIT JA TERMODYNAAMISET KONEET 196

VIII KIERTOPROSESSIT JA TERMODYNAAMISET KONEET 196 8.1 Kiertoprosessin ja termodynaamisen koneen määritelmä... 196 8.2 Termodynaamisten koneiden hyötysuhde... 197 8.2.1 Lämpövoimakone... 197 8.2.2 Lämpöpumpun tehokerroin... 197 8.2.3 Jäähdytyskoneen tehokerroin... 198 8.3 Ideaalikaasun Carnotin prosessi... 203 8.3.1 Carnotin prosessin hyötysuhde... 204 8.3.2 Käänteinen Carnotin prosessi... 205 8.3.3 Carnotin prosessin ja muiden kiertoprosessien vertailua... 205

196 VIII Kiertoprosessit ja termodynaamiset koneet VIII Kiertoprosessit ja termodynaamiset koneet 8.1 Kiertoprosessin ja termodynaamisen koneen määritelmä Kiertoprosessilla tarkoitetaan kahden tai useamman tilanmuutoksen sarjaa, jossa systeemi palaa lopuksi alkuperäiseen termodynaamiseen tilaansa. Termodynaaminen kone on vastaavasti laite joka (1) toteuttaa toistuvasti kiertoprosessia, (2) ottaa ja luovuttaa lämpöä kiertoprosessin eri vaiheissa ja (3) tekee konfiguraatiotyötä ympäristöön nähden. Jos koneen tekemä työ on positiivinen, kyseessä on lämpövoimakone. Jos taas ympäristön tekemä työ on positiivinen, kyseessä on jäähdytyskone tai lämpöpumppu. Jälkimmäisten väliseen eroon palaamme myöhemmin. Seuraavissa tarkasteluissa oletamme, että koneet ovat ideaalisia eivätkä Kuva 8-1 Termodynaamisten koneiden energiavirrat. kitkan kaltaiset häviöt vaikuta koneiden hyötysuhteeseen. Kuvassa 8.1 W on systeemin tekemä työ, Q A systeemin alemmasta lämpövarastosta ottama lämpö ja Q Y systeemin ylemmästä lämpövarastosta ottama lämpö. Työn ja lämpömäärien etumerkit riippuvat termodynaamisen koneen tyypistä taulukon 8.1 mukaisesti. Termodynaamisen koneen yhden kierroksen aikana tekemän työn ja koneen saamien lämpömäärien summa on nolla. Lämpöopin ensimmäinen pääsääntö voidaan esittää termodynaamisille koneille muodossa W Q Q = Y + A. (8.1)

8.2 Termodynaamisten koneiden hyötysuhde 197 8.2 Termodynaamisten koneiden hyötysuhde 8.2.1 Lämpövoimakone Kiertoprosessin hyötysuhde määritellään prosessista ympäristöön saatavan "hyötyenergian" suhteena prosessiin "sijoitettuun" energiaan. Lämpövoimakoneen tavoitteena on tehdä mahdollisimman paljon työtä jokaista ylemmästä lämpövarastosta otettua energiayksikköä kohden. Hyötysuhde määritellään yhtälöllä W QY QA QA η = = = 1, (8.2) QY QY QY ts. hyötysuhde on systeemin tekemän työn suhde sen ylemmästä lämpövarastosta ottamaan lämpöön. Jos hyötysuhde ilmoitetaan ylemmästä varastosta otetun lämmön ja alempaan lämpövarastoon luovutetun lämmön avulla, on muistettava, että alempaan lämpövarastoon luovutettu lämpö on Q A. Taulukko 8.1 Energiavirtojen suunta termodynaamisissa koneissa Lämpövoimakone Lämpöpumppu ja jäähdytyskone W > 0 kone tekee työtä Q Y > 0 kone ottaa lämpöä ylemmästä lämpövarastosta Q A < 0 kone luovuttaa lämpöä alempaan lämpövarastoon W < 0 ympäristö tekee työtä Q Y < 0 kone luovuttaa lämpöä ylempään lämpövarastoon A Q > 0 kone ottaa lämpöä alemmasta lämpövarastosta 8.2.2 Lämpöpumpun tehokerroin Lämpöpumpun tavoitteena on luovuttaa ylempään lämpövarastoon mahdollisimman paljon energiaa jokaista ympäristön tekemän työn energiayksikköä kohden. Hyötysuhteen sijaan puhutaan kuitenkin tehokertoimesta, joka määritellään

198 VIII Kiertoprosessit ja termodynaamiset koneet QY 1 ε L = W = η. (8.3) Tehokerroin on systeemin ylempään lämpövarastoon luovuttaman lämmön suhde ympäristön tekemään työhön. Lämpöpumpulle W < 0, Q Y < 0 ja Q A > 0. Lämpöpumpun tehokerroin on vastaavaa (reversiibeliä) kiertoprosessia suorittavan lämpövoimakoneen hyötysuhteen käänteisluku. Palaamme tähän Carnotin koneen yhteydessä. 8.2.3 Jäähdytyskoneen tehokerroin Jäähdytyskoneen tavoitteena on poistaa mahdollisimman paljon lämpöä alemmasta varastosta jokaista ympäristön tekemän työn energiayksikköä kohden, joten sen tehokerroin määritellään ε J QA W QY = = = εl 1. (8.4) W W Tehokerroin on siis alemmasta varastosta poistettu energia jaettuna ympäristön tekemällä työllä. Yhtälössä 8.4 jäähdytyskoneen tehokerroin on esitetty myös vastaavan lämpöpumpun tehokertoimen avulla käyttäen hyväksi ensimmäisestä pääsäännöstä seuraavaa yhtälöä 8.1. Kiertoprosessissa tehdyn työn ja hyötysuhteen laskemi- Esimerkki 8.1. nen. Tarkastellaan kuvan 8-2 prosessia. Sylinterissä on 58 g ilmaa, joka suorittaa seuraavan kiertoprosessin: 1 2 isobaarinen laajeneminen, 2 3 isokoorinen jäähdytys ja 3 1 adiabaattinen puristus. Lasketaan ilman tekemä työ ja prosessin hyötysuhde, kun tunnetaan tilaavuudet 3 3 V 1 = 20,0 dm ja V2 = V3 = 50,0 dm sekä paineet p1 = p2 = 5 bar ja p 3 = 1,39 bar. Kuva 8-2 Kiertoprosessin hyötysuhteen laskeminen. Lasketaan aluksi moolimäärä. Ilman keskimääräinen molekyylipaino on 29,0 g/mol, joten ν = 2. Happi ja typpi ovat

8.2 Termodynaamisten koneiden hyötysuhde 199 kaksiatomisia molekyylejä. Oletamme, että niillä on 5 aktiivista vapausastetta ( f = 5 ). Ominaislämmöt ovat cv = 5/2R ja cp = 7/2R ja adiabaattivakio γ = cp/ cv = 1,40. Lasketaan kaasun saama lämpömäärä eri osaprosesseissa. 1 2 Isobaarinen laajeneminen: QY = Q12 = νcp ( T2 T1 ) = ν( 7/2 ) R ( T2 T1 ) = ( 7/2 )( pv 2 2 pv 1 1) = 52,2 kj. 2 3 Isokoorinen jäähdytys: QA = Q23 = νcv ( T3 T2 ) = ν( 5/2 ) R ( T2 T3 ) = ( 5/2 )( pv 2 2 pv 3 3) = 45,2 kj 3 1 adiabaattisessa prosessissa Q 31 = 0. Systeemin tekemä työ = ylemmästä varastosta saadun lämmön ja alempaan varastoon luovutetun lämmön erotus W = QY QA = 7,3 kj, joten hyötysuhteeksi saadaan määritelmän mukaan η = W / Q Y = 14 %. Esimerkki 8.2. Ideaalinen Ottoprosessi on autoissa yleisesti käytetty kiertoprosessi. Oheinen kuva esittää Otto-prosessin tilanmuutokset: 0 1 Kaasu imetään sylinteriin. Imu oletetaan häviöttömäksi. Kaasuuntuneen polttoaineen ja ilman seos on ulkoilman paineessa. 1 2 Adiabaattinen puristus minimitilavuuteen. Oletetaan, että puristus on nopea, joten lämpöä ei ehdi siirtyä seinämiin, mutta samalla riittävän hidas, jotta prosessi on kvasistaattinen (kaasu homogeenista). Kuva 8-3 Ideaalisen Otto-prosessin tilanmuutokset. 2 3 Isokoorinen muutos polttoaineen palaessa räjähdyksenomaisesti ja luovuttaessa lämpömäärän Q Y > 0 systeemiin. 3 4 Kaasu laajenee adiabaattisesti ja tekee työtä. 4 5 Isokoorinen jäähtyminen paineen laskiessa normaali-ilmanpaineeseen. Tämä on karkea approksimaatio, sillä tyhjennyksen alkaessa palokaa-

200 VIII Kiertoprosessit ja termodynaamiset koneet sujen lämpötila on huomattavan korkea. Kaasu luovuttaa lämpöä ympäristöön, joten Q A < 0. 5 6 Jäähtyneen ja yhden ilmankehän paineeseen laajentuneen kaasun kitkaton työntäminen pois sylinteristä. Hyötysuhteen laskeminen Ylemmästä lämpövarastosta otetaan energiaa isokoorisessa muutoksessa 2 3. Saatu lämpömäärä on QY = νcv( T3 T2) > 0. Alempaan lämpövarastoon luovutetaan energiaa isokoorisessa muutoksessa 4 1, jolloin kaasun saama lämpömäärä on (<0) QA = νcv( T1 T4) < 0. Lämpövoimakoneen hyötysuhteen määritelmän mukaan η W QY QA QA T 1 1 4 T = = = = 1 QY QY QY T3 T2. (8.5) Sievennetään 8.5 käyttämällä ideaalikaasun adiabaattiselle prosessille päteviä yhtälöitä pv γ = vakio ja p = ν RT / V. Sijoittamalla jälkimmäisestä saatu paine edelliseen saamme uudeksi adiabaattista prosessia kuvaavaksi yhtälöksi TV γ 1 = vakio. (8.6) Yhtälön (8.6) avulla saadaan 1 1 1 1 TV 3 3 γ TV 4 4 γ ; TV 2 2 γ TV 1 1 γ = =. Kuvan 8-3 mukaan V1 = V4 ja V2 = V3, joten Ratkaistaan tästä suhde T1/ T 2: 1 1 1 1 TV 3 3 γ TV 4 1 γ ; TV 2 3 γ TV 1 1 γ = =. T3 T4 T3 T2 T4 T1 T1 T4 T1 = = = T2 T1 T2 T1 T2 T3 T2 Sijoittamalla tämä yhtälöön 8.5 saadaan hyötysuhteeksi. η =. (8.7) 1 T1/ T2 1/( γ -1) 1 2 2 1 Hyötysuhde 8.7 voidaan esittää puristussuhteen ε = ( V / V ) = ( T / T ) (adiabaattinen prosessi) avulla muodossa ( γ 1) η = 1 ε. (8.8)

8.2 Termodynaamisten koneiden hyötysuhde 201 Yhtälöstä 8.8 nähdään, että hyötysuhde kasvaa puristussuhteen ε kasvaessa. Korkea puristussuhde johtaa kaasuseoksen lämpenemiseen puristuksen aikana. Polttoaineen itsesytytys pyritään estämään polttoaineseoksen sopivalla koostumuksella (lisäaineilla). Esimerkki 8.3. Ideaalinen Dieselprosessi on toinen autojen voimanlähteiden yleinen kiertoprosessi. Kuva 8-4 esittää ideaalisen Diesel-prosessin tilanmuutoksia. 0 1 Ilma imetään sylinteriin. 1 2 Ilman adiabaattinen puristus yläkuolokohtaan. 2 3 Palovaihe, jolloin polttoaine ruiskutetaan sylinteriin. Polttoaine Kuva 8-4 Diesel-prosessin tilanmuutokset palaa isobaarisesti, jolloin kaasu laajenee ja tekee työtä. Tässä vaiheessa systeemiin (kaasuseokseen) tuodaan lämpö Q Y kemiallisena energiana. 3 4 Palamistuotteet laajenevat adiabaattisesti ja tekevät lisää työtä männän siirtyessä alakuolokohtaan. 4 1 0 Isokoorinen paineenlasku, jäädytys ja palamistuotteiden poisto kuten ottomoottorissakin (karkea yksinkertaistus). Hyötysuhteen laskeminen Isobaarisessa prosessissa 2 3 saadaan lämpöä systeemiin, joten QY = νcp ( T3 T2 ) > 0. Vastaavasti lämpöä luovutetaan alempaan lämpövarastoon isokoorisessa prosessissa 4 1: QA = νcv( T1 T4) < 0. Lämpövoimakoneen hyötysuhteen määritelmän perusteella onη = 1 QA / QY. Sijoittamalla saadaan Diesel-prosessin hyötysuhteeksi η ( 4 1) ( ) cv T T = 1 cp T3 T2. (8.9) Sijoittamalla adiabaattivakio γ = cp/ cv yhtälöön 8.9 saadaan hyötysuhde muotoon

202 VIII Kiertoprosessit ja termodynaamiset koneet η 1 1 T4 T1 1 T4 T 1 1 1 3 T2 = = γ T3 T2 γ T1 T1 T1 (8.10) Diesel-prosessia kuvattaessa tarvitaan kaksi parametria. Puristussuhde määritellään kuten Otto-prosessissakin: ε ( γ ) 1/ 1 V1 T2 = = V2 T1 (8.11) Toinen parametri on polttosuhde eli täyspainesuhde φ, jonka määrää pääasiassa polttoaineen ruiskutuksen kesto, V3 T3 V2 T2 φ = =. (8.12) Esitämme seuraavaksi hyötysuhteen 8.10 näiden parametrien avulla. Prosessi 2 3 on isobaarinen joten p2 = νrt2/ V2 = p3 = νrt3/ V3. Osaprosessi 3 4 on adiabaattinen, joten käyttämällä yhtälöä 1 TV γ = vakio ja määritelmiä 8.11 ja (8.12) γ 1 γ 1 γ 1 T4 V3 V3 φ = = = T3 V4 V1 ε ja γ 1 T4 T4 T3 T2 φ γ 1 γ = = φ ε = φ. T1 T3 T2 T1 ε Sijoittamalla näistä yhtälöistä lämpötilasuhteet yhtälöön 8.10 saadaan η γ 1 φ 1 = 1 γ 1 ε γ φ ( 1). (8.13) γ Polttosuhteen sisältävä tekijä ( φ 1) γ( φ 1) on aina suurempi kuin yksi. Samalla puristussuhteen arvolla Diesel-prosessin hyötysuhde on siis pienempi kuin ottoprosessin, ja hyötysuhde lähestyy Otto-prosessin arvoa, kun polttosuhde pienenee kohti ykköstä. Diesel-moottorissa käytettävä polttoaine, dieselöljy, mahdollistaa kuitenkin korkeamman puristussuhteen, mikä suurentaa moottorin hyötysuhdetta.

8.3 Ideaalikaasun Carnotin prosessi 203 8.3 Ideaalikaasun Carnotin prosessi Carnotin (N.L. Carnot 1796-1832) kiertoprosessi on termodynamiikassa erityisasemassa, koska se on tehokkain tapa muuttaa lämpöä työksi kahden lämpövaraston välissä toimivassa termodynaamisessa koneessa. Carnotin prosessin työaineena voi olla mikä tahansa termodynaaminen systeemi: kaasu, neste, kiinteä aine tai paramagneettinen väliaine. Carnotin kone toimii kahden lämpövaraston välissä, ja pvt-systeemin Carnotin kiertoprosessi koostuu seuraavista neljästä prosessista: Kuva 8-5 Carnotin prosessia toistavan koneen toimintaperiaate. Sylinterin seinät, mäntä ja eriste E ovat ideaalisia eristeitä, kun taas sylinterin kansi on täydellinen johde. Isoterminen lämmönotto ylemmästä lämpövarastosta T Y. Lämpö Q Y > 0 siirtyy kaasuun samalla kun kaasu laajenee ja tekee työtä. Prosessi 1 2 kuvissa 8-5,6. Adiabaattinen siirtyminen alempaan lämpötilaan T A. Sylinterikansi on kosketuksessa eristeeseen B ja kaasu laajenee edelleen adiabaattisesti ja tekee lisää työtä. Samalla kaasu jäähtyy alemman lämpövaraston lämpötilaan T A. Prosessi 2 3 kuvissa 8-5,6. Kuva 8-6 Carnotin kiertoprosessin osat p- V tasossa.

204 VIII Kiertoprosessit ja termodynaamiset koneet Isoterminen lämmön luovutus alempaan lämpövarastoon. Isoterminen puristus, jossa kansi on kontaktissa alempaan lämpövarastoon Q A < 0. Prosessi 3 4 kuvissa 8-5,6. Adiabaattinen paluu lämpötilaan T Y. Kaasua puristetaan lisää adiabaattisesti, jolloin kaasu lämpenee ylemmän lämpövaraston lämpötilaan T Y. Prosessi 4 1 kuvissa 8-5,6. Taulukko 8.2 Carnotin kiertoprosessin tilamuutoksien työt ja lämpömäärät Prosessi Työ Lämpömäärä Perustelu 1 2 W12 = ν RTY ln V2 V1 V2 QY = ν RTY ln V1 Isoterminen prosessi, W = Q Y 2 3 W23 = νc ( T T ) Q = 0 Adiabaattinen prosessi V Y A 3 4 W 34 4 A ln V = ν RT V3 Q V RT 4 = V3 A ν A ln Isoterminen prosessi, W = Q A 4 1 W41 = νc ( T T ) Q = 0 Adiabaattinen prosessi V A Y 8.3.1 Carnotin prosessin hyötysuhde Käyttämällä isotermisten ja adiabaattisten prosessien ominaisuuksia saadaan osaprosesseihin liittyvät työt ja lämmöt. Ideaalikaasulle systeemin tekemä työ isotermisessä prosessissa on W = ν RTln ( V2 / V1) ja adiabaattisessa prosessissa vastaavasti W fνr( T T ) νc ( T T ) = (1/ 2) 1 2 = V 1 2. Käyttämällä lisäksi ensimmäistä pääsääntöä saamme taulukon 8.2. Systeemin kiertoprosessin aikana tekemä kokonaistyö on ( ) ν ( ) W Q Q RT V V RT V V = Y A = ν Y ln 2 / 1 + Aln 4 / 3. (8.14) = vakio saa- Käyttämällä adiabaattiselle prosessille pätevää yhtälöä daan 1 TV γ

8.3 Ideaalikaasun Carnotin prosessi 205 TV TV V. TV = γ 1 γ 1 Y 2 = A 3 V2 3 (jakamalla puolittain) γ 1 γ 1 = V Y 1 TV A 4 1 V4 Sijoittamalla tämä työn lausekkeeseen saadaan ( ) W R T T V V = ν ( Y A)ln 2 / 1. (8.15) Tästä saadaan Carnotin prosessia toteuttavan lämpövoimakoneen hyötysuhteelle: W TY TA TA ηc = = = 1. (8.16) Q T T Y Y Y 8.3.2 Käänteinen Carnotin prosessi Käänteisellä Carnotin prosessilla tarkoitetaan kuvan 8.6 kiertoprosessia (1 4 3 2 1). Kaikki kaasun saamat lämpömäärät ja työt vaihtavat etumerkkinsä kiertosuunnan vaihtuessa. Kaasun kiertoprosessin aikana tekemä työ on siis W ν R( TA TY)ln ( V2 / V1) vutettu lämpömäärä Q ν RT ln ( V / V ) = ja ylempään lämpövarastoon luo- Y Y 2 1. Käänteistä Carnotin prosessia hyödyntävän lämpöpumpun tehokerroin on siis määritelmän mukaan QY TY 1 ε L = 1 W = TY T = A η >. (8.17) c Käänteistä Carnotin prosessia hyödyntävän jäähdytyskoneen tehokerroin on vastaavasti ( ) ε = ε 1 = T / T T. (8.18) J L A Y A 8.3.3 Carnotin prosessin ja muiden kiertoprosessien vertailua Osoitamme seuraavaksi, että Carnotin prosessin hyötysuhde on suurin mahdollinen termodynaamiselle koneelle, joka toimii lämpövarastojen T Y ja T A välillä. Kuva 8.7 esittää kahta kytkettyä termodynaamista konetta. Kone A on tuntematonta kiertoprosessia toteuttava lämpövoimakone, jonka hyötysuhteen η * oletamme korkeammaksi kuin käänteistä Carnotin prosessia toteuttavan lämpöpumpun B hyötysuhteen η c. Lämpövoimakoneen A

206 VIII Kiertoprosessit ja termodynaamiset koneet tuottama mekaaninen työ käytetään lämpöpumpussa B lämmön siirtämiseen alemmasta lämpövarastosta ylempään lämpövarastoon. Oletamme, että kone A tuottaa työtä * määrän W = QY η *, joka käytetään kokonaisuudessaan koneessa B lämmön siirtämiseen käänteisellä Carnotin prosessilla alemmasta lämpövarastosta ylempään lämpövarastoon. Käänteisessä Carnotin prosessissa B ylempään varastoon siirretylle lämmölle saadaan taulukon 8.2 perusteella, vaihtamalla työn ja lämpömäärän etumerkki, Kuva 8-7 Carnotin koneen B ja muun lämpövoimakoneen A yhdistelmä. ( ) * * * Y / ηc Y η ηc Y Q = W = Q > Q. (8.19) Lämpöä olisi tällöin siirretty alemmasta lämpövarastosta ylempään ilman ulkoista työtä! Tämä on havaittu kokeellisesti mahdottomaksi ja kyseistä empiiristä havaintoa kutsutaan lämpöopin toiseksi pääsäännöksi. Käsittelemme toista pääsääntöä lähemmin seuraavassa luvussa. Toisesta pääsäännöstä seuraa, että ylempään * lämpövarastoon luovutettavalle lämpömäärälle pätee QY QY, josta edelleen yhtälön 8.19 perusteella η* ηc. Koneen A hyötysuhde voi siis olla enintään Carnotin prosessin hyötysuhde η c.