Johdatus logiikkaan 1

Johdatus logiikkaan 1 28. elokuuta 2014

Tämän tekstin lähtökohtana on ollut moniste Veikko Rantala - Ari Virtanen: Logiikan peruskurssi, joka on saatavilla netistä http://www.sis.uta.fi/matematiikka/ modaalilogiikka/logpk2003.pdf.

Sisältö 1 JOHDANTO 5 2 LAUSELOGIIKAAN SYNTAKSISTA 7 2.1 Perussymbolit............................... 7 2.2 Kaavat................................... 8 2.2.1 Sulkujen poistaminen....................... 9 2.3 Induktio kaavan pituuden suhteen.................... 10 2.4 Rekursiivisia määritelmiä......................... 11 2.4.1 Rakennepuu ja alikaavat..................... 12 2.4.2 Sijoitus.............................. 13 3 LAUSELOGIIKAN SEMANTIIKKAA 15 3.1 Totuusjakaumat.............................. 15 3.1.1 Tautologia............................. 18 3.2 Lauselogiikan mallit........................... 21 3.2.1 Kaavan ja kaavajoukon malli................... 22 3.3 Validisuus................................. 24 3.3.1 Kontingentit kaavat........................ 24 3.3.2 Validit kaavat........................... 24 3.3.3 Validisuuden ja tautologisuuden suhde............. 25 3.4 Looginen seuraus............................. 26 3.5 Looginen ekvivalenttisuus........................ 29 2

3.5.1 Looginen ekvivalenttisuus ekvivalenssirelaationa........ 32 3.5.2 Ketjudisjunktio ja -konjunktio.................. 33 3.6 Yhteensopivat ja yhteensopimattomat kaavat.............. 35 3.7 Ratkeavuudesta.............................. 36 3.8 Normaalimuodot............................. 37 3.8.1 Kaavan määrämä totuusfunktio................. 37 3.8.2 Disjunktiivinen normaalimuoto................. 37 3.8.3 Konjunktiivinen normaalimuoto................. 39 3.8.4 Täydellinen konnektiivijoukko.................. 40 4 SEMANTTISET PUUT 42 5 LAUSELOGIIKAN TODISTUSTEORIAA 43 5.1 Yleistä päättelysysteemeistä....................... 43 5.1.1 Aksioomat............................. 44 5.1.2 Päättelysäännöt.......................... 45 5.1.3 Deduktio.............................. 45 5.1.4 Päättelyiden äärellisyys..................... 46 5.1.5 Luotettavuus ja täydellisyys................... 47 5.1.6 Esimerkki lauselogiikan aksiomatisoinnista........... 47 5.2 Luonnollinen päättely lauselogiikassa.................. 51 5.2.1 Implikaation eliminointisääntö.................. 51 5.2.2 Deduktioiden esittäminen.................... 51 5.2.3 Iteraatiosääntö.......................... 52 5.2.4 Konjunktion eliminointi- ja tuontisääntö............ 52 5.2.5 Negaation eliminointisääntö................... 53 5.2.6 Disjunktion tuontisääntö..................... 53 5.2.7 Alideduktiot............................ 54 5.2.8 Disjunktion eliminointisääntö.................. 56 3

5.2.9 Implikaation tuontisääntö.................... 57 5.2.10 Negaation tuontisääntö...................... 58 5.2.11 Johdetut päättelysäännöt.................... 60 5.2.12 Yhteenveto luonnollisesta päättelystä.............. 63 5.3 Luonnollisen päättelyn systeemin luotettavuus............. 66 5.4 Ristiriitaisuus............................... 68 5.5 Täydellisyys................................ 71 KIRJALLISUUTTA 75 4

Luku 1 JOHDANTO Lauselogiikassa tutkitaan sekä syntaktisella että semanttisella tasolla loogisia konnektiiveja ja niiden avulla muodostettuja kaavoja sekä myös formaalia päättelyä. Tässä luvussa tarkastelemme klassisen lauselogiikan formaalia määrittelyä ja semanttisia kysymyksiä. Viimeisessä luvussa tarkastelemme lauselogiikan todistusteoriaa. On huomattava, että on olemassa lauselogiikoita, joissa syntaktiset tai semanttiset asiat on määritelty eri tavalla kuin klassisessa logiikassa. Loogiset konnektiivit vastaavat tiettyjä luonnollisen kielen ilmaisuja, jotka ovat tärkeitä myös ei-formaalissa matemaattisessa kielessä. Lauselogiikassa konnektiiveille annetaan täsmälliset semanttiset merkitykset. On siis huomattava, että merkitykset ovat sopimusluonteisia, joskin pyritään noudattelemaan luonnollisen kielen merkityksiä. Ne kuitenkin poikkeavat osittain vastaavista luonnollisen kielen ilmaisujen merkityksistä jo senkin takia, että jälkimmäiset eivät ole täysin yksikäsitteisiä. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa. Klassisen lauselogiikan konnektiivit ovat seuraavat: vastine merkintä luonnollisessa nimitys (vaihtoehtoinen) kielessä negaatio (, ) ei (ole niin, että... ) konjunktio (&) ja disjunktio tai implikaatio (, ) jos..., niin... ekvivalenssi (, ) jos ja vain jos Konnektiivien avulla muodostetaan kaavoista A ja B yhdistettyjä kaavoja seuraavasti: 5

yhdistetty kaava luetaan nimitys A ei A A:n negaatio A B A ja B A:n ja B:n konjunktio (A ja B ovat konjunkteja) A B A tai B A:n ja B:n disjunktio (A ja B ovat disjunkteja) A B jos A, niin B A:n ja B:n implikaatio (A etulause, B jälkilause) A B A, jos ja vain jos B A:n ja B:n ekvivalenssi. Käytämme usein kaavalle samaa nimitystä kuin sen ns. pääkonnektiiville (ks. s. 9) ja puhumme esimerkiksi konjunktiosta A B, disjunktiosta A B, implikaatiosta A B jne. Loogiset konnektiivit ovat totuusfunktionaalisia, joka tarkoittaa, että kunkin yhdistetyn kaavan totuusarvo määräytyy yksikäsitteisesti sen osakaavojen totuusarvoista (edellinen on siis jälkimmäisten funktio). Tarkastelemme tarkemmin totuusfunktion käsitettä, kun olemme määritelleet täsmällisesti käyttämämme lauselogiikan kielen syntaksin. Tässä tyydymme toteamaan, että totuusarvojen 1 (tosi) ja 0 (epätosi) määräytyminen voidaan esittää totuustaulujen avulla seuraavasti: Negaatio Konjunktio Disjunktio Implikaatio Ekvivalenssi A B A B A B A B A B A B A B A B A A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Oletamme, että tämän kaltaiset totuustaulut ovat lukijalle tuttuja ja että hän osaa myös muodostaa monimutkaisempien yhdistettyjen kaavojen totuustauluja. 6

Luku 2 LAUSELOGIIKAAN SYNTAKSISTA Logiikassa pyritään määrittelemään täysin yksikäsitteisesti tarvittavat syntaktiset ja semanttiset käsitteet. Tähän päästään esimerkiksi formalisoimalla tarkasteltavan logiikan syntaksi ja määrittelemällä semanttiset käsitteet käyttäen joukko-opillista ja muuta matemaattista kieltä. Tutkimme nyt, miten lauselogiikan syntaksi formalisoidaan. Tarkoituksena on antaa sellainen määritelmä kaavalle, että periaatteessa voidaan annetusta merkkijonosta mekaanisesti todeta, onko se lauselogiikan kaava vai ei. Tämä edellyttää ensiksikin, että sovitaan, mitkä ovat ne syntaktiset merkit, joita saadaan käyttää, ja toiseksi, miten näitä merkkejä voidaan yhdistellä. Näin siirrymme vielä yhden askeleen eksaktimpaan suuntaan. Sekä syntaktiset että semanttiset tarkastelut yksinkertaistuvat usein, jos valitaan peruskonnektiivit, joiden avulla muut konnektiivit voidaan määritellä. Peruskonnektiiveiksi voidaan ottaa negaatio yhdessä disjunktion, konjunktion tai implikaation kanssa. On myös mahdollista ottaa käyttöön kokonaan uusia konnektiiveja ja määritellä tutut konnektiivit näiden avulla. Käytämme ensin peruskonnektiiveina kaikkia klassia konnektiiveja. Myöhemmin teoreettisten tarkasteluiden yhteydessä valitsemme peruskonnektiiveiksi vain negaation ja konjunktion. 2.1 Perussymbolit Ensimmäinen askel formalisoinnissa on valita käytettävät perusmerkit, joista muut ilmaisut rakennetaan. Ne ovat perussymboleja (primitiivisymboleja), ja ne muodostavat sanaston eli aakkoston. Perussymboleita on tietenkin myös luonnollisessa kielessä, mutta formaalikielessä ne on tarkemmin rajattu. Sovimme, että perussymbolit ovat seuraavat: 7

p 0, p 1, p 2,... lausemuuttujat,,,, konnektiivit (, ) sulut. Lausemuuttujia kutsutaan joskus myös atomilauseiksi. Myös nimitystä propositiosymboli käytetään. Niitä on siis ääretön määrä (tavallisesti ajatellaan, että niitä on numeroituvasti ääretön määrä). Lausemuuttujiksi voidaan valita myös jokin joukon {p 0, p 1, p 2,...} aito osajoukko, vaikkapa vain äärellinen joukko, ja tietenkin toisiakin symboleita, jolloin saadaan ikäänkuin eri kieliä. Myös konnektiiveista voidaan valita vain osa käytettäväksi, esimerkiksi negaatio ja konjunktio, tai joskus voidaan ottaa käyttöön muitakin konnektiiveja kuin edellä esitellyt. Perussymbolit kuuluvat objektikieleen eli siihen formaalikieleen, jota tarkastelemme; samoin kohta määriteltävät kaavat. Koska joudumme puhumaan näistä objektikielen ilmaisuista, meillä on oltava sopiva metakieli, jossa niihin voidaan viitata, ts. kieli, jossa niistä voidaan puhua. Sovimme, että kirjaimet p, q, r, q 0, q 1, q 2... ovat metakieleen kuuluvia metavariaabeleita, jotka viittaavat lausemuuttujiin ja kirjaimet A, B, C,... metavariaabeleita, jotka viittaavat mielivaltaisiin kaavoihin. Konnektiivit ja sulut viittaavat itseensä. Sovimme lisäksi, että käytettäessä metavariaabeleita q 0, q 1, q 2,... niiden ajatellaan aina viittavaan eri lausemuuttujiin eli q i q j, jos i j. 2.2 Kaavat Seuraavaksi määritellään, mitä tarkoitetaan kaavalla. Tämä tapahtuu ns. kaavanmuodostussääntöjen avulla. Kaavat määritellään rekursiivisesti eli sopivalla tavalla askeleittain. Kukin määritelmän askel, paitsi ensimmäinen, määrittelee kaavan yksinkertaisempien kaavojen avulla. Olkoon L = (P, K), missä P {p 0, p 1, p 2,...} ja K on käytössä olevien konnektiivien joukko. Tässä oletamme, että K = {,,,, }. Kutsumme L-kaavaksi merkkijonoa, joka on muodostettu lausemuuttujista p i P, negaatiosta ja kaksipaikkaisista konnektiiveista seuraavien sääntöjen mukaisesti: Kaavanmuodostussäännöt: 1. Lausemuuttujat p i P ovat L-kaavoja. 2. Jos A on L-kaava, niin A on L-kaava. 3. Jos A ja B ovat L-kaavoja ja {,,, }, niin (A B) on L-kaava. 4. Muita L-kaavoja ei ole. 8

Jos P = {p 0, p 1, p 2,...}, niin kutsumme L-kaavaa yksinkertaisesti vain kaavaksi. Yleisestikin voimme käyttää L-kaavalle nimitystä kaava, jos tästä ei aiheudu väärinkäsityksen vaaraa. Kaavassa A (huomaa, ettei tässä käytetä sulkeita) negaation ala on kaava A. Negaation alaan kuuluu siis sitä välittömästi seuraava lausemuuttuja tai sulkeiden sisällä oleva kaava. Esimerkki 1. Merkkijono ((p 1 p 2 ) p 5 ) on kaava. Tämä nähdään osoittamalla, miten se muodostetaan vaiheittain: p 1 ja p 2 ovat lausemuuttujina kaavoja, joten (p 1 p 2 ) on kaava. Samoin p 5 on kaava. Täten p 5 on kaava. Koska siis (p 1 p 2 ) ja p 5 ovat kaavoja, niin ((p 1 p 2 ) p 5 ) on kaava. Esimerkki 2. Merkkijono p 1 p 3 ei selvästikään ole kaava. Tämän täsmällinen todistaminen edellyttää ns. induktiotodistusta. Tarkasti ottaen myöskään merkkijonot p 1 p 2 ja p 1 p 2 p 3 eivät ole kaavoja (miksi?). Rakennettaessa vaiheittain kaavaa lausemuuttujista lähtien jokaisessa vaiheessa käytetään yhtä konnektiivia. Viimeiseksi käytettyä konnektiivia kutsutaan kaavan pääkonnektiiviksi. Usein kaavoja käsiteltäessä on ensin löydettävä pääkonnektiivi. Esimerkki 3. Kaavan ((p 1 p 2 ) p 5 ) pääkonnektiivi on ekvivalenssi, kaavan (p 1 p 2 ) implikaatio ja kaavan p 5 pääkonnektiivi on negaatio. 2.2.1 Sulkujen poistaminen Voidaan sopia, että kaavassa uloimmat sulut jätetään pois. Sulkeiden määrää voidaan vähentää myös sopimalla, miten kukin konnektiivi vaikuttaa kompleksisessa kaavassa, eli mikä on sen (vaikutus)ala. Tämä on analogista aritmetiikassa määriteltävän oikean laskujärjestyksen kanssa. Sovitaan, että 1. negaatiolla on pienin (vaikutus)ala; 2. konjunktiolla ja disjunktiolla on pienempi ala kuin implikaatiolla ja ekvivalenssilla. Uloimpien sulkujen lisäksi jätetään pois sellaiset sulut, jotka eivät vaikuta konnektiivien alaan, kun eri konnektiivien aloilla on se keskinäinen järjestys joka on edellä esitetty. Esimerkki 4. (( A B) C) lyhentyy muotoon A B C, koska disjunktion ala on suppeampi kuin implikaation. Esimerkki 5. ( A (B C)) lyhentyy muotoon A (B C). Jäljellä olevaa sulkuparia ei voi poistaa. 9

Esimerkki 6. ((A B) C) lyhentyy muotoon (A B) C. Jäljellä olevaa sulkuparia ei voi poistaa, koska disjunktio ja konjunktio ovat samanarvoisia. Esimerkki 7. Kaavassa (A B C) olevaa sulkuparia ei voi poistaa, koska negaation ala on sitä välittömästi seuraava kaava. Kun on sovittu metavariaabelien käytöstä ja tarpeettomien sulkujen poistamisesta, niin voimme sanoa ilman sekaannusta, että kaikki näin saatavat ilmaisut ovat kaavoja, vaikka ne tarkasti ottaen vain viittaavat kaavoihin (siis tiettyihin objektikielen merkkiyhdelmiin). Ne eivät itse asiassa ole kaavoja, koska ne eivät kuulu objektikieleen. Esim. metakielen ilmaisu p q r viittaa objektikielen kaavoihin, jotka ovat muotoa ((p q) r), ts. jotka saadaan tästä sijoittamalla p:n, q:n ja r:n paikalle mielivaltaisia lausemuuttujia. Analoginen sopimus vallitsee esimerkiksi matematiikassa, kun käytetään kirjaimia viittaamaan lukuihin, mutta kuitenkin sanotaan näistä kirjaimista, että ne ovat lukuja. Kun olemme tämän seikan todenneet, emme kiinnitä jatkossa siihen huomiota, ellei erikoisesti tule tarvetta. Tällainen on tyypillinen menettely eksakteissa tieteissä. Sen jälkeen kun on sovittu, miten asiat pitää tarkasti esittää, voidaan tästä tarkkuudesta tinkiä, ellei sekaannusta aiheudu ja jos näin saadaan tarkastelut yksinkertaisemmiksi. On kuitenkin tärkeää tietää, miten periaatteessa voidaan tarpeen vaatiessa palata tarkkaan ilmaisuun. Logiikassa on lisäksi erittäin tärkeää huomata objektikielen ja metakielen ero. Kaikki keskustelu objektikielestä käydään metakielessä. 2.3 Induktio kaavan pituuden suhteen Lauselogiikan kielen rekursiivinen määritelmä mahdollistaa kaavoja koskevien väitteiden todistamisen induktiolla kaavan pituuden suhteen. Jos tehtävänä on todistaa, että jokaisella kaavalla A on ominaisuus O eli niin menetellään seuraavasti: O(A) aina, kun A on kaava, Osoitetaan ensin, että O(p i ), kun i = 0, 1, 2,... Tehdään induktio-oletus (lyhenne IO), että O(B) ja O(C) ja todistetaan induktioaskeleessa, että O( B), O(B C), O(B C), O(B C) ja O(B C). Esimerkki 8. Todistamme induktiolla, että jokaisessa lauselogiikan kaavassa A esiintyy yhtä monta sulkuparia (...) kuin kaksipaikkaista konnektiivia,,, tai. Kun A on lausemuuttuja p i, siinä ei esiinny yhtään konnektiivia eikä sulkua, joten väite on tällöin voimassa. Teemme seuraavaksi induktio-oletuksen, että lauselogiikan kaavoissa B ja C esiintyy yhtä monta sulkuparia kuin kaksipaikkaista konnektiivia. 10

Olkoon A = B. Tällöin kaavassa A on yhtä monta sulkuparia kuin kaavassa B. Samoin kaavassa A on yhtä monta kaksipaikkaista konnektiivia kuin kaavassa B. Induktio-oletuksen mukaan kaavassa B sulkuparien ja kaksipaikkaisten konnektiivien lukumäärät ovat samat, joten myös kaavassa A esiintyy yhtä monta sulkuparia kuin kaksipaikkaista konnektiivia. Olkoon A = (B C). Olkoon kaavassa B m ja kaavassa C n sulkuparia. Induktiooletuksen mukaan tällöin kaavassa B esiintyy m ja kaavassa n kaksipaikkaista konnektiivia. Kaavassa (B C) esiintyy nyt yksi sulkupari enemmän kuin mitä kaavoissa B ja C on yhteensä eli m + n + 1 sulkuparia. Kaavojen B ja C kaksipaikkaisten konnektiivien lisäksi kaavassa (B C) esiintyy vielä konjunktio, joten yhteensä kaksipaikkaisia konnektiiveja on m + n + 1. Täten kaavassa A = (B C) esiintyy yhtä monta sulkuparia kuin kaksipaikkaista konnektiivia. Tapaukset A = (B C), A = (B C) ja A = (B C) käsitellään vastaavasti. Edellä olevan esimerkin tuloksen perusteella näemme, että merkkijonot p 1 p 3, (p 1 p 3 ) ja ((p 1 p 2 )) eivät ole kaavoja. Selvästikään myöskään merkkijono ((p 1 p 3 )) ei ole lauselogiikan kaava. Yksi mahdollisuus todistaa tämä on osoittaa induktiolla, että missään kaavassa ei esiinny kahta peräkkäistä kaksipaikkaista konnektiivia. Induktioaskeleessa tulee kuitenkin tällöin sellainen ongelma, että meidän täytyy esimerkiksi tapauksessa A = (B C) tietää, että kaava B ei voi päättyä mihinkään konnektiiviin eikä kaava C alkaa millään muulla konnektiivilla kuin mahdollisesti negaatiolla. Induktioväitteeksi kannattaakin valita väite mikään lauselogiikan kaava ei pääty eikä ala kaksipaikkaisella konnektiivilla eikä sisällä kahta peräkkäistä kaksipaikkaista konnektiivia, joka on helppo todistaa induktiolla oikeaksi. Edellä olevan esimerkin induktiotodistus on hieman epätäsmällinen johtuen siitä, että käsiteparia sulkuparien lukumäärä ja kaksipaikkaisten konnektiivien lukumäärä ei määritelty täsmällisesti. Sen lisäksi, että kielen induktiivinen määrittely oikeuttaa induktiolla tapahtuvat todistukset, se myös mahdollistaa monien kaavoja koskevien käsitteiden rekursiivisen (eli induktiivisen) määrittelemisen. Perehdymme seuraavaksi tällaisiin määritelmiin ja annamme lisää esimerkkejä induktiotodistuksista. 2.4 Rekursiivisia määritelmiä Käytämme tässä alaluvussa symbolia edustamaan mitä tahansa konnektiivia,,, tai. Määrittelemme lauselogiikan kaavassa esiintyvien vasemmanpuoleisten (lp) ja oikeanpuoleisten (rp) sulkujen ja konnektiivien (ml. negaatio) k lukumäärät induktiivisesti 11

seuraavasti: lp p i = rp p i = k p i = 0, lp B = lp B, rp B = rp B, k B = k B + 1, lp (B C) = lp B + lp C + 1, rp (B C) = rp B + rp C + 1, k (B C) = k B + k C + 1, Koska vasemman- ja oikeanpuoleisten sulkujen lukumäärä on määritelty täsmälleen samalla tavalla, niin on selvää, että aina kun A on kaava, niin lp A = rp A. Todistamme induktiolla, että aina kun A on kaava, niin ( ) lp A k A. Kun A = p i, niin lp A = k A = 0, ja väite on voimassa. Teemme induktio-oletuksen, että lp B k B ja lp C k C. Tarkastelemme tapausta A = B. Tällöin lp B = lp B IO k B < k B + 1 = k B. Tarkastelemme seuraavaksi tapausta A = (B C). Koska induktio-oletuksen mukaan lp B k B ja lp C k C, niin lp (B C) = lp B + lp C + 1 k B + k C + 1 = k (B C). Induktioväite on näin todistettu ja induktioperiaatteen perusteella väite ( ) on voimassa. 2.4.1 Rakennepuu ja alikaavat Kaavan A rakennepuu T A määritellään seuraavasti: Esimerkki 9. T p i = p i, T B = B T B, T (B C) = (B C). T (B) T (C) (( A B) C) ( A ( B C) ) /\ /\ ( A B) C A (B C) /\ /\ A B A B C A 12

(( A B ) C) ( A B ) /\ (A B) C (A B) /\ /\ A B A B Esimerkki 10. ((p 1 p 2 ) p 5 ) rakennepuu on: (( p 1 p 2 ) p 5 ) /\ (p 1 p 2 ) p 5 /\ p 1 p 2 p 5 p 5 Kaavan A rakennepuussa esiintyviä kaavoja kutsutaan kaavan A alikaavoiksi. Kaavan A alikaavojen joukko sub A voidaan rekursiivisesti määritellä seuraavasti: sub p i = {p i }, sub A = { A} sub A, sub (A B) = {(A B)} sub A sub B. Tehtäessä rakennepuita ja lueteltaessa alikaavoja sulkuja voidaan jättää pois tekemämme sopimuksen mukaisesti. Esimerkki 11. Kaavan (p (q r)) rakennepuu on p q r p q r q r r Sen alikaavojen joukko on {p q r, p, q r, q, r, r}. 2.4.2 Sijoitus Sijoituksella A[B/p] tarkoitetaan kaavaa, joka saadaan kaavasta A korvaamalla siinä jokainen lausemuuttujan p esiintymä kaavalla B. Jos p ei esiinny kaavassa A, sijoitus on tyhjä ja saadaan kaava A itse. Merkkinnän A[B/p] voi lukea seuraavasti: kaavassa A kaava B korvaa lausemuuttujan p. 13

Esimerkki 12. Olkoon A = p (q p). Tällöin A[r/p] = r (q r), A[p/r] = A (koska r ei esiinny kaavassa A), A[(q q)/p] = (q q) (q (q q)). Yleisesti sijoituksella A[B 1 /q 1 /, B 2 /q 2,..., B k /q k ] tarkoitetaan kaavaa, joka saadaan kaavasta A korvaamalla kaavalla B i lausemuuttujan q i esiintymä (i = 1, 2,..., k). Nämä korvaamiset on tehtävä samanaikaisesti. Sijoitus A[B 1 /q 1 /, B 2 /q 2,..., B k /q k ] voidaan määritellä rekursiivisesti toteamalla, että yhdistetyille kaavoille pätevät säännöt ( B)[B 1 /q 1, B 2 /q 2,..., B k /q k ] = B[B 1 /q 1, B 2 /q 2,..., B k /q k ], (B C)[B 1 /q 1, B 2 /q 2,..., B k /q k ] = B[B 1 /q 1, B 2 /q 2,..., B k /q k ] C[B 1 /q 1 /, B 2 /q 2,..., B k /q k ], jossa siis {,,, }, ja määrittelemällä lausemuuttujille B i, jos i {1, 2,..., k}: q = q i, q[b 1 /q 1, B 2 /q 2,..., B k /q k ] = q muulloin. Esimerkki 13. Olkoon A = p (q p), missä p q. Tällöin A[B/p, C/q] = B (C B), A[B/p, B/q] = B (B B). Voidaan myös määritellä sijoitus, jossa lausemuuttuujien sijasta korvataan yhdistettyjä kaavoja toisilla kaavoilla. Tällöin määritelmän alkuaskel olisi D[B 1 /C 1,..., B k /C k ] = { Bi jos D = C i, D jos mikään kaavoista C 1, C 2,..., C k ei esiinny kaavassa D. 14

Luku 3 LAUSELOGIIKAN SEMANTIIKKAA 3.1 Totuusjakaumat Lausemuuttujien totuusjakaumalla eli valuaatiolla v tarkoitamme mitä tahansa kuvausta v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan laajentaa kuvaukseksi V : {A A L kaava} B käyttämällä konnektiivien totuustauluissa esitettyjä ehtoja. Esimerkiksi jos v(p 0 ) = 1 ja v(p i ) = 0, kun i = 1, 2, 3,..., niin V (p 0 p 1 ) = 1, V (p 0 p 1 ) = 0, V (p 0 p 1 p 0 p 1 ) = 0 ja V ( (p 0 p 1 p 0 p 1 )) = 1. Konnektiivien,,, ja voidaan katsoa vastaavan totuusfunktioita tf, tf, tf, tf ja tf, jotka määritellään vastaavasti kuin konnektiivien totuustaulut. Nyt siis tf on yksipaikkainen funktio B B ja muut yllä mainitut totuusfunktiot kaksipaikkaisia funktioita B 2 B. Esimerkiksi konjunktion totuustaulun mukaan saadaan seuraava esitys totuusfunktiolle tf : a b tf (a, b) 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 (Tässä a ja b eivät siis ole kaavoja, vaan totuusarvoja a, b B.) Esimerkki 14. Totuusfunktiot voidaan esittää myös aritmeettisina lausekkeina. Kun a, b B, niin tf (a) = 1 a 15

tf (a, b) = ab tf (a, b) = a + b ab tf (a, b) = 1 a(1 b) tf (a, b) = ab + (1 a)(1 b) Jos kieleen halutaan lisätä joitakin muitakin konnektiiveja kuin yllä esitellyt, tämä tapahtuu lisäämällä uutta konnektiivia vastaava kaavanmuodostussääntö ja antamalla sitä vastaava totuusfunktio. Esimerkki 15. Shefferin viiva on kaksipaikkainen konnektiivi, jonka intuitiivinen merkitys on ei molemmat. Olkoon nyt K ja L = (P, K), missä P on joukko lausemuuttujia. Shefferin viivaa vastaa kaavanmuodostussääntö jos A ja B ovat L-kaavoja, niin (A B) on L-kaava. Shefferin viivaa vastaava totuusfunktio on tf : B 2 B : tf(a, b) = 1 ab ja sitä vastaava totuustaulu on siis A B A B 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Esimerkki 16. Lisätään kieleen kolmipaikkainen konditionaalinen disjunktio (englanninkielinen nimitys conditional disjunction tai conditioned disjunction ) [p, q, r], jonka intuitiivinen merkitys on jos q, niin p muuten r (huomaa lausemuuttujien järjestys). Kun [ ] K, niin kieleen on lisättävä kaavanmuodostussääntö jos A, B ja C ovat L-kaavoja, niin [A, B, C] on L-kaava. Sitä vastaava totuusfunktio voidaan esittää taulukolla b 1 b 2 b 3 tf [ ] (b 1, b 2, b 3 ) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Konnektiivia [ ] vastaava totuustaulu on luonnollisesti sama otsikkoriviä lukuunottamatta. 16

Kieleen voidaan lisätä myös 0-paikkaiset konnektiivit (verum) ja (falsum), joista ensimmäisen arvo on aina 1, jälkimmäisen aina 0. Näitä konnektiiveja vastaavat totuusfunktiot ovat siis vakiofunktioita. Olkoon L = (P, K), missä P {p 0, p 1, p 2,...} ja K on käytössä olevien konnektiivien joukko. Tässä oletamme aluksi, että K = {,,,, }. Totuusjakauman v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1} laajennus kuvaukseksi V : {A A L kaava} {0, 1} voidaan määritellä konnektiiveja vastaavien totuusfunktioiden avulla seuraavasti: V (p) = v(p), kun p {p 0, p 1, p 2,...}, ja kun V (B) ja V (C) ovat jo määritelty, niin V ( B) = tf (V (B)) ja V (B C) = tf (V (B), V (C)), jossa {,,, }. Esimerkki 17. Tarkastellaan kaavaa (p 1 p 2 p 1 p 2 ). Kun v(p 1 ) = a ja v(p 2 ) = b, missä a, b B, niin V ( (p 1 p 2 p 1 p 2 )) = tf (tf (tf (a, b), tf (a, b))). Joskus saatetaan funktiomerkintöjen tf, tf sijasta käyttää vain vastaavaa konnektiivia merkitsemään totuusfunktiota ja tällöin voidaan kirjoittaa esimerkiksi (0 1) = 0 = 1. Tarkasteltaessa kaavan A totuusarvoa V (A) tuntuu itsestään selvältä, että se määräytyy yksikäsitteisesti kaavassa A esiintyvien lausemuuttujien totuusarvoista, eikä muiden lausemuuttujien totuusarvoilla ole merkitystä. Todistamme seuraavaksi yleisemmän tuloksen, josta tämä seuraa. Olkoon L = (P, K), missä P = {q 1, q 2,..., q n } ja (yksinkertaisuuden vuoksi) K = {, }. Lause 3.1. Käytetään L-kaavalle A merkintää A = A[q 1,..., q k ]. Olkoon B 1, B 2,..., B k L-kaavoja ja v ja v sellaisia totuusjakaumia, että v(q i ) = V (B i ) (i = 1, 2,..., k). Tällöin V ( A[q 1,..., q k ] ) = V ( A[B 1 /q 1,..., B k /q k ] ). Todistus induktiolla kaavan A pituuden suhteen. Olkoon A lausemuuttuja q i. Tällöin oletuksen perusteella V ( A[q 1,..., q k ] ) = v(q i ) = V (B i ) = V ( A[B 1 /q 1,..., B k /q k ] ). 17

Merkitään B = B[q 1,..., q k ], C = C[q 1,..., q k ], B = B[B 1 /q 1,..., B k /q k ] ja C = C[B 1 /q 1,..., B k /q k ]. Tällöin siis ( B)[B 1 /q 1,..., B k /q k ] = B ja (B C)[B 1 /q 1,..., B k /q k ] = B C. Tehdään induktio-oletus, että väite pitää paikkansa kaavoille B ja C: V (B) = V (B ) ja V (C) = V (C ). Induktio-oletuksen perusteella ja V ( B) = tf (V (B)) IO = tf (V (B )) = V ( B ) V (B C) = tf (V (B), V (C)) IO = tf (V (B ), V (C )) = V (B C ). Induktioperiaatteen mukaisesti lauseen väite on voimassa. Valitsemalla B i = q i, i = 1, 2,..., k yllä olevassa lauseessa saadaan seuraava tulos: jos v ja v ovat sellaisia totuusjakaumia, että v(q) = v (q) aina, kun q on kaavassa A esiintyvä lausemuuttuja, niin V (A) = V (A). Lauseen 3.1 tulos yleistyy helposti myös tapaukseen, jossa on käytettävissä muitakin konnektiiveja kuin ja. Sellaisilla konnektiiveilla, jotka eivät esiinny tarkasteltavassa kaavassa, ei luonnollisesti ole merkitystä. Lause voidaankin esittää myös seuraavasti: Olkoon P P, K K, L = (P, K), L = (P, K ) ja v ja v sellaisia totuusjakaumia, että v(p) = v (p) aina, kun p P. Tällöin jos A on L-kaava (jolloin se triviaalisti on myös L -kaava), niin V (A) = V (A). 3.1.1 Tautologia Kaava A = p 1 (p 2 (p 3 p 1 )) saa aina totuusarvon 1. Jos nimittäin v(p 1 ) = 0, niin V (A) = 1, koska tämän implikaation etulause on epätosi. Jos v(p 1 ) = 1, niin implikaation p 3 p 1 jälkilause on tosi ja tästä syystä V (p 3 p 1 ) = 1. Edelleen implikaation totuusehdon perusteella V (p 2 (p 3 p 4 )) = 1 ja myös V (A) = 1. Tämänkaltaista kaavaa kutsutaan tautologiaksi: Kaavan A sanotaan olevan tautologia, jos V (A) = 1 aina, kun v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. 18

Kaavan A tautologisuutta voidaan tutkia totuustaulumenetelmällä. Siinä kaavan A totuusarvon vaihtelua tarkastellaan taulukolla, jossa on 2 k riviä vastaten kutakin kaavassa A esiintyvän lausemuuttujan q 1, q 2,..., q k mahdollista totuusarvoyhdistelmää (v(q 1 ), v(q 2 ),..., v(q k )) B k ja sarakkeina näitä lausemuuttujien totuusarvoja vastaavat vaiheittain lasketut kaavan A alikaavojen totuusarvot (viimeisenä sarakkeena kaavan A totuusarvot) Esimerkki 18. p 1 p 2 p 3 p 1 (p 2 p 3 ) (p 1 p 2 ) (p 1 p 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Kysymys kaavan A tautologisuudesta ratkeaa periaatteessa aina totuustaulumenetelmällä. Kuitenkin jos kaavassa A esiintyy useita lausemuuttujia, niin käytännössä totuustaulun laatiminen tulee mahdottomaksi tietokonettakin käytettäessä. Esimerkiksi kaavat p 1 p 1, p 1 p 1, (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) ja ylipäätään kaikki kaavat B B, jossa B on mikä tahansa lauselogiikan kaava, ovat tautologioita. Voimme sanoa, että kaikki muotoa B B olevat lauselogiikan kaavat ovat tautologioita. Todistamme seuraavaksi, että kaavan A tautologisuus riippuu yleisestikin vain sen muodosta, ei esimerkiksi siitä, mitä lausemuuttujia siinä esiintyy. Lause 3.2. Olkoon B 1, B 2,..., B k lauselogiikan kaavoja. Jos kaava A = A[q 1,..., q k ] on tautologia, niin myös kaava A[B 1 /q 1,..., B k /q k ] on tautologia. Todistus. Oletetaan, että A on tautologia ja tehdään vastaoletus, että A = A[B 1 /q 1,..., B k /q k ] ei ole tautologia. Vastaoletuksen perusteella on olemassa sellainen totuusjakauma v, että V (A ) = 0. Määritellään totuusjakauma v niin, että se toteuttaa ehdon v(q i ) = V (B i ), kun i = 1, 2,..., k. Lauseen 3.1 perusteella V (A) = V (A ) = 0, joka on ristiriidassa sen kanssa, että A on tautologia. Siis vastaoletus on väärä ja A on tautologia. 19

Alla on lueteltu skemaattisesti muutama tärkeä tautologia. T 1 A A identiteetin laki T 2 A A kaksinkertaisen kiellon laki T 3 (A A) poissuljetun ristiriidan laki T 4 A A poissuljetun kolmannen laki T 5 A A A idempotenssilait T 6 A A A T 7 A B B A vaihdantalait T 8 A B B A T 9 (A B) A B de Morganin säännöt T 10 (A B) A B T 11 (A B) ( B A) kontrapositio T 12 (A B) C A (B C) liitäntälait T 13 (A B) C A (B C) T 14 A (B C) (A B) (A C) osittelulait T 15 A (B C) (A B) (A C) Jos ekvivalenssi A B on tautologia eli totuusarvot V (A) ja V (B) ovat aina samat, merkitsemme A B. Erityisesti A B ( A B), A B (A B), A B ( (A B) ( A B)). Konnektiivien totuusfunktioiden kannalta tämä tarkoittaa sitä, että tf (a, b) = tf (tf (tf (a), tf (b))) jne. (tässä a, b B). Voimme sanoa totuusfunktioiden tf, tf ja tf olevan määriteltävissä totuusfunktioiden tf ja tf avulla tai yhtäpitävästi disjunktion, implikaation ja ekvivalenssi olevan määriteltävissä negaation ja konjunktion avulla. Myöhemmin osoitamme, että jokainen n-paikkainen totuusfunktio B n B on määriteltävissä negaation ja konjunktion avulla. Sovimmekin, että jatkossa, jollei muuta sanota, peruskonnektiiveina on vain negaatio ja konjunktio ja muut konnektiivit tulkitaan lyhennysmerkinnöiksi. Tälla tavalla induktiotaodistuksissa ei tarvitse käsitellä muita konnektiiveja kuin negaatiota ja konjunktiota. 20

3.2 Lauselogiikan mallit L-mallilla tarkoitamme sellaista struktuuria M, että voimme puhua L-kaavojen totuudesta ja epätotuudesta suhteutettuna tähän struktuuriin Jos L-kaava A on tosi L-mallissa M, merkitsemme M A. Merkintä M A tarkoittaa sitä, että L-kaava A on epätosi L-mallissa M. Jos L sisältää kaikki lausemuuttujat tai väärinkäsityksen vaaraa ei ole, jätämme etuliitteen L pois. Olkoon L = (P, K). Lausemuuttuja on joko tosi tai epätosi L-mallissa M. Olkoon T P. Käytämme merkintää M = (P, T ) tarkoittamaan sitä, että M on L-malli, jossa ovat tosia joukon T P lausemuuttujat: kun M = (P, T ), niin M p p T. Muiden L-kaavojen kuin lausemuuttujien totuusarvot L-mallissa M määräytyvät niiden osakaavoista rekursiivisesti: Totuus mallissa 1. M A M A. 2. M A B M A ja M B. Negaation ja konjunktion totuusehtojen ja muiden konnektiivien määritelmien perusteella voidaan johtaa totuusehdot 1. M A B M A tai M B. 2. M A B M A tai M B. 3. M A B joko M A ja M B tai M A ja M B. Kun hyödynnetään sitä, että on vain kaksi vaihtoehtoa: jokaiselle kaavalla A pätee joko M A tai M A, niin negaation, disjunktion ja implikaation totuusehdot voidan esittää myös seuraavasti: 1. M A M A, 2. M A B M A ja M B. 3. M A B M A ja M B. Jos kielessä on joitakin muitakin konnektiiveja, niin konnektiivia vastaavat totuusehdot saadaan totuusfunktion tf avulla samaistamalla arvo 0 epätotuuteen mallissa ja arvo 1 totuuteen mallissa. Esimerkiksi Shefferin viivan totuusehto on seuraava: M A B M A ja M B. 21

Esimerkki 19. Olkoon M = ({p, q}, {q}), missä p q. Tällöin siis M q ja M p. Koska M p, niin M p, ja täten M p q eli kaava p q on tosi mallissa M. Kaava p q on epätosi mallissa M: Oletuksen mukaan M p. Koska M q, niin M q. Täten M p q. 3.2.1 Kaavan ja kaavajoukon malli Olkoon L = (P, K). Sanomme, että L-malli M on L-kaavan A malli, jos A on tosi M:ssä (siis M A) ja että se on L-kaavojen joukon S malli, jos se on jokaisen tähän joukkoon kuuluvan kaavan A malli. Jos M on kaavajoukon S malli, niin merkitään M S. Jokainen kaava A jakaa lauselogiikan mallit kahteen eri luokkaan: niihin, joissa A on tosi, ja niihin, joissa A on epätosi (jompikumpi luokista saattaa olla kuitenkin tyhjä). Edelliset ovat kaavan A malleja, jälkimmäiset kaavan A malleja. Esimerkki 20. Olkoon L = (P, K), missä P = {p 1, p 2 }. Erilaisia L-malleja on selvästikin neljä: M 1 = (P, ), M 2 = (P, {p 1 }), M 3 = (P, {p 2 }) ja M 4 = (P, P ). Kun A = p 1 p 1 p 2, niin A on tosi mallissa M 1 ja epätosi malleissa M 2, M 3 ja M 4. Esimerkki 21. Olkoon L = ({p 1, p 2, p 3 }, K). Tarkastelemme, millaisia L-kaavan A = p 1 p 2 p 3 L-mallit ovat. Ensinnäkin, jos M p 1 tai M p 2, niin M p 1 p 2, ja täten implikaation totuusehdon perusteella M A. Jos M p 3, niin tällöinkin implikaation totuusehdon perusteella M A. M on siis kaavan A malli, jos mallissa M lausemuuttuja p 3 on tosi tai ainakin toinen lausemuuttujista p 1 ja p 2 on epätosi. Tällaisia L-malleja on seitsemän Kaikki muut mallit (siis mallit, joissa p 1 sekä p 2 ovat tosia ja p 3 epätosi) ovat kaavan A malleja. Näitä L-malleja on vain yksi: ({p 1, p 2, p 3 }, {p 1, p 2 }). Jos joukon {p 1, p 2, p 3 } sijasta kielen lausemuuttujien joukko olisikin {p 0, p 1, p 2,...}, niin sekä kaavalla A että sen negaatiolla A on ääretön määrä malleja. Esimerkki 22. Olkoon L = (P, K), missä P = {p 1, p 2,..., p k }, ja S L-kaavojen osajoukko S = {p 1 p 2, p 2 p 3,..., p k 1 p k } {p k p 1 }. Selvästikin (P, P ) ja (P, ) ovat joukon S malleja. Osoitamme, että joukolla S ei ole muita L-malleja kuin yllä mainitut kaksi. Teemme vastaoletuksen, että M = (P, T ) on joukon S malli ja T P. Jos p 1 T ja p k T, niin M p k p 1, eikä M ole joukon S-malli. Jos p 1 T tai p k T, niin oletuksen T P perusteella on olemassa ainakin yksi sellainen 22

indeksi i {2, 3,..., k}, että p i 1 T ja p i T. Mutta tällöin M p i 1 p i eikä M ole tällöinkään joukon S-malli. Yhteenvetona voimme todeta, että M S, jos ja vain jos joko lausemuuttujat p 1, p 2,..., p k ovat kaikki tosia tai kaikki epätosia mallissa M. Yhdistettyjen kaavojen totuusarvot malleissa määräytyvät konnektiivien totuustauluja vastaavalla tavalla. Esimerkki 23. Olkoon M malli, jossa lausemuuttuja q on tosi ja lausemuuttujat p ja r epätosia. Kaava ((p q) ( p r)) on epätosi mallissa M: ((p q) ( p r)) 0 0 1 1 1 1 10 0 0 7 1 2 1 6 5 31 4 1 Todistamme seuraavaksi mallin ja totuustaulun yksittäisen rivin välisen yhteyden. Lause 3.3. Olkoon L = (P, {, }), M L-malli ja v totuusjakauma. Oletetaan, että aina, kun p P, niin M p v(p) = 1. Tällöin aina, kun A on L-kaava. M A V (A) = 1 Todistus. Kun A = p P, niin väite seuraa suoraan oletuksista. Teemme induktiooletuksen, että M B V (B) = 1 ja M C V (C) = 1. Tällöin M B M B IO V (B) = 0 V ( B) = 1. Vastaavasti saamme induktio-oletuksen avulla, että M (B C) M B ja M C IO V (B) = 1 ja V (C) = 1 V (B C) = 1. 23

3.3 Validisuus 3.3.1 Kontingentit kaavat Sanomme, että kaava A on toteutuva, jos sillä on malli, ja kumoutuva, jos sen negaatiolla A on malli. Toteutuva kaava on siis tosi ja kumoutuva epätosi ainakin yhdessä mallissa. Esimerkki 24. Olkoon A = ( p q) (p q) (p q). Kun M p ja M q, niin M p q ja täten M A. Kaava A on siis toteutuva. Osoitamme, että se on myös kumoutuva: Olkoon M malli, jossa kaikki lausemuuttujat ovat epätosia. Koska M p ja M q, niin M p q, M p q ja M p q, jolloin myös M A. Kaavaa, joka on sekä toteutuva että kumoutuva, kutsutaan kontingentiksi. 3.3.2 Validit kaavat Määrittelemme, että lauselogiikan kaava A on loogisesti tosi eli validi, jos se on tosi kaikissa lauselogiikan malleissa. Merkitsemme tällöin A. Jos kaava A on epätosi kaikissa lauselogiikan malleissa, niin sanomme, että A on loogisesti epätosi. Merkintä A tarkoittaa, että kaava A ei ole loogisesti tosi; ei sitä, että kaava A olisi loogisesti epätosi. Näistä määritelmistä seuraa, että jos A on loogisesti tosi, niin kaikki lauselogiikan mallit ovat A:n malleja, ja jos A on loogisesti epätosi, niin A:lla ei ole yhtään mallia. Voimme myös todeta, että kaava on loogisesti tosi, jos ja vain jos se ei ole kumoutuva, ja loogisesti epätosi, jos ja vain jos se ei ole toteutuva. Esimerkki 25. Kaava A = p (q r p) on loogisesti tosi. Jos nimittäin M on malli, niin joko (1) M p tai (2) M p. Tapauksessa (2) saadaan suoraan implikaation totuusehdon perusteella M p (q r p). Tapauksessa (1) M q r p ja tällöin M p (q r p). Olipa siis M mikä tahansa malli, niin M A. Täten A. Kaava voidaan osoittaa loogisesti todeksi myös ns. epäsuoralla todistuksella. Edellisen esimerkin tapauksessa voidaan tehdä vastaoletus: A ei ole loogisesti tosi. Tällöin siis A ei ole tosi jokaisessa mallissa. Vastaoletuksen perusteella siis on olemassa sellainen malli M, että M A. Tällöin on oltava M p ja M q r p. Jälkimmäisestä seuraa, että M q r ja M p. Mutta tässä on ristiriita: ei voi olla olemassa sellaista mallia, että M p ja M p. Vastaoletus on siis väärä ja kaava A on loogisesti tosi. Esimerkki 26. Kaava B = p q (p q) on loogisesti epätosi. Osoitamme tämän tekemällä vastaoletuksen, että kaavalla B on jokin malli M. Vastaoletuksen perusteella on siis olemassa sellainen malli M, että M p, M q ja M p q. Koska 24

M q, niin M q. Mutta koska M p ja M p q, niin on oltava M q, jossa on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä, eikä kaavalla B ole malleja. Se on siis loogisesti epätosi. Esimerkki 27. Osoitimme edellä, että kaava A = ( p q) (p q) (p q) on sekä toteutuva että kumoutuva. Se ei siis ole loogisesti tosi eikä loogisesti epätosi. Esimerkki 28. Osoitamme poissuljetun ristiriidan lain (A A) validiksi. Olkoon M lauselogiikan malli. Nyt M (A A), jos ja vain jos M A A. Mutta tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että M A ja M A eli että M A ja M A, joka on mahdotonta. Siis kaava (A A) on tosi jokaisessa mallissa ja (A A). Esimerkki 29. Tarkastelemme seuraavaksi poissuljetun kolmannen lakia A A. Olkoon M lauselogiikan malli. Nyt M A A, jos ja vain jos M A ja M A. Tällöin siis M A ja M A, mikä on mahdotonta. Siis M A A, ja täten A A. Esimerkki 30. Osoitamme, että kaava D = (B C) ( (A B) (A C) ) on validi. Teemme vastaoletuksen, että on olemassa sellainen malli M, että M D. Vastaoletuksen perusteella M B C ja M (A B) (A C). Täten M A B ja M A C. Tämä on mahdollista vain kun M A, M C ja M B. Mutta tällöin ei voi olla M B C. Vastaoletus on siis väärä ja (B C) ( (A B) (A C) ). 3.3.3 Validisuuden ja tautologisuuden suhde Olemme aikaisemmin todistaneet lauseessa 3.3 mallien ja totuusjakaumien välisen yhteyden. Todistamme tämän avulla seuraavan vastaavuuden validisuuden ja tautologisuuden välille lauselogiikassa: Lause 3.4. Olkoon L = (P, K). L-kaava A on tautologia, jos ja vain jos se on validi. Todistus. Oletetaan ensin, että kaava A ei ole tautologia. Tällöin on olemassa sellainen totuusjakauma v, että V (A) = 0. Muodostetaan malli M seuraavasti: M = (P, {p P v(p) = 1}). Siis aina, kun p on lausemuuttuja, niin M p v(p) = 1. Lauseen 3.3 perusteella tällöin M A, joten A ei ole validi. Oletetaan sitten, että kaava A ei ole validi. On siis olemassa sellainen malli M, että M A. Määritellään nyt totuusjakauma v ehdon { 1, jos M p, v(p) = 0 muulloin. 25

Siis v(p) = 1 M p kaikille lausemuuttujille p ja lauseen 3.3 perusteella tällöin V (A) = 0, joten A ei ole tautologia. Jos siis tehtävämme on osoittaa jokin kaava A validiksi, niin voimme tehdä tämän totuustaulumenetelmällä osoittamalla kaavan A olevan tautologia. Yleensä yksinkertaisin tapa osoittaa kaava loogisesti todeksi onkin käyttää totuustaulumenetelmää. Usein mallien avulla tapahtuva tarkastelu on kuitenkin lyhyempi (tosin yhtä lyhyeen esitykseen päästään jättämällä merkitsemättä totuustauluun tarpeettomat totuusarvot eli siis sellaiset totuusarvot, joilla ei ole merkitystä tarkasteltavan kaavan totuusarvolle). Esimerkki 31. Olkoon tehtävänä osoittaa kaava E tautologiaksi, kun E = r p q (( u (r p) ( q t)) p (s u)). Jos tehtävän haluaa ratkaista totuustaulumenetelmällä, niin pitää tehdä totuustaulukko, jossa on 2 6 = 64 vaakariviä. Paljon kätevämpää onkin tarkastella malleja: Merkitään A = r p q, B = u (r p), C = ( q t) ja D = p (s u). Olkoon M lauselogiikan malli. Jos M p, niin M A ja täten implikaation totuusehtojen perusteella M E. Jos M p, niin M D. Tällöin M (B C) D ja täten M E. Koska kaava E on loogisesti tosi, niin se on myös tautologia. 3.4 Looginen seuraus Määrittelemme, että kaava B on kaavajoukon S looginen seuraus, jos jokainen kaavajoukon S malli on myös kaavan B malli. Tällöin merkitään S B. Joukkoa S voidaan kutsua tässä yhteydessä premissijoukoksi ja sen alkioita premisseiksi eli oletuksiksi ja kaavaa B johtopäätökseksi. Näitä nimityksiä käytetään erityisesti todistusteorian yhteydessä. Jos kaava B ei ole kaavajoukon S looginen seuraus, niin merkitään S B. Jos joukko S on äärellinen, vaikkapa S = {A 1, A 2,..., A n }, niin voidaan merkitä myös ilman joukkosulkeita A 1, A 2,..., A n B. Esimerkki 32. Todistetaan muutama tärkeä looginen seuraus. Modus ponendo ponens: p q, p q. 26

Todistus. Olkoon M sellainen malli, että M p q ja M p. Tästä seuraa välittömästi, että M q. Näin on osoitettu, että jokainen kaavojen p ja p q malli on myös kaavan q malli. Modus (tollendo) tollens: p q, q p. Todistus. Olkoon M sellainen malli, että M p q ja M q. Koska siis M p q ja M q, niin on oltava M p. Siis M p. Hypoteettinen syllogismi: p q, q r p r Todistus. Olkoon M p q ja M q r. Jos M p, niin M p r. Tarkastellaan sitten tapausta M p. Koska M p q, niin M q. Edelleen M r, sillä M q r. Siis tässäkin tapauksessa M p r. Kun halutaan todistaa looginen seuraus A 1, A 2,..., A n B, niin suorassa todistuksessa (jota edellisessä esimerkissä käytettiin) oletetaan, että malli M on sellainen, että M A i, (i = 1, 2,..., n). Tämän jälkeen osoitetaan, että M B. Voidaan käyttää myös epäsuoraa todistusta, jolloin tehdään vastaoletus A 1, A 2,..., A n B eli että on olemassa sellainen malli M, että M A i (i = 1, 2,..., n) mutta M B, ja pyritään tämän jälkeen johtamaan ristiriita. Esimerkki 33. Osoitetaan suoralla todistuksella, että p, p q, q r, r s s. Olkoon M sellainen malli, että (1) M p, (2) M p q, (3) M q r ja (4) M r s. Kohtien (1) ja (2) perusteella M q. Täten kohdan (3) perusteella M r, jolloin kohdan (4) perusteella M s. Esimerkki 34. Osoitetaan epäsuoralla todistuksella, että p q, q r, r s p s. Tehdään vastaoletus: on olemassa sellainen malli M, että M p q, M q r ja M r s, mutta M p s. Jälkimmäisen väitteen perusteella M p ja M s. Toisaalta tällöin vastaavasti kuin edellisessä esimerkissä saadaan, että M s ja tässä on ristiriita. Tarkastelemme seuraavaksi validisuuden ja loogisen seurauksen välistä suhdetta: Lause 3.5. Kaava B on kaavojen A 1, A 2,..., A n looginen seuraus, jos ja vain jos implikaatio A 1 A 2 A n B on validi. Koska kaava A 1 A 2 A n B on validi, jos ja vain jos se on tautologia, niin totuustaulumenetelmää voidaan soveltaa myös loogisen seurauksen osoittamiseen 27

sellaisissa tapauksissa, joissa oletuksia on äärellinen määrä. Esimerkin 32 loogiset seuraukset olisi voitu todistaa myös osoittamalla kaavat totuustaululla tautologioiksi. (p q) p q, (p q) q p, (p q) (q r) (p r) Jos jollain totuustaulun vaakarivillä yksikin kaavoista A 1, A 2,..., A n saa totuusarvon 0, niin implikaatio A 1 A 2 A n B saa totuusarvon 1. Tutkittaessa loogisia seurauksia totuustaulun avulla riittää siis rajoittua tutkimaan niitä vaakarivejä, joilla premissit A 1, A 2,..., A n saavat totuusarvon 1. Esimerkiksi tutkittaessa totuustaulun avulla hypoteettista syllogismia p q, q r p r ei tarvitse yksityiskohtaisesti tarkastella vaakarivejä, joissa p on tosi ja q epätosi (niissä p q on epätosi), eikä vaakarivejä, joissa q on tosi ja r epätosi (niissä q r on epätosi). A = (p q) (q r) (p r) p q r p q q r p r A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 Myös vastaoletukseen perustuvaa tapaa todistaa looginen seuraus voidaan soveltaa totuustaulumenetelmään. Nyt rajoitutaan tarkastelemaan niitä totuustaulun vaakarivejä, joissa johtopäätös on epätosi, ja pyritään osoittamaan, että kaikki premissit eivät ole näillä vaakariveillä tosia. Hypoteettisen syllogismin yhteydessä voisi siis tarkastella vain niitä kahta vaakarivia, joilla p on tosi ja r epätosi (sillä vain niissä johtopäätös p r on epätosi). p q r p q q r p r A 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 28

Osoitettaessa, että A 1, A 2,..., A n B riittää antaa esimerkki sellaisesta mallista M, jossa premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Totuustaulumenetelmää käyttäen riittää siis löytää yksi vaakarivi, jolla kaavoilla A 1, A 2,..., A n on totuusarvo 1 ja kaavalla B totuusarvo 0. Esimerkki 35. Olkoon M sellainen malli, jossa q on tosi, mutta r epätosi. Tällöin M r p, M p q ja M q r, joten r p, p q q r. Samaan tulokseen päädytään kaavan A = (r p) (p q) (q r) totuustaulun vaakarivin p q r r p p q q r A 1 1 0 1 1 0 0 tai perusteella. p q r r p p q q r A 0 1 0 1 1 0 0 Tutkittaessa äärettömän kaavajoukon S loogisia seurauksia ei voi suoraan soveltaa totuustaulumenetelmää, sillä tavallisessa lauselogiikassa ei sallita äärettömiä konjunktioita. Voidaan kuitenkin todistaa, että S B, jos ja vain jos on olemassa sellainen joukon S äärellinen osajoukko {A 1, A 2,..., A k }, että A 1 A 2 A k B eli että A 1 A 2 A k B on tautologia. Esimerkki 36. Osoitamme, että { p 0, p 1, p 2, p 3, p 4,...} p 1 p 101 p 1001. Olkoon M kaavojen p 1, p 2, p 3, p 4,... malli (näitä malleja on itse asiassa vain yksi). Tällöin siis M p i aina, kun i on pariton. Erityisesti M p 1, M p 101 ja M p 1001, joten M p 1 p 101 p 1001. Helposti nähdään, että niillä premisseinä olevilla lausemuuttujilla, jotka eivät esiinny johtopäätöksessä p 1 p 101 p 1001, ei ole merkitystä. Itse asiassa on voimassa p 1, p 101, p 1001 p 1 p 101 p 1001. Olkoon S S. Jos M on kaavajoukon S malli, niin M on myös kaavajoukon S malli. Tästä seuraa, että jos S A, niin S A (harjoitustehtävä). Käänteinen väite ei yleensä kuitenkaan pidä paikkaansa (harjoitustehtävä). 3.5 Looginen ekvivalenttisuus Lauselogiikan kaavat A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja, jos niillä on samat mallit. Tällöin merkitään A B. Siis A B, jos ja vain jos kaikki lauselogiikan mallit M toteuttavat ehdon M A M B. 29

Esimerkki 37. Olkoon M malli. Tällöin M (p q) M p q M p ja M q M p ja M q M p q. Kaavat (p q) ja p q ovat siis loogisesti ekvivalentit: (p q) p q. Määritelmän mukaan kaavat A ja B ovat loogisesti ekvivalentit, jos ja vain jos M A M B aina, kun M on malli. Tämä tarkoittaa siis sitä, että jokaisessa mallissa M joko M A ja M B tai M A ja M B. Mutta tämä ehto on yhtäpitävä sen kanssa, että jokaisessa mallissa M A B. Onkin voimassa Kaavat A ja B ovat loogisesti ekvivalentit eli A B, jos ja vain jos ekvivalenssi A B on validi. Edellä on osoitettu lauselogiikan kaavan olevan validi, jos ja vain jos se on tautologia. Siis lauselogiikassa kaavat A ja B ovat loogisesti ekvivalentit, jos ja vain jos ekvivalenssi A B on tautologia. Todistettaessa kaavoja A ja B loogisesti ekvivalentiksi ei riitä tarkastella ekvivalenssin A B totuusarvoa joissakin malleissa, vaan on osoitettava tämän ekvivalenssin olevan tosi kaikissa malleissa. Esimerkki 38. Olkoon p ja q tosia mallissa M. Tällöin siis M p ja M p q, joten M p p q. Ekvivalenssi p p q on siis tosi mallissa M, mutta tämä ei osoita sitä, että kaavat p ja p q olisivat loogisesti ekvivalentit. Ne eivät olekaan loogisesti ekvivalentteja. Kun nimittäin malli M on sellainen, että p on siinä tosi, mutta q epätosi, niin M p p q. Osoitettaessa kaavoja A ja B loogisesti ekvivalenteiksi kannattaa tarkastelut useimmiten jakaa kahteen osaan. Ensin osoitetaan, että M A M B aina, kun M on mielivaltainen malli. Tässä itse asiassa osoitetaan, että B on A:n looginen seuraus. Tämän jälkeen todistetaan käänteinen väite M B M A eli että A on B:n looginen seuraus. Tuloksista M A M B ja M B M A seuraa, että M A M B. Koska M on tässä mielivaltainen lauselogiikan malli, niin näin saadaan todistettua kaavat A ja B loogisesti ekvivalentiksi. Tarvittaessa voimme soveltaa logiikkaa metatasolla ja todistaa esimerkiksi väitteen M B M A sijasta sen kanssa yhtäpitävä väite M A M B. 30

Esimerkki 39. Osoitamme, että (A B) A B. Olkoon M lauselogiikan malli. Oletetaan ensin, että M (A B). Siis M A B, joten M A tai M B. Siis M A tai M B. Täten M A B. Oletetaan sitten, että M A B. Siis M A tai M B eli M A tai M B. Siis M A B eli M (A B) Olemme näin osoittaneet, että (A B) A B. Esimerkin alkuosasta näemme, että (A B) A B, ja loppuosasta, että A B (A B). Loppuosan päättelyn voimme tehdä myös seuraavasti: Oletetaan, että M (A B). Siis M A B eli M A ja M B. Täten M A ja M B. Tästä seuraa, että M A B. Koska ekvivalenssi A B on validi, jos ja vain jos se on tautologia, niin voimme totuustaulumenetelmällä osoittaa kahden kaavan olevan loogisesti ekvivalentit. Esimerkiksi sivulla 20 esitettyjä tautologioita vastaavat seuraavat loogiset ekvivalenttisuudet: A A A A A A A A A B B A A B B A (A B) A B (A B) A B kaksinkertaisen kiellon laki idempotenssilait vaihdantalait de Morganin säännöt (A B) ( B A) kontrapositio (A B) C A (B C) liitäntälait (A B) C A (B C) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) osittelulait Konnektiivinen, ja määritelmistä seuraa suoraan loogiset ekvivalenttisuudet A B ( A B) A B (A B) A B (A B) (B A) disjunktion ja konjunktion yhteys implikaation ja konjunktion yhteys ekvivalenssin ja implikaation yhteys Lisäksi on voimassa implikaation ja disjunktion yhteys A B A B. Tarkastelimme esimerkissä 39 toista de Morganin sääntöä. Seuraavassa esimerkissä tarkastelemme osittelulakia mallien avulla. 31

Esimerkki 40. Osoitamme, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit. Oletetaan, että M A (B C). Siis M A ja M B C. Koska siis M B tai M C, niin M A B tai M A C. Täten M (A B) (A C). Oletetaan kääntäen, että M (A B) (A C). Siis (1) M A B tai (2) M A C. Tapauksessa (1) M A ja M B, josta seuraa, että M B C ja edelleen M A (B C). Tapauksessa (2) M A ja M C, joten tällöinkin M B C ja M A (B C). 3.5.1 Looginen ekvivalenttisuus ekvivalenssirelaationa On helppo osoittaa, että looginen ekvivalenttisuus on ekvivalenssirelaatio eli refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio: Lause 3.6. A A aina, kun A on kaava; jos A B, niin B A; jos A B ja B C, niin A C. Looginen ekvivalenttisuus on siis refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio kaavojen joukossa. Transitiivisuus yleistyy muotoon jos A 1 A 2, A 2 A 3,..., A k 1 A k, niin A 1 A k. Tämä oikeuttaa kaavojen vaiheittaisen muuntamisen ekvivalenttiin muotoon. Pyrittäessä osoittamaan, että kaavat A 1 ja A k ovat loogisesti ekvivalentteja, etsitään sopivia välittäviä kaavoja A i, (1 < i < k) tunnettujen loogisten ekvivalenttisuuksien avulla. Tällöin usein korvataan vain jokin osa kaavasta sen kanssa ekvivalentilla kaavalla. Seuraava lause oikeuttaa tämän menettelyn. Lause 3.7. Olkoon A jokin kaava sekä D ja E sellaisia kaavoja, että D E. Tällöin A[D/p] A[E/p]. Todistus. Oletamme, että D E ja käytämme induktiota kaavan A pituuden suhteen. Jos A = p, niin A[D/p] = D ja A[E/p] = E. Jos taas A = q p, niin A[D/p] = q = A[E/p]. Kummassakin tapauksessa siis A[D/p] A[E/p]. Täten väite on voimassa, kun A on lausemuuttuja. Teemme seuraavaksi induktio-oletuksen, että B[D/p] B[E/p] ja C[D/p] C[E/p]. Tarkastelemme ensin tapausta A = B. Lauselogiikan perusteella (harjoitustehtävä) induktio-oletuksesta seuraa, että A[D/p] = B[D/p] B[E/p] = A[E/p]. Tarkastelemme sitten tapausta A = B C. Lauselogiikan perusteella (harjoitustehtävä) induktio-oletuksesta seuraa, että A[D/p] = B[D/p] C[D/p] B[E/p] C[E/p] = A[E/p], 32

joten tässäkin tapauksessa A[D/p] A[E/p]. Olkoon L = (P, K), missä K = {,, }. Määritellään L-kaavan A duaali A D seuraavasti: p D = p, kun p P, ( A) D = A D, (A B) D = A D B D, (A B) D = A D B D, Osoitamme induktiolla kaavan A pituuden suhteen, että A A D aina, kun A on L-kaava. Tarkastellaan ensin tapausta A = p P. Suoraan määritelmän perusteella A = p = p D p D = A D. Tehdään sitten induktio-oletus, että L-kaavoille B ja C pätee, että B B D C C D. ja Olkoon A = B. Tällöin A = ( B) IO B D = ( B) D ( B) D = A D. Olkoon sitten A = B C. Tällöin A = (B C) B C IO B D C D = (B C) D (B C) D = A D. Lopuksi tarkastellaan tapausta A = B C: A = (B C) B C IO B D C D = (B C) D (B C) D = A D. 3.5.2 Ketjudisjunktio ja -konjunktio Kaavat (A B) C ja A (B C) ovat loogisesti ekvivalentit. Jos kaavan syntaktisella rakenteella ei ole merkitystä, niin usein käytetäänkin näille kummallekin kaavalle merkintää A B C. Tällaista konjunktiota, johon ei ole merkitty sulkuja, kutsutaan ketjukonjunktioksi. Yleisesti M A 1 A 2 A n M A i kaikille i {1, 2,..., n}. 33

Vastaavasti myös disjunktiot (A B) C ja A (B C) ovat loogisesti ekvivalentteja ja voidaan muodostaa ketjudisjunktio. Sen totuusehto on M A 1 A 2 A n M A i jollekin i {1, 2,..., n}. Kaavoista A 1,..., A n muodostetulle ketjukonjunktio voidaan käyttää myös merkintää ni=1 A i ja ketjudisjunktiolle merkintää n i=1 A i. Näillä merkinnöillä esimerkiksi de Morganin sääntö voidaan esittää seuraavassa yleisessä muodossa ja n n A i A i i=1 i=1 n n A i A i. i=1 i=1 Nämä yleistetyt de Morganin säännöt voidaan todistaa oikeaksi induktiolla luvun n suhteen. Myös osittelulaki voidaan yleistää useammalle kaavalle. Seuraavassa esimerkissä esitämme osittaisen yleistyksen osittelulaille. Esimerkki 41. Todistamme induktiolla luvun n suhteen, että n n A B i (A B i ) i=1 i=1 Tapaus n = 1 on triviaali ja n = 2 vastaa osittelulakia. Olkoon k 2. Teemme induktio-oletuksen, että k k A B i (A B i ). Koska niin osittelulain perusteella i=1 i=1 ( k+1 k ) A B i = A B i B k+1, i=1 i=1 ( ) k+1 k A B i A B i (A B k+1 ). i=1 i=1 Käyttämällä induktio-oletusta saadaan, että jälkimmäinen kaava on ekvivalentti kaavan ( k ) k+1 (A B i ) (A B k+1 ) = (A B i ) i=1 i=1 kanssa. 34

3.6 Yhteensopivat ja yhteensopimattomat kaavat Sanomme, että kaavat A ja B ovat yhteensopimattomia, ellei niillä ole yhteisiä malleja. Kaavat A ja B ovat yhteensopivia, jos niillä on yhteisiä malleja. Esimerkki 42. Koska olemme olettaneet lausemuuttujien totuusarvot riippumattomiksi toisistaan, niin lausemuuttujat p ja q ovat aina yhteensopivia eli on olemassa sellainen lauselogiikan malli M, että M p ja M q. Nämä kaavat eivät tietenkään ole loogisesti ekvivalentteja; myös esimerkiksi p ja q ovat yhteensopivia. Esimerkki 43. Kaavat p q ja (p q) ovat yhteensopimattomia. Osoitetaan tämä tekemällä vastaoletus: on olemassa sellainen malli M, että M p q ja M (p q). Tällöin siis M p q. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, koska M p q ja täten M q. Vastaoletus on siis väärä, ja kaavat ovat yhteensopimattomia. Ristiriitaisuus Kaavojen yhteensopivuuden ja yhteensopimattomuuden käsitteet voidaan määritellä myös useammalle kuin kahdelle kaavalle. Kaavojen A 1, A 2,... sanotaan olevan yhteensopivat, jos kaavajoukolla {A 1, A 2,...} on malli eli jos on olemassa sellainen lauselogiikan malli, että M A 1, M A 2 jne. Muussa tapauksessa ne ovat yhteensopimattomat. Erityisesti todistusteoriassa yhteensopivien kaavojen muodostamaa joukkoa kutsutaan ristiriidattomaksi eli konsistentiksi ja yhteensopimattomien ristiriitaiseksi eli inkonsistentiksi. Jos kaavat A 1, A 2,..., A n ovat yhteensopivat, niin määritelmän mukaan niillä on malli. Mutta tämä tarkoittaa samaa kuin että konjunktio A 1 A 2 A n on toteutuva. Jos kaavat A 1, A 2,..., A n ovat yhteensopimattomat, niin myöskään konjunktiolla A 1 A 2 A n ei ole mallia. Mutta tällöin jokainen lauselogiikan malli on negaation (A 1 A 2 A n ) malli. Kun tarkastelemme äärellistä määrää kaavoja, niin on siis voimassa seuraava tulos: Kaavat ovat yhteensopivia, jos ja vain jos niiden konjunktio on toteutuva. Kaavat ovat yhteensopimattomat, jos ja vain jos niiden konjunktio on loogisesti epätosi. Esimerkki 44. Kaava A A on loogisesti epätosi, ja kaavat A ja A ovat yhteensopimattomat. Voimme myös sanoa, että kaavajoukko {A, A} on ristiriitainen. Joskus myös kaavaa A A kutsutaan ristiriitaiseksi. Yhteensopimattomuus ja looginen seuraus Jos A 1, A 2,..., A n B, niin ei ole olemassa sellaista mallia M, että M A i (i = 1, 2,..., n) ja M B. Tämä tarkoittaa samaa kuin, että kaavat A 1, A 2,..., A n, B ovat yhteensopimattomat. Tämä tulos voidaan esittää myös seuraavasti: 35

A 1, A 2,..., A n B, jos ja vain jos A 1, A 2,..., A n, B ovat yhteensopivat. Jos kaavat A ja B ovat ovat yhteensopimattomia, niin triviaalisti myös kaavat A, B ja C ovat yhteensopimattomat ja täten A, B C. Yleistäen voidaan todeta, että yhteensopimattomista premisseistä seuraa loogisesti mitä tahansa. Tämä voidaan sanoa myös seuraavasti: kaikki kaavat ovat ristiriitaisen kaavajoukon loogisia seurauksia. Esimerkki 45. Hieman paradoksaalisesti p, q, q p. Tämä seuraa siitä, että kaavat q ja q ovat yhteensopimattomia, joten olipa C mikä tahansa kaava, niin p, q, q C. 3.7 Ratkeavuudesta Esitämme vielä yhteenvedon siitä, miten totuustaulumenetelmällä voidaan tutkia lauselogiikan semantiikkaa. Todettakoon, että totuustaulumenetelmää ei ainakaan sellaisenaan voi soveltaa esimerkiksi predikaattilogiikkaan, ja alla olevat tulokset koskevat siis vain lauselogiikkaa. Kaavan totuustaululla tarkoitamme sen totuustaulun viimeisenä muodostettavaa pystyriviä. Määritelmän mukaan kaava on tautologia, jos sen totuustaulussa esiintyy vain totuusarvo 1. Määrittelemme, että kaava on kontradiktio, jos sen totuustaulussa esiintyy vain totuusarvo 0. Kaava A on siis kontradiktio, jos ja vain jos sen negaatio A on tautologia. Kaava on toteutuva, jos ja vain jos se ei ole kontradiktio. Kaava on kumoutuva, jos ja vain jos se ei ole tautologia. Kaava on loogisesti tosi, jos ja vain jos se on tautologia. Kaava on loogisesti epätosi, jos ja vain jos se on kontradiktio. A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja, jos ja vain jos A B on tautologia. A ja B ovat yhteensopivia, jos ja vain jos A B ei ole kontradiktio. A ja B ovat yhteensopimattomia, jos ja vain jos A B on kontradiktio. Kaava A on kaavojen A 1, A 2,..., A n looginen seuraus, jos ja vain jos kaava A 1 A 2 A n A on tautologia. Lauselogiikan sanotaan olevan ratkeava. Tämä tarkoittaa, että mielivaltaisesta lauselogiikan kaavasta voidaan periaatteessa todeta, onko se loogisesti tosi vai ei, onko se annetun kaavan looginen seuraus vai ei, onko se loogisesti epätosi vai ei jne. Ratkeavuus ei pidä paikkaansa logiikoille yleensä. Emme todista lauselogiikan ratkeavuutta peruskurssilla, mutta on helppo vakuuttua siitä, että totuustaulumenetelmä 36

antaa ratkaisumenetelmän mainittujen seikkojen selville saamiseksi. Pystymme periaatteessa aina totuustaulumenetelmällä selvittämään, onko esimerkiksi annettu kaava A tautologia vai ei, ja vastaus tähän kysymykseen antaa vastauksen myös siihen, onko A loogisesti tosi vai ei. Eri asia on, että jos kaavassa A on riittävän monta lausemuuttujaa, niin mikään olemassa oleva tietokone ei pysty missään järjellisessä ajassa laskemaan kaavan A totuustaulua. Ratkeavuuteen riittää se, että periaatteessa on olemassa mekaaninen ratkaisumenetelmä. 3.8 Normaalimuodot 3.8.1 Kaavan määrämä totuusfunktio Olkoon L = (P, K), missä P = {q 1, q 2,..., q n }, ja A L-kaava. Merkitään A = A(q 1, q 2,..., q n ). Jokainen totuusarvoyhdistelmä (v(q 1 ), v(q 2 ),..., v(q n )) B n määrää yksikäsitteisesti arvon V (A) B. Tämän mukaisesti kaavan A voidaan sanoa määrittelevän totuusfunktion TF A : B n B. Tämän totuusfunktion TF A arvot voitaisiin määrittää laskemalla kaavan A totuusarvot totuustauluun, jonka riveinä olisi kaikki mahdolliset totuusarvoyhdistelmät (v(q 1 ), v(q 2 ),..., v(q n )). Esimerkki 46. Kaava A(q 1, q 2, q 3, q 4 ) = q 1 (q 3 q 4 ) määrittelee totuusfunktion TF A : B 4 B : TF(b 1, b 2, b 3, b 4 ) = b 1 (b 3 + b 4 b 3 b 4 ). Tämän totuusfunktion arvo ei riipu ollenkaan argumentista b 2 ja esimerkiksi TF A (1, 0, 1, 0) = TF A (1, 1, 1, 0) = 1. Jos A = A(q 1, q 2,..., q n ) ja B = B(q 1, q 2,..., q n ) ja tarkastellaan totuusfunktioita B n B, niin selvästikin TF A = TF B, jos ja vain jos A ja B ovat loogisesti ekvivalentit. Huomaa kuitenkin, että esimerkiksi kaavat p 1 p 2 ja p 3 p 4 määräävät saman kaksipaikkaisen totuusfunktion B 2 B, nimittäin totuusfunktion tf, mutta ne eivät tietenkään ole loogisesti ekvivalentit kaavat. Jos tulkittaisiin, että p 1 p 2 = A(p 1, p 2, p 3, p 4 ) ja p 3 p 4 = B(p 1, p 2, p 3, p 4 ), niin nelipaikkaiset totuusfunktiot TF A ja TF B ovatkin eri funktioita. Huomaa, myös, että esimerkiksi pelkkä yksittäinen lausemuuttuja p 1 määrää äärettömän monta totuusfunktiota, sillä kun tulkitaan p 1 = A k (p 1, p 2,..., p k ), missä k = 1, 2, 3,..., niin TF Ak : B k B ja TF Ak TF Al, kun k l. 3.8.2 Disjunktiivinen normaalimuoto Olkoon f mikä tahansa funktio B n+1 B. Havainnollistamme seuraavaksi, miten löydetään sellainen kaava A, että TF A = f. 37

Olkoon p lausemuuttuja ja b B. Merkitään { p, jos b = 1, p b = p, jos b = 0. Määritellään bittijonoa (b 0,..., b n ) B n+1 vastaava konjunktio C (b0,...,b n) = p b 0 0 p bn n. Konjunktion totuusehdon perusteella V (A (b0,...,b n)) = 1, jos ja vain jos V (p b i i ) = 1, kun i = 0,..., n. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että v(p i ) = b i, kun i = 0,..., n. Jos totuusfunktio f : B n+1 B saa vain vakioarvon 0, niin kun valitaan niin f = TF D. D = (p 0 p 0 ) (p 1 p n ), Oletetaan jatkossa, että f saa ainakin kerran arvon 1. Määritellään disjunktio D = D(p 0,..., p n ) = f(b 0,...,b n)=1 C (b0,...,b n). Olkoon f(b 0,..., b n ) = 1. Kun totuusjakauma v on sellainen, että v(p i ) = b i, kun i = 0,..., n, niin V (C (b0,...,b n)) = 1. Disjunktion totuusehdon perusteella tällöin V (D) = 1, joten TF D ((b 0,..., b n ) = 1. Olkoon sitten TF D (b 0,..., b n ) = 1. Tällöin siis kun v on sellainen totuusjakauma, että v(p i ) = b i, kun i = 0,..., n, niin V (D) = 1. Disjunktion totuusehdon perusteella tällöin on oltava V (C (a0,...,a n)) = 1 jollekin sellaiselle (a 0,..., a n ) B n+1, että f(a 0,..., a n ) = 1. Mutta V (C (a0,...,a n)) = 1 vain kun a i = v(p i ) = b i kaikille i {0, 1,..., n}. Täten f(b 0,..., b n ) = f(a 0,..., a n ) = 1. Näin on osoitettu, että josta seuraa, että f = TF D. f(b 0,..., b n ) = 1 TF D (b 0,..., b n ) = 1, Olkoon kaava L p lausemuuttuja p tai sen negaatio p. Kaavaa L p kutsutaan tällöin literaaliksi. Literaalien muodostamaa konjunktiota kutsutaan alkeiskonjunktioksi. Kaavan, joka muodostuu alkeiskonjunktioiden disjunktiosta, sanotaan olevaan disjunktiivisessa normaalimuodossa. Jos disjunktivisessa normaalimuodossa olevan kaavan jokaisessa alkeiskonjunktiossa esiintyy samoja lausemuuttujia vastaavat literaalit, kaavan sanotaan olevaan täydellisessä disjunktiivisessa normaalimuodossa. Yllä konstruoitu kaava D(p 0,..., p n ) on täydellisessä disjunktiivisessa normaalimuodossa lukuunottamatta tapausta, jossa f on vakiofunktio 0. Olkoon A kaava, jossa esiintyy (korkeintaan) lausemuuttujat p 0, p 1,..., p n. Kaava A määrää siis totuusfunktion TF A : B n+1 B ja edellä esitetyn perusteella on 38

olemassa sellainen disjunktiivisessa normaalimuodossa oleva kaava D(p 0,..., p n ), että TF D = TF A. Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen lauselogiikan kaava voidaan esittää loogisesti ekvivalentissa (täydellisessä) disjunktiivisessa normaalimuodossa. Esimerkki 47. Tarkastellaan konditionaalisen disjunktion totuustaulua p 1 p 2 p 3 [p 1, p 2, p 3 ] 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Kun nyt muodostetaan kaavalle [p 1, p 2, p 3 ] täydellistä disjunktiivista normaalimuotoa, niin muodostetaan siis disjunktio kaikista niistä alkeiskonjunktioista, jotka vastaavat riviä, jolla kaava [p 1, p 2, p 3 ] saa totuusarvon 1. Esimerkiksi toinen rivi vastaa alkeiskonjunktiota p 1 p 2 p 3. Näin löydetään loogisesti ekvivalentti esitys [p 1, p 2, p 3 ] (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) ( p 1 p 2 p 3 ). Tästä esitystavasta huomataan helposti, että myös disjunktiivisessa normaalimuodossa oleva kaava (p 1 p 2 ) ( p 2 p 3 ) on loogisesti ekvivalentti kaavan [p 1, p 2, p 3 ] kanssa. 3.8.3 Konjunktiivinen normaalimuoto Olkoon L ij literaali p j tai p j, kun i = 1, 2,..., m, ja m n A L ij, i=1 j=0 missä oikealla puolella oleva kaava on siis täydellisessä disjunktiivisessa normaalimuodossa. Tällöin soveltamalla de Morganin sääntöä sekä disjunktioon että alkeiskonjunktioihin saadaan, että m n A L ij. i=1 j=0 Jos L ij = p j, niin L ij = p j, ja jos L ij = p j, niin kaksoisnegaation säännön perusteella L ij p j. Kaava A voidaan siis esittää loogisesti ekvivalentissa muodossa konjunktiona m n A L ij, i=1 j=0 missä L ij on literaali p j tai p j. Tällaisen kaavan sanotaan olevan (täydellisesä) konjunktiivisessa normaalimuodossa. 39

Esimerkki 48. Etsitään konditionaaliselle disjunktiolle konjunktiivinen normaalimuoto. Muodostetaan ensin kaavan [p 1, p 2, p 3 ] totuustaulu: p 1 p 2 p 3 [p 1, p 2, p 3 ] 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Tästä totuustaulusta nähdään helposti, että [p 1, p 2, p 3 ] (p 1 p 2 p 3 ) ( p 1 p 2 p 3 ) ( p 1 p 2 p 3 ) ( p 1 p 2 p 3 ). Täten [p 1, p 2, p 3 ] ( p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ). Kaavan A = A(p 1, p 2,..., p n ) konjunktiivisen normaalimuodon voi muodostaa suoraan kaavan A totuustaulun pohjalta seuraavasti: muodostetaan jokaista sellaista riviä, jolla V (A) = 0, vastaavaa disjunktio niin että disjunktioon tulee disjunktiksi p i, jos v(p i ) = 1, ja p i, jos v(p i ) = 0. Näiden disjunktioiden konjunktio on kaavan A konjunktiivinen normaalimuoto. Edellä esimerkiksi rivin p 1 p 2 p 3 [p 1, p 2, p 3 ] 1 0 0 0 perusteella konjuktiivisen normaalimuodon konjuktioon lisätään disjunktio p 1 p 2 p 3. 3.8.4 Täydellinen konnektiivijoukko Totuusfunktioiden joukon f 1, f 2,..., f m sanotaan olevan täydellinen, jos jokainen totuusfunktio B n B, n N, voidaan esittää yhdistämällä näitä funktioita keskenään. Edellä on osoitettu totuusfunktioiden joukon {tf, tf, tf } olevan täydellinen. Olkoon a, b B. Koska ja tf (a, b) = tf (tf (tf (a), tf (b))) tf (a, b) = tf (tf (tf (a), tf (b))), niin myös totuusfunktioiden joukot {tf, tf } ja {tf, tf } ovat täydellisiä. 40

Konnektiivijoukon sanotaan vastaavasti olevan täydellinen, jos niitä vastaavien totuusfunktioiden joukko on täydellinen. Siis sekä konnektiivijoukko {, } että {, } on täydellinen. Konnektiivijoukon K täydellisyyttä voikin tarkastella myös seuraavasti: Olkoon L = (P, K) ja L = (P, {, }). Konnektiivijoukko K on tällöin täydellinen, jos ja vain jos jokaista L -kaavaa A vastaa loogisesti ekvivalentti L-kaava B. Huomaa, että kaava A B on (P, K {, })-kaava. Esimerkki 49. Osoitetaan, että Shefferin viiva yksin muodostaa täydellisen konnektiivijoukon. Riittää siis osoittaa, että negaatio ja konjunktio voidaan määritellä Shefferin viivan avulla. Tämä seuraa loogisista ekvivalenttisuuksista p p p ja p q (p q) (p q). Esimerkki 50. Osoitetaan, että konditionaalinen disjunktio yhdessä loogisten vakioiden ja kanssa muodostaa täydellisen konnektiivijoukon. Tämä tulos seuraa siitä, että p [, p, ] ja [p q] [p, q, ]. Esimerkki 51. Osoitetaan, että konnektiivijoukko {,,, } ei ole täydellinen. Todistetaan ensin induktiolla seuraava aputulos: kun L = (P, {,,, }) ja v sellainen totuusjakauma, että v(p) = 1 aina, kun p P, niin V (A) = 1 aina, kun A on L-kaava. Oletuksen mukaan väite V (A) = 1 pitää paikkansa lausemuuttujille p P. Tehdään induktio-oletus, että L-kaavoille B ja C pätee, että V (B) = V (C) = 1. Tällöin myös V (B C) = V (B C) = V (B C) = V (B C) = 1. Induktioperiaatteen mukaisesti V (A) = 1 aina, kun A on L-kaava. Olkoon q P. Tarkastellaan nyt kielen (P, {, }) kaavaa q. Kun v(p) = 1 aina, kun p P, niin V ( q) = 0, mutta V (A) = 1 aina, kun A on L-kaava. Kaava q ei voi siis olla loogisesti ekvivalentti minkään L-kaavan kanssa. 41