Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005)

2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

2 k -faktorikokeet: Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta vastemuuttujaan tilanteessa, jossa tekijöillä on vain kaksi tasoa? Esitiedot: Yksisuuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Useampisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

2 k -faktorikokeet Avainsanat F-testi Faktorikoe Interaktio Jäännösneliösumma k-suuntainen varianssianalyysi Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo Kokonaisneliösumma Kokonaisvaihtelu Kolmisuuntainen varianssianalyysi Koodaus Kontrasti Luonnollinen muuttuja Neliösumma Odotusarvo Päävaikutus Reunakeskiarvo Ryhmä Taso Testi Vapausaste Varianssi Varianssianalyysihajotelma Varianssianalyysitaulukko Vastemuuttuja Vastepintamalli Yhdysvaikutus TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

2 k -faktorikokeet >> 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeen määritelmä Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kaksi faktoria eli tekijää A, B joilla molemmilla on kaksi tasoa: matala ()ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: 2 2 -faktorikokeen tilastollinen malli on kaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

2 2 -faktorikokeet Käsittelykombinaatiot 2 2 -faktorikokeessa Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2 2 = 2 2 = 4 käsittelykombinaatiota: A B Käsittelykombinaatio A = matala B = matala A = korkea B = matala A = matala B = korkea A = korkea B = korkea TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7

2 2 -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen /2 Käytetään käsittelykombinaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden A ja B korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a ja b. (ii) Merkitään tekijöiden A ja B matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon molempien tekijöiden matalan tason () merkintänä (). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8

2 2 -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen 2/2 Käsittelykombinaatioiden merkinnät voidaan koota seuraavaksi taulukoksi: A B Merkintä () a b ab TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9

2 2 -faktorikokeet Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 2 n = 2 2 n = 4n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: () = Havaintoarvojen summa, kun A = (), B = () a = Havaintoarvojen summa, kun A = (), B = () b = Havaintoarvojen summa, kun A = (), B = () ab = Havaintoarvojen summa, kun A = (), B = () TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 0

2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeen koeasetelma: Havainnollistus 2 2 -faktorikokeen koeasetelmaa ja kokeen tuloksia voidaan havainnollistaa neliöllä: b ab B () a A TKK (c) Ilkka Mellin (2005)

2 2 -faktorikokeet Tekijän A päävaikutus Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on matala (): a () n B b Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on korkea (): ab b A n Tekijän A päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: ab b a () A= = [ ab ab ()] 2 n n 2n () a ab TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

2 2 -faktorikokeet Tekijän B päävaikutus Tekijän Bvaikutus, kun tekijän A taso on matala (): b () n B b Tekijän Bvaikutus, kun tekijän A taso on korkea (): ab a A n Tekijän B päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: ab a b () B= = [ ab a b ()] 2 n n 2n () a ab TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

2 2 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus /2 Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus on puolet tekijän A vaikutuksien keskiarvojen erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän B tasolla. Tekijän A vaikutus, kun tekijän B taso on korkea (): (ab b)/n Tekijän A vaikutus, kun tekijän B taso on matala (): (a ())/n b ab B () a A TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

2 2 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus 2/2 Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus: ab b a () AB = 2 n n ab a b () = 2 n n ab () a b = 2 n n b ab B () a A = [ ab a b ()] 2n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

2 2 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat kontrasteja Tekijöiden A ja B päävaikutukset sekä yhdysvaikutus ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): A= [ ab ab ()] 2n b ab B () a A B= [ ab a b ()] 2n AB = [ ab a b ()] 2n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

2 2 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksen neliösummat Koska tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavoilla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSA = [ ab a b ()] 4n SSB = [ ab a b ()] 4n SSAB = [ ab a b ()] 4n 2 2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 7

2 2 -faktorikokeet Havaintojen kokonaisneliösumma Olkoon y kij = k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j) k =, 2,, n, i =, 2, j =, 2 Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on 2 2 n 2 2 n SST = ( ykij y ) = iii ykij T 4n jossa 2 2 2 iii i= j= k= i= j= k= 2 2 n T = y = ab a b () iii i= j= k= on kaikkien havaintoarvojen summa. kij TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 8

2 2 -faktorikokeet Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma kaavalla: 2 2 SSE = ( y y ) n i= j= k= n k = kij ryhmän (i, j) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. iij jossa n y ij = i ykij, i=,2, j =,2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 9

2 2 -faktorikokeet Varianssianalyysihajotelma Voidaan osoittaa, että (ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi): SST = SSA SSB SSAB SSE jossa SSE on kaksisuuntaisen varianssianalyysin mallin jäännösneliösumma. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 20

2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeen nollahypoteesit 2 2 -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat muotoa: H AB : Ei yhdysvaikutusta H A H B : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2

2 2 -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko 2 2 -faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H AB, H A, H B perustuvat seuraavaan varianssianalyysitaulukkoon: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE A SSA MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB MSB = SSB/df F B = MSB/MSE AB SSAB MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE Jäännös SSE 4(n ) MSE = SSE/df Kokonaisvaihtelu SST 4n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 22

2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät A ja B ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon A = Tekijän A arvo, kun tekijän A taso on korkea () A = Tekijän A arvo, kun tekijän A taso on matala () B = Tekijän B arvo, kun tekijän B taso on korkea () B = Tekijän B arvo, kun tekijän B taso on matala () TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 23

2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 2/4 Määritellään koodatut muuttujat A ( A A)/2 x =, A= A, A ( A A )/2 B ( B B)/2 x2 =, B= B, B ( B B )/2 Koodattujen muuttujien x ja x 2 arvot:, jos A = A x =, jos A = A x 2 =, jos B = B, jos B = B TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 24

2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 3/4 2 2 -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli jossa y= β β x β x β x x ε y x x 2 0 2 2 2 2 = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja = Päävaikutusta A vastaava koodattu selittäjä = Päävaikutusta B vastaava koodattu selittäjä x x 2 = Tekijöiden A ja B interaktiota vastaava koodattujen selittäjien x ja x 2 tulo TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 25

2 2 -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 4/4 Mallin y= β β x β x β x x ε 0 2 2 2 2 regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: b 0 2 2 = Kaikkien havaintoarvojen aritm. keskiarvo 2b = A = Tekijän A päävaikutus 2b = B = Tekijän B päävaikutus 2b = AB = Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 26

2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet >> 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 27

2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeen määritelmä Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten kolme faktoria eli tekijää A, B, C joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala () ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: 2 3 -faktorikokeen tilastollinen malli on kolmisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Useampisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 28

2 3 -faktorikokeet Käsittelykombinaatiot 2 3 -faktorikokeessa Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2 2 2 = 2 3 = 8 käsittelykombinaatiota: A B C A = matala B = matala C = matala A = korkea Käsittelykombinaatio A = matala B = korkea B = matala C = matala C = matala A = korkea B = korkea C = matala A = matala B = matala C = korkea A = korkea A = matala B = korkea B = matala C = korkea C = korkea A = korkea B = korkea C = korkea TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 29

2 3 -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen /2 Käytetään käsittelykombinaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden A, B, C korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a, b ja c. (ii) Merkitään tekijöiden A, B, C matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien kolmen tekijän matalan tason () merkintänä (). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 30

2 3 -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen 2/2 Käsittelykombinaatioiden merkinnät voidaan koota seuraavaksi taulukoksi: A B C Merkintä () a b ab c ac bc abc TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 3

2 3 -faktorikokeet Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 2 2 n = 2 3 n = 8n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: (), a, b, ab, c, ac, bc, abc TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 32

2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeen koeasetelma: Havainnollistus 2 3 -faktorikokeen koeasetelmaa ja kokeen tuloksia voidaan havainnollistaa kuutiolla: bc abc c ac C b ab () a B A TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 33

2 3 -faktorikokeet Tekijän A päävaikutus /2 Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on matala () ja tekijän C taso on matala (): (a ())/n Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on korkea () ja tekijän C taso on matala (): (ab b)/n Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on matala () ja tekijän C taso on korkea (): (ac c)/n Tekijän Avaikutus, kun tekijän B taso on korkea () ja tekijän C taso on korkea (): (abc bc)/n Tekijän A päävaikutus on edellisten keskiarvo: A = [( a ()) ( ab b) ( ac c) ( abc bc)]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 34

2 3 -faktorikokeet Tekijän A päävaikutus 2/2 Tekijän A päävaikutus saadaan myös seuraavalla tavalla: (i) Lasketaan tekijän A vaikutusten keskiarvo, kun tekijän A taso on korkea (): ( abc ab ac a)/(4 n) (ii) Lasketaan tekijän A vaikutusten keskiarvo, kun tekijän A taso on matala (): ( bc b c ())/(4 n) (iii) Tekijän A päävaikutus on edellisten erotus: A = [( abc ab ac a) ( bc b c ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 35

2 3 -faktorikokeet Tekijöiden B ja C päävaikutukset Samalla tavalla kuin tekijän A päävaikutus saadaan tekijöiden B ja C päävaikutukset: B = [( abc ab bc b) ( ac a c ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) C = [( abc ac bc c) ( ab a b ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 36

2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus /2 Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus on puolet tekijän A vaikutuksien keskiarvojen erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän B tasolla. Tekijän A vaikutuksien keskiarvo, kun tekijän B taso on korkea (): [(abc bc) (ab b)]/(2n) Tekijän A vaikutuksien keskiarvo, kun tekijän B taso on matala (): [(ac c) (a ())]/(2n) Siten tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus on AB = [( abc bc) ( ab b) ( ac c) ( a ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 37

2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus 2/2 Tekijöiden A ja B interaktio saadaan myös seuraavalla tavalla: (i) Lasketaan tekijöiden A ja B vaikutusten keskiarvo, kun molempien tekijöiden A ja B taso on samanaikaisesti korkea () tai matala (): ( abc ab c ())/(4 n) (ii) Lasketaan tekijöiden A ja B vaikutusten keskiarvo, kun toisen tekijän A ja B taso on korkea () ja toisen matala (): ( ac bc a b)/(4 n) (iii) Tekijöiden A ja B interaktio on edellisten erotus: AB = [( abc ab c ()) ( ac bc a b)]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 38

2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja C ja tekijöiden B ja C yhdysvaikutukset Samalla tavalla kuin tekijöiden A ja B yhdysvaikutus saadaan tekijöiden A ja C ja tekijöiden B ja C interaktioiksi eli yhdysvaikutukset: AC = [( abc ac b ()) ( ab bc a c)]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) BC = [( abc bc a ()) ( ab ac b c)]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 39

2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C yhdysvaikutus Tekijöiden A, B, C interaktio eli yhdysvaikutus on puolet tekijän AB interaktioiden erotuksesta korkealla () ja matalalla () tekijän C tasolla: ABC = [( abc bc) ( ac c) ( ab b) ( a ())]/(4 n) = [( abc a b c) ( ab ac bc ())]/(4 n) = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 40

2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A, B ja C pää- ja yhdysyhdysvaikutuksien geometrinen havainnollistaminen 2 3 -faktorikokeeseen liittyviä pää- ja yhdysvaikutuksia voidaan havainnollistaa seuraavilla kaavioilla: c ac b A B C () a bc abc ab AB AC CB ABC TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 4

2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat kontrasteja Tekijöiden A, B, C päävaikutukset sekä yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): A = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) B = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) C = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) AB = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) AC = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) BC = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) ABC = [ abc ab ac bc a b c ()]/(4 n) TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 42

2 3 -faktorikokeet Tekijöiden A ja B päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummat Koska tekijöiden A, B, C päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSX jossa = 2nX X = A, B, C, AB, AC, BC, ABC viittaa vastaavaan kontrastiin. 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 43

2 3 -faktorikokeet Havaintojen kokonaisneliösumma Olkoon jossa y lijk = l. havainto tekijän A tason i, tekijän B tason j ja tekijän C tason k määräämässä ryhmässä (i, j, k) l =, 2,, n, i =, 2, j =, 2, k =, 2 Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on SST = y y = y T T iiii = 2 2 2 n 2 2 2 n 2 2 2 ( ) lijk iiii lijk iiii i= j= k= l= i= j= k= l= 8n 2 2 2 n i= j= k= l= = abc ab ac bc a b c () on kaikkien havaintoarvojen summa. y lijk TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 44

2 3 -faktorikokeet Ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava neliösumma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava (jäännös-) neliösumma kaavalla: 2 2 2 SSE = ( y y ) n i= j= k= l= n l = lijk ryhmän (i, j, k) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. iijk jossa n y ijk = i ylijk, i=,2, j =,2, k =,2 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 45

2 3 -faktorikokeet Varianssianalyysihajotelma Voidaan osoittaa, että (ks. lukua Kaksisuuntainen varianssianalyysi): SST = SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC SSE jossa SSE on kolmisuuntaisen varianssianalyysin mallin jäännösneliösumma. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 46

2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeen nollahypoteesit 2 3 -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat muotoa: H ABC : Ei yhdysvaikutusta ABC H AB H AC H BC H A H B H C : Ei yhdysvaikutusta AB : Ei yhdysvaikutusta AC : Ei yhdysvaikutusta BC : Ei A-vaikutusta : Ei B-vaikutusta : Ei C-vaikutusta TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 47

2 3 -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko /2 2 3 -faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H ABC, H AB, H AC, H BC, H A, H B, H C perustuvat seuraavan kalvon varianssianalyysitaulukkoon. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 48

2 3 -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko 2/2 Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE A SSA MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB MSB = SSB/df F B = MSB/MSE C SSC MSC = SSC/df F C = MSC/MSE AB SSAB MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE AC SSAC MSAC = SSAC/df F AC = MSAC/MSE BC SSBC MSBC = SSBC/df F BC = MSBC/MSE ABC SSABC MSABC = SSABC/df F ABC = MSABC/MSE Jäännös SSE 8(n ) MSE = SSE/df Kokonaisvaihtelu SST 8n TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 49

2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät A, B, C ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea () X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala () jossa X = A, B, C TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 50

2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 2/4 Määritellään koodatut muuttujat X ( X X)/2 x=, X = X, X ( X X)/2 Koodattujen muuttujien x arvot:, jos X X x = =, jos X = X TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 5

2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 3/4 2 3 -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli jossa y= β β x β x β x y x i x i x j 0 2 2 3 3 β xx β xx β xx β xxx ε 2 2 3 3 23 2 3 23 2 3 = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja = Päävaikutuksia vastaavat koodatut selittäjät = Tekijöiden A, B, C pareittaisia interaktioita vastaavat koodattujen selittäjien tulot x x 2 x 3 = Tekijöiden A, B, C interaktiota vastaava koodattujen selittäjien tulo TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 52

2 3 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet ja regressioanalyysi 4/4 Mallin y= β β x β x β x β2xx 2 β3xx 3 β23xx 2 3 β23xxx 2 3 ε regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: b0 = Kaikkien havaintoarvojen aritm. keskiarvo 2bi = Tekijöiden A, B, C päävaikutukset 2b = Tekijöiden pareittaiset yhdysvaikutukset ij 2b = Tekijöiden A, B, C yhdysvaikutus 23 0 2 2 3 3 Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 53

2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet >> 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 54

2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeen määritelmä Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten k faktoria eli tekijää A, B, C,, K joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala () ja korkea () vaikuttavat kiinnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Huomautus: 2 k -faktorikokeen tilastollinen malli on k-suuntaisen varianssianalyysin tilastollisen mallin erikoistapaus; ks. lukua Useampisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 55

2 k -faktorikokeet Käsittelykombinaatiot 2 k -faktorikokeessa Siten kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2#$%$& 2 " 2= 2 k k kpl käsittelykombinaatiota. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 56

2 k -faktorikokeet Käsittelykombinaatioiden merkitseminen Käytetään käsittelykombinaatioille seuraavaa merkintätapaa: (i) Merkitään tekijöiden A, B, C,, K korkeata tasoa () vastaavilla pienillä kirjaimilla a, b, c,, k. (ii) Merkitään tekijöiden A, B, C,, K matalaa tasoa () jättämällä vastaavat pienet kirjaimet merkitsemättä. (iii) Olkoon kaikkien tekijöiden matalan tason () merkintänä (). 2 k -faktorikokokeen koeasetelmaa voidaan havainnollistaa k-dimensionaalisella kuutiolla; ks. esimerkkejä kappaleissa 2 2 -faktorikokeet ja 2 3 -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 57

2 k -faktorikokeet Havaintoarvojen kokonaissummien merkitseminen Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 k n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: () a, b,, k ab, ac,, jk abc, abd,, ijk abc k TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 58

2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen /2 Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja interaktiot eli yhdysvaikutukset voidaan määrätä kaavalla X = a± b± k± n k ( )( ) "( )/( 2 ) jossa X viittaa määrättävään päävaikutukseen tai yhdysvaikutukseen ja merkit sulkulausekkeissa määräytyvät seuraavan säännön mukaan: Merkki =, jos vastaava tekijä on mukana määrättävässä vaikutuksessa Merkki =, jos vastaava tekijä ei ole mukana määrättävässä vaikutuksessa Lisäksi on korvattava laskutoimitusten jälkeen merkinnällä (). TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 59

2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien määrääminen 2/2 Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset sekä yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja; ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 60

2 k -faktorikokeet Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutuksien ja yhdysvaikutuksien neliösummien määrääminen Koska tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla (ks. lukua Yksisuuntainen varianssianalyysi): SSX = n X 2 2 2 k jossa X viittaa vastaavaan kontrastiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 6

2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko Testit 2 k -faktorikokeen nollahypoteeseille perustuvat seuraavilla kalvoilla esitettävään varianssianalyysitaulukkoon. Täydellisestä taulukosta esitetään seuraavat neljä osaa: (i) Päävaikutukset (ii) Kahden tekijän interaktiot (iii) Kolmen tekijän interaktiot (iv) k:n tekijän interaktiot, jäännösvaihtelu, kokonaisvaihtelu TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 62

2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: Päävaikutukset Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE A SSA MSA F A = MSA/MSE B SSB MSB F B = MSB/MSE C SSC MSC F C = MSC/MSE K SSK MSK F K = MSK/MSE Päävaikutusten lukumäärä: k TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 63

2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: Kahden tekijän interaktiot Tekijöiden A, B, C,, K kahden tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE AB SSAB MSAB F AB = MSAB/MSE AC SSAC MSAC F AC = MSAC/MSE JK SSJK MSJK F JK = MSJK/MSE Kahden tekijän interaktioiden lukumäärä: k 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 64

2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: Kolmen tekijän interaktiot Tekijöiden A, B, C,, K kolmen tekijän interaktiot: Vaihtelun lähde SS df MS = SS/df F = MS/MSE ABC SSABC MSABC F ABC = MSABC/MSE ABD SSABD MSABD F ABD = MSABD/MSE IJK SSIJK MSIJK F IJK = MSIJK/MSE Kolmen tekijän interaktioiden lukumäärä: k 3 TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 65

2 k -faktorikokeet Varianssianalyysitaulukko: k:n tekijän interaktio, jäännös- ja kokonaisvaihtelu Tekijöiden A, B, C,, K k:n tekijän interaktio, jäännösvaihtelu ja kokonaisvaihtelu: Vaihtelun lähde ABC K Kokonaisvaihtelu Jäännösvaihtelu SS SSABC K SSE SST 2 k (n ) 2 k n MSABC K MSE k:n tekijän interaktioiden lukumäärä: df MS = SS/df k = k F = MS/MSE F ABC K = MSABC K/MSE TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 66

2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi /4 Oletetaan, että tekijät A, B, C,, K ovat kvantitatiivisia. Kutsumme tekijöitä luonnollisiksi muuttujiksi, jos niiden arvot on annettu luonnollisissa mittayksiköissä. Olkoon X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on korkea () X = Tekijän X arvo, kun tekijän X taso on matala () jossa X = A, B, C,, K TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 67

2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi 2/4 Määritellään koodatut muuttujat X ( X X)/2 x=, X = X, X ( X X)/2 Koodattujen muuttujien x arvot:, jos X = X x =, jos X = X TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 68

2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi 3/4 2 k -faktorikokeen tulokset saadaan myös sovittamalla havaintoihin PNS-menetelmällä lineaarinen regressiomalli jossa y x i = Selitettävä muuttuja = Vastemuuttuja = Päävaikutuksia A, B, C,, K vastaavat koodatut selittäjät x i x j = Kahden tekijän interaktioita vastaavat tulot x i x j x l = Kolmen tekijän interaktiota vastaavat tulot 0 k " y= β β x β xx β xx x ε i i ij i j ijk i j l i= i< j i< j< l TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 69

2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet ja regressioanalyysi 4/4 Mallin regressiokertoimien PNS-estimaattoreilla on seuraavat ominaisuudet: b0 = Kaikkien havaintojen aritmeettinen keskiarvo 2bi = Tekijöiden A, B, C,, K päävaikutukset 2b = Kahden tekijän yhdysvaikutukset ij 2b = Kolmen tekijän ijl 0 k " y= β β x β xx β xx x ε i i ij i j ijk i j l i= i< j i< j< l yhdysvaikutukset " Mallia kutsutaan koesuunnittelussa (. asteen) vastepintamalliksi; ks. lukua Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 70