ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Mitkä seuraavista luvuista ovat yhtä suuria? a) 2 ja 1,414213562373 b) 5 2 6 ja 2 3 c) 7 ja 2,645751311064 d) 9+2 14 ja 7+ 2 2. Ilmapalloon puhalletaan lisää ilmaa niin paljon, että pallon tilavuus kasvaa 237,5%. Silloin pallon pinta-ala kasvaa a) 100% b) 125% c) vähintään 150% d) korkeintaan 175% 3. Lukuja on n > 1 kappaletta ja niiden keskiarvo on M 0. Yksi luku, a, poistetaan ja jäljelle jääneiden lukujen keskiarvo lasketaan. a) Uusi keskiarvo on M a n 1. b) Uusi keskiarvo voi olla alkuperäistä keskiarvoa pienempi. c) Uuden keskiarvon ja luvun M erotus on M a n 1. d) Kun lasketaan keskiarvo uudesta keskiarvosta ja luvusta M, saadaan 4. Lauseketta c + a+c nm a 2(n 1). a+ b c a b c sievennetään. Mitkä seuraavista tuloksista ovat oikein kaikilla lukujen a, b ja c arvoilla? a) 0 b) c(2bc+a2 c+ab) b 2 a 2 c 2 c) ac(2c2 +b+ac) ac a 2 c 2 b 2 d) ac b + 2ac 3 (ac+b)(ac b)
5. Kun n on positiivinen kokonaisluku, merkitään S(n):llä luvun n numeroiden summaa (kymmenjärjestelmässä). Mitkä seuraavista pätevät kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n? a) S(3n) on jaollinen kolmella b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) on jaollinen seitsemällä 6. Tiedetään, että Silloin 2xy on 8 x 9x+y = 64 ja = 243. 2x+y 34y a) negatiivinen b) 5 c) 7 d) pariton kokonaisluku. 7. P on suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusan AB piste. Tiedetään, että Määritä kolmion sivujen suhteet. PB : PC : PA = 1 : 2 : 3. 8. Osoita, että jos reaaliluvuille x, y ja z on voimassa (x+y+z) 2 = 3(xy+xz+yz), täytyy lukujen olla keskenään yhtä suuria.
È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò Ú Ø Ù ÐÓÑ Perussarjan monivalintatehtävien (6 ensimmäistä tehtävää) vastaukset palautetaan tällä lomakkeella; perinteisten tehtävien 7 ja 8 ratkaisut voi kirjoittaa erillisille vastausarkeille. Kussakin monivalintatehtävässä voi olla 0 4 oikeata vastausta. Merkitse vastaavaan ruutuun +, jos vastaus on oikea, ja, jos vastaus on väärä. Oikeasta merkinnästä saa pisteen, väärästä tai tulkinnanvaraisesta merkinnästä saa nolla pistettä. Tehtävistä 7 ja 8 maksimipistemäärä on 6. Työaikaa on 120 minuuttia. Kirjoita myös tehtävien 7 ja 8 vastauspapereihin selvästi tekstaten oma nimesi ja koulusi. Nimi : Koulu : Kotiosoite : Sähköposti : a b c d 1. 2. 3. 4. 5. 6.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ ÚĐ Ð Ö 1. Lukuja on n > 1 kappaletta ja niiden keskiarvo on M 0. Yksi luku, a, poistetaan ja jäljelle jääneiden lukujen keskiarvo lasketaan. a) Uusi keskiarvo on M a n 1. b) Uusi keskiarvo voi olla alkuperäistä keskiarvoa pienempi. c) Uuden keskiarvon ja luvun M erotus on M a n 1. d) Kun lasketaan keskiarvo uudesta keskiarvosta ja luvusta M, saadaan nm a 2(n 1). 2. Kun n on positiivinen kokonaisluku, merkitään S(n):llä luvun n numeroiden summaa (kymmenjärjestelmässä). Mitkä seuraavista pätevät kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n? a) S(3n) on jaollinen kolmella b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) on jaollinen seitsemällä 3. Yhtälölläx 3 +3ax 2 +bx+c = 0 onkolmeratkaisua, jotka muodostavataritmeettisen lukujonon. (Kolmikko on aritmeettinen lukujono, jos keskimmäinen jäsen on kahden muun keskiarvo.) Silloin varmasti a) ab = 2a 3 +c b) a = 0 c) 3a+c = 2b d) b = 3ac 4. Kolmiolle ABC pätee AB < AC. Olkoon tämän kolmion ympäri piirretty ympyrä S. Pisteestä A piirretty kohtisuora janalle BC kohtaa ympyrän S uudestaan pisteessä P. Piste X sijaitsee janalla AC, ja janan BX jatke kohtaa ympyrän S pisteessä Q. Osoita, että jos BX = CX, niin PQ on ympyrän S halkaisija. 5. Lautapasianssissa on käytössä yksi sininen ja kolme valkoista nappulaa, jotka pystyy sijoittamaan -ruudukon ruutuihin. Yksittäisellä siirrolla tartutaan yhteen nappuloista ja sitä siirretään mahdollisimman pitkälle vasemmalle, oikealle, ylös tai alas vapaana olevaan ruutuun, kunnes pelilaudan reuna tai toinen nappula tulee vastaan. Todista, että alkuasemasta riippumatta sinisen nappulan saa sopivalla siirtosarjalla pelattua mihin tahansa ruutuun. 6. Etsi kaikki sellaiset positiiviset kokonaisluvut m ja n, että n on pariton ja yhtälö toteutuu. 1 m + 4 n = 1 12
ÎĐ Ð Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò Ú Ø Ù ÐÓÑ Välisarjan monivalintatehtävien (3 ensimmäistä tehtävää) vastaukset palautetaan tällä lomakkeella; perinteisten tehtävien 4 6 ratkaisut voi kirjoittaa erillisille vastausarkeille. Kussakin monivalintatehtävässä voi olla 0 4 oikeata vastausta. Merkitse vastaavaan ruutuun +, jos vastaus on oikea, ja, jos vastaus on väärä. Oikeasta merkinnästä saa pisteen, väärästä tai tulkinnanvaraisesta merkinnästä saa nolla pistettä. Tehtävistä 4 6 maksimipistemäärä on 6. Työaikaa on 120 minuuttia. Kirjoita myös tehtävien 4 6 vastauspapereihin selvästi tekstaten oma nimesi ja koulusi. Nimi : Koulu : Kotiosoite : Sähköposti : a b c d 1. 2. 3.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ ÚÓ Ò Ö 1. Tiedetään, että Määritä 2xy. 8 x 9x+y = 64 ja = 243. 2x+y 34y 2. Eräs harvinainen sairaus on keskimäärin yhdellä miljoonasta ihmisestä. Sairaus testataan kokeella, joka antaa oikean tuloksen 99 % todennäköisyydellä riippumatta siitä, onko testattava sairas vai ei. Satunnaisesti valittu henkilö saa testistä positiivisen tuloksen. Millä todennäköisyydellä hänellä on sairaus? 3. Paperilla on kaksi pistettä A ja B, joiden etäisyys on yli 10 cm mutta alle 20 cm. Käytettävissäsi on viivoitin, jonka pituus on tasan 10 cm ja harppi, jolla voi piirtää ympyröitä, joiden säde on enintään 10 cm. Miten näillä työkaluilla pystytään piirtämään jana AB? 4. Kun n on positiivinen kokonaisluku, merkitään S(n):llä luvun n numeroiden summaa (kymmenjärjestelmässä). Mitkä rationaaliluvut q voidaan esittää muodossa jollakin positiivisella kokonaisluvulla n? q = S(2n) S(n) Työaikaa on 120 minuuttia. Tee kukin tehtävä omalle konseptiarkin sivulleen. Merkitse koepaperiin selvästi tekstaten oma nimesi ja yhteystietosi (koulun nimi, kotiosoite ja sähköpostiosoite).
ÝÑÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØĐ ÚÐ Ò Ø ÖØØĐ ÚÐ Ò Ò ÖÙÒ Ö Det finns uppgifter på två sidor; de sex första uppgifterna är flervalsuppgifter i vilka det finns 0-4 rätta svar. 1. Vilka av följande tal är lika stora? a) 2 och 1,414213562373 b) 5 2 6 och 2 3 c) 7 och 2,645751311064 d) 9+2 14 och 7+ 2 2. Man blåser så mycket tilläggsluft i en luftballong att volymen ökar med 237,5%. Då växer ballongens volym med a) 100% b) 125% c) minst 150% d) högst 175% 3. Det finns n > 1 stycken tal och talens medelvärde är M 0. Man avlägsnar ett tal, a, och beräknar medelvärdet av de kvarblivna talen. a) Det nya medelvärdet är M a n 1. b) Det nya medelvärdet kan vara mindre än det ursprungliga medelvärdet. c) Differensen mellan det nya medelvärdet och talet M är M a n 1. d) När man beräknar medelvärdet av det nya medelvärdet och talet M nm a får man 2(n 1). 4. Man hyfsar uttrycket c + a+c a+ b c a b c Vilka av följande uttryck är korrekta för alla värden på talen a, b och c? a) 0 b) c(2bc+a2 c+ab) b 2 a 2 c 2 c) ac(2c2 +b+ac) ac a 2 c 2 b 2 d) ac b + 2ac 3 (ac+b)(ac b)
5. I tiosystemet betecknar vi summan av siffrorna i ett positivt heltal n med S(n). Vilka av följande påståenden gäller för alla positiva heltalsvärden på n? a) S(3n) är delbart med tre b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) är delbart med sju 6. Man vet att Då är 2xy 8 x 9x+y = 64 och = 243. 2x+y 34y a) negativt b) 5 c) 7 d) ett udda heltal. 7. P är en punkt på hypotenusan AB i en rätvinklig triangel ABC. Man vet att PB : PC : PA = 1 : 2 : 3. Bestäm förhållandena mellan sidorna i triangeln. 8. Visa att om det för de reella talen x, y och z gäller att (x+y+z) 2 = 3(xy+xz+yz), så måsten talen sinsemellan vara lika stora.
ËÚ Ö Ð Ò ØØ ĐÓÖ ÖÚ Ð ¹ ÙÔÔ Ø ÖÒ ÖÙÒ Ö Ò Grundseriens flervalsuppgifter (de 6 första uppgifterna) besvaras på denna svarsblankett. Svaren till de traditionella uppgifterna 7 och 8 kan skrivas på egna konceptark. Varje flervalsuppgift kan ha 0 4 rätta svar. Beteckna med ett + om svaret är rätt och med ett om svaret är fel i motsvarande ruta. Rätt tecken ger en poäng medan fel tecken eller ett otydligt tecken ger noll poäng. Maximipoängen i uppgifterna 7 och 8 är 6p. Provtiden är 120 minuter. Skriv även på svarspappren för uppgifterna 7 och 8 tydligt med textbokstäver ned ditt namn och din skola. Namn : Skola : Hemadress : E-postadress : a b c d 1. 2. 3. 4. 5. 6.
ÝÑÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØĐ ÚÐ Ò Ø ÖØØĐ ÚÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ö 1. Det finns n > 1 stycken tal och talens medelvärde är M 0. Man avlägsnar ett tal, a, och beräknar medelvärdet av de kvarblivna talen. a) Det nya medelvärdet är M a n 1. b) Det nya medelvärdet kan vara mindre än det ursprungliga medelvärdet. c) Differensen mellan det nya medelvärdet och talet M är M a n 1. d) När man beräknar medelvärdet av det nya medelvärdet och talet M nm a får man 2(n 1). 2. I tiosystemet betecknar vi summan av siffrorna i ett positivt heltal n med S(n). Vilka av följande påståenden gäller för alla positiva heltalsvärden på n? a) S(3n) är delbart med tre b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) är delbart med sju 3. Ekvationenx 3 +3ax 2 +bx+c = 0hartrelösningarvilkabildarenaritmetisktalföljd. (Taltrion är en aritmetisk talföljd om det mellersta elementet utgör medelvärdet av de två övriga talen.) Då är det säkert att a) ab = 2a 3 +c b) a = 0 c) 3a+c = 2b d) b = 3ac 4. För triangeln ABC gäller AB < AC. Låt S vara den cirkeln som omskriver triangeln. En linje från punkten A som träffar sträckan BC vinkelrätt träffar cirkeln på nytt i punkten P. Punkten X ligger på sträckan AC och förlängningen av sträckan BX träffar cirkeln S i punkten Q.Visa att om BX = CX, så är PQ diameter i cirkeln S. 5. I brädpatiens har man tagit i bruk en blå och tre vita knappar. Knapparna kan placeras i rutorna på ett stort rutfält. Med ett enkelt speldrag tar man i en av knapparna och denna flyttas så långt bort som möjligt till en ledig ruta som ligger till vänster, till höger, uppåt eller nedåt, tills spelplanens kant eller en annan knapp kommer emot. Bevisa att man, oberoende av startsituationen, kan flytta den blåa spelknappen till vilken ruta som helst med en lämplig flyttningsserie. 6. Ta reda på alla sådana positiva heltal m och n, där n är udda och ekvationen satisfierad. 1 m + 4 n = 1 12
ËÚ Ö Ð Ò ØØ ĐÓÖ ÖÚ Ð ¹ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ñ ÐÐ Ò Ö Ò Mellanseriens flervalsuppgifter (de 3 första uppgifterna) besvaras på denna svarsblankett. Svaren till de traditionella uppgifterna 4 6 kan skrivas på egna konceptark. Varje flervalsuppgift kan ha 0 4 rätta svar. Beteckna med ett + om svaret är rätt och med ett om svaret är fel i motsvarande ruta. Rätt tecken ger en poäng medan fel tecken eller ett otydligt tecken ger noll poäng. Maximipoängen i uppgifterna 4 6 är 6p. Provtiden är 120 minuter. Skriv även på svarspappren för uppgifterna 4 6 tydligt med textbokstäver ned ditt namn och din skola. Namn : Skola : Hemadress : E-postadress : a b c d 1. 2. 3.
ÝÑÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØĐ ÚÐ Ò Ø ÖØØĐ ÚÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ö 1. Det finns n > 1 stycken tal och talens medelvärde är M 0. Man avlägsnar ett tal, a, och beräknar medelvärdet av de kvarblivna talen. a) Det nya medelvärdet är M a n 1. b) Det nya medelvärdet kan vara mindre än det ursprungliga medelvärdet. c) Differensen mellan det nya medelvärdet och talet M är M a n 1. d) När man beräknar medelvärdet av det nya medelvärdet och talet M nm a får man 2(n 1). 2. I tiosystemet betecknar vi summan av siffrorna i ett positivt heltal n med S(n). Vilka av följande påståenden gäller för alla positiva heltalsvärden på n? a) S(3n) är delbart med tre b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) är delbart med sju 3. Ekvationenx 3 +3ax 2 +bx+c = 0hartrelösningarvilkabildarenaritmetisktalföljd. (Taltrion är en aritmetisk talföljd om det mellersta elementet utgör medelvärdet av de två övriga talen.) Då är det säkert att a) ab = 2a 3 +c b) a = 0 c) 3a+c = 2b d) b = 3ac 4. För triangeln ABC gäller AB < AC. Låt S vara den cirkeln som omskriver triangeln. En linje från punkten A som träffar sträckan BC vinkelrätt träffar cirkeln på nytt i punkten P. Punkten X ligger på sträckan AC och förlängningen av sträckan BX träffar cirkeln S i punkten Q.Visa att om BX = CX, så är PQ diameter i cirkeln S. 5. I brädpatiens har man tagit i bruk en blå och tre vita knappar. Knapparna kan placeras i rutorna på ett stort rutfält. Med ett enkelt speldrag tar man i en av knapparna och denna flyttas så långt bort som möjligt till en ledig ruta som ligger till vänster, till höger, uppåt eller nedåt, tills spelplanens kant eller en annan knapp kommer emot. Bevisa att man, oberoende av startsituationen, kan flytta den blåa spelknappen till vilken ruta som helst med en lämplig flyttningsserie. 6. Ta reda på alla sådana positiva heltal m och n, där n är udda och ekvationen satisfierad. 1 m + 4 n = 1 12
ËÚ Ö Ð Ò ØØ ĐÓÖ ÖÚ Ð ¹ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ñ ÐÐ Ò Ö Ò Mellanseriens flervalsuppgifter (de 3 första uppgifterna) besvaras på denna svarsblankett. Svaren till de traditionella uppgifterna 4 6 kan skrivas på egna konceptark. Varje flervalsuppgift kan ha 0 4 rätta svar. Beteckna med ett + om svaret är rätt och med ett om svaret är fel i motsvarande ruta. Rätt tecken ger en poäng medan fel tecken eller ett otydligt tecken ger noll poäng. Maximipoängen i uppgifterna 4 6 är 6p. Provtiden är 120 minuter. Skriv även på svarspappren för uppgifterna 4 6 tydligt med textbokstäver ned ditt namn och din skola. Namn : Skola : Hemadress : E-postadress : a b c d 1. 2. 3.
ÝÑÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØĐ ÚÐ Ò Ø ÖØØĐ ÚÐ Ò Ò ĐÓÔÔÒ Ö 1. Man vet att Bestäm 2xy. 8 x 9x+y = 64 ja = 243. 2x+y 34y 2. Ungefär en av en miljon människor drabbas av en sällsynt sjukdom. Sjukdomen testas med ett prov som med 99 % sannolikhet ger ett rätt resultat oberoende av om testpersonen är sjuk eller inte. En slumpmässigt vald person får ett positivt resultat i testet. Med vilken sannolikhet bär han på sjukdomen? 3. På ett papper finns två punkter A och B, vars inbördes avstånd är över 10 cm men under 20 cm. Du har till ditt förfogande en exakt 10 cm lång linjal och en passare med vilken du kan rita cirklar vars radie är högst 10 cm. Hur kan du med dessa verktyg rita sträckan AB? 4. I tiosystemet betecknar vi summan av siffrorna i ett positivt heltal n med S(n). Vilka rationella tal kan vi uttrycka i formen för något positivt heltalsvärde på n? q = S(2n) S(n) Tävlingstiden är 120 minuter. Utför varje uppgift på en skild sida i ett konceptark. Texta ditt namn och dina kontaktuppgifter (skolans namn, hemadress och e-postadress) tydligt på provpapperet.
ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Tiedetään, että neliöjuuret 2 ja 7 ovat irrationaalilukuja (tämä seuraa aritmetiikan peruslauseesta ja siitä, että 2 ja 7 ovat alkulukuja), mutta 1,414213562373 ja 2,645751311064 ovat rationaalisia. Siis kohdat a ja c ovat väärin. Kohdassa b luvut eivät ole yhtä suuria, koska 5 2 6 > 0 ja 2 3 < 0. Sen sijaan pätee 7+ 2 > 0 ja ( 7+ 2) 2 = 7+2 14+2 = 9+2 14, joten d on oikein. P2. Olkoon ilmapallon säde ennen täyttöä r ja täytön jälkeen R, jolloin R 3 r 3 r 3 = 237,5% = 2 3 8 R r R r = 3 2 R2 r = R 2 = 3 2 = 9 2 r 2 4 4πR2 4πr 2 4πr 2 3 = R3 r 3 = 33 8 = 27 8 = 33 2 3 = = R2 r 2 1 = 9 4 1 = 5 4 = 125%. ( ) 3 3 2 Ilmapallon pinta-ala kasvaa siis 125%, joka on korkeintaan 175% (ehdot b ja d), mutta ehdot a ja c ovat väärin.
P3. Koska lukuja on n > 1 kappaletta ja niiden keskiarvo on M, niiden summa on nm. Kun a poistetaan, jäljelle jäävien summa on nm a ja keskiarvo nm a n 1 M a n 1, kunhan M 0 (kohta a väärin). Tämä on alkuperäistä pienempi, esimerkiksi jos luvut ovat 1, 2 ja 3, joista 3 poistetaan (kohta b oikein). Uuden ja vanhan keskiarvon erotus on nm a n 1 M = nm a (n 1)M n 1 = M a n 1, joten c on oikein. Uuden ja vanhan keskiarvon keskiarvo on ( ) 1 nm a 2 n 1 +M nm a+(n 1)M (2n 1)M a = = 2(n 1) 2(n 1) kunhan M 0 (kohta d väärin). P4. Laventamalla saadaan toisaalta c a+ b c + a+c a b c = c2 ac+b + ac+c2 ac b nm a 2(n 1), mutta toisaalta c a+ b c + a+c = c2 (ac b)+(ac+c 2 )(ac+b) (ac+b)(ac b) = ac3 bc 2 +ac(ac+b)+ac 3 +bc 2 a 2 c 2 b 2 = 2ac3 +ac(ac+b) a 2 c 2 b 2 a b c = c2 ac+b + ac+c2 ac b = ac(2c2 +ac+b) a 2 c 2 b 2, = ac ac b + c2 ac+b + c2 ac b = ac ac b + c2 (ac b+ac+b) (ac b)(ac+b) = ac ac b + 2ac 3 (ac b)(ac+b). Kohdat c ja d ovat siis oikein. Kun a = 2 ja b = c = 1, niin lausekkeen arvoksi saadaan c a+ b c + a+c a b c = 1 2+ 1 1 + 2+1 2 1 1 = 1 2+1 + 3 2 1 = 1 3 + 3 1 = 31 3 0,
mutta c(2bc+a 2 c+ab) = 1(2 1 1+22 1+2 1) = 2+4+2 b 2 a 2 c 2 1 2 2 2 1 2 1 4 Siis a ja b eivät tule kysymykseen. = 8 3 < 0. P5. Tunnetun kolmosen jaollisuussäännön mukaan mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle m pätee 3 m 3 S(m). Erityisesti kohta a on voimassa. Kohdan d ehto ei sen sijaan pidä paikkansa, pienin vastaesimerkki on n = 2: 7 S(14) = 5. Olkoon luvun n Z + kymmenjärjestelmäesitys n = k i=0 a i 10 i, jolloin S(n) = k a i. i=0 Olkoon vastaavasti luvun 2n kymmenjärjestelmäesitys 2n = k i=0 b i 10 i (esityksissä voidaan käyttää samaa yhtä monta numeroa, jos n:n esitys aloitetaan nollalla). Huomataan heti, että numero b i määräytyy numerosta a i ja mahdollisesta edeltävästä numerosta a i 1 niin, että b i 2a i (mod 10), ellei i > 0 ja a i 5, jolloin b i 2a i + 1 (mod 10). Luvun 2n numeroiden summa määräytyy siis luvun n numeroista niin, että kukin numeroista tuplataan ja S(2n):ään vaikuttaa tästä tuplasta ykkösosa ja mahdollinen muistinumero. Merkitään δ(a) = { 2a, kun a {0,1,2,3,4} 2a 10+1 = 2a 9, kun a {5,6,7,8,9}. Edellinen tarkastelu osoittaa tällöin, että S(2n) = k b i = i=0 k δ(a i ). i=0 Koska kaikilla i {0,...,k} pätee δ(a i ) 2a i, saadaan S(2n) = k δ(a i ) i=0 k 2a i = 2S(n), i=0 mikä on kohdan b arvio. Kohtaan c n = 5 on vastaesimerkki, nimittäin S(10) = 1 < 1 2 S(5) = 21 2.
P6. Yhtälöparin voi ratkaista: 8 x = 64 2x+y 9 x+y 3 4y = 243 { 2 3x (x+y) = 2 6 3 2(x+y) 4y = 3 5 2 3x = 64 2x+y 3 2(x+y) 3 4y = 243 { 3x (x+y) = 6 (x a 2(x+y) 4y = 5 x aidosti kasvava, kun a > 1) { { 2x y = 6 2x y = 6 2x 2y = 5 y = (2x y) (2x 2y) = 6 5 = 1 { 2x = (2x y)+y = 6+1 = 7, y = 1 josta seuraa 2xy = 7 1 = 7, joka on pariton positiivinen kokonaisluku (kohdat c ja d oikein, muut väärin.) È ÖÙ Ö Ò Ô Ö ÒØ Ø Ø ØĐ ÚĐ Ø P7. Merkitään c = AB, a = BC ja b = AC. Piirretään kuva, jossa on tehtävän suorakulmaisen kolmion ABC ja pisteen P lisäksi pisteen P kohtisuorat projektiot Q ja R kateeteille AC ja BC. B R P C Q A Kolmiot CAB, RP B ja QAP ovat tietenkin yhdenmuotoisia, koska ne ovat kaikki suorakulmaisia ja niissä on pareittain yhteinen terävä kulma. Oletuksesta P B : P C : PA = 1 : 2 : 3 seuraa PB : AB = 1 : 4 ja AP : AB = 3 : 4, joten yhdenmuotoisuudesta saadaan RP = CQ = 1 4 b ja PQ = 3 4 a. Huomataan myös, että kolmoissuhteesta seuraa PC = 2 1+3c = c/2. Soveltamalla Pythagoraan lausetta kahdesti, suorakulmaisiin kolmioihin ABC ja CQP saadaan { { a 2 +b 2 = c 2 (b/4) 2 +(3a/4) 2 = (c/2) 2 a 2 +b 2 = c 2 9a 2 +b 2 = 4c 2 { { 8a 2 = 3c 2 5a 2 3b 2 = 0 8a = 3c a : b : c = 3 : 5 : 8. 5a = 3b
P8. Kun x,y,z R, niin (x+y +z) 2 = 3(xy +xz +yz) x 2 +y 2 +z 2 +2xy +2xz +2yz = 3xy +3xz +3yz x 2 +y 2 +z 2 = xy +xz +yz 2x 2 +2y 2 +2z 2 = 2xy +2xz +2yz x 2 2xy +y 2 +x 2 2xz +z 2 +y 2 2yz z 2 = 0 (x y) 2 +(x z) 2 +(y z) 2 = 0 x y = x z = y z = 0 (t 2 0,kun t R) x = y = z. ÎĐ Ð Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. + + 2. 3. + + + V1=P3. V2=P5. V3. Oletuksen mukaan yhtälön ratkaisut ovat u d, u ja u+d joillakin luvuilla u ja d 0. Sijoittamalla juuret takaisin yhtälöön saadaan siis (u d) 3 +3a(u d) 2 +b(u d)+c = 0 u 3 +3au 2 +bu+c = 0 (u+d) 3 +3a(u+d) 2 +b(u+d)+c = 0. Laskemalla kaksi ensimmäistä yhtälöä puolittain yhteen ja käyttämällä sievennyksessä keskimmäistä hyväksi saadaan 0 = (u d) 3 +3a(u d) 2 +b(u d)+c+(u+d) 3 +3a(u+d) 2 +b(u+d)+c = u 3 3u 2 d+3ud 2 d 3 +u 3 +3u 2 d+3ud 2 +d 3 +3a(u 2 2ud+d 2 +u 2 +2du+d 2 )+b(u d+u+d)+2c = 2u 3 +6ud 2 +3a(2u 2 +2d 2 )+b 2u+2c = 2(u 3 +3au 2 +bu+c)+6ud 2 +3a(2d 2 ) = 2 0+6ud 2 +3a(2d 2 ) = 6ud 2 +6ad 2 = 6d 2 (u+a).
Koska d 0, niin yhtälöstä 6d 2 (u+a) = 0 seuraa u+a = 0 eli u = a. Siis 0 = u 3 +3au 2 +bu+c = ( a) 3 +3a( a) 2 +b( a)+c = a 3 +3a 3 ab+c = 2a 3 ab+c eli ab = 2a 3 +c (kohdan a väittämä). Kolmannen asteen juuriksi saadaan aritmeettisen kolmikon jäsenet 0, 1 ja 2, kun yhtälö on (x 0)(x 1)(x 2) = 0 eli x 3 3x 2 +2x = 0. Tässä tapauksessa a = 1 0, b = 2 ja c = 0. Huomataan, että 3a+c = 3 +0 = 3 4 = 2b ja b = 2 0 = 3ac. Siis muut vaihtoehdot ovat vääriä. ÎĐ Ð Ö Ò Ô Ö ÒØ Ø Ø ØĐ ÚĐ Ø V4. Piirretään kuva tilanteesta. A Q X B C Koska oletetaan, että BX = CX, niin kolmio BCX on tasakylkinen ja sen kantakulmat ovat yhtä suuret. Siis ACB = XCB = XBC = QBC = QAC, missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret. Koska suora AC leikkaa suoria AQ ja BC niin, että ACB = QAC, niin AQ BC. Koska AP on kohtisuorassa sivua BC vastaan, niin se on kohtisuorassa myös janaa AQ vastaan, joten kehäkulma P AQ on suora. Kehäkulmaa vastaa keskuskulma on siis oikokulma, ts. PQ on ympyrän S halkaisija.
V5. Voidaan olettaa, että laudan keskipisteiden koordinaatit ovat muotoa (x, y), missä x,y Z ja 0 x,y 2012, ja laudan ruutuihin viitataan näiden kautta. Järjestetään ensin nappulat vasempaan alakulmaan: Tartutaan siihen nappulaan, jonka x-koordinaatti on pienin, ja jos näitä on useita, valitaan näistä se, jonka y- koordinaatti on pienin. Olkoon tämä nappula ruudussa (x 0,y 0 ); siirretään se origoon pitkin vapaata reittiä (x 0,y 0 ) (x 0,0) (0,0), missä siirrot voivat olla surkastuneita, ts. voi olla x 0 = 0 tai y 0 = 0. Valitaan seuraavaksi lopuista nappuloista samoin koordinaateiltaan pienin. Olkoot sen koordinaatit (x 1,y 1 ); voidaan olettaa, että x 1 0, sillä tilanteen voi tietenkin tarvittaessa korjata muutamalla siirrolla. Siirretään se origossa olevan viereen: (x 1,y 1 ) (x 1,0) (1,0), 2 2-pikkuneliö saadaan kasaan seuraavasti: Lopuista kahdesta nappuloista toinen siirretään joko reittiä (x 2,y 2 ) (0,y 2 ) (0,1) tai (x 2,0) (x 2,2012) (0,2012) (0,1), toinen ensin oikeaan alakulmaan: (x 3,y 3 ) (2012,y 3 ) (2012,0). Asetelma saadaan nyt kasaan siirroilla (1,0) (1,2012) ja (2012,0) (1,0) ja (1,2012) (1,1). Vasemman alakulman nappuloita voi kiertää positiivisen kiertosuuntaan siirtosarjalla b:(1,0) (2012,0), a:(0,0) (2011,0) (2011,2012), d:(0,1) (0,0), c:(1,1) (0,1), b:(2012,0) (1,0) (1,2012), a:(2011,2012) (2011,0) (1,0) ja b:(1,2012) (1,1), missä selvyyden vuoksi nappulat on nimetty kirjaimilla a, b, c ja d. Tässä perusasetelmassa siis sinisen nappulan voi olettaa olevan missä vain ruudussa neljästä ruudusta. Osoitetaan, että tämä 2 2-asetelma voidaan siirtää aina yhden ruudun verran oikealle tai ylöspäin, jos vain laudan reuna ei tule vastaan. Oletetaan, että nappulat ovat ruuduissa a:(x,y), b:(x+1,y), c:(x+1,y+1) ja d:(x,y+1). Symmetrian vuoksi riittää tarkastella oikealle siirtämistä, jolloin oletetaan, että x 2010. Oletetaan lisäksi, että y > 0 ja käsitellään y = 0 erikoistapauksena. Siirretään ensin nappulat a ja c pysäyttimiksi laudan reunaan (kuvan esimerkissä on tehtävän lautaa hieman pienempi lauta): c:(x+1,y +1) (2012,y+1) ja a:(x,y) (x,0) (2012,0) (2012,y). 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
Järjestellään ylärivi: c:(2012,y+1) (x+1,y +1), 12 d:(x,y+1) (x,2012) (2012,2012) 12 (2012,y+1) (x+2,y +1), 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 jonka jälkeen asetelma saadaan kasaan: 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 a:(2012,y) (x+1,y). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 Erikoistapaus y = 0 on helppo, sillä silloin voidaan siirtää d:(x,1) (x,2012) (2012,2012) (2012,0) a:(x,0) (x,2012) (2012,2012) (2012,1) (x+2,1) ja d:(2012,0) (x+2,1). Edellä todistetusta seuraa, että mikä tahansa laudan ruutu voi tulla nappulan valloittamaksi niin, että nappula on osa 2 2-asetelmaa. Koska sininen nappula voi perusasetelmassa olla mikä neljästä nappulasta tahansa, sininenkin nappula pääsee mihin hyvänsä ruuduista.
V6. Muokataan yhtälö Diofantoksen yhtälöksi kertomalla puolittain 12mn:llä. 1 m + 4 n = 1 12n+48m = mn 12 mn 12n 48m+12 48 = 576 (m 12)(n 48) = 576. Siis n 48 576 = 9 64, mutta koska n ja n 48 ovat parittomia, saadaan n 48 9 ja erityisesti n 48 9. Koska vastaavasti m 12 64 ja m > 0, niin täytyy olla m 12 > 0 ja n 48 > 0. Siis { { { n 48 = 1 n 48 = 3 n 48 = 9 (m 12)(n 48) = 576 m 12 = 576 m 12 = 192 m 12 = 64 { { { m = 588 m = 204 m = 76 n = 49 n = 51 n = 57. ÚÓ Ò Ö A1. Ks. P6. A2. Merkitään p:llä todennäköisyyttä, että satunnaisesti valitulla henkilöllä on ko. harvinainen sairaus, ja ε:llä testivirheen todennäköisyyttä, jolloin p = 10 6 ja ε = (100 99)% = 0,01. Kysytty ehdollinen todennäköisyys on P{testihenkilö on sairas testitulos on positiivinen} = = = P{testihenkilö on sairas ja testitulos on positiivinen} P{testitulos on positiivinen} p(1 ε) p(1 ε)+(1 p)ε = 10 6 0,99 10 6 0,99+(1 10 6 ) 0,01 99 99+10 6 1 = 99 1000098 102 10 6 = 10 4 = 0,0001. A3. Piirretään A- ja B-keskiset ympyrät, joiden säde on 10 cm. Olkoot näiden ympyröiden leikkauspisteet C ja D. (Kuvassa on katkoviivoilla osuudet, joita ei ole piirretty.) C A M B D
Suora CD on tietenkin janan AB keskinormaali. Olkoon M janojen AB ja CD leikkauspiste. Tällöin AM < AC = 10 cm, koska AM on jana AC projektio suoralleab. Samoin DM = CM < AC = 10 cm. Piirretään C- ja D-keskiset ympyrät, joiden säteeksi valitaan mikä tahansa r, jolle CM < r < 10 cm. Ympyröiden leikkauspisteet olkoot X ja Y, joista X on janalla AM. Piirretään lyhyen viivoittimen avulla jana, joka alkaa pisteestä A, kulkee pisteen X kautta ja on pituudeltaan 10 cm. Koska AM < 10 cm, tämä jana sisältää janan AM. Vastaavalla tavalla voidaan piirtää jana, joka sisältää janan M B ja sisältyy janaan AB. Nämä yhdessä muodostavat janan AB. C A Y M X B D A4. Olkoon luvun n Z + kymmenjärjestelmäesitys n = k i=0 a i 10 i, jolloin S(n) = k a i. i=0 Tehtävän P5. ratkaisussa on osoitettu, että S(2n) = k δ(a i ), i=0 missä Kun a {5,6,7,8,9}, niin δ(a) = { 2a, kun a {0,1,2,3,4} 2a 9, kun a {5,6,7,8,9}. 1/5 = 2 9/5 δ(a)/a = (2a 9)/a = 2 9/a 2 9/9 = 1, joten kaikkiaan saadaan arviot 1 5 S(2n) S(n) 2.
Osoitetaan, että kaikki rationaaliluvut q, joille 1/5 q 2, ovat mahdollisia suhteen S(2n)/S(n), n Z +, arvoja. Tarkastellaan kokonaislukuja n = 5 5 }{{} 1 1 }{{}, v kpl y kpl missä v,y N ja v+y > 0. Tällöin S(n) = 5v+y ja S(2n) = δ(5) v+δ(1) y = 5v+2y. Olkoon q rationaaliluku, jolle 1/5 q 2. Kirjoitetaan q = m/n, missä m,n Z +. Osoitetaan, että voidaan valita v,y N, v +y > 0 niin, että S(2n) S(n) = v +2y 5v +y = m n (v+2y)n = m(5v +y) (n 5m)v = (m 2n)y. Valitaan nimittäin yksinkertaisesti v = 2n m ja y = 5m n. Koska m/n 2, niin m 2n ja 2n m 0. Vastaavasti koska m/n 1/5, niin 5m n ja 5m n 0. Ei voi olla v = y = 0, koska silloin olisi 2n m = 0 ja 5m n = 0, mistä seuraa 10m = 2n = m m = n = 0, mikä on mahdotonta. Siis v + y > 0 ja v ja y on onnistuttu valitsemaan niin, että S(2n) S(n) = q. Vastaus: Täsmälleen rationaaliluvut q, joille 1/5 q 2.