Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä arvoa kun saa yhä suurempia ja suurempia arvoja. Esimerkki 1. Funktion 1/ raja-arvo äärettömyydessä on 0 eli 1/ = 0. 1/ tulee siis yhä lähemmäksi ja lähemmäksi nollaa kun saa yhä suurempia arvoja. Esimerkiksi jos > 1000, on (1/) enää alle yhden tuhannesosan päästä nollasta. Esimerkki 2. Funktiolla 2 ei ole raja-arvoa äärettömyydessä, sillä kun kasvaa rajatta, kasvaa myös 2 rajatta. Voidaan merkitä 2 =. Vaikka näin voidaan merkitä, kyseisellä funktiolla ei kuitenkaan ole rajaarvoa, sillä ei ole reaaliluku. Yllä olevissa esimerkeissä lähestyy ääretöntä, eli toisin sanottuna se saa yhä suurempia ja suurempia arvoja (kasvaa rajatta). voi lähestyä myös miinus ääretöntä, eli saada yhä pienempiä ja pienempiä arvoja. Tätä merkitään. Esimerkki 3. Funktion 1/ raja-arvo on nolla myös :n lähestyessä miinus ääretöntä; 1/ = 0 Esimerkki 4. 2 = ja 3 = Ratkaistaessa kyseisenlaisia raja-arvotehtäviä on oleellista huomata, että :n lähestyessä ääretöntä tai miinus ääretöntä termit, joilla on korkein potenssi hallitsevat. Jos vaikkapa funktiossa on osoittajassa termi 7, kasvaa tämä termi nopeammin ja saa suurempia arvoja :n kasvaessa rajatta kuin esimerkiksi termi 6. 1
Esimerkki 5. Laske raja-arvo 13 2 + 3 5 2 + 2 Kyseisen yhtälön osoittaja ja nimittäjä kannattaa aina jakaa kaikkein suurimman potenssin termillä, joka tässä on 2 : 13 2 + 3 5 2 + 2 = 13 + 3/ 5 + 2/. 2 Nyt :n lähestyessä ääretöntä termit 3/ ja 2/ 2 lähestyvät nollaa, joten ne voidaan sivuttaa kyseistä raja-arvoa laskiessa: 13 + 3/ 5 + 2/ = 13 2 5 = 13/5. Edellisen esimerkin tekniikka on tyypillinen raja-arvotehtävien ratkaisuissa, joten se kannatta sisäistää hyvin. Esimerkki 6. Laske raja-arvo 5 4 + 8 5 + 2 4 5 4 + 8 5 + 2 = 5 + 8/ 4 4 5/ 4 + 2 = 5/2 Kyseisen tyyppiset laskut tekee usein vaikeammiksi neliöjuurten tai muiden vastaavien termien olemassaolo. Näiden kanssa tulee toimi samalla tavalla eli etsien korkeimpia termejä. Esimerkki 7. Laske raja-arvo 2 + 1 2 + 1 = 2 (1 + 1/ 2 ) 1 + 1/ 2 = = 1 + 1/2 = 1. 2
Eli hyvä tekniikka neliöjuurten kanssa on ottaa korkeimman potenssin termi neliöjuuren sisässä yhteiseksi tekijäksi, ottaa se ulos neliöjuuresta, ja ratkaista. Esimerkki 8. Laske raja-arvo 4 + 3 + 2 + 5 + 6 2 2 = 4 + 3 + 2 + 5 + 6 2 1 + 1/ + 1/2 + 1/ 3 2 (5/ + 6) 2 Kuristusperiaate = 4 (1 + 1/ + 1/ 2 + 1/ 3 ) 2 (5/ + 6) 1 + 1/ + 1/2 + 1/ 3 = 5/ + 6 1 6 = 1/6. Kuristusperiaate on yksinkertainen periaate, jonka mukaan funktio, joka on kahden muun funktion välissä, eli g 1 () f() g 2 (), saa raja-arvon, joka on näiden kahden funktion raja arvon välissä, eli Tässä 0 voi olla myös tai. Esimerkki 9. Laske raja-arvo 0 g 1 () 0 f() 0 g 2 (). f(), kun 4 + 3 f() 1/3 3 4 Eli 1/3. 4 + 3 f() 1/3 3 4 4 + 3 f() 3 4 1/3 1/3 f() 1/3. 3
3 Jatkuvuudesta Funktio f() on jatkuva pisteessä 0, jos 0 + f( 0 ) eli f on jatkuva pisteessä 0 jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa, ja tämä raja on sama kuin funktion arvo pisteessä 0. Funktio on jatkuva jos se on jatkuva jokaisessa lähtöjoukkonsa pisteessä. Esimerkki 10. Funktio { + a kun 0 + 2 kun < 0 on jatkuva jos ja vain jos sen kummankin puoleiset raja-arvot ovat samat pisteessä = 0. Lisäksi vaaditaan että f:n arvo tässä pisteesä on sama kuin kyseinen raja-arvo. Huomataan että 0 0 ( + 2) = 2 ja 0+ 0+ ( + a) = a. Täten funktion jatkuvuus vaatii, että a = 2. Selvästi myös f(0) = a = 2, joten funktio { + a kun 0 + 2 kun < 0 on jatkuva jos ja vain jos a = 2. Kyseinen funktio kannatta piirtää eri a:n arvoilla. Esimerkki 11. Millä a:n arvolla funktio { 2 + a kun 2 3 + 137 kun < 2 on jatkuva? Jatkuvuus vaatii jälleen, että 2 2+ f(2), sillä muilla :n arvoilla kyseinen funktio on jatkuva. ja 2 2 3 + 137 = 2 3 + 137 = 145 2+ 2+ 2 + a = 4 + a. Lisäksi f(2) = 4 + a. Täten jatkuvuus vaatii, että 4 + a = 145 eli a = 141. Täten funktio näyttää jatkuvassa tapauksessa seuraavalta: { 2 + 141 kun 2 3 + 137 kun < 2 4
Huomattavaa on, että tietyt funktiot ovat aina jatkuvia (esimerkiksi polynomifunktiot,jatkuvien funktioiden summa ja tulo, jatkuvien funktioiden osamäärä, kun nimittäjä ei ole nolla... ). Erityisesti kahden jatkuvan funktion f() ja g() yhdistetty funktio f g = f(g()) on jatkuva (olettaen, että kyseinen yhdistetty kuvaus on määritelty). Esimerkki 12. Jos ja g() = 3, on f g = f(g()) = f( 3 ) = 3 jatkuva, sillä f ja g ovat jatkuvia. 5