1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois, saadaan puolisuora. Jos taas suora sahataan kahdesta kohden poikki ja otetaan sahauskohtien välinen osa talteen, saadaan jana. Jos vielä jana suunnistetaan niin, että toinen sahauskohta A on sen alkupiste ja toinen B loppupiste, saadaan suuntajana AB ja ollaan lähellä vektorin käsitettä. Kahden samasta pisteestä alkavan puolisuoran rajoittamaa tason osaa sanotaan kulmaksi. Kun taso tällöin jakaantuu kahteen, yleensä (ainakin ihmisaistin mielestä) erisuureen osaan, niin on syytä tarkoin yksilöidä, kumpaa tason osaa tarkoitetaan. vasen kylki A α oikea kylki Yksilöinti tapahtuu usein yhdistämällä puolisuorat, kulman kyljet, kaarella, joka sijaitsee tason siinä osassa, jota tarkoitetaan. Kun mennään seisomaan lähelle kulman kärkeä, yksi jalka kummallakin kyljellä, katse kulman aukeamaan päin, niin on katsojan oikea jalka kulman oikealla kyljellä. Ellei sekaantumisen vaaraa ole, kulman yksilöintiin riittää mainita kärkipisteen koordinaatti edellyttäen tietysti, että kyljet ovat piirroksessa näkyvissä. Monikulmioissa kulmaa merkitään usein (kuten kuvassakin) aukeamaan sijoitetulla kreikkalaisella aakkosella, koska meikäläiset pikkuaakkoset varataan tällöin monikulmion sivujen pituuden symboleiksi. Kulman suuruutta tavallisessa tasogeometriassa kuvataan usein asteella. Tämä on sopimuskysymys. Jos kulman muodostamat puolisuorat sijaitsevan täydellisesti päällekkäin ja tarkoitetaan koko tasoa, puhutaan täydestä kulmasta suuruudeltaan 360 astetta. Jos kulma rajaa puolitason, puhtaan oikokulmasta, jonka asteluku on 180. Jos vielä kyljet ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja rajataan neljännestaso, kyseessä on suora kulma, 90 asteen kulma.
täysi kulma oikokulma suora kulma nollakulma Kulmiin liittyy erinomaisen paljon nimityksiä, jotka on syytä hallita. Yksittäisen kulman tapauksessa kulma on kupera jos sen asteluku ylittää 180 0. Kulma on kovera, jos sen asteluku on oikokulman astelukua pienempi. Koverat kulmat jaetaan vielä teräviin ja tylppiin sen mukaan onko kulma asteluvultaan suoraa kulmaa pienempi vai suurempi. kupera kulma kovera, terävä kovera, tylppä
Kun tason kaksi suoraa leikkaa toisensa, muodostuu kerralla neljä kulmaa. Tarvitaan käsitteitä ristikulma ja vieruskulma. β γ α Kuvassa γ ja α ovat ristikulmia, samoin β ja. Toisaalta vieruskulmia ovat kaikki kulmaparit, joissa toinen suorista määrää erinimiset kyljet ja toisen suoran puolikas on kulmilla yhteisenä kylkenä, siis esimerkiksi ja α. Vieruskulmien summa on selvästi 180 0. Mitä ristikulmiin tulee, niin 0 α + β = 180 0 γ + β = 180 0 α = 180 β 0 γ = 180 β Koska yllä olevissa yhtälöissä oikeat puolet ovat samat, niin nähdään välittömästi tulos, jonka mukaan ristikulmat α ja γ ovat yhtä suuret. Vastaava osoitus on helppo suorittaa toisellekin ristikulmaparille. LAUSE 1 Vieruskulmien summa on 180 0 Ristikulmat ovat yhtä suuret Kun tasolla kulkee kolme suoraa, jotka eivät ole kaikki keskenään yhdensuuntaisia, tullaan vielä samankohtaisten kulmien käsitteeseen.
Sanotaan vaikka niin, että suora m leikkaa seuraavassa suoria s ja t. m s t Tilanteessa syntyy kaikkiaan kahdeksan kulmaa. Kaikkia niitä kulmia, joilla leikkaava suora m on samannimisenä kylkenä, sanotaan samankohtaisiksi kulmiksi. Kuviossa on neljä sellaista kulmaa, joille suora m on esimerkiksi vasempana kylkenä. Ne kaikki eivät ole samanasteisia kulmia. Erikoinen ja varsin tärkeäkin tapaus samankohtaisista kulmista on se, joissa suorat s ja t ovat yhdensuuntaiset. Tämä käsite määritellään niin, että sanotaan kahden (saman tason) suoran olevan yhdensuuntaiset, jos niillä ei ole yhtään yhteistä pistettä. m s t Kaikki ylläolevaan kuvaan symbolilla merkityt kulmat ovat sellaisia, joissa leikkaava suora m on oikeana kylkenä. Aina silloin, kun suorat s ja t ovat yhdensuuntaiset, samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Toisaalta, tulos voidaan kääntääkin. Samankohtaisten kulmien yhtäsuuruudesta seuraa välttämättä suorien s ja t yhdensuuntaisuus.
LAUSE 2 Kaksi saman tason suoraa ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun samankohtaiset kulmat, jotka syntyvät kolmannen suoran leikatessa sanottuja kahta suoraa, ovat yhtä suuret. Vastaisia tarpeita varten tulee huomata tarkoin, että lause 2 sisältää kaksi asiaa: jos suorat s ja t ovat yhdensuuntaiset, samankohtaiset kulmat ovat varmasti yhtä suuret jos jokin suora (m) meikkaa kahta muuta suoraa (s ja t) siten, että samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret, niin suorat (s ja t) ovat välttämättä yhdensuuntaiset PARALLEELIAKSIOOMA: Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan asettaa ainoastaan yksi tämän suoran kanssa yhdensuuntainen suora. Tämä on ns. euklidiseen geometriaan liittyvä tosiasia, jota ei voida mitenkään todistaa. Tällaiset aksioomat ovat asioita, jotka kokemusperäisesti vaikuttavat olevan tosia, eikä niistä ole havaittu yhtään poikkeusta. Myös fysiikassa vaikkapa Newtonin lait ovat eräänlaisia aksioomeja, ei niitäkään todisteta oikeiksi.