Erikoistyö: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Tekijä: Mikko Nordlund 49857B mikko.nordlund@hut.fi Ohjaaja: Ilkka Mellin Jätetty: 11.12.2003
Sisällysluettelo 1. JOHDANTO... 3 2. MALLIEN TUTKIMINEN... 3 3. MALLIT... 4 4. VIITTEET... 5 DOKUMENTTI: ALKOHOLIN KULUTUSMENOJEN ENNUSTAMINEN...LIITE 2
1. Johdanto Tämä erikoistyö on osa OtaStat-projektia. OtaStat on Ilkka Mellinin johtama projekti Teknillisen korkeakoulun Systeemianalyysin laboratoriossa. OtaStat-hankkeen tavoitteena on tuottaa verkko-opetusmateriaalia todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen opetusta varten [1]. Materiaalia voidaan käyttää myös osana Systeemianalyysin laboratorion tavallista opetusta. Koko työ on luettavissa WWW-sivulta http://www.otastat.hut.fi ja liitteenä on työn vedos, josta puuttuvat laskutoimitukset ja jonka kuvien asettelu poikkeaa WWW-sivulla olevasta versiosta. Erikoistyö liittyy ennustamiseen ja aikasarja-analyysiin. Se käsittelee alkoholin markkamääräisen kysynnän kuvaamista ja ennustamista. Työ on kirjoitettu opetusmateriaaliksi ja tämän takia siinä käsitellään useita malleja, joiden puutteita korjataan ja lopulta päädytään käyttökelpoiseen malliin. Opetustarkoitusta varten työ on tehty Microsoft Excel ohjelmalla, joka on useimpien saatavilla. Laskutoimitukset ovat työssä mukana Excel-tiedostoina ja näistä näkee, miten erilaisia tilastollisia testejä voi tehdä tavallisella taulukkolaskentaohjelmalla. Testien tekeminen on myös havainnollisempaa Excelillä, koska erilliset tilasto-ohjelmistot eivät yleensä näytä laskutoimituksia vaan tulostavat pelkästään testin tuloksen. Näin testisuureiden laskeminen voi jäädä epäselväksi. Osittaisautokorrelaatiokertoimien estimaatit on kuitenkin laskettu NCSS 2000 ohjelman avulla, koska Excelillä näiden laskeminen edellyttää joko todella monien aputermien laskemista tai Visual Basic kielellä ohjelmoimista. Hypertext Markup Language eli HTML-muodossa oleva dokumentti sekä Portable Document Format eli PDF-muodossa oleva dokumentti on tuotettu OtaStat Markup Language eli OSML-kielellä, jonka Jussi Virtanen on suunnitellut ja toteuttanut yhdessä Veli Peltolan kanssa. OSML on XML eli Extensible Markup Language pohjainen kieli. Liitteenä on PDFmuodossa olevan dokumentin tuloste. 2. Mallien tutkiminen Mallien hyvyyttä tutkitaan useasta eri näkökulmasta. Malleista tehdään erilaisia kuvia graafisen tarkastelun avuksi. Selitysaste on keskeisin tunnusluku hyvyyden vertaamisessa. Residuaalit asetetaan diagnostisten testien kohteeksi. Lopuksi malleilla laaditaan ennuste viidelle vuodelle ja tätä verrataan toteutuneeseen kulutukseen. Estimoimisen jälkeen mallien residuaalit asetetaan graafisen tarkastelun ja diagnostisten testien kohteeksi, joiden tarkoituksena on selvittää, täyttävätkö mallin jäännöstermit niin kutsutut regressiomallin standardioletukset [2]: 1. Jäännöstermien ehdollinen odotusarvo on 0. 2. Jäännöstermit ovat ehdollisesti homoskedastisia. 3. Jäännöstermit ovat ehdollisesti korreloimattomia. 4. Jäännöstermit ovat ehdollisesti normaalijakautuneita 3
Ehdollisuus tarkoittaa ehdolla X, missä X on täysiasteinen selittäjämatriisi, jonka alkiot ovat satunnaismuuttujia. Standardioletusten testaamiseen käytetyistä tilastollisista testeistä on selvitys liitteenä olevassa selostuksessa. Kaikista malleista tehtiin seuraavat kuvat: 1. Aikasarjadiagrammi havainnoista ja sovitteista. 2. Aikasarjakuva residuaaleista. 3. Aikasarjakuva toteutuneesta kulutuksesta sekä sovitteesta ja ennusteesta. 4. Q-Q kuva residuaaleista. 5. Kuva estimoiduista autokorrelaatiokertoimista. 6. Kuva estimoiduista osittaisautokorrelaatiokertoimista. Kuvatyypistä 1 nähdään miten hyvin estimoitu malli sopii havaintoihin. Parhaassa tapauksessa käyrät asettuvat päällekkäin. Systemaattiset poikkeamat puolestaan viittaavat siihen, että malli ei ole oikein spesifioitu. Aikasarjakuva residuaaleista esittää samaa asiaa, mutta tästä kuvasta systemaattiset poikkeamat ja heteroskedastisuus on helpompi tunnistaa. Kuvatyyppi 3 kertoo miten hyvin mallin avulla laskettu ennuste sopii havaintoihin. Alkoholin kulutusmenojen pitkään jatkunut kasvutrendi taittuu vuoden 1973 tienoilla ja tämän vuoksi vuosille 1977-1981 laadittu ennuste markkamääräisestä myynnistä osuu yläkanttiin. Kuvatyyppi 4 on eräs normaalipaperi, jonka avulla voidaan tutkia jäännöstermien normaalisuutta. Kuvia estimoiduista autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiokertoimista käytettiin jäännöstermien korreloituneisuuden arvioimiseen. Kuten aikasarja-analyysissä yleensä, myös alkoholin kulutusmenoja kuvattaessa regressiomallilla törmätään autokorrelaatio-ongelmaan. Autokorrelaation ohella toinen jäännöstermeihin liittyvä ongelma on heteroskedastisuus. Usein nämä ongelmat ilmenevät samanaikaisesti. Kun havaitaan, että malli ei täytä sille asetettuja standardioletuksia, mallia korjataan. Näin päädytään lopulta malliin, jonka jäännöstermit ovat normaalisia, homoskedastisia ja korreloimattomia. Tälläistä mallia kutsutaan riittäväksi. 3. Mallit Estimoidut mallit perustuvat kansantalouden kysyntäteoriaan. Työn alussa on lyhyesti selitetty peruskäsitteitä, kuten joustokerroin ja normaalihyödyke. Kysynnän hintajoustolla mitataan, kuinka herkästi kysytty määrä reagoi hinnan muutokseen. Kysynnän hintajoustossa määrän prosentuaalinen muutos jaetaan hinnan prosentuaalisella muutoksella [3]. Jos hyödykkeen hintajousto on esimerkiksi -1.25, yhden prosentin nousu hinnassa näkyy 1.25 prosentin laskuna kysytyssä määrässä muiden tekijöiden pysyessä ennallaan. Normaalihyödykkeen tapauksessa kysytty määrä kasvaa hinnan laskiessa ja vastaavasti kysyntä pienenee hinnan noustessa muiden tekijöiden pysyessä ennallaan. Siten normaalihyödykkeen hintajousto on negatiivinen. Kysynnän tulojoustossa hyödykkeen kysynnän prosentuaalinen muutos jaetaan kuluttajien tulojen prosentuaalisella muutoksella. Jos hyödykkeen tulojousto on esimerkiksi 1.4, yhden prosentin nousu kuluttajien tuloissa näkyy 1.4 prosentin nousuna hyödykkeen kysytyssä määrässä muiden tekijöiden pysyessä ennallaan. Normaalihyödykkeen kysyntä kasvaa, kun kuluttajien tulot kasvavat ja muut 4
tekijät pysyvät ennallaan. Vastaavasti normaalihyödykkeen kysyntä pienenee, kun kuluttajien tulot pienenevät. Tämän takia normaalihyödykkeen tulojousto on positiivinen. Malleissa käytetään selitettävänä muuttujana alkoholin per capita kulutusmenojen logaritmia. Selittäjinä käytetään per capita kokonaiskulutusmenojen logaritmia sekä alkoholin reaalihintaindeksin logaritmia. Logaritmoinnin ansiosta regressiokertoimet voidaan tulkita tulojoustoksi ja hintajoustoksi. Ensimmäinen tasomalli osoittautuu kelvottomaksi regressiodiagnostiikan näkökulmasta, vaikka mallin selitysaste on korkea ja regressiokertoimet merkitseviä. Tasomallia vastaavan differenssimallin jäännöstermejä ei voida pitää normaalisina ja niiden homoskedastisuutta on aihetta epäillä. Toiseen malliin lisätään selittäjäksi dummy-muuttuja. Vuonna 1969 alkoholilain muutos lisäsi Alkon myymälöiden määrää huomattavasti ja alkoholin markkamääräinen kysyntä kasvoi huomattavasti. Kokonaiskulutusmenot ja alkoholin hintaindeksi eivät selitä tätä muutosta, joten malliin lisätään dummy-muuttuja. Malli ei kuitenkaan läpäise diagnostisia testejä, autokorrelaatio on edelleen ongelma. Mallia vastaava differenssimalli sen sijaan läpäisee kaikki testit. Tasomallia korjataan lisäämällä selittäjiksi viivästetty selitettävä sekä viivästetyt selittäjät. Näin saadaan kolmas malli, joka on dynaaminen toisin kuin edelliset. Havaitaan, että dummy-muuttujan ja viivästetyn dummy-muuttujan regressiokertoimet ovat itseisarvoltaan lähes yhtä suuria, mutta vastakkaismerkkisiä. Tämän vuoksi ne voidaan korvata yhdellä impulssi-dummyllä. Neljännessa mallissa dummy-muuttujat on korvattu impulssi-dummylla, joka saa arvon 1 vuonna 1969. Näin mallissa on saatu vähennettyä selittäjien määrää yhdellä edelliseen verrattuna. Malli läpäisee diagnostiset testit ja sen tuottama ennuste on myös parempi kuin edellisillä malleilla. Mallien tarkempi vertailu on liitteessä. 4. Viitteet [1] OtaStat-projektin kuvaus: http://www.sal.tkk.fi/web-activities/otastat/otastat.pdf, viitattu 23.11.2003 [2] Mellin, Ilkka. 2003. Oppimateriaalia [3] Mäkelä, Vilho. 2000. Käytännön kansantaloustiede. 2. uudistettu painos. KY-Palvelu Oy. 172 s. ISBN 951-98006-4-6 5
5. Liite: Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen 6
Alkoholin kulutusmenojen ennustaminen Mikko Nordlund 2003-12-11 Tausta Alkoholin kulutuksella on suuri kansantaloudellinen merkitys. Alkoholitulot muodostivat vuonna 2002 noin 5.5 % valtion verotuloista[1], mutta lisääntyvä kulutus kasvattaa myös muun muassa sosiaalimenoja. Alkoholin kulutuksen muutos vaikuttaa valtion tuloihin ja menoihin sekä suorasti että epäsuorasti. Tarkoituksena on kuvata alkoholin markkamääräistä kulutusta sopivalla aikasarjamallilla. Opetustarkoituksessa havaintoaineistoon sovitetaan erilaisia malleja, joita vertaillaan sekä graafisesti että tunnuslukujen ja diagnostisten testien avulla. Malleja korjataan, jos ne eivät läpäise diagnostisia testejä. Estimoitujen mallien avulla laaditaan ennuste, jota verrataan toteutuneeseen kulutukseen. Tilastollisesti hyvä malli yleensä myös tuottaa paremman ennusteen kuin huono malli. Mallit perustuvat kansantalouden kysyntäteoriaan. Kysynnän hintajoustolla mitataan, kuinka herkästi kysytty määrä reagoi hinnan muutokseen. Kysynnän hintajoustossa määrän prosentuaalinen muutos jaetaan hinnan prosentuaalisella muutoksella [2]. Jos hyödykkeen hintajousto on esimerkiksi -1.25, yhden prosentin nousu hinnassa näkyy 1.25 prosentin laskuna kysytyssä määrässä muiden tekijöiden pysyessä ennallaan. Normaalihyödykkeen tapauksessa kysytty määrä kasvaa hinnan laskiessa ja vastaavasti kysyntä pienenee hinnan noustessa muiden tekijöiden pysyessä ennallaan. Siten normaalihyödykkeen hintajousto on negatiivinen. Kysynnän tulojoustossa hyödykkeen kysynnän prosentuaalinen muutos jaetaan kuluttajien tulojen prosentuaalisella muutoksella. Jos hyödykkeen tulojousto on esimerkiksi 1.4, yhden prosentin nousu kuluttajien tuloissa näkyy 1.4 prosentin nousuna hyödykkeen kysytyssä määrässä muiden tekijöiden pysyessä ennallaan. Normaalihyödykkeen kysyntä kasvaa, kun kuluttajien tulot kasvavat ja muut tekijät pysyvät ennallaan. Vastaavasti normaalihyödykkeen kysyntä pienenee, kun kuluttajien tulot pienenevät. Tämän takia normaalihyödykkeen tulojousto on positiivinen. Mallien estimoinnin yhteydessä kommentoidaan myös laskettujen alkoholin tulo- ja hintajouston kertoimien järkevyyttä. On syytä olettaa, että alkoholin tulojousto on positiivinen ja hintajousto negatiivinen. Malleissa alkoholin markkamääräisen myynnin oletetaan riippuvan Suomen asukasluvusta, kuluttajien kokonaiskulutusmenoista (reaaliansioista) sekä alkoholin hinnasta. Asukasluvun ja kokonaiskulutusmenojen kasvu lisäävät alkoholin kysyntää, kun taas alkoholin hinnan nousu vähentää kysyntää. Väestönkasvun 1
vaikutus on huomioitu siirtymällä tutkimaan per capita aikasarjoja eli vuotuiset kokonaiskulutusmenot ja alkoholin kulutusmenot on suhteutettu väestömäärään. Inflaation vaikutus on poistettu aikasarjoista siirtymällä hintaindekseihin, joissa käypät hinnat on suhteutettu kiinteisiin hintoihin. Perusvuodeksi on valittu vuosi 1975 eli vuoden 1975 alkoholin reaalihintaindeksi on 100 ja kokonaiskulutusmenojen indeksi samoin 100. Mallien selitettävän ja selittäjien muodostaminen on käsitelty jokaisen mallin yhteydessä olevassa Excel-tiedostossa. Aikasarjat alkavat vuodesta 1950. Aikasarjat ulottuvat vuoteen 1981 asti, mutta vuosien 1977-81 havaintoja ei käytetä mallien estimoimiseen. Mallien avulla on laskettu ennuste vuosien 1977-81 kulutukselle ja tätä verrataan toteutuneeseen kulutukseen. Vuonna 1969 voimaan tullut alkoholilain muutos lisäsi Alkon myymälöiden lukumäärää huomattavasti. Lakiuudistus salli myös keskioluen myynnin kaupoissa ja kahviloissa. Tämä ei kuitenkaan näy tutkittavissa alkoholin kulutusmenoissa, koska keskiolutta ei luokitella alkoholijuomaksi. Suomen alkoholipolitiikka on pyrkinyt säätelemään alkoholin kulutusta hinnanmuutosten avulla. Tämä näkyy alkoholin reaalihintaindeksissä, joka on pysynyt lähes vakiona. Alkoholin hintaa on siis korotettu likimäärin reaalihintojen nousun mukana. Käytetyt välineet Kaikki laskutoimitukset osittaisautokorrelaatiokertoimien estimaatteja lukuun ottamatta on tehty Microsoft Excel -ohjelmalla. Samoin kaikki kuvat on tehty Excelin avulla. Regressiomallit on estimoitu käyttämällä Regression-nimistä työkalua, jonka saa käyttöön asentamalla Data Analysis ToolPak -lisäosan Exceliin. Tulostuksia on jonkin verran muokattu: keskeisimmät tunnusluvut on korostettu sinisellä värillä ja luottamusvälien rajat on poistettu. Osittaisautokorrelaatiokertoimien estimaatit on laskettu Jerry Hintzen NCSS 2000 -ohjelman avulla. Kertoimien laskeminen edellyttää rekursiokaavan käyttämistä ja lukuisien aputermien laskemista. Tämän vuoksi Excelillä on laskettu ainoastaan 4 ensimmäistä estimaattia ja muut kertoimet on laskettu NCSS 2000 -ohjelmalla. Satunnaisten selittäjien regressiomallin standardioletukset Estimoidun mallin regressiokertoimien merkitsevyys ja korkea selitysaste eivät riitä takaamaan, että malli on käyttökelpoinen. Jäännöstermien odotusarvon pitää olla 0, jäännöstermit eivät saa korreloida keskenään ja jäännösvarianssin tulee olla vakio. Jos nämä ehdot täyttyvät, estimoidun mallin residuaalit muistuttavat nk. valkoista kohinaa ja malli on riittävä. Tämän lisäksi asetetaan jäännöstermeille normaalisuusvaatimus. Yleinen lineaarinen regressiomalli voidaan esittää matriisimuodossa seuraavasti: y = Xβ + ε 2
missä y on selitettävän muuttujan y havaittujen arvojen muodostama satunnainen n-vektori. X on selittäjien x 1, x 2,..., x k havaittujen arvojen muodostama n (k + 1)- matriisi, jossa 1. sarake on ykkösten muodostama vakioselittäjä. β on regressiokertoimien muodostama tuntematon ja kiinteä eli ei-satunnainen (k+1)-vektori, jossa 1. alkio vastaa ykkösten muodostamaa vakioselittäjää. ε on jäännöstermien muodostama ei-havaittu ja satunnainen n-vektori. Koska mallien selittäjät ovat satunnaisia, yleisen lineaarisen regressiomallin standardioletukset voidaan esittää matriisein seuraavassa muodossa: 1. Selittäjämatriisin X alkiot ovat satunnaismuuttujia. 2. Selittäjämatriisi X on täysiasteinen: r(x) = k + 1 3. Jäännöstermin ε ehdollinen odotusarvo ehdolla X on 0: E(ε X) = 0 4. Jäännöstermit ovat ehdollisesti homoskedastisia ja ehdollisesti korreloimattomia: Cov(ε X) = σ 2 I 5. Jäännöstermit ovat ehdollisesti normaalijakautuneita: (ε X) N n (0, σ 2 I) Mallien regressiodiagnostiikka keskittyy standardioletusten voimassaolon testaamiseen. Ensimmäisenä on tutkittu jäännöstermien normaalisuutta, koska se on edellytys useiden testien käyttämiselle. Toisena on tutkittu jäännöstermien korreloimattomuutta. Jäännöstermien autokorrelaatio tekee muiden testien tuloksista vain suuntaa-antavia. Viimeisenä on tutkittu jäännöstermien homoskedastisuutta. Residuaalien aritmeettinen keskiarvo on 0, koska kaikissa estimoiduissa malleissa on mukana vakioselittäjä. 3
Käytettävät diagnostiset testit Jarquen ja Beran testi jäännöstermien normaalisuudelle Jarquen ja Beran (esiintyy myös kirjallisuudessa nimellä Bowmanin ja Shentonin) testin avulla tutkitaan jäännöstermien normaalisuutta residuaalien avulla. Residuaaleista lasketaan tunnusluvut vinoudelle (skewness) ja huipukkuudelle (kurtosis). Normaalijakautuneilla havainnoilla kumpikin tunnusluku on 0 satunnaisvaihtelua lukuun ottamatta. JB-testisuureen suuret arvot viittaavat siihen, että jäännöstermit eivät ole normaalisia. Olkoot tutkittavan mallin residuaalit. Lasketaan tunnusluku vinoudelle: S = e 1, e 2,..., e n 1 n (e t ē) 3 n t=1 ( ) 3/2 1 n (e t ē) 2 n t=1 Lasketaan tunnusluku huipukkuudelle: K = 1 n ( 1 n n (e t ē) 4 t=1 ) 2 3 n (e t ē) 2 t=1 Jos PNS-menetelmällä estimoidussa regressiomallissa on mukana vakioselittäjä, residuaalien summa (ja aritmeettinen keskiarvo) on 0. Koska kaikissa tässä käsitellyissä malleissa on mukana vakiotermi, residuaalien keskusmomentit yhtyvät origomomentteihin, ja tunnuslukujen kaavat supistuvat alla olevaan muotoon. Tunnusluku vinoudelle, kun mallissa on vakiotermi: S = 1 n n t=1 ( 1 n n t=1 e 2 t e 3 t ) 3/2 Tunnusluku huipukkuudelle, kun mallissa on vakiotermi: K = 1 n ( 1 n n t=1 n t=1 4 e 4 t e 2 t ) 2 3
Testattava hypoteesi H 0 : Jäännöstermit ovat normaalisia: ε t N(0, σ 2 ) kaikille t Testisuure ja sen jakauma (S 2 + 14 K2 ) JB = n 6 Jos H 0 pätee, JB a χ 2 (2). Testisuureen suuret arvot viittaavat siihen, että H 0 ei päde. Huomautus: ˆ Testi reagoi voimakkaasti poikkeaviin havaintoihin, mutta ei ole muuten erityisen voimakas (ts. hyväksymisvirhe on suuri). ˆ Jäännöstermien ei-normaalisuus tekee muista tässä käsiteltävistä testeistä vain suuntaa-antavia. ˆ Testi saattaa reagoida myös mallin väärään funktionaaliseen muotoon. Durbinin ja Watsonin testi Durbinin ja Watsonin testillä tutkitaan ensimmäisen kertaluvun autokorrelaation olemassaoloa jäännöstermeissä. Testisuure perustuu estimoidun mallin residuaaleihin e t. Testisuureen kriittiset rajat löytyvät taulukoituina useista alan oppikirjoista. Testattava hypoteesi H 0 : Jäännöstermit eivät ole autokorreloituneita: Cor(ε t, ε t 1 ) = 0 kaikille t Testisuure ja sen jakauma DW = T (e t e t 1 ) 2 t=2 DW -testisuure ei noudata mitään yleistä jakaumaa, mutta testisuureen kriittiset rajat löytyvät taulukoituina useista alan oppikirjoista. DW -testisuure saa arvoja avoimelta väliltä 0 4, pienet arvot viittaavat positiiviseen autokorrelaatioon ja suuret puolestaan negatiiviseen autokorrelaatioon. Testisuureen normaaliarvo korreloimattomuusoletuksen pätiessä on luvun 2 lähellä. T t=1 e 2 t 5
Huomautuksia: ˆ Durbinin ja Watsonin testiä ei voi käyttää, jos mallissa on viivästetty selitettävä. Tällöin voidaan kuitenkin käyttää Durbinin h-testiä. ˆ Mallin selittäjien täytyy olla kiinteitä. ˆ Testi saattaa reagoida myös mallin väärään funktionaaliseen muotoon. ˆ Jäännöstermien korrelaatio tekee muista tässä käsiteltävistä testeistä vain suuntaa-antavia. Durbinin h-testi Durbinin h-testillä tutkitaan ensimmäisen kertaluvun autokorrelaation olemassaoloa jäännöstermeissä, kun estimoidussa mallissa on selittäjänä viivästetty selitettävä. Testisuure perustuu estimoidun mallin residuaaleihin e t. Olkoon tutkittava malli Estimoidun mallin residuaalit ovat y t = α + βy t 1 + γx t + ε t e t = y t ŷ t Testattava hypoteesi H 0 : Jäännöstermit eivät ole autokorreloituneita: Cor(ε t, ε t 1 ) = 0 kaikille t Testisuure ja sen jakauma h = r 1 n 1 n Var( β) missä r 1 on ensimmäisen kertaluvun autokorrelaatiokertoimen estimaatti, n on havaintojen lukumäärä ja Var( β) on viivästetyn selitettävän regressiokertoimen varianssin harhaton estimaatti. Jos H 0 pätee, h a N(0, 1). Testisuureen nollasta merkitsevästi poikkeavat arvot viittaavat jäännöstermien autokorrelaatioon. 6
Huomautuksia: ˆ Durbinin h-testiä ei voi käyttää, jos n Var( β) 1, koska neliöjuuren sisällä olevasta lausekkeesta tulee tällöin negatiivinen. ˆ Jäännöstermien korrelaatio tekee muista tässä käsiteltävistä testeistä vain suuntaa-antavia. ˆ Durbinin h-testi saattaa reagoida myös mallin väärään funktionaaliseen muotoon. Lagrangen kertojatesti autokorrelaatiolle Jäännöstermien autokorreloituneisuutta voidaan tutkia Lagrangen kertojatestillä (Lagrange multiplier, LM), joka voidaan tehdä PNS-menetelmällä estimoidun apuregression avulla. Apuregressiomallissa tutkittavan mallin residuaaleja selitetään alkuperäisillä selittäjillä sekä residuaalien astelukua p olevalla autoregressiolla. Apuregressiomallin suuri selitysaste viittaa jäännöstermien autokorrelaatioon. Olkoon tutkittava malli Estimoidun mallin residuaalit ovat y t = α + βx t + ε t e t = y t ŷ t Estimoidaan PNS-menetelmällä apuregressiomalli e t = γ 0 + γ 1 x t + φ 1 e t 1 + φ 2 e t 2 + + φ p e t p + δ t δ t on jäännöstermi Testattava hypoteesi H 0 : Jäännöstermit eivät ole autokorreloituneita: Cor(ε t, ε s ) = 0 kaikille t s Testisuure ja sen jakauma nr 2 Jos H 0 pätee, nr 2 a χ 2 (p), missä n on residuaalien lukumäärä, R 2 on apuregressiomallin selitysaste ja p on autoregression asteluku. Testisuureen suuret arvot viittaavat siihen, että H 0 ei päde. Joskus testisuureena käytetään apuregressiomallia testaavaa F -testisuuretta. 7
Huomautuksia: ˆ LM-testi jäännöstermin autokorrelaatiolle saattaa reagoida myös mallin väärään funktionaaliseen muotoon. ˆ Apuregression asteluvun p valinta vaikuttaa testin tulokseen: p pitää valita suureksi, mutta ei liian suureksi. ˆ Jäännöstermien korrelaatio tekee muista tässä käsiteltävistä testeistä vain suuntaa-antavia. ˆ Mallissa saa olla mukana myös viivästetty selitettävä. Boxin ja Piercen Q-testi jäännöstermien korreloimattomuudelle Jos malli on oikein määritelty, residuaalit muistuttavat valkoista kohinaa. Jäännöstermien korreloimattomuutta voidaan testata Boxin ja Piercen Q-testisuureella (esiintyy myös nimellä portmanteau-testi). Testisuureen suuret arvot viittaavat jäännöstermien autokorrelaatioon. Olkoot r 1, r 2,..., r k tutkittavan regressiomallin otosautokorrelaatiokertoimet. Testattava hypoteesi H 0 : Jäännöstermit eivät ole autokorreloituneita: Cor(ε t, ε s ) = 0 kaikille t s Testisuure ja sen jakauma Q K = n(r 2 1 + r 2 2 + + r 2 K) missä K on yhteenlaskettavien autokorrelaatiokertoimien estimaattien lukumäärä ja n on havaintojen lukumäärä. Jos H 0 pätee, Q K a χ 2 (K). Testisuureen suuret arvot viittaavat siihen, että H 0 ei päde. Huomautuksia: ˆ Mallissa ei saa olla viivästettyä endogeenista muuttujaa. ˆ Testi saattaa reagoida myös mallin väärään funktionaaliseen muotoon. 8
Lagrangen kertojatesti homoskedastisuudelle 1 Jäännöstermien homoskedastisuutta voidaan tutkia Lagrangen kertojatestillä (Lagrange multiplier, LM), joka voidaan tehdä PNS-menetelmällä estimoidun apuregression avulla. Apuregressiomallissa selitetään tutkittavan mallin residuaalien neliöitä alkuperäisen mallin selittäjillä, selittäjien neliöillä sekä selittäjien ristitulolla. Ristitulotermejä ei ole käytetty tässä yhteydessä selittäjinä, jos alkuperäisessä mallissa on ollut yli 3 selittäjää. Apuregressiomallin korkea selitysaste viittaa siihen, että jäännöstermit ovat heteroskedastisia. Testi esiintyy kirjallisuudessa myös nimellä Whiten testi. Olkoon tutkittava malli Estimoidun mallin residuaalit ovat y t = α + β 1 x t + β 2 z t + ε t e t = y t ŷ t Estimoidaan PNS-menetelmällä apuregressiomalli e 2 t = γ 0 + γ 1 x t + γ 2 z t + γ 3 x 2 t + γ 4 z 2 t + γ 5 x t z t + δ t δ t on jäännöstermi Testattava hypoteesi H 0 : Jäännöstermit ovat homoskedastisia: Var(ε t ) = σ 2 kaikille t Testisuure ja sen jakauma nr 2 Jos H 0 pätee, nr 2 a χ 2 (p), missä n on residuaalien lukumäärä, R 2 on apuregressiomallin selitysaste ja p on apuregression aitojen selittäjien lukumäärä (vakioselittäjä poisluettuna). Testisuureen suuret arvot viittaavat siihen, että H 0 ei päde. Joskus testisuureena käytetään apuregressiomallia testaavaa F -testisuuretta. Huomautus: ˆ Testi saattaa reagoida myös mallin väärään funktionaaliseen muotoon. 9
Lagrangen kertojatesti homoskedastisuudelle 2 Lagrangen kertojatesti (Lagrange multiplier, LM) jäännöstermien homoskedastisuudelle voidaan tehdä PNS-menetelmällä estimoidun apuregression avulla, jossa selitetään tutkittavan mallin residuaalien neliöitä mallin sovitteilla. Apuregressiomallin korkea selitysaste viittaa siihen, että jäännöstermit ovat heteroskedastisia. Olkoon tutkittava malli Estimoidun mallin residuaalit ovat y t = α + βx t + ε t e t = y t ŷ t Estimoidaan PNS-menetelmällä apuregressiomalli e 2 t = γ 0 + γ 1 ŷ t + δ t δ t on jäännöstermi Testattava hypoteesi H 0 : Jäännöstermit ovat homoskedastisia: Var(ε t ) = σ 2 kaikille t Testisuure ja sen jakauma nr 2 Jos H 0 pätee, nr 2 a χ 2 (1), missä n on residuaalien lukumäärä ja R 2 on apuregressiomallin selitysaste. Testisuureen suuret arvot viittaavat siihen, että H 0 ei päde. Joskus testisuureena käytetään apuregressiomallia testaavaa F -testisuuretta. Huomautus: ˆ Testi saattaa reagoida myös mallin väärään funktionaaliseen muotoon. Sarjat, selittäjät ja selitettävä Logaritmointi Mallin estimoinnissa on käytetty logaritmoituja selittäjiä sekä selitettävää. Tämä tekee suhteellisten muutosten tulkitsemisen helpommaksi. Esimerkiksi jos x 0 muuttuu p %, niin uusi arvo x 1 on 10
ja edelleen ( x 1 = 1 + p ) x 0 100 ( log(x 1 ) = log(x 0 ) + log 1 + p ) log(x 0 ) + p 100 100 Logaritmoinnin ansiosta reaalihintaindeksin sekä per capita kokonaiskulutusmenojen regressiokertoimet voidaan tulkita hinta- ja tulojoustona. Differenssien laskeminen Osa käsitellyistä regressiomalleista on nk. differenssimalleja, joissa selitetään muuttujien vuosimuutosta. Differenssioperaattorin merkkinä on käytetty D- kirjainta. Esimerkiksi muuttujan x t ensimmäinen differenssi on D x t = x t x t 1 Ensimmäisen differenssin tulkinta vastaa kahden peräkkäisen vuoden havaintojen muutosta tutkittavissa vuosisarjoissa. Aikasarjat Mallinrakennukseen on käytetty seuraavia aikasarjoja vuosilta 1950 1976: Vexp45 Kokonaiskulutusmenot käypällä hintatasolla [milj. mk] Qexp45 Kokonaiskulutusmenot kiinteällä vuoden 1975 hintatasolla [milj. mk] Popul Asukasluku V1c Alkoholin kulutusmenot käypällä hintatasolla [milj. mk] Q1c Alkoholin kulutusmenot kiinteällä vuoden 1975 hintatasolla [milj. mk] Lisäksi sarjoista on vuosilta 1977 1981 havainnot, joita käytetään ennusteen ja toteutuneen kulutuksen vertailuun. Aikasarjat ovat liitteenä Excel-tiedostossa sarjat.xls. Aikasarjoista muodostettiin seuraavat apumuuttujat: V t Q t P t v t Per capita kokonaiskulutusmenot käypällä hintatasolla V t = 10 6 Vexp45/Popul [mk] Per capita kokonaiskulutusmenot kiinteällä vuoden 1975 hintatasolla Q t = 10 6 Qexp45/Popul [mk] Kokonaiskulutusmenojen implisiittinen deflaattori P t = 100 V t /Q t (1975 = 100) Per capita alkoholin kulutusmenot käypällä hintatasolla v t = 10 6 V1c/Popul [mk] 11
Kuva 1: Pistediagrammi alkoholin reaalihintaindeksin logaritmista log(100 p t /P t ) kokonaiskulutusmenojen logaritmia log(q t ) vastaan. q t p t Per capita alkoholin kulutusmenot kiinteällä vuoden 1975 hintatasolla q t = 10 6 Q1c/Popul [mk] Alkoholin implisiittinen hintaindeksi p t = 100 v t /q t (1975 = 100) 100 p t /P t Alkoholin reaalihintaindeksi 100 p t /P t (1975 = 100) Pistediagrammista näkyy, että alkoholin kulutusmenojen ja alkoholin reaalihintaindeksin välillä on heikko negatiivinen korrelaatio. Alkoholin kulutusmenoissa näkyy aikasarjakuvassa selvä nouseva trendi, kun taas alkoholin reaalihintaindeksi on pysynyt lähes vakiona. Sekä pistediagrammista että aikasarjakuvasta näkyy, että kokonaiskulutusmenojen ja alkoholin kulutusmenojen välillä on vahva positiivinen korrelaatio. Molemmissa sarjoissa näkyy selvä nouseva trendi. Edellä esitetyt pistediagrammit ja aikasarjat löytyvät tiedostosta pari_regr.xls. Tiedostossa on myös kuvia sarjoista. 1. malli Regressiomallin selitettävä (log-funktio on luonnollinen logaritmi): ˆ Per capita kiinteän hintatason alkoholin kulutusmenojen logaritmi log(q t ) Regressiomallissa käytettiin seuraavia selittäjiä: 12
Kuva 2: Aikasarja alkoholin kulutusmenojen logaritmista log(q t ) ja alkoholin reaalihintaindeksin logaritmista log(100 p t /P t ). Kuva 3: Pistediagrammi kokonaiskulutusmenojen logaritmista log(q t ) alkoholin kulutusmenojen logaritmia log(q t ) vastaan. 13
Kuva 4: Aikasarja alkoholin kulutusmenojen logaritmista log(q t ) ja kokonaiskulutusmenojen logaritmista log(q t ). ˆ Alkoholin reaalihintaindeksin logaritmi log(100 p t /P t ) ˆ Per capita kiinteän hintatason kokonaiskulutusmenojen logaritmi log(q t ) Estimoidaan PNS-menetelmällä regressiomalli, jossa selitetään alkoholin per capita kulutusmenojen logaritmia alkoholin reaalihintaindeksin logaritmilla sekä per capita kokonaiskulutusmenojen logaritmilla. Selitettävä ja selittäjät löytyvät Excel-taulukosta malli1_selittajat.xls. Logaritmoidun reaalihintaindeksin regressiokertoimen tulkinta vastaa pitkän aikavälin hintajoustoa. Hintatason nousu johtaa yleensä kysynnän laskuun, joten hintajousto on tyypillisesti negatiivinen. Logaritmoidun per capita kokonaiskulutusmenojen regressiokertoimen tulkinta vastaa pitkän aikavälin tulojoustoa. Tulotason nousu lisää tavallisesti kysyntää ellei kyseessä ole nk. inferiorinen hyödyke, jonka kysyntä vähentyy tulotason noustessa. Tulojousto on siis tyypillisesti positiivinen. Estimoitu malli ja tunnusluvut Estimoitu lineaarinen regressiomalli on seuraava (suluissa estimaattien keskihajonnat): log(q t ) = 2.708 (2.352) 1.122 (0.470) log(100 p t/p t ) + 1.507 (0.072) log(q t) R 2 = 0.951 14
Kuva 5: Kuva havainnoista ja sovitteista aikaa vastaan. Malli löytyy laskutoimituksineen Excel-tiedostosta malli1.xls. Mallin regressiokertoimet ovat merkitseviä vakioselittäjän kerroin pois lukien. Sekä pitkän aikavälin hintajousto 1.12 että tulojousto 1.51 ovat merkitseviä. Pitkän aikavälin hintajousto voidaan tulkita siten, että 1 %:n nousu alkoholin reaalihinnassa näkyy pitkällä aikavälillä 1.12 %:n laskuna alkoholin kulutusmenoissa muiden tekijöiden pysyessä ennallaan. Vastaavasti pitkän aikavälin tulojousto voidaan tulkita siten, että 1 %:n kasvu per capita kokonaiskulutusmenoissa näkyy 1.51 %:n kasvuna alkoholin kulutusmenoissa pitkällä aikavälillä muiden tekijöiden pysyessä ennallaan. Mallin selitysaste R 2 = 0.951 on korkea. Graafinen tarkastelu Malli ei näytä sopivan havaintoihin kovin hyvin. Vaikka trendit asettuvat kohdalleen, mallin tuottamat sovitteet ovat systemaattisesti havaintoja pienempiä tai suurempia usean peräkkäisen vuoden ajan, joten malli ei ole hyvä. Malli ei kykene selittämään vuoden 1969 lainmuutoksen aiheuttamaa hyppäystä alkoholin kulutusmenoissa. Kuvassa katkoviiva kuvaa mallin avulla laskettua ennustetta. Residuaalit ovat ensin positiivisia vuosien 1950 55 ajan, tämän jälkeen negatiivisia vuosien 1956 68 ajan ja jälleen positiivisia vuosina 1969 76. Tämä viittaa voimakkaaseen positiiviseen ensimmäisen kertaluvun autokorrelaatioon. Itseisarvoltaan pieniä residuaaleja on vähän. Tämän antaa aihetta epäillä jäännöstermien homoskedastisuutta. Huomaa residuaalikuvassa tapahtuva muutos vuosien 1968 ja 1969 välillä (havainnot 19 ja 20). Katkoviivalla piirretty kiinteän hintatason ennuste poikkeaa selvästi havainnoista. Vuonna 1981 ennusteen ja toteutuneen kulutuksen erotus on 316 miljoonaa markkaa. Ennustevirhe on niin suuri, että mallin tuottamaa ennustetta ei voi pitää käyttökelpoisena. 15