Hoikan teräsbetonipilarin mitoittamismenetelmien

Hoikan teräsbetonipilarin mitoittamismenetelmien perusteet Lauri Uotinen, Lauri.Uotinen@tkk.fi Rakenteiden mekaniikan laboratorio Teknillinen korkeakoulu Tiivistelmä Työssä perehdytään yleisimpien käytössä olevien hoikkien teräsbetonipilarien mitoittamismenetelmien perusteisiin ja esitetään lukijalle niiden vaikutukset, syyt ja seuraukset. Käsittelyyn on otettu Suomen rakentamismääräyskokoelman osan B4 mukainen menetelmä sekä kaksi Eurokoodissa annettua keskenään vaihtoehtoista menetelmää (nimellisen kaarevuuden menetelmä sekä momentinsuurennusmenetelmä). Menetelmien vahvuuksia, heikkouksia ja eroja selvennetään esittämällä menetelmien tekemät oletukset ja niiden vaikutukset. Johdanto Kun pilaria kuormitetaan akselin suunnassa, se kantaa tiettyyn pisteeseen asti yhä enemmän kuormaa. Jos pilari on hoikka, se saavuttaa tämän pisteen ennen kuin materiaali murtuu. Tämän jälkeen sauvan kantama kuorma vähenee ja taipuma kasvaa haitallisesti (stabiiliusmurto) (kuva ). 3 Tukeva pilari, materiaalimurto Hoikahko pilari, materiaalimurto 3 Hoikka pilari, stabiiliusmurto Kuva. Pilarin murtotavat ja hoikkuuden epälineaarinen vaikutus esitettyinä poikkileikkauksen kapasiteettikäyrän avulla [] M

Tämä vaikutus johtuu lisäepäkeskisyydestä, joka syntyy, kun pilarin taipuma kasvaa voiman vaikutuksesta. Epäkeskisyys aiheuttaa momentin lisäyksen, joka kasvattaa epäkeskisyyttä entisestään (epälineaarinen riippuvuus). Lisäksi pilarin stabiiliuden menetykseen vaikuttaa betonin halkeilun pienentämä poikkileikkauspinta-ala sekä taivutusjäyhyys. Yleensä osa kuormasta on pitkäaikaiskuormaa, jolloin myös viruma kasvattaa taipumaa. Asennuksesta ja valmistuksesta johtuvat geometriset epätarkkuudet saattavat myös kasvattaa taipumaa. ämä vaikutukset pyritään ottamaan käytössä olevissa menetelmissä huomioon tarkkuuden ja pätevyysalueen parantamiseksi. Tässä työssä perehdytään yleisimpien käytössä olevien menetelmien perusteisiin. Menetelmät sekä niiden käyttö on esitelty tarkemmin lähteessä []. Suomessa on tällä hetkellä sallittua käyttää seuraavia menetelmiä hoikkien teräsbetonipilarien mitoitukseen: Suomen rakentamismääräyskokoelman osan B4 mukainen menetelmä Betoninormikortin menetelmän ja SRMK:n osan B4 yhdistelmä Tarkemman menetelmän ja SRMK:n osan B4 yhdistelmä Eurokoodin SFS E-99- nimellisen kaarevuuden menetelmä Eurokoodin SFS E-99- momentinsuurennusmenetelmä Eurokoodin SFS E-99- yleinen menetelmä Kokeellinen menetelmä (SRMK ja E) Suomen rakentamismääräyskokoelman mukaisia menetelmiä saa käyttää siirtymäajan loppuun saakka (.4.). Eurokoodin mukaisia menetelmiä on saanut käyttää..7 alkaen. Yleisiä mitoitusperiaatteita Koska materiaalien kestävyyteen perustuva mitoitus on yleisesti tarkasti tunnettua, pyritään siihen, että voidaan kasvattaa lineaarisen teorian mukaista momenttia. Yleinen ratkaisumalli on laskea ensin ensimmäisen kertaluvun mukaiset voimasuureet ottaen huomioon mitoitus-, asennus- sekä muut epätarkkuudet. Tämän jälkeen joko lisätään epätarkkuuksiin arvio suurimmasta taipumasta tai kasvatetaan lineaarista momenttia suurennuskertoimella (kuva ). n u nd n µ µ d µ d µ = n = n d d e e = n d δ L e θ δ θ q µ Kuva. Yleinen mitoitusperiaate Kuva 3. Sauvan ja jousen yhdistelmä []

3 Lähdettä [] mukaillen voidaan momentin suurennuskertoimelle johtaa yleisesti käytössä oleva kaava seuraavasti. Kun oletetaan pienet muodonmuutokset voidaan kuvan 3 mukaisesti kirjoittaa θ δ θ = sin = 4. L [] (83) Sisäinen momentti aiheutuu kiertymästä jousen ympäri M i = q θ. [] (84) Rajatilassa ulkoinen momentti saavuttaa sisäisen momentin maksimiarvon M = M i. [] (85) Kuvasta nähdään, että suurin momentti on Yhtälöistä (83), (84) ja (85) seuraa ( + δ ) M = e. [] δ = 4 q L e + δ. [] (86) ähdään, että suurin pilarin kantama kuorma saadaan, kun e = q cr = 4. L [] (87) Yhtälöistä (86) ja (87) seuraa = e = cr δ e. cr / / Kun tämä sijoitetaan suurimman momentin kaavaan ja merkitään M = α. M α =. / cr cr M = e saadaan [] (88) [] (89) [] (9) Tätä tulosta käytetään hyväksi useissa hoikkien pilarien suunnittelunormeissa. Eurokoodissa sen johdannaista käytetään sekä teräs- että betonipilarien mitoittamiseen.

4 3 SRMK B4 mukainen menetelmä Suomen rakentamismääräyskokoelman B4 [3] mukaista menetelmää lisäepäkeskisyyden laskemiseksi saa käyttää, kun pilarin hoikkuus on alle 4. Käytännössä tämä ehto kattaa kaikki taloudellisesti järkevät tapaukset. Annettu likikaava tuottaa konservatiivisen tuloksen lisäepäkeskisyydelle e = 45 h. B4 (.54) Lisäepäkeskisyyskaavan antamia tuloksia on havainnollistettu kuvassa 4. Kuten kuvasta nähdään, tyypilliset hoikat pilarit liikkuvat,,4 alueella pilarin suuremmasta poikkileikkausmitasta (jolloin lisäepäkeskisyys vaihtelee tyypillisesti välillä 3 5 mm). Suorakaidepoikkileikkaukselle kaava voidaan johtaa muotoon e L 4 = 5,775. () h Lisäepäkeskisyys hoikkuuden funktiona lisäepäkeskisyys ( h).9.8.7.6.5.4.3.. 3 4 5 6 7 8 9 3 4 suhteellinen hoikkuus Kuva 4. Lisäepäkeskisyyskaavan (B4:.54) antamat tulokset Kaavan () antamia tuloksia on vertailtu kuvassa 5. Kuvasta nähdään, että suurimmillaan kaavan antama epäkeskisyys voi olla mm ( m korkea 3 x 3 pilari).

5 e L h Kuva 5. Suorakaidepoikkileikkaukselle saatavat lisäepäkeskisyydet [m] Jos suhteellinen normaalivoima on yli puolet poikkileikkauksen puristuskestävyydestä, saadaan lisäepäkeskisyyttä pienentää kertoimella,5 Ac d f cd. B4 s. 3 Tätä vaikutusta on havainnollistettu kuvassa 6. Vähennys voidaan tehdä, koska suurella normaalivoimalla pilari ei ehdi kaareutua kovin paljoa ennen puristuspuolen materiaalimurtoa. Veto- ja tasapainomurto voivat tapahtua, kun suhteellinen normaalivoima on,4 tai alle. Koska B4:n antama kaava menisi muuten hieman epävarmalle puolelle, on sen alkupiste nostettu arvoon,5. Erikoista on se, että B4 antama kaava on kaareva, mutta epävarmalle puolelle. Lisäksi B4:n mukaan pilarille, joka kokee puristuslujuutensa verran kuormaa, tulee käyttää reduktiokerrointa,5 lisäepäkeskisyydelle. Ottaen huomioon, että pilari on jo murtunut, voinee tätä pitää tarpeettoman konservatiivisena.

6 Lisäepäkeskisyyden pienennys normaalivoiman funktiona. lisäepäkeskisyys pienennyskerroin.8.6.4. 3 4 5 6 7 8 9 suhteellinen normaalivoima [%] Kuva 6. Lisäepäkeskisyyden pienennyskertoimen funktio 4 Momentinsuurennusmenetelmä Betonieurokoodin [4] Momentinsuurennusmenetelmässä poikkileikkaukselle lasketaan nimellinen taivutusjäykkyys, jonka laskennassa otetaan huomioon osa betoniin vaikuttavista epävarmuustekijöistä (viruma, halkeilu ja kimmomoduulin epälineaarisuus). imellisjäykkyys lasketaan kaavalla EI = K E I + K E I, c cd c s s s EC (5.) jossa betonin ja teräksen kertoimet ovat yleensä K c K s = k k = + ϕ, eff EC (5.) jossa betonin kertoimen tekijät ovat k f ck = EC (5.3) mm k = n,, 7 EC (5.4)

7 jossa f ck n on betonin sylinteripuristuslujuus on suhteellinen hoikkuus on suhteellinen normaalivoima. Betonikertoimen osakerroin k.5 betonikertoimen osakerroin k.5.5 3 4 5 6 7 8 betonin sylinteripuristuslujuus [MPa] Kuva 7. Puristuslujuuden vaikutus betonikertoimen osakertoimeen k Kerroin k riippuu betonin lujuudesta. Sylinteripuristuslujuuden arvon vaikutus siihen on esitetty kuvassa 5. Kuvasta huomataan, että 8 MPa:n alueella kerroin saa lähes lineaarisesti arvot väliltä. Tämä approksimaatio tekee vain vähäisen virheen varmalle puolelle. Alle MPa:n betonien käyttäminen hoikissa pilareissa on epätaloudellista ja lujuusominaisuuksista johtuen yleensä mahdotonta. Betonieurokoodi implikoi, että tyypillinen hoikkuusluku on 5 luokkaa, koska kertoimelle k on annettu yksinkertaistus, jossa / 7 =, 3. Kuvasta 7 nähdään, että tätä yksinkertaistusta voidaan aina käyttää. Jos todellinen hoikkuus on enemmän kuin 5, on tehty virhe varmalla puolella. Jos todellinen hoikkuus on alle 5, riippuu virheen suuruus lineaarisesti suhteellisesta normaalivoimasta. ormaalivoiman ollessa alle,4 voidaan virhettä pitää pienenä. Jos hoikkuuslukua pienennetään, heikkenee samalla epälineaarinen vaikutus.

8 ϕ =, n =, 5 ef ϕ ef n ϕ =, n =, 5 ef ϕ ef n ϕ =, n ϕ ef ef =, 5 n Kuva 8. Betonin tehokkuuskerroin, kun betonin lujuus on K5- (sylinterilujuus 4 MPa) ja virumaluku saa kuvassa esitetyt arvot. Kuvasta 8 käy ilmi myös tehollisen viruman voimakas pienentävä vaikutus betonin kertoimeen. Muutos on suurin pienillä tehollisen viruman arvoilla ja pienenee viruman kasvaessa. Kun tehollinen viruma kasvaa arvoon, on betonin kerroin 5 % lyhytaikaisesta kertoimesta. Viruman kasvaessa arvoon on betonin kerroin pudonnut arvoon 33 % lyhytaikaisesta kertoimesta.

9 4. Betonin kimmomoduuli Betonin kimmomoduulin mitoitusarvona ei käytetä sekanttimoduulia vaan se saadaan kaavalla jossa E cm E E cm cd =, γ CE on betonin sekanttikerroin γ on kimmomoduulin varmuuskerroin (Suomessa,). CE EC (5.) Varmuuskertoimen aiheuttaman 6,7 % reduktion voi tietysti ajatella myös suoraan betonin kertoimeen, jolloin tyypilliset reduktiokertoimet betonin sekanttikertoimelle saavat arvoja väliltä,8,6. Huomaamme samalla, että optimitilanteessa betonin sekanttikertoimesta voidaan hyödyntää enintään 6,3 %. äin ollen teräksillä sekä niiden sijainnilla on ratkaiseva osuus teräsbetonirakenteen nimellisjäykkyyden arvon kannalta. Tyypillisillä raudoitusmäärillä on teräsmäärän ja sijainnin merkitys nimellisjäykkyyden kannalta 5 4 %. 4. Momentin suurennuskerroin Lopullinen suunnittelumomentti saadaan kaavasta π jossa β on c M Ed = M Ed + β, B Ed π EI = B on laajennettu Eulerin nurjahduskuorma B l EC (5.8) c voi saada arvot 8; 9,6 tai riippuen momenttijakaumasta. Arvion virheestä saamme vertaamalla kaavan antamia tuloksia lähteen [] kaavassa (6) johdettuun sekanttikaavan antamaan momenttiin M Ed.sec = M Ed π sec Ed B. [] (6) sov.

Approksimaatiokaavan tarkkuus momentin kerroin 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3,,,3,4,5,6,7,8,9 suhteellinen kuormitus MSM(8) MSM(9,6) MSM() SEC Kuva 9. Momentinsuurennuskertoimen skaalattu arvo verrattuna sekanttikaavan antamaan arvoon suhteellisen kuormituksen / funktiona Kuvassa 9 on esitetty momentinsuurennuskertoimia graafisesti. Lähteen [5] mukaan virhe on alle %, kun suhteellinen kuormitus on alle,5 (ja c = π ). Kuvasta nähdään, että c arvolla 8 approksimaatio on kohtalaisen tarkka koko alueella ja ero on alle 3 %. c arvolla 9,6 ero on noin % ja c arvolla ero on noin 9 %. Erolla pyritään ottamaan huomioon se, ettei taipuma tapahdu sinimuotoisesti ellei momenttijakauma ole vakio. Ed B r p r n polvistuminen nurjahtaminen Kuva. Kaarevuus tasapainotilanteessa suurimman taipuman kohdalla

Kun momenttijakauma lähestyy kolmiojakaumaa ( c = ), ilmiö muuttuu yhä enemmän polvistumiseksi (engl. kneeling), jossa keskialue käyristyy huomattavasti enemmän kuin muut pilarin alueet. Tämä vaatii enemmän energiaa kuin sinimuotoinen taipuma ja on muutenkin ilmiönä lähempänä materiaalimurtoa kuin stabiiliuden menetystä. äin ollen momentinsuurennuskerrointa on voitu pienentää. Kuvassa on havainnollistettu eroa kaarevuudessa. 5 imellisen kaarevuuden menetelmä imellisen kaarevuuden menetelmässä arvioidaan pilarin taipuma sinimuotoisen kaarevuuden avulla. Suurimmalle taipumalle on annettu yhtälö l e =, r c jossa l on nurjahduspituus c on kokonaiskaarevuusjakauman kerroin (yleensä 8 tai ). EC s. 7 Kaarevuutta arvioidaan kaavalla jossa K r K ϕ = K r Kϕ, r r on normaalivoiman korjauskerroin on viruman korjauskerroin. EC (5.34) Suurin mahdollinen kaarevuus saadaan kapasiteettikäyrän tasapainopisteessä kaavalla r ε yd =, 45 d. EC s. 7 Tämä kaava voidaan graafisesti johtaa (kuva ), kun tiedetään, että puristuspinnassa on saavutettu betonin myötölujuus ja vetopinnassa teräksen myötölujuus ja oletetaan, että d / h = / 9 %. ( ) ε c ε s r,45d Kuva. Kaarevuus tasapainotilanteessa suurimman taipuman kohdalla

äin ollen tämä kaava antaa lähes tarkkoja tuloksia, kun d / h =, 9 ja noin 4,4 % varmalla puolella olevia tuloksia, kun d / h =, 95. Pilareissa vetoraudoituksen sijainti vaihtelee yleensä alueella d / h =,9K, 95. 5. ormaalivoiman reduktiokerroin ormaalivoiman suuruudesta johtuva reduktio suurimman taipuman lausekkeessa lasketaan kaavalla nu n K r =. n n u bal EC (5.36) Kaavalla otetaan huomioon pilarin saavuttama suurin mahdollinen kaarevuus. ormaalivoiman kasvaminen yli tasapainomurron tarkoittaa pilarin puristusmurtoa, jolloin vetoteräkset eivät ehdi saavuttaa myötörajaansa (ja myötövenymäänsä). Riippuen pilarin sekä raudoituksen geometriasta tämä vaikutus on jonkin verran epälineaarinen. Kuten kuvasta nähdään, annettu yksinkertaistus on hieman (epälineaarisen osan vaakakomponentin verran) epävarmalla puolella. Kun suhteellinen normaalivoima on alle tasapainopisteen (vetoteräkset myötäävät), on annettu yksinkertaistus huomattavan paljon varmalla puolella. Tällaiset tilanteet ovat todellisissa pilareissa harvinaisia, koska yleensä pilari kantaa yläpuolisten rakenteiden pysyviä kuormia. Lähes puhtaasti momentin kuormittamissa rakenteissa tämä yksinkertaistus johtaa karkeasti ottaen noin 3 % teoreettista suurempaan maksimitaipuma-arvioon. n n u K r nu n = n n u bal n bal M K r Kuva. ormaalivoiman Reduktiokerroin esitettynä poikkileikkauksen kapasiteettikäyrän avulla (soveltaen lähteestä [7])

3 5. Viruman reduktiokerroin Virumisen vaikutus huomioidaan kertoimella jossa β on f,35 + ck. 5 Kϕ = + βϕef, EC (5.36) Kuvassa 3 on esitetty kertoimen β arvoja sylinteripuristuslujuuden ja hoikkuuden funktiona. Kuvasta huomataan, että kun hoikkuus lähestyy arvoa, ei kertoimen arvolla ole enää kovin suurta merkitystä riippumatta betonin puristuslujuudesta. Hoikkuus pienentää kertoimen arvoa voimakkaasti ja jo hoikkuuden arvolla 6 on kertoimen arvo enää noin, tyypillisillä pilarin lujuuksilla. Erikoisena voidaan pitää sitä, että mitä lujempaa betonia käytetään sitä enemmän se viruu. Tämä otaksuma on päinvastaisia verrattuna momentinsuurennusmenetelmään, jossa lujuuden lisääntyminen kasvattaa nimellistä taivutusjäykkyyttä. Hoikkuuden lisääntyminen pienentää viruman vaikutusta, koska jännityserot jäävät pienemmiksi. Tämä oletus on yhdenmukainen momentinsuurennusmenetelmän kanssa. Kuva 3. Virumakertoimen β arvo suhteellisen hoikkuuden ja betonin sylinteripuristuslujuuden avulla esitettynä

4 Viruman vaikutusta on havainnollistettu taulukossa. Tyypillisen pilarin taipuma kasvaa noin % viruman seurauksena. Tyypillisesti tehollisen viruman arvot eivät ylitä kahta. Taulukko. Viruman vaikutus eri β -kertoimen arvoilla. Kϕ β ϕef,,,3,4,5,6,7,8,,,,,,,,,5,,,,,3,3,4,4,,,,3,4,5,6,7,8,5,,3,5,6,8,9,,,,,4,6,8,,,4,6,5,3,5,8,,3,5,8 3, 3,,3,6,9,,5,8 3, 3,4 5.3 Suunnittelumomentin määrittäminen Kun arvio suurimmalle taipumalle on laskettu, voidaan suunnittelumomentti laskea kaavalla jossa M on e Ed. M = M Ed M, Ed + EC (5.3) 6 Johtopäätökset Koska nimellisen kaarevuuden menetelmässä kaikki kohdat ovat intuitiivisia ja menetelmän saavuttamat tulokset ovat riittävän tarkkoja, suosittelen sen käyttämistä. Menetelmä on muuten samankaltainen kuin BS 8 menetelmä, paitsi että epälineaariset momentit lasketaan hieman eri tavalla. Menetelmää ei tule käyttää, jos tiedetään että pilarin taipuma ei noudata likimain sinikäyrää. Momentinsuurennusmenetelmä on kalibroitu antamaan hyviä tuloksia, mutta samalla suunnittelija on menettänyt käsityksen siitä mitä kussakin vaiheessa tapahtuu. Jos nimellinen taivutusjäykkyys saadaan arvioitua hyvin, antaa kaava järkevän arvion lopputuloksesta. Kim ja Lee [8] huomasivat tutkimuksessaan, että suhteellisen normaalivoiman arvoilla,,4 momentinsuurennusmenetelmä antaa hyviä tuloksia. Sitä pienemmillä arvoilla sen antamat tulokset ovat epäkonservatiivisia ja suuremmilla arvoilla konservatiivisia. Suomen rakentamismääräyskokoelman menetelmä on kaikista helpoin ja nopein käyttää. Muihin menetelmiin verrattuna, sen antamat kapasiteetit ovat jonkin verran suurempia kuin muissa menetelmissä [] ja tulokset olivat kohtuullisen lähellä sekanttikaavan antamia arvoja. Tämä ero voi johtua nimellisen kaarevuuden menetelmään sekä momentisuurennusmenetelmään sisäänrakennetusta varmuudesta.

5 7 Lähteet [] Uotinen L., Hoikkien teräsbetonipilarien mitoitus, erikoistyö, 8 [] Paasikallio K., Teräsbetonipilarin analysointi ja mitoittaminen, TKK, Rakennetekniikan laitos, julkaisu 3, 98 [3] Suomen rakentamismääräyskokoelma, osa B4: Betonirakenteet, 5 [4] Eurokoodi SFS E-99--: Betonirakenteiden suunnittelu, 5 [5] Park R. & Paulay T., Reinforced Concrete Structures, 975 [6] arayanan R. S. & Beeby A., Designers guide to E99-- and E99-- [7] Salminen M., Teräsbetonisen mastopilarin palomitoitus Eurokoodin mukaan, diplomityö, Tampereen teknillinen yliopisto, 7 [8] Kim J-K & Lee S-S, The behaviour of reinforced concrete columns subjected to axial force and biaxial bending, article,, Engineering Structures 3