Hyperpintojen geometriaa

Hyperpintojen geometriaa Pro Gradu-tutkielma Heikki Hyväri Opiskelijanumero 136592 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014

Sisältö Johdanto 2 1 Tarvittavia esitietoja 4 1.1 Kuvaajat ja tasa-arvojoukot................... 4 1.2 Vektorikentät........................... 5 1.3 Tangenttiavaruus......................... 9 1.4 Pinnat............................... 11 1.5 Vektorikentät pinnoilla; Suunnistus............... 14 2 Gaussin kuvaus 19 3 Geodeesit 22 4 Yhdensuuntaissiirto 27 Lähdeluettelo 34 1

Johdanto Tässä Pro gradu -tutkielmassa tutustutaan dierentiaaligeometriaan tutkimalla n-ulotteisten suunnattujen pintojen geometriaa avaruudessa R n+1. Tällaisia pintoja tarkastellaan säännöllisten funktioiden tasa-arvojoukkoina. Erityisesti tutustutaan Gaussin kuvaukseen, geodeeseihin ja yhdensuuntaissiirtoihin. Tutkielma pohjautuu teoksen J. A. Thorpe: Elementary Topics in Dierential Geometry, 1979 [1] lukuihin 1-8. Thorpen (1979) mukaan edut, joita saadaan käyttämällä lineaarialgebraa sekä dierentiaaliyhtälöiden että monimuuttujaanalyysin opetuksessa, ovat laajalti tunnustettuja. On ilmeistä, että ensimmäisten vuosikurssien tietoja tulisi hyödyntää ja vahvistaa niiden käsitteitä opiskelemalla dierentiaaligeometriaa. Valitettavasti usein dierentiaaligeometrian oppikirjat yleensä rajoittuvat liikaa 2-ulotteisiin pintoihin avaruudessa R 3 eikä pinnoille mielivaltaisessa ulottuvuudessa. Suurella osalla opiskelijoilla kuitenkin usein on alustava käsitys korkeammista ulottuvuuksista, joten sitä kannattaisi hyödyntää. Tässä tutkielmassa tutustutaan n-ulotteisten pintojen geometriaan (n + 1)- ulotteisessa avaruudessa. Aiheeseen perehtymisessa on hyödyksi olla aiempaa tietoa lineaarialgebrasta, usean muuttujan analyysistä ja dierentiaaliyhtälöistä. Dierentiaaligeometrian opiskelu on niin arvokasta tällä tasolla muun muassa siksi, että se tuo opiskelijoille perusteellisen käsityksen usean muuttujan analyysiin. Toinen syy mikä houkuttelee tutkimaan dierentiaaligeometriaa on, että se sisältää ajatuksia, jotka ovat paitsi kauniita, mutta ne on myös perustana sekä edistyneessä matematiikassa että teoreettisessa fysiikassa. Erityisesti lähestymistapa kuvata pintoja yhtälöiden ratkaisujoukkona kiinnostaa monia fyysikoita. Tässä tutkielmassa pidetään alusta alkaen esillä suunnattujen hyperpintojen geometriaa avaruudessa R n+1 sileiden funktioiden säännöllisten arvojen alkukuvina. Etuna käsitellessä geometriaa alusta alkaen n-ulottuvuuksissa on, että voi sitten esittää kunkin käsitteen samanaikaisesti kussakin aliulottuvuudessa. Siten esimerkiksi Gaussin kuvauksen ja sen pallokuvan ymmärtämisessä auttaa mahdollisuus tutkia 1-ulotteisia esimerkkejä, jossa pallomainen kuva on yksikköympyrän osajoukko. Jotta voimme edetä pidemmälle dierentiaaligeometriaan täytyy esitiedoiksi luvussa 1 käydä läpi joitakin perusasioita. Luvussa 1.1 tutustumme aluksi tasa-arvojoukkoihin, jotka ovat hyödyllisiä tutkittaessa funktion laadullisia ominaisuuksia. Kolmiulotteista kuvaajaa, kuten maanpintaa, voi tutkia tasa- 2

arvokäyrien avulla, joka voi helpottaa kuvaajan luonnostelua. Avaruuden R 4 kuvaajan hahmottelu voi olla mahdotonta, jolloin juuri tasa-arvojoukkojen tutkiminen voi olla paras tapa tutkia funktion käyttäytymistä. Luvussa 1.2 tutustumme vektorikenttiin, joilla on tärkeä rooli funktion tasaarvojoukkojen tutkimisessa. Vektorikenttien analyysi on tärkein ja luonnollisin työkalu dierentiaaligeometrian teorian kehittämisessä. Tässä kappaleessa selviää mitä ovat n + 1-ulotteinen vektoriavaruus, pistetulo, funktion tai vektorikentän sileys, gradientti, integraalikäyrä ja olemassaololause. Luvussa 1.3 selviää, miten jokaisessa sileän funktion säännöllisen pisteen p tasa-arvojoukossa on tangenttiavaruus, joka koostuu kaikista tasa-arvojoukon f 1 (c) kaikkien pisteen p kautta kulkevien parametrisoitujen käyrien nopeusvektoreista pisteessä p. Luvussa 1.4 selviää millaisia pintoja eri avaruuksissa on ja miten voimme etsiä pinnoilta ääriarvopisteitä. Pintoja kutsutaan joko tasokäyriksi 2- ulotteisessa avaruudessa, pinnoiksi 3-ulotteisessa avaruudessa ja hyperpinnoiksi useampi ulotteisessa avaruudessa. Luvussa 1.5 tutkimme mitä ovat pinnan tangentti- ja normaalivektorikentät, rajoittumat, yhtenäisyys, suunnistus ja suunnatut pinnat. Esitiedot esiteltyämme pääsemme tämän työn keskeiseen lukuun 2, jossa esitetään lause Gaussin kuvauksesta. Meille selviää kuinka Gaussin kuvaus kuvaa avaruuden R n+1 n-pinnan surjektiivisesti yksikköpallolle. Gaussin kuvauksen kuvaa N(S) kutsutaankin suunnatun n-pinnan S pallokuvaksi. Luvussa 3 kerrotaan, mitä ovat geodeesit n-pinnalla parametrisoitua käyrää α pitkin. Meille selviää mm. miten tasolla olevat geodeesit ovat janoja ja esimerkiksi pallon pinnalla ne ovat isoympyrän kaaria. Tutkimme myös mitä merkitsevät geodeesin nopeus ja kiihtyvyys. Luvussa 4 tutustumme yhdensuuntaissiirtoihin. Opimme mm. mikä on kovariantti derivaatta, euklidinen yhdensuuntaisuus ja Levi-Civita-yhdensuuntaisuus. Huomaamme, miten yhdensuuntaissiirto kahden pisteen välillä riippuu käytetystä polusta. 3

1 Tarvittavia esitietoja 1.1 Kuvaajat ja tasa-arvojoukot Kuhunkin reaaliarvoiseen funktioon jolla on useita reaalisia muuttujia liittyy kokoelma joukkoja, joita kutsutaan tasa-arvojoukoiksi, jotka ovat käyttökelpoisia tutkittaessa funktion laadullisia ominaisuuksia. Jos määritellään funktio f : U R, missä U R n+1, sen tasa-arvojoukot ovat joukot f 1 (c), jotka määritellään kullekin reaaliluvulle c f 1 (c) = {(x 1,..., x n+1 ) U : f(x 1,..., x n+1 ) = c}. Vakiota c kutsutaan tasa-arvojoukon korkeudeksi ja f 1 (c) on nimeltään tasa-arvojoukko korkeudella c. Koska f 1 (c) on yhtälön f(x 1,..., x n+1 ) = c ratkaisujoukko, tasa-arvojoukko f 1 (c) kuvataan usein "joukkona f(x 1,..., x n+1 ) = c." Termit "tasa-arvojoukko" ja "korkeus" tulevat tasa-arvojoukkojen funktion ja sen kuvaajan välisistä suhteista. Funktion f : U R kuvaaja on R n+2 :n osajoukko, jonka määritelmä on kuvaaja(f) = {(x 1,..., x n+2 ) R n+2 : (x 1,..., x n+1 ) U ja x n+2 = f(x 1,..., x n+1 )}. Reaaliluvuille c 0, f:n tasa-arvojoukko korkeudella c on vain kaikkien pisteiden joukko f:n määrittelyalueella jonka yläpuolella kuvaaja on etäisyydellä c. Kun c < 0, f:n tasa-arvojoukko korkeudella c on vain kaikkien pisteiden joukko f:n määrittelyalueella jonka alapuolella kuvaaja on etäisyydellä c. Esimerkiksi funktion f(x 1,..., x n+1 ) = x 2 1+...+x 2 n+1 tasa-arvojoukot f 1 (c) ovat tyhjiä kun c < 0. Kun c = 0, f 1 (c) on origo. Kun c > 0 tasa-arvojoukot koostuvat kahdesta pisteestä jos n = 0, c säteisistä origokeskisistä ympyröistä jos n = 1, c säteisistä origokeskisistä palloista jos n = 2, jne. Kun n = 1, tasa-arvojoukot ovat (ainakin ei-vakioille derivoituville funktioille) yleensä avaruuden R 2 käyriä. Nämä käyrät ovat samoissa rooleissa kuin korkeuskäyrät topograsissa kartoissa. Jos ajattelemme, että f:n kuvaaja esittäisi maanpintaa, jossa paikalliset maksimit edustavat vuorenhuippuja ja paikalliset minimit laakson pohjia, voimme rakentaa topograsen kartan heijastamalla maanpinnan kohtisuorasti tasoon R 2. Silloin kaikki pisteet millä tahansa tasa-arvokäyrällä f 1 (c) vastaavat pisteitä maalla, jotka ovat täsmälleen korkeudella c merenpinnan yläpuolella (x 3 = 0). 4

Aivan kuten korkeuskäyräkartat antavat tarkan kuvan maanpinnan topogra- asta, niin myös tieto tasa-arvojoukoista ja niiden korkeuksista kuvaa tarkasti funktion kuvaajaa. Funktioiden f : R 2 R tasa-arvokäyrien tutkiminen voi helpottaa kuvaajan f luonnostelua. Funktioiden f : R 3 R kuvaaja on puolestaan ulottuvuudessa R 4 ja tämä estää funktioiden hahmottelun jättäen tasa-arvojoukot parhaiksi työkaluiksi tutkia funktion käyttäytymistä. Yksi tapa visualisoida funktion f : U R, U R 2 kuvaaja, jonka tasaarvojoukot on annettu, on seuraava. Ajattellaan (x 1, x 2 )-tason kanssa yhdensuuntaista tasoa, joka liikkuu pystysuunnassa. Kun se saavuttaa korkeuden c, tämä taso x 3 = c, leikkaa f:n kuvaajan ja muodostaa tasa-arvojoukon f 1 (c) korkeudelle c. Kun taso liikkuu, nämä joukot generoivat funktion f kuvaajan. Samaa periaatetta voidaan käyttää apuna visualisoitaessa funktioiden f : U R, U R 3 tasa-arvojoukkoja. Jokainen taso x i on vakio, leikkaa tasaarvojoukon f 1 (c) (c vakio) jossakin osajoukossa, joka on yleensä käyrä. Kun annetaan tason liikkua muuttamalla valittua x i -koordinaatin arvoa, nämä osajoukot tuottavat tasa-arvojoukon f 1 (c). 1.2 Vektorikentät Työkalu, jonka avulla voimme tutkia tasa-arvojoukkoja, on vektorikenttien analyysi. Tässä luvussa kehitetään joitakin perusajatuksia. Vektori pisteessä p R n+1 on pari v = (p, v), missä v R n+1. Ajatellaan nyt geometrisesti vektorin v alkupisteen olevan pisteessä p, joka on muualla kuin origossa. Vektorit pisteessä p muodostavat n+1 ulotteisen vektoriavaruuden R n+1 p, jossa on lisäksi määritelty yhteenlasku (p, v) + (p, w) = (p, v + w) ja skalaaritulo c(p, v) = (p, cv). Joukko (p, v 1 ),..., (p, v n+1 ) on kanta R n+1 p :lle jossa v 1,..., v n+1 on jokin kanta R n+1 :lle. Kaikkien vektorien joukko kaikissa R n+1 :n pisteissä voidaan identioida (joukkona) karteesisen tulon R n+1 R n+1 = R 2n+2 kanssa. On huomattava kuitenkin, että yhteenlaskusääntö ei salli vektorien yhteenlaskua R n+1 :n eri pisteissä. Annettujen kahden vektorin (p, v) ja (p, w) pistetulo pisteessä p määritellään käyttämällä R n+1 :ssa tavallista pistetuloa (p, v) (p, w) = v w. Kun (p, v) ja (p, w) R 3 p, p R 3, myös ristitulo on määritelty R 3 :ssa käyttäen tavallista ristituloa (p, v) (p, w) = (p, v w) Käyttäen pistetuloa vektorin v = (p, v) pituus v pisteessä p ja kulma θ 5

kahden vektorin v = (p, v) ja w = (p, w) välillä määritellään v = (v v) 1/2 cos θ = (v w)/ v w 0 θ < π Vektorikenttä X joukossa U R n+1 on funktio, joka määrää jokaiseen U:n pisteeseen vektorin siinä pisteessä. Näin ollen X(p) = (p, X(p)) jollekin funktiolle X : U R n+1. Avaruuden R n+1 vektorikentät ovat usein helpointa kuvata määrittelemällä tämä liitetty funktio X. Tässä käsiteltävät funktiot ja vektorikentät ovat enimmäkseen sileitä. Funktio f : U R (U avoin joukko R n+1 :ssa) on sileä, jos sen kaikki kaikkien kertalukujen osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia. Funktio f : U R k on sileä, jos jokainen komponenttifunktio f : U R (f(p) = (f 1 (p),..., f k (p)), p U) on sileä. Vektorikenttä X joukossa U on sileä, jos siihen liittyvä funktio X : U R n+1 on sileä. Kuhunkin sileään funktioon f : U R (U avoin R n+1 :ssa) liittyy joukossa U sileä vektorikenttä, jota kutsutaan f:n gradientiksi f, joka määritellään ( ( f)(p) = p, f f ) (p),..., (p). x 1 x n+1 Jatkossa nähdään, että tällä vektorikentällä on tärkeä rooli f:n tasa-arvojoukkojen tutkimisessa. Vektorikentät tulevat esiin usein fysiikassa kun tutkitaan esimerkiksi nestevirtausten nopeuskenttiä. Tällaisella virtauksella on yhteys parametrisoituihin käyriin joita kutsutaan virtausviivoiksi. Nämä "virtausviivat"voi rinnastaa itse asiassa mihin tahansa sileään vektorikenttään ja ne ovat tärkeitä geometriassa sekä fysiikassa. Geometriassa näitä virtausviivoja kutsutaan "integraalikäyriksi". Parametrisoitu käyrä R n+1 :ssa on sileä funktio α: I R n+1, missä I on jokin avoin väli R:ssa. Tällaisen funktion sileydellä tarkoitetaan, että α on muotoa α(t) = (x 1 (t),..., x n+1 (t)), missä jokainen x i on sileä reaaliarvoinen funktio avoimella välillä I. Nopeusvektori hetkellä t (t I) parametrisoidulle käyrälle α: I R n+1 on vektori pisteessä α(t), joka määritellään ( α(t) = α(t), dα ) ( dt (t) = α(t), dx 1 dt (t),..., dx ) n+1 (t). dt 6

Tämä vektori on tangentti käyrälle α pisteessä α(t). Jos α(t) edustaa paikkaa hetkellä t hiukkasen liikkuessa avaruudessa R n+1 niin α(t) edustaa tämän hiukkasen nopeutta hetkellä t. Parametrisoidun käyrän α: I R n+1 sanotaan olevan vektorikentän X integraalikäyrä avaruuden R n+1 avoimessa joukossa U, jos α(t) U ja α(t) = X(α(t)) kaikille t I. Näin ollen käyrällä α on ominaisuus, että sen nopeusvektori jokaisessa käyrän pisteessä yhtyy vektorinkentän arvoon siinä pisteessä. Lause 1.1. Olkoon X sileä vektorikenttä avoimessa joukossa U R n+1 ja olkoon p U. Tällöin on olemassa sellainen avoin väli I sisältäen luvun 0 ja vektorikentän X integraalikäyrän α : I U, että (i) α(0) = p (ii) Jos β : I U on mikä tahansa muu vektorikentän X integraalikäyrä, missä β(0) = p, tällöin I I ja β(t) = α(t) kaikille t I. Huomautus. Integraalikäyrää α kutsutaan vektorikentän X maksimiintegraalikäyräksi pisteen p kautta, tai yksinkertaisesti vektorikentän X integraalikäyräksi pisteen p kautta. Todistus. Tämä lause on muotoiltu uudelleen olemassaolon ja yksikäsitteisyyden lauseesta. Joukossa U on sileä vektorikenttä X, joka on muotoa X(p) = (p, X 1 (p),..., X n+1 (p)) missä X i :t (X i : U R) ovat sileitä funktiota joukossa U. Parametrisoitu käyrä α: I R n+1 on muotoa α(t) = (x 1 (t),..., x n+1 (t)) missä x i :t (x i : I R) ovat sileitä funktiota joukossa I. Käyrän α nopeus on ( α(t) = α(t), dx 1 dt (t),..., dx ) n+1 (t). dt Vaatimus, että α on X:n integraalikäyrä edellyttää, että α = X(α(t)), toisin sanoen dx 1 (t) = X dt 1(x 1 (t),..., x n+1 (t)) (E). dx n+1 dt (t) = X n+1 (x 1 (t),..., x n+1 (t)). 7

Tämä on yhtälöryhmä, jossa on n + 1 ensimmäisen kertaluvun dierentiaaliyhtälöä ja n + 1 tuntematonta. Olemassaololauseen (Hurewicz 1958, s. 28) mukaan on olemassa avoin väli I 1 nollan ympäristössä ja joukko x i : I 1 R sileitä funktioita, jotka toteuttavät tämän yhtälöryhmän alkuehdot x i (0) = p i, kun i {1,..., n + 1} ja p = (p 1,..., p n+1 ). Asettamalla β 1 (t) = (x 1 (t),..., x n+1 (t)) täksi funktioden valinnaksi saadaan vektorikentästä X integraalikäyrä β 1 : I 1 U, missä β 1 (0) = p. Yksikäsitteisyyden lauseen (Hurewicz 1958, s. 28) nojalla, jos x i : I 2 R on toinen funktioiden joukko, joka toteuttaa yhtälöryhmän (E) yhdessä alkuehdoilla x i (0) = p i, tällöin x i (t) = x i (t) kaikille t I 1 I 2. Toisin sanoen, jos β 2 : I 2 U on toinen vektorikentän X integraalikäyrä, jossa β 2 (0) = p, tällöin β 1 (t) = β 2 (t) kaikille t I 1 I 2. Tästä seuraa, että on olemassa yksikäsitteinen vektorikentän X maksimi-integraalikäyrä α, jossa α(0) = p (sen määrittelyjoukko on vektorikentän X kaikkien integraalikäyrien määrittelyjoukkojen yhdiste, joka kuvaa 0:sta p:hen) ja että jos β: I U on mikä tahansa vektorikentän X integraalikäyrä, jossa β(0) = p, silloin β on α:n rajoittuma pienempään väliin I. Esimerkki 1.1. Olkoon X vektorikenttä X(p) = (p, X(p)), missä X(x 1, x 2 ) = ( x 2, x 1 ). Parametrisoitu käyrä α(t) = (x 1 (t), x 2 (t)) on vektorikentän X integraalikäyrä jos ja vain jos funktiot x 1 (t) ja x 2 (t) toteuttavat dierentiaaliyhtälöt dx 1 = x dt 2 dx 2 dt = x 1. Tämän yhtälöparin yleinen ratkaisu on x 1 (t) = C 1 cos t + C 2 sin t x 2 (t) = C 1 sin t C 2 cos t. Näin ollen vektorikentän X integraalikäyrä pisteen (1, 0) kautta (missä x 1 (0) = 1 ja x 2 (0) = 0) on α(t) = (cos t, sin t), kun taas integraalikäyrä mielivaltaisen pisteen (a, b) kautta (missä x 1 (0) = a ja x 2 (0) = b) on β(t) = (a cos t b sin t, a sin t + b cos t). 8

1.3 Tangenttiavaruus Olkoon f : U R sileä funktio, missä U R n+1 on avoin joukko. Olkoon c R sellainen, että f 1 (c) on epätyhjä joukko, ja olkoon p f 1 (c). Vektorin pisteessä p sanotaan olevan tangentti tasa-arvojoukolle f 1 (c) jos se on avaruuden R n+1 parametrisoidun käyrän nopeusvektori, jonka kuva sisältyy tasa-arvojoukkoon f 1 (c). Lemma 1.1. Funktion f gradientti pisteessä p f 1 (c) on kohtisuorassa kaikkia tasa-arvojoukon f 1 (c) tangenttivektoreita vastaan pisteessä p. Todistus. Jokainen vektori, joka on tangentti tasa-arvojoukolle f 1 (c) pisteessä p on muotoa α(t 0 ) jollekin parametrisoidulle käyrälle α : I R n+1, missä α(t 0 ) = p ja α(i) f 1 (c). Tästä seuraa, että f(α(t)) = c kaikille t I, joten käyttämällä ketjusääntöä saadaan yhtälö 0 = d dt (f α)(t 0) = f(α(t 0 )) α(t 0 ) = f(p) α(t 0 ). Jos f(p) = 0, tämä lemma ei sano mitään. Mutta jos f(p) 0, se sanoo, että koko niiden vektorien joukko, joka on tangentteina tasa-arvojoukolle f 1 (c) pisteessä p, sisältyy n-ulotteiseen avaruuden R n+1 vektorialiavaruuteen [ f(p)] koostuen kaikista vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa gradienttivektoriin f(p) nähden. Pistettä p R n+1, jolle f(p) 0, kutsutaan funktion f säännölliseksi pisteeksi. Lause 1.2. Olkoon U avoin joukko avaruudessa R n+1 ja olkoon f : U R sileä. Olkoon p U funktion f säännöllinen piste, ja olkoon c = f(p). Tällöin koko tangenttivektorien joukko tasa-arvojoukon f 1 (c) pisteessä p on täsmälleen [ f(p)]. Todistus. Se että jokainen tangenttivektori tasa-arvojoukon f 1 (c) pisteessä p sisältyy vektorialiavaruuteen [ f(p)] osoitettiin edellisessä lemmassa. Näin riittää osoittaa että, jos v = (p, v) [ f(p)], niin v = α(0) jollekin parametrisoidulle käyrälle α, jolle α(i) f 1 (c). Määritellään aluksi vakio vektorikenttä X joukossa U, asettamalla X(q) = (q, v). Vektorikentästä X voimme konstruoida toisen vektorikentän Y vähentämällä X:stä X:n komponentin gradientin f suuntaan: Y(q) = X(q) X(q) f(q) f(q). f(q) 2 9

Vektorikentän Y määrittelyjoukko on avoin osajoukko U, missä f 0. Koska p on funktion f säännöllinen piste, p on vektorikentän Y määrittelyalueella. Lisäksi koska X(p) = v [ f(p)], niin Y(p) = X(p). Siten olemme saaneet sellaisen sileän vektorikentän Y että, koska Y(q) f(q) = ( X(q) X(q) f(q) ) f(q) f(q) f(q) 2 X(q) f(q) = X(q) f(q) f(q) 2 f(q) 2 = X(q) f(q) X(q) f(q) = 0, niin Y(q) f(q) kaikilla q:n arvoilla, jotka kuuluvat vektorikentän Y määrittelyjoukkoon, ja Y(p) = v. Olkoon nyt α pisteen p kautta kulkeva vektorikentän Y integraalikäyrä. Tällöin α(0) = p, α(0) = Y(α(0)) = Y(p) = X(p)=v ja d f(α(t)) = f(α(t)) α(t) = f(α(t)) Y(α(t)) = 0 dt ketjusääntö koska α on Y:n koskay f integraalikäyrä kaikille t:n arvoille, jotka kuuluu käyrän α määrittelyjoukkoon. Näin ollen f(α(t)) on vakio. Koska f(α(0)) = f(p) = c, niin α(i) f 1 (c), kuten vaadittiin. Näin nähdään, että jokaisessa sileän funktion säännöllisessä pisteessä p tasaarvojoukossa f 1 (c) on hyvin määritelty tangenttiavaruus. Se koostuu kaikista tasa-arvojoukon f 1 (c) kaikkien pisteen p kautta kulkevien parametrisoitujen käyrien nopeusvektoreista pisteessä p. Tämä tangenttiavaruus on [ f(p)]. Olkoon t S = f 1 (c). Vektori pisteessä t on tällöin tangentti tasa-arvojoukolle f 1 (c), jos se on avaruuden R n+1 parametrisoidun käyrän α nopeusvektori, jonka kuva sisältyy tasa-arvojoukkoon f 1 (c). Tällöin pinnan S tangenttiavaruutta merkitään S α(t). 10

1.4 Pinnat Avaruuden R n+1 n-ulotteinen pinta tai n-pinta on epätyhjä avaruuden R n+1 osajoukko S. Se on muotoa S = f 1 (c), missä f: U R (U on avoin joukko avaruudessa R n+1 ) on sileä funktio, jolle f(p) 0 kaikille p S. Avaruudessa R 2 olevaa 1-pintaa kutsutaan tasokäyräksi. Avaruuden R 3 2-pintaa taas kutsutaan yleensä pelkästään pinnaksi. Avaruuden R n+1 n-pintaa puolestaan kutsutaan usein hyperpinnaksi, erityisesti kun n > 2. Edellisen kappaleen lauseen 1.2 mukaan jokaisella n-pinnalla on jokaisessa pisteessä p S tangenttiavaruus, joka on n-ulotteinen avaruuden R n+1 p kaikkien vektoreiden vektorialiavaruus pisteessä p. Tälle tangenttiavaruudelle käytetään merkintää S p. On tärkeää huomata, että tämä tangenttiavaruus S p, riippuu vain joukosta S ja on riippumaton funktiosta f, jota käytetään joukon S määrittelyyn. Tangenttiavaruutta S p pisteessä p kuvaa siis todellakin kaikkien vektoreiden joukko, joka voidaan saada avaruuden R n+1 parametrisoitujen käyrien nopeusvektoreina, joiden kuvat ovat kokonaan joukossa S. Jos f on mikä tahansa sileä funktio, jolle S = f 1 (c) jollekin c R ja f(p) 0 kaikille p S (n-pinnan määritelmän mukaan on oltava olemassa yksi tällainen funktio; itse asiassa on monia tällaisia funktioita jokaiselle n-pinnalle S) niin tangenttiavaruutta S p voidaan myös kuvata merkinnällä [ f(p)]. Esimerkki 1.2. Yksikköpallon kuori S n = {x R n+1 : x 2 1 + + x 2 n+1 = 1} avaruudessa R n+1 on tasa-arvojoukko f 1 (c) missä f(x 1,..., x n+1 ) = x 2 1 + + x 2 n+1. Se on n-pinta koska f(x 1,..., x n+1 ) = (x 1,..., x n+1, 2x 1,..., 2x n+1 ) ei ole nolla, ellei ole (x 1,..., x n+1 ) = (0,..., 0), siten erityisesti f(p) 0 kun p f 1 (1). [Huomaa, että määritelmän perusteella vektori (p, v) R n+1 p on nolla, jos v = 0; joten (x 1,..., x n+1, 2x 1,..., 2x n+1 ) = 0 ja siitä seuraa, että 2x 1 = = 2x n+1 = 0, joten (x 1,..., x n+1 ) = 0.] Kun n = 1, yksikköpallon kuori S 1 on yksikköympyrä. Esimerkki 1.3. Kun 0 (a 1,..., a n+1 ) R n+1 ja b R, n-taso a 1 x 1 + + a n+1 x n+1 = b on tasa-arvojoukko f 1 (b) missä f(x 1,..., x n+1 ) = a 1 x 1 + + a n+1 x n+1. Se on n-pinta jokaiselle b R, koska f(x 1,..., x n+1 ) = (x 1,..., x n+1, a 1,..., a n+1 ) ei ole koskaan nolla. Tavallisesti 1-tasoa kutsutaan suoraksi avaruudessa R 2, 2-tasoa kutsutaan yleensä yksinkertaisesti tasoksi avaruudessa R 3, ja n-tasoa, kun n > 2, kutsutaan joskus hypertasoksi avaruudessa R n+1. Kaksi eri b:n arvoa samalla (a 1,..., a n+1 ):n arvolla määrittävät yhdensuuntaiset n-tasot. 11

Esimerkki 1.4. Olkoon f: U R sileä funktio joukossa U, U on avoin joukko avaruudessa R n. Funktion f kuvaaja kuvaaja(f) = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 : x n+1 = f(x 1,..., x n )} on n-pinta avaruudessa R n+1 koska kuvaaja (f) = g 1 (0), missä g(x 1,..., x n+1 ) = x n+1 f(x 1,..., x n ) ja g(x 1,..., x n+1 ) = (x 1,..., x n+1, f/ x 1,..., f/ x n, 1) ei ole koskaan nolla. Esimerkki 1.5. Olkoon S (n 1)-pinta avaruudessa R n. Olkoon S = f 1 (c), missä f: U R (U on avoin joukko avaruudessa R n ) on sellainen, että f(p) 0 kaikille p f 1 (c). Määritellään g: U 1 R, missä U 1 = U R = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 : (x 1,..., x n ) U} g(x 1,..., x n+1 ) = f(x 1,..., x n ). Tällöin g 1 (c) on npinta avaruudessa R n koska g(x 1,..., x n+1 ) = (x 1,..., x n+1, f x 1,..., f x n, 0) ja f/ x 1,..., f/ x n ei voi olla samanaikaisesti nolla, kun g(x 1,..., x n+1 ) = f(x 1,..., x n ) = c koska f(x 1,..., x n ) 0 aina kun (x 1,..., x n ) f 1 (c). Tällainen n-pinta g 1 (c) on nimeltään lieriö pinnan S yli. Esimerkki 1.6. Olkoon C käyrä avaruudessa R 2, joka sijaitsee x 1 -akselin yläpuolella. Näin ollen C=f 1 (c) jollekin f: U R, jossa f(p) 0 kaikille p C, missä U sisältyy ylempään puolitasoon x 2 > 0. Määritellään S=g 1 (c), missä g: U R R on g(x 1, x 2, x 3 ) = f(x 1, (x 2 2 + x 2 3) 1/2 ). Tällöin S on 2-pinta. Jokainen piste p = (a, b) C generoi ympyrän pinnan S pisteistä, eli ympyrän tasossa x 1 = a koostuen sellaisista pisteistä (x 1, x 2, x 3 ) R 3, että x 1 = a, x 2 2 + x 2 3 = b 2. Pintaa S kutsutaan pyörähdyspinnaksi, joka saadaan kiertämällä käyrä C x 1 -akselin ympäri. Lause 1.3. Olkoon S n-pinta avaruudessa R n+1, S=f 1 (c) missä f : U R on sellainen, että f(q) 0 kaikille q S. Oletetaan, että g: U R on sileä funktio ja p S on funktion g ääriarvopiste pinnalla S; toisin sanoen joko g(q) g(p) kaikille q S tai g(q) g(p) kaikille q S. Silloin on olemassa sellainen reaaliluku λ, että g(p) = λ f(p). (Reaalilukua λ kutsutaan Lagrangen kertoimeksi.) 12

Todistus. Tangenttiavaruus pinnalle S pisteessä p on S p = [ f(p)]. Siksi Sp on gradientin f(p) virittämä 1-ulotteinen avaruuden R n+1 p aliavaruus. Tästä seuraa siis, että g(p) = λ f(p) jollekin λ R, jos (ja vain jos) g(p) Sp ; toisin sanoen jos (ja vain jos) g(p) v = 0 kaikille v S p. Mutta jokainen v S p on muotoa v = α(t 0 ) jollekin parametrisoidulle käyrälle α: I S ja t 0 I jossa α(t 0 ) = p. Koska p = α(t 0 ) on funktion g ääriarvopiste pinnalla S, t 0 on yhdistelmäfunktion g α ääriarvopiste välillä I. Siten 0 = (g α) (t 0 ) = g(α(t 0 )) α(t 0 ) = g(p) v kaikille v S p, ja niin g(p) = λ f(p) jollekin λ, kuten vaadittiin. Huomautus. Jos S on kompakti (suljettu ja rajoitettu) niin jokainen sileä funktio g: U R saavuttaa siinä maksiminsa ja miniminsä. Edellä olevaa lausetta voi siten käyttää paikantamaan ehdokkaita näiksi ääriarvopisteiksi. Jos S ei ole kompakti, ääriarvopisteitä ei välttämättä ole. Esimerkki 1.7. Olkoon S yksikköympyrä x 2 1 + x 2 2 = 1 ja määritellään g: R 2 R, g(x 1, x 2 ) = ax 2 1+2bx 1 x 2 +cx 2 2, missä a, b, c R. Tällöin S = f 1 (c), missä f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x 2 2, f(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2, 2x 1, 2x 2 ), ja g(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2, 2ax 1 + 2bx 2, 2bx 1 + 2cx 2 ), joten g(p) = λ f(p) jollekin p = (x 1, x 2 ) S jos ja vain jos { 2ax1 + 2bx 2 = 2λx 1 2bx 1 + 2cx 2 = 2λx 2 tai ( ) ( ) a b x1 = λ b c x 2 ( x1 Siten funktion g ääriarvopisteet yksikköympyrällä S ovat symmetrisen matriisin ( a ) b b c ominaisvektoreita. On huomattava, että jos tämän symmetrisen matriisin ominaisvektori on ) ( x1 x 2 ). x 2 13

silloin ax 2 1 + 2bx 1 x 2 + cx 2 2 = ( ) ( ) ( ) a b x1 x 1 x 2 b c x 2 = ( ( ) ) x1 x 1 x 2 λ = λ(x 2 1 + x 2 x 2 2) = λ joten ominaisarvo λ on vain g(p), missä p = (x 1, x 2 ). Koska 2 2 matriisilla on vain kaksi ominaisarvoa, nämä ominaisarvot ovat funktion g maksimi- ja minimiarvot kompaktissa joukossa S. 1.5 Vektorikentät pinnoilla; Suunnistus Vektorikenttä X n-pinnalla S R n+1 on funktio, joka antaa jokaiselle pinnan S pisteelle p vektorin X(p) R n+1 p pisteessä p. Jos X(p) on pinnan S tangentti (eli X(p) S p ) kullekin p S, vektorikentän X sanotaan olevan pinnan S tangenttivektorikenttä. Jos X(p) on kohtisuorassa pintaa S vastaan (toisin sanoen X(p) Sp ) kullekin p S, vektorikentän X sanotaan olevan pinnan S normaalivektorikenttä. Tässä käsiteltävät funktiot ja vektorikentät ovat lähes yksinomaan sileitä. Funktio g: S R k, missä S on n-pinta avaruudessa R n+1 on sileä jos se on sileän funktion g: V R k rajoittuma pinnalle S määriteltynä jollekin avoimelle joukolle V avaruudessa R n+1 sisältäen pinnan S. Vastaavasti vektorikenttä X pinnalla S on sileä, jos se on sileän vektorikentän rajoittuma pinnalle S määriteltynä jollekin avoimelle joukolle, joka sisältää pinnan S. Siten X on sileä, jos ja vain jos X: S R n+1 on sileä, missä X(p) = (p, X(p)) kaikille p S. Seuraava lause liittyy luvun (1.2) n-pintoihin ja lauseeseen (1.1) integraalikäyrien olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä. Lause 1.4. Olkoon S n-pinta avaruudessa R n+1, olkoon X sileä tangenttivektorikenttä pinnalla S, ja olkoon p S. Tällöin on olemassa avoin väli I sisältäen luvun 0 ja parametrisoidun käyrän α: I S, jolle (i) α(0) = p (ii) α(t) = X(α(t))kaikille t I (iii) Jos β : Ĩ S on mikä tahansa muu parametrisoitu käyrä pinnalla S, joka täyttää ehdot (i) ja (ii), niin Ĩ Ija β(t) = α(t) kaikille t Ĩ. 14

Parametrisoituä käyrää α: I S, joka täyttää ehdon (ii), kutsutaan tangenttivektorikentän X integraalikäyräksi. Yksikäsitteinen α, joka täyttää ehdot (i) - (iii) on vektorikentän X maksimi-integraalikäyrä pisteen p S kautta. Todistus. Koska X on sileä, on olemassa avoin joukko V, joka sisältää pinnan S ja sileän vektorikentän X joukossa V, jolle X(q) = X(q) kaikille q S. Olkoon f: U R ja c R sellaisia, että S = f 1 (c) ja f(q) 0 kaikille q S. Olkoon W = {q U V : f(q) 0}. Silloin W on avoin joukko, joka sisältää pinnan S, ja sekä X että f ovat määriteltyjä joukossa W. Olkoon Y vektorikenttä joukossa W, joka on kaikkialla tangentteina funktion f tasa-arvojoukoille. Vektorikenttä Y määritellään kaavalla Y(q) = X(q) ( X(q) f(q)/ f(q) 2 ) f(q). Huomaa, että Y(q) = X(q) kaikille q S. Olkoon α: I W vektorikentän Y maksimi-integraalikäyrä pisteen p kautta. Tällöin α itseasiassa kuvaa välin I pinnalle S, koska (f α) (t) = f(α(t)) α(t) = f(α(t)) Y(α(t)) = 0, ja f α(0) = f(p) = c, joten f α(t) = c kaikille t I. Ehdot (i) ja (ii) selvästi täyttyvät, ja myös ehto (iii) täyttyy, koska mikä tahansa β: Ĩ S, joka täyttää ehdot (i) ja (ii) on myös vektorikentän Y integraalikäyrä joukossa W ja väite seuraa luvun 1.2 lauseesta 1.1. Seuraus 1.5. Olkoon S = f 1 (c) n-pinta avaruudessa R n+1 missä f : U R on sellainen, että f(q) 0 kaikille q S, ja olkoon X sileä vektorikenttä U jonka rajoittuma pinnalle S on tangenttivektorikenttä pinnalla S. Jos α: I U on mikä tahansa sellainen vektorikentän X integraalikäyrä, että α(t 0 ) S jollekin t 0 I, silloin α(t) S kaikille t I. Todistus. Oletetaan, että α(t) / S jollekin t I, t > t 0. Olkoon t 1 joukon {t I : t > t 0 ja α(t) / S} suurin alaraja. Tällöin f(α(t)) = c kun t 0 t < t 1 joten, jatkuvuuden perusteella, f(α(t 1 )) = c; eli α(t 1 ) S. Olkoon β: Ĩ S pisteen α(t 1) kautta kulkeva integraalikäyrä vektorikentän X rajoittamalle pinnalle S. Tällöin β on myös vektorikentän X integraalikäyrä (β(0) = α(t 1 )), kuten on käyrä α, joka on määritelty α(t) = α(t + t 1 ). Lauseen 1.4 mukaan α(t) = α(t 15

t 1 ) = β(t t 1 ) S kaikille t, joille t t 1 on on käyrien α ja β yhteisessä määrittelyjoukossa. Mutta tämä on ristiriidassa sen kanssa, että α(t) / S t:n arvoille mielivaltaisen lähellä arvoa t 1. Näin ollen α(t) S kaikille t I kun t > t 0. Oletetaan sitten, että α(t) / S jollekin t I, t < t 0. Olkoon t 2 joukon {t I : t < t 0 ja α(t) / S} pienin yläraja. Tällöin f(α(t)) = c kun t 2 < t t 0 joten, jatkuvuuden perusteella, f(α(t 2 )) = c; eli α(t 2 ) S. Olkoon β: Ĩ S pisteen α(t 2) kautta kulkeva integraalikäyrä vektorikentän X rajoittamalle pinnalle S. Tällöin β on myös vektorikentän X integraalikäyrä (β(0) = α(t 2 )), kuten on käyrä α, joka on määritelty α(t) = α(t + t 2 ). Lauseen 1.4 mukaan α(t) = α(t t 2 ) = β(t t 2 ) S kaikille t, joille t t 2 on on käyrien α ja β yhteisessä määrittelyjoukossa. Mutta tämä on ristiriidassa sen kanssa, että α(t) / S t:n arvoille mielivaltaisen lähellä arvoa t 2. Näin ollen α(t) S kaikille t I kun t < t 0. Avaruuden R n+1 osajoukon S sanotaan olevan polkuyhtenäinen, jos jokaiselle joukon S pisteparille p, q on olemassa jatkuva kuvaus α: [a, b] S joltakin suljetulta väliltä [a, b], jolle α(a) = p ja α(b) = q. Näin ollen S on yhtenäinen, jos jokainen joukon S pistepari voidaan yhdistää jatkuvalla, mutta ei välttämättä sileällä käyrällä, joka sijaitsee kokonaan joukossa S. Esimerkiksi n-pallo on yhtenäinen jos ja vain jos n 1. Voidaan todistaa (Thorpe 1979, s. 131), että jos otetaan mikä tahansa n- pinta S ja mikä tahansa piste p S, niin joukon S osajoukko, joka koostuu kaikista joukon S pisteistä, jotka voidaan yhdistää pisteeseen p jatkuvalla joukon S käyrällä, on itse n-pinta, ja se on yhtenäinen. Siksi joukkoa S voi tutkia tarkastelemalla erikseen jokaista joukon S yhtenäistä komponenttia. Lause 1.6. Olkoon S R n+1 yhtenäinen n-pinta avaruudessa R n+1. Tällöin joukossa S on olemassa tarkalleen kaksi sileää yksikkönormaalivektorikenttää N 1 ja N 2, ja N 2 (p) = N 1 (p) kaikille p S. Todistus. Olkoot f: U R ja c R sellaisia, että S = f 1 (c) ja f(p) 0 kaikille p S. Tällöin vektorikenttä N 1 joukossa S määritellään N 1 (p) = f(p) f(p), p S ja sillä selvästi on tarvittavat ominaisuudet, kuten on myös vektorikentällä N 2, joka määritellään N 2 (p) = N 1 (p) kaikille p S. 16

Osoittaaksemme, että nämä kaksi ovat ainoat tällaiset vektorikentät, oletetaan N 3 olisi vielä yksi tällainen vektorikenttä. Tällöin, kullekin p S, vektorikentän N 3 (p) on oltava vektorikentän N 1 (p) monikerta, sillä molemmat sijaitsevat 1-ulotteisessa aliavaruudessa Sp R n+1 p. Täten N 3 (p) = g(p)n 1 (p) missä g: S R on sileä funktio joukossa S (g(p) = N 3 (p) N 1 (p) kun p S). Koska N 1 (p) ja N 3 (p) ovat molemmat yksikkövektoreita, g(p) = ±1 kullekin p S. Lopuksi, koska g on sileä ja S on yhtenäinen, funktion g on oltava vakio joukossa S. Siten joko N 3 = N 1 tai N 3 = N 2. Sileää yksikkönormaalivektorikenttää n-pinnalla S avaruudessa R n+1 kutsutaan suunnistukseksi pinnalla S. Juuri äsken todistetun lauseen 1.6 mukaan jokaisella yhtenäisellä n-pinnalla avaruudessa R n+1 on täsmälleen kaksi suunnistusta. Tällaista n-pintaa yhdessä suunnistuksen valinnan kanssa kutsutaan suunnatuksi n-pinnaksi. Huomautus. Avaruudessa R n+1 on osajoukkoja, jotka vaikuttavat n-pinnoilta, mutta joissa ei kuitenkaan ole suunnistuksia. Voidaan todistaa (Amann & Escher 2009, s. 329-330), että Möbiuksen nauha on yksi esimerkki tällaisesta ei suunnistuvasta pinnasta. Möbiuksen nauha B on avaruuden R 3 pinta, joka voidaan luoda helposti ottamalla suorakulmainen paperinauha, kiertämällä sen toinen pää 180 ympäri ja teippaamalla päät yhteen. Se että Möbiuksen nauhassa B ei ole sileää yksikkönormaalivektorikenttää voidaan todeta laittamalla yksikkönormaalivektori johonkin kohtaan nauhan keskiympyrällä ja yrittämällä laajentaa vektorikenttää yksikkönormaalivektorikentäksi kulkemalla ympyrää pitkin. Yhden kierroksen nauhan ympäri kierrettyään voi huomata, että normaali vektori osoittaa vastakkaiseen suuntaan! Koska ei ole olemassa sileää yksikkönormaalivektorikenttää joukossa B, joukkoa B ei voi pitää jonkun sileän funktion f: U R tasa-arvojoukkona f 1 (c) missä olisi f(p) 0 kaikille p S. Näin ollen B ei ole määritelmämme muikainen 2-pinta. Joukko B on esimerkki ei-suunnistuvasta 2-pinnasta. Yksikkövektoria avaruudessa R n+1 p (p R n+1 ) kutsutaan suunnaksi pisteessä p. Siten suunnistus n-pinnalla S avaruudessa R n+1 on määritelmän mukaisesti sileä normaalin suunta jokaisessa pinnan S pisteessä. Tasokäyrällä suunnistusta voidaan hyödyntää määrittämään tangentin suunta jokaisessa käyrän pisteessä. Positiivinen tangentin suunta pisteessä p suunnatulta tasokäyrältä C on suunta, joka on saadaan kiertämällä suunnistuksen normaalin suunta pisteessä p kulman π/2, jossa positiivinen kiertosuunta on vastapäivään. 17

Avaruuden R 3 2-pinnalla suunnistusta voidaan käyttää määrittämään pyörimissuunta tangenttiavaruudessa pinnan jokaisessa pisteessä. Kun θ R, positiivinen θ-kierto suunnatun 2-pinnan S pisteessä p on lineaarimuunnos R θ : S p S p joka määritellään R θ (v) = (cos θ)v+(sin θ)n(p) v, missä N(p) on suunnistuksen normaalisuunta pisteessä p. Lineaarimuunnosta R θ kuvataan yleensä oikeakätiseksi kiertymiseksi normaalisuunnan N(p) ympäri kulman θ verran. Avaruuden R 4 3-pinnalla suunnistusta voidaan käyttää määrittämään tuntuma kätisyydestä tangenttiavaruudessa pinnan jokaisessa pisteessä. Jos S on suunnattu 3-pinta ja piste p S, järjestetty tangenttiavaruuden S p ortonormaali kanta {e 1, e 2, e 3 } pinnalle S pisteessä p sanotaan olevan oikeakätinen jos determinantti det e 1 e 2 e 3 N(p) on positiivinen, missä N(p) = (p, N(p)) on suunnistuksen normaalisuunta pisteessä p ja e i = (p, e i ) kun i {1, 2, 3}. Kannan sanotaan olevan vasenkätinen jos determinantti on negatiivinen. Avaruuden R n+1 (n mielivaltainen) n-pinnalla suunnistusta voidaan käyttää jakamaan kaikkien järjestettyjen kantojen kokoelma jokaiselle tangenttiavaruudelle kahteen osajoukkoon, niihin, jotka ovat yhdenmukaisia suunnistuksen kanssa ja niihin, jotka ovat ristiriidassa suunnistuksen kanssa. Järjestetty kanta {v 1,..., v n } (ei välttämättä ortonormaali) tangenttiavaruudelle S p suunnatun n-pinnan S pisteessä p sanotaan olevan yhteensopiva suunistuksen N kanssa pinnalla S, jos determinantti det v 1 v n N(p) on positiivinen; kanta on ristiriidassa suunnistuksen N kanssa, jos determinantti on negatiivinen. Tässä, kuten tavallista, v i = (p, v i ) ja N(p) = (p, N(p)). 18

2 Gaussin kuvaus Suunnattu n-pinta avaruudessa R n+1 on muutakin kuin vain n-pinta S, se on n-pinta S yhdessä sileän yksikkönormaalivektorikentän N kanssa pinnalla S. Funktio N: S R n+1 liitettynä vektorikenttään N yhtälöllä N(p) = (p, N(p)), p S, itse asiassa kuvaa pinnan S yksikköpallolle S n R n+1, sillä N(p) = 1 kaikille p S. Siten jokaiseen suunnattuun n-pintaan S liittyy sileä kuvaus N: S S n, jota kutsutaan Gaussin kuvaukseksi. Kuvaus N voidaan ajatella kuvauksena, joka määrää jokaiselle pisteelle p S pisteen avaruudessa R n+1 joka on saatu kääntämällä yksikkönormaalivektori N(p) origoon. Gaussin kuvauksen kuvaa N(S) = {q S n : q = N(p) jollekin p S} kutsutaan suunnatun n-pinnan S pallokuvaksi. Suunnatun n-pinnan S pallokuva sisältää joukon suuntia, jotka esintyvät normaalisuuntina pinnalle S. Siitä johtuen sen koko on mitta siitä, kuinka paljon pinta kaareutuu avaruudessa R n+1. Pallokuva n-tasolle, joka ei kaareudu ollenkaan, on yksi piste. Jos n-pinta on kompakti (suljettu ja rajoitettu) sen täytyy kaareutua kokonaan ympäri: pallokuva on silloin koko S n. Lause 2.1. Olkoon S kompakti yhtenäinen suunnattu n-pinta avaruudessa R n+1 esitettynä sileän funktion f : R n+1 R (missä f(p) 0 kaikille p S) tasa-arvokäyränä f 1 (c). Tällöin N(S) = S n. Todistus. Todistuksen idea on seuraava. Kun v S n, ajatellaan että n-taso on v. Siirtämällä tämä n-taso riittävän kauas v-suuntaan, sillä on nolla leikkauspistettä pinnan S kanssa. Siiretään n-tasoa sitten takaisin päin, kunnes se koskettaa juuri ja juuri pintaa S jossain pisteessä p. Tällöin se toimii tangenttina. Näin ollen tässä pisteessä N(p) = ± v. Jos N(p) = v, niin N(q) = v, missä q on saatu samalla tavalla, liikuttamalla n-tasoa vastakkaisesta suunnasta. Yksityiskohtaisemmin, ajatellaan, että funktio g: R n+1 R määritellään g(p) = p v eli g(x 1,..., x n+1 ) = a 1 x 1 + + a n+1 x n+1, missä v = (a 1,..., a n+1 ). Funktion g tasa-arvojoukot ovat tason v kanssa yhdensuuntaisia n-tasoja. Koska S on kompakti, funktion g rajoittuma pinnalle S saavuttaa maksiminsa ja miniminsä pisteissä p ja q. Lagrangen kerroinlauseen 1.3 mukaan (p, v) = g(p) = λ f(p) = λ f(p) N(p) 19

jollekin λ R. Näin ollen v ja N(p) ovat toistensa kerrannaisia. Koska molemmilla on yksikköpituus, tästä seuraa, että N(p) = ± v. Vastaavasti N(q) = ± v. Pitää vielä varmistaa, että N(q) N(p). Oletetaan, että N(q) = N(p). Tätä varten riittää konstruoida jatkuva funktio α: [a, b ] R n+1, joka on derivoituva sellaisissa pisteissä a ja b, että (i) α(a) = p, α(b) = q, α(a) = (p, v), α(b) = (q, v), ja (ii) α(t) / S kun a < t < b. Tällöin (i):n mukaan, jos N = f/ f, ja vastaavasti (f α) (a) = f(α(a)) α(a) = f(p) N(p) (p, v) = f(p) N(p) v (f α) (b) = f(α(b)) α(b) = f(q) N(q) (q, v) = f(q) N(q) v joten derivaatalla (f α) on sama merkki molemmissa päätepisteissä. Jos N = f/ f, sama toteamus pätee. Näin ollen, jos N(p) olisi yhtä kuin N(q) (= ±v) niin f α olisi joko kasvava molemmissa päätepisteissä tai vähenevä molemmissa päätepisteissä. Koska f α(a) = f α(b) = c, tämä merkitsisi, että on olemassa t 1 ja t 2 pisteiden a ja b välillä, missä f α(t 1 ) > c ja f α(t 2 ) < c. Mutta silloin jatkuvien funktioden väliarvolauseen mukaan olisi olemassa sellainen piste t 3 pisteiden t 1 ja t 2 välissä, että f α(t 3 ) = c, joka on ristiriidassa ehdon (ii) kanssa. Konstruoidaksemme funktion α, suljetaan S suuren pallon S 1 sisälle. Tämä on mahdollista, koska S on kompakti. Asetetaan α 1 (t) = p + tv (0 t a 1 ), missä a 1 on sellainen, että α 1 (a 1 ) S 1 ja asetetaan α 2 (t) = q tv (0 t a 2 ), missä a 2 on sellainen, että α 2 (a 2 ) S 1. Olkoon α 3 : [b 1, b 2 ] S 1 sellainen, että α 3 (b 1 ) = α 1 (a 1 ) ja α 3 (b 2 ) = α 2 (a 2 ). Tällainen α 3 on olemassa, koska n- pallo S 1 on yhtenäinen kun n 1. Tällöin funktiolla α, joka määritellään α 1 (t) (0 t a 1 ) α α(t) = 3 (t + b 1 a 1 ) (a 1 t a 1 + b 2 b 1 ) α 2 (a 1 + a 2 + b 2 b 1 t) (a 1 + b 2 b 1 t a 1 + a 2 + b 2 b 1 ), 20

on vaaditut ominaisuudet, missä a = 0, b = a 1 + a 2 + b 2 b 1. Koska α 1 (t) ja α 2 (t) ovat jatkuvia (kummassakin on t kertaa vektori) ja α 3 (t) on oletuksen mukaan jatkuva sekä lisäksi kohdassa a 1 α 1 (a 1 ) = p + a 1 v = α 3 (a 1 + b 1 a 1 ) = α 3 (b 1 ) ja kohdassa a 1 + b 2 b 1 α 3 ((a 1 + b 2 b 1 ) + b 1 a 1 ) = α 3 (b 2 ) = α 2 (a 1 + a 2 + b 2 b 1 (a 1 + b 2 b 1 )) = α 2 (a 2 ), niin funktio α on jatkuva. Ehto (i) toteutuu, koska α(a) = α(0) = p + (0)v = p, α(b) = α(a 1 + a 2 + b 2 b 1 ) = q (0)v = q, α(a) = (p, v) (koska α 1 (t) = v) ja β(a) = (q, v) (koska α 1 (t) = q) ja ehto (ii) toteutuu, koska (1) α 1 (t) / S kun t > 0 koska (g α 1 ) (t) = g(α 1 (t)) α 1 (t) = v v > 0 joten g kasvaa funktion α 1 mukana, ja funktion g maksimiarvo joukossa S saavutetaan pisteessä α 1 (0) = p; (2) α 2 (t) / S kun t > 0 koska (g α 2 ) (t) = v ( v) < 0 joten g kasvaa funktion α 2 mukana, ja funktion g minimiarvo joukossa S saavutetaan pisteessä α 2 (0) = q; ja (3) α 3 (t) / S kun t [b 1, b 2 ] sillä α 3 (t) S 1 ja S 1 S = Ø. 21

3 Geodeesit Geodeesit ovat käyriä n-pinnoilla, jotka vastaavat samaa kuin suorat avaruudessa R n. Ennen täsmällisen määritelmän muotoilemista täytyy määritellä parametrisoituja käyriä pitkin määriteltyjen vektorikenttien ja funktioiden derivointi. Jotta voidaan sallia tällaisten vektorikenttien ja funktioiden saada eri arvoja pisteessä, jossa parametrisotu käyrä ylittää itsensä, on kätevää pitää näitä kenttiä ja funktioita määriteltyinä ennemmin parametrivälillä kuin käyrän kuvalla. Vektorikenttä X parametrisoitua käyrää α: I R n+1 pitkin on funktio, joka määrää jokaiselle t I vektorin X(t) käyrälle α(t) eli X(t) R n+1 α(t) kaikille t I. Funktio f käyrää α pitkin on funktio f: I R. Näin ollen esimerkiksi parametrisoidun käyrän α: I R n+1 nopeus α on vektorikenttä käyrää α pitkin. Sen pituus α : I R, joka määritellään α (t)= α(t) kaikille t I on funktio käyrää α pitkin. Itseisarvoa α kutsutaan käyrän α vauhdiksi. Vektorikentät ja funktiot parametrisoituja käyriä pitkin ovat usein rajoittumia. Näin ollen jos X on vektorikenttä joukossa U, joka on avoin avaruuden R n+1 osajoukko sisältäen käyrän α kuvan, niin X α on vektorikenttä käyrää α pitkin. Vastaavasti f α on funktio käyrää α pitkin aina kun f: U R, missä U α(i). Jokainen vektorikenttä X käyrää α pitkin on muotoa X(t) = (α(t), X 1 (t),..., X n+1 (t)), missä jokainen komponentti X i on funktio käyrää α pitkin. X on sileä jos jokainen X i : I R on sileä. Sileän vektorikentän X derivaatta käyrää α pitkin on vektorikenttä Ẋ, jonka määritelmä (käyrää α pitkin) on Ẋ(t) = (α(t), dx 1 dt (t),..., dx n+1 (t)). dt Ẋ(t) mittaa vektorin X osan (X 1 (t),..., X n+1 (t)) muutoksen suuruutta. Näin ollen esimerkiksi parametrisoidun käyrän α kiihtyvyys α on vektorikenttä käyrää α pitkin, ja se saadaan derivoimalla nopeuskenttä α. On helppo tarkistaa, että vektorikenttien derivoinnilla parametrisoituja käyriä pitkin on seuraavat ominaisuudet. Kun X ja Y ovat sileitä vektorikenttiä parametrisoitua käyrää α: I R n+1 pitkin ja f on sileä funktio käyrää α 22

pitkin, (i) (X + Y) = Ẋ + Ẏ (ii) (fx) = f X + fẋ (iii) (X Y) = Ẋ Y + X Ẏ missä X + Y, fx ja X Y käyrää α pitkin määritellään (X + Y)(t) = X(t) + Y(t) (fx)(t) = f(t)x(t) (X Y)(t) = X(t) Y(t) kaikille t I. Esimerkiksi seuraava laskutoimitus todistaa oikeaksi kohdan (i): (X + Y) = ( (α, X 1,..., X n+1 ) + (α, Y 1,..., Y n+1 ) ) = ( α, X 1 + Y 1,..., X n+1 + Y n+1 ),..., d(x n+1 + Y n+1 )) dt = ( α, d(x 1 + Y 1 ) dt = ( α, dx 1 dt,..., dx n+1 dt = Ẋ + Ẏ. ) ( dy 1 + α, dt,..., dy n+1 dt ) Geodeesi n-pinnalla S R n+1 on parametrisoitu käyrä α: I S, jonka kiihtyvyys on kaikkialla kohtisuorassa pintaa S vastaan; siis α(t) S α(t) kaikille t I. Näin ollen geodeesi pinnalla S on käyrä, joka kulkee aina pinnalla suoraan eteenpäin. Sen kiihtyvyyden tarkoituksena on vain pitää se pinnalla. Sillä ei ole kiihtyvyyden tangenttikomponenttia pinnalle. Huomaa, että geodeeseilla on vakio nopeus, koska siitä, että α(t) S α(t) ja α(t) Sα(t) kaikille t I seuraa d dt α(t) 2 = d ( α(t) α(t)) = 2 α(t) α(t) = 0 dt Esimerkki 3.1. Jos n-pinta S sisältää suoran janan α(t) = p + tv (t I) niin silloin tämä jana on geodeesi pinnalla S. Todellakin α(t) = 0 kaikille t I joten erityisesti α(t) S α(t) kaikille t I. 23

Esimerkki 3.2. Jokaiselle a, b, c, d R parametrisoitu käyrä α(t) = (cos(at+ b), sin(at + b), ct + d) on geodeesi lieriöllä x 2 1 + x 2 2 = 1 avaruudessa R 3, koska α(t) = (α(t), a 2 cos(at + b), a 2 sin(at + b), 0) = ± a 2 N(α(t)) kaikille t R. Esimerkki 3.3. Jokaiselle parille ortogonaalisia yksikkövektoreita {e 1, e 2 } avaruudessa R 3 ja jokaiselle a R isoympyrä (tai piste jos a = 0) α(t) = (cos at)e 1 +(sin at)e 2 on geodeesi pallon kuorella S 2 = {x R 3 : x 2 1+x 2 2+x 2 3 = 1} avaruudessa R 3, koska α(t) = (α(t), a 2 α(t)) = ± a 2 N(α(t)) kaikille t R. Intuitiivisesti näyttää selvältä, että missä tahansa pinnan S pisteessä p, millä tahansa alkunopeudella v (v S p ) on olemassa geodeesi pinnalla S, joka kulkee pisteen p kautta alkunopeudella v. Jos esimerkiksi muurahainen kulkee pinnalla S pisteen p kautta nopeudella v suoraan eteenpäin niin tällöin muurahainen tulee hahmotelleeksi geodeesin pinnalle S. Seuraava lause näyttää, että näin on ja, että geodeesi tällaisilla ominaisuuksilla on olennaisesti yksikäsitteinen. Lause 3.1. Olkoon S n-pinta avaruudessa R n+1, olkoon p S ja olkoon v S p. Tällöin on olemassa avoin väli I sisältäen luvun 0 ja geodeesi α: I S, jolle (i) α(0) = p ja α(0) = v. (ii) Jos β : Ĩ S on mikä tahansa muu geodeesi pinnalla S, jolle β(0) = p ja β(0) = v, tällöin Ĩ Ija β(t) = α(t) kaikille t Ĩ. Huomautus. Geodeesia α kutsutaan maksimigeodeesiksi pinnalla S kulkien pisteen p kautta alkunopeudella v. Todistus. Oletetaan, että S on sileä tasa-arvopinta S = f 1 (c) (c R) jollekin f: U R (U avoin avaruudessa R n+1 ), jolle f(p) 0 kaikille p S. Koska f(p) 0 kaikille p jossakin avoimessa joukossa, joka sisältää pinnan S, voimme olettaa (kutistamalla joukkoa U tarvittaessa), että f(p) 0 kaikille p U. Asetetaan N = f/ f. 24

Määritelmän mukaan parametrisoitu käyrä α: I S on pinnan S geodeesi jos ja vain jos sen kiihtyvyys on kaikkialla kohtisuorassa pintaa S vastaan eli jos ja vain jos on olemassa sellainen funktio g: I R, jolle α(t) = g(t)n(α(t)) kaikille t I. Ottamalla pistetulo tämän yhtälön molemmilta puolilta saadaan g = α N α = ( α N α) α (N α) = α (N α), sillä α N α = 0. Näin ollen α: I S on geodeesi jos ja vain jos se toteuttaa dierentiaaliyhtälön α + ( α (N α) )(N α) = 0. (1) (Koska niin ( (N α) ) α (N α) = j = n+1 n+1 j=1 k=1 dx j dt N j x k dx k dt, n+1 k=1 N j x k dx k dt, joten jos merkitsemme α(t) = (x 1 (t),..., x n+1 (t)), tästä vektoridierentiaaliyhtälöstä tulee toisen kertaluvun dierentiaaliyhtälöryhmä d 2 x i dt + n+1 2 j, k=1 N i (x 1,..., x n+1 ) N j (x 1,..., x n+1 ) dx j dx k x k dt dt = 0, missä N j :t (j {1,..., n+1}) ovat vektorikentän N komponentit.) Tällaisten dierentiaaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaololauseen mukaan on olemassa avoin väli I 1 nollan ympäristössä ja tämän dierentiaaliyhtälön ratkaisu β 1 : I 1 U, joka täyttää alkuehdot β 1 (0) = p ja β 1 (0) = v (eli täyttää ehdot x i (0) = p i ja (dx i /dt)(0) = v i kun i {1,..., n + 1}, missä p = (p 1,..., p n+1 ) ja v = (p, v 1,..., v n+1 )). Lisäksi tämä ratkaisu on ainoa siinä mielessä, että jos β 2 : I 2 U on yhtälön (1) toinen ratkaisu, missä β 2 (0) = p ja β 2 (0) = v, niin tällöin β 1 (t) = β 2 (t) kaikille t I 1 I 2. Tästä seuraa, että on olemassa maksimaalinen avoin väli I (I on yhtälön (1) kaikkien ratkaisujen määrittelyjoukkojen unioni, joka kuvaa luvun 0 piteeseen p ja jolla on alkunopeus 25

v) ja yksikäsitteinen yhtälön (1) ratkaisu α: I U, joka toteuttaa ehdot α(0) = p ja α(0) = v. Lisäksi jos β: Ĩ U on jokin yhtälön (1) ratkaisu, missä β(0) = p ja β(0) = v niin silloin Ĩ I ja β on käyrän α rajoittuma pienemmälle välille Ĩ. Suorittaaksemme todistuksen loppuun täytyy vielä näyttää, että yhtälön (1) ratkaisu α on itse asiassa käyrä pinnalla S. Sillä jos näin on, sen on oltava geodeesi, koska se toteuttaa geodeesiyhtälön (1), ja loppuosa lauseesta seuraa edellä olevista yksikäsitteisyyslauseista. Nähdäksemme, että α on itse asiassa käyrä pinnalla S, on syytä huomata, että jokaiselle yhtälön (1) ratkaisulle α: I U, α N α = 0. Yhtälön (1) perusteella ( α N α) = α N α + α N α = 0, joten α N α on vakio käyrää α pitkin ja ( α N α)(0) = v N(p) = 0, sillä v S p ja N(p) S p. Tästä seuraa sitten, että (f α) (t) = f(α(t)) α(t) = f(α(t)) N(α(t)) α(t) = 0 kaikille t I, joten f α on vakio ja f(α(0)) = f(p) = c joten f(α(t)) = c kaikille t I. Siis α(i) f 1 (c) = S. Juuri todistetusta lauseesta 3.1 seuraa, että jokainen maksimaalinen geodeesi pallon kuorella S 2 avaruudessa R 3 (esimerkki 3.3) on joko isoympyrä (parametrisoitu vakionopeus parametrisaatiolla) tai vakio (α(t) = p kaikille t, jollekin p), koska sellainen käyrä voidaan löytää jokaisen pisteen p kautta millä tahansa annetulla alkunopeudella. Vastaavasti jokainen maksimaalinen geodeesi lieriössä x 2 1 + x 2 2 = 1 avaruudessa R 3 (esimerkki 3.2) on joko pystysuora viiva, vaakasuora ympyrä, spiraali tai vakio. 26

4 Yhdensuuntaissiirto Vektorikenttä X parametrisoitua käyrää α: I S pitkin n-pinnalla S on tangentti pinnalle S käyrää α pitkin jos X(t) S α(t) kaikille t I. Tällaisen vektorikentän derivaatta Ẋ ei kuitenkaan yleensä ole tangentti pinnalle S. Voimme kuitenkin saada vektorikentän tangentiksi pinnalle S projisoimalla Ẋ(t) kohtisuoraan pinnalle S α(t) jokaiselle t I. Tämä prosesessi, jossa ensin derivoidaan ja sitten projisoidaan pinnan S tangenttiavaruuteen, määrittelee toimituksen, joka vastaa ominaisuuksiltaan derivointia paitsi, että nyt pinnan S tangenttivektorikenttien derivoiminen tuottaa pinnan S tangenttivektorikentän. Tämän toimituksen nimi on kovariantti derivointi. Olkoon S n-pinta avaruudessa R n+1, olkoon α: I S parametrisoitu käyrä pinnalla S ja olkoon X pinnan S tangenttivektorikenttä käyrää α pitkin. Vektorikentän X kovariantti derivaatta on pinnan S tangenttivektorikenttä X käyrää α pitkin ja se määritellään kaavalla X (t) = Ẋ(t) [Ẋ(t) N(α(t))]N(α(t)), jossa N on suunnistus pinnalla S. On huomattava, että X (t) on riippumaton vektorikentän N valinnasta, sillä vektorikentän N korvaamisella vektorikentällä N ei ole mitään vaikutusta edellä olevaan kaavaan. On helppo tarkistaa, että kovariantilla derivoinnilla on seuraavat ominaisuudet: pinnan S sileille tangenttivektorikentille X ja Y parametrisoitua käyrää α: I S pitkin ja sileällä käyrällä α määritellylle sileälle funktiolle f (i) (X + Y) = X + Y (ii) (fx) = f X + fx (iii) (X Y) = X Y + X Y. Nämä ominaisuudet seuraavat suoraan vastaavista tavallisen derivoinnin ominaisuuksista. Esimerkiksi seuraava laskutoimitus osoittaa oikeaksi kohdan (iii): (X Y) = Ẋ Y + X Ẏ (Ẋ N α)n α Y X (Ẏ N α)n α = X Y + X Y, 27

sillä N on kohtisuorassa pintaa S vastaan ja X ja Y ovat pinnan S tangentteja. Kohdan (ii) puolestaan osoittaa oikeaksi laskutoimitus: missä (fx) = (fx) [(fx) N α]n α = f X + fẋ [(f X + fẋ) N α)]n α = f X [(f X) N α]n α + fẋ [(fẋ) N α)]n α, [(f X) N α] = 0, koska X on tangenttivektorikenttä ja määritelmän mukaan fẋ [(fẋ) N α)]n α = fx, joten (fx) = f X + fx. Intuitiivisesti kovariantti derivaatta X mittaa vektorikentän X muutosnopeutta käyrää α pitkin katsottuna pinnalta S (jättäen huomiotta pintaa S vastaan kohtisuoran komponentin Ẋ). On huomattava, että parametrisoitu käyrä α: I S on geodeesi pinnalla S jos ja vain jos sen kovariantti kiihtyvyys ( α) on nolla käyrää α pitkin. Kovariantti derivaatta johtaa luonnollisesti yhdensuuntaisuuden käsitteeseen n-pinnalla. Avaruudessa R n+1 vektoreiden v = (p, v) R n+1 p ja w = (q, w) R n+1 q sanotaan olevan euklidisesti yhdensuuntaisia jos v = w. Vektorikenttä X parametrisoitua käyrää α: I R n+1 pitkin on euklidisesti yhdensuuntainen jos X(t 1 ) = X(t 2 ) kaikille t 1, t 2 I, missä X(t) = (α(t), X(t)) kun t I. Näin ollen X on euklidisesti yhdensuuntainen käyrää α pitkin jos ja vain jos Ẋ = 0. Ajatellaan nyt, että on annettu n-pinta S avaruudessa R n+1 ja parametrisoitu käyrä α: I S. Tällöin pinnan S sileä tangenttivektorikenttä X käyrää α pitkin sanotaan olevan Levi-Civita-yhdensuuntainen tai pelkästään yhdensuuntainen, jos X = 0. Intuitiivisesti X on yhdensuuntainen käyrää α pitkin, jos X on vakio vektorikenttä käyrää α pitkin katsottuna pinnalta S. Levi-Civita-yhdensuuntaisuudella on seuraavat ominaisuudet: (i) Jos X on yhdensuuntainen käyrää α pitkin, niin vektorikentällä X on vakio pituus, sillä d dt X 2 = d dt (X X) = X X + X X = X X + X X = 2X X = 0. 28