Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925: Heisenbergin matriisimekaniikka 1926: Schrödingerin yhtälö 1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate 1928: Diracin yhtälö 1949: Quantum Electrodynamics (QED) 1964: Higgsin mekanismi 1965: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) 1967: sähköheikko vuorovaikutus 1973: asymptoottinen vapaus 1971-1976: supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria, supergravitaatio 1
Diracin yhtälö Kvan%mekaniikka on epärela8vis8nen teoria. Schrödingerin yhtälö on rakenne=u klassisen mekaniikan liike- energiasta läh8en, joten se on kovarian% (eli säily=ää muotonsa) Galilei- muunnoksissa, ei Lorentz- muunnoksissa. E = 1 2 mv2 = p2 2m Ĥ = ˆp 2 2m +V(x) i!!!!t = # % "!2 $ 2m! 2!x +V(x) & (! 2 ' Kvan%mekaniikka on siis ris8riidassa suppean suhteellisuusteorian kanssa. 2
Galilei- muunnos: t! t ' = t x! x' = x " vt!!t =!!t ' " v!!x',!!x =!!x' i!!!!t = # "!2! 2 2m!x +V(x) & % (! $ 2 ' ) i!!!!! " i!v!t '!x' = # % "!2 $ 2m! 2!x' +V(x') & (! 2 ' Schrödingerin yhtälö ei säilytä muotoaan. Todennäköisyys8heys säilyy kuitenkin samana. Jos määritellään, niin saadaan i!!! '!t ' # = "!2! 2 2m!x' +V(x') & % (! ' $ 2 ' Lisäksi! '(t ', x') 2 =!(t, x) 2. 2! ' = e!im! vx!imv! t! 3
Lorentz- muunnoksen kohdalla samaa temppua ei voi tehdä. ( ) t! t ' =! t " vx / c 2 ( ) x! x' =! x " vt! #1/ 1" v 2 / c 2!!t =!!!t ' "!v!!x'!!x =!!!x' "!v! c 2!t ' i!!!!t = # "!2! 2 2m!x +V(x) & % (! $ 2 ' # ) i!"!!!t ' " v!! & * # % ( = "!2 $!x' ' 2m " 2! 2!x' + " 2 v 2! 2 2 c 4!t ' " 2 " 2 v!, % + $ 2 c 2!x'! & - (+V(x')/!!t ''. Yhtälön muoto ei säily. 4
Miten yleistetään? Tarkastellaan vapaata hiukkasta, V(x)=0. Schrödingerin yhtälö mo8voi8in epärela8vis8sella yhtälöllä ja fotonien relaa8oilla E =!!, p =!k. E = p2 2m Suppeassa suhteellisuusteoriassa pätee. E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 Haluamme edelleen vapaalle hiukkaselle aaltoratkaisun,! = e ikx"i!t. Muokataan siis i!!"!t = #!2 2m $2 " % #! 2! 2 "!t 2 = #! 2 c 2 $ 2 " + m 2 c 4 " Tämä on Klein- Gordon- yhtälö. E 2! = p 2 c 2! + m 2 c 4! Ongelma: yhtälöllä on kaksinkertainen määrä ratkaisuja Schrödingerin yhtälöön verra=una, ja puolella näistä on nega8ivinen energia! 5
Mitä tehdä? Suppean suhteellisuusteorian Lorentz- kovarianssi aika- ja paikkaderivaa=ojen asteen pitää olla sama. Aikaderivaa=ojen asteen nostamisen sijaan voidaan laskea paikkaderivaa=ojen aste=a. Halutaan yhtälö, jonka neliönä saadaan suhteellisuusteorian energian lauseke. E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 Osoi=autuu, e=ä tämä on mahdollista vain, jos kyseessä on matriisiyhtälö: i!!"!t % = '#i!c $ & i=1 3!i!!x + ( i "mc2 *" Diracin yhtälö ) 4x4- matriiseja 4- komponen%nen vektori 6
Matriisit toteu=avat (Nämä 4x4- matriisit lii=yvät laskuharjoituksissa oleviin Paulin spin- 2x2- matriiseihin; ei mennä yksityiskoh8in!) Diracin yhtälö kertoo, e=ä yhden aaltofunk8on sijaan niitä on neljä. Diracin yhtälö ennustaa spinin: tämä seli=ää yhden tekijän kaksi. Jäljelle jää vielä toinen tekijä kaksi: taas on riesana nega8ivisen energian ratkaisuja voivatko posi8ivisen energian elektronit pudota nega8ivisen energian 8loihin? Onko teoria epästabiili? Nega8ivisen energian elektronit tulkitaan posi8ivisen energian an8- elektroneiksi. (Dirac 1931) Nämä positronit löyde%in 1932 kosmisista säteistä. Diracin yhtälö ennus8 an8hiukkaset.! i! j +! j! i = 0 (kun i! j),! i " + "! i = 0,! i 2 = " 2 =1. 7
Yrite=äessä kuvata yhtä elektronia rela8vis8ses8 haaviin jäikin kaksi (tai neljä) hiukkasta! Tämä johda=aa kvan%ken=äteoriaan, missä hiukkasista ei voi puhua yksinään. (An8hiukkasten kunnollinen käsi=ely vaa8i kvan%ken=äteorian.) Entäpä fotonit? Tähän as8 niillä ei ollut kunnollista kvan%mekaanista kuvausta. Millainen teoria kuvaa fotoneita ja niiden vuorovaikutusta elektronien kanssa? 8
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925: Heisenbergin matriisimekaniikka 1926: Schrödingerin yhtälö 1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate 1928: Diracin yhtälö 1949: Quantum Electrodynamics (QED) 1964: Higgsin mekanismi 1965: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) 1967: sähköheikko vuorovaikutus 1973: asymptoottinen vapaus 1971-1976: supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria, supergravitaatio 9
Kvan%ken=äteoria Quantum Electrodynamics eli QED oli ensimmäinen kvan%ken=äteoria. (Ks. Feynman: QED valon ja aineen ihmeellinen teoria.) Tavoite: yhdistetään suppea suhteellisuusteoria ja kvan%mekaniikka, kuvataan fotoneita, elektroneita ja niiden vuorovaikutusta kvan%mekaanises8. Lähtökohta: Maxwellin yhtälön kvan8=aminen eli klassisen sähkömagne8smin yhtälöiden kvan%mekaaninen yleistys ja Diracin yhtälön kunnollinen käsi=ely. 10
Kvan%mekaniikka on epärela8vis8nen teoria hiukkasista. Kvan%ken=äteoria on rela%vis%nen teoria ken%stä. Kvan%mekaniikka kertoo, miten 8e=y määrä hiukkasia käy=äytyy, kun niiden välinen vuorovaikutus on anne=u. Kvan%ken=äteoria kertoo mitä on hiukkanen, millaisia hiukkasia on olemassa ja millaisia vuorovaikutuksia niillä on. Vuorovaikutukset (esim. Coulombin poten8aali) eivät ole lähtökoh8a kuten kvan%mekaniikassa, vaan ne voidaan johtaa perusoletuksista. Hiukkasten luonne seli=yy (ja virtuaaliset hiukkaset tulevat mukaan). Kvan8ken:äteoria on (tämän hetken) perustavanlaatuisin teoria aika- avaruuden ainesisällöstä ja muista kuin gravitaa@ovuorovaikutuksesta. (Vastaavas8 yleinen suhteellisuusteoria on tämän hetken perustavanlaatuisin teoria aika- avaruudesta ja gravitaa8ovuorovaikutuksesta.) 11
Kvan%mekaniikassa systeemissä on N hiukkasta. Jokaista hiukkasta kuvaa aaltofunk8o, ja jokaisella hiukkasella on oma paikkaoperaa=ori ja liikemääräoperaa=ori. Koko systeemin energiaa vastaa yksi Hamiltonin operaa=ori... mu=a aika on vain luku, ei operaa=ori. (Huom! Kvan%mekaniikassa hiukkasen paikka on epämääräinen, mu=a aika ja avaruus ovat samanlaisia kuin klassisessa mekaniikassa: tarkkaan määrä=yjä, staa%sia ja ikuisia. Sama pätee kvan%ken=äteoriassa.) Suhteellisuusteoriassa hiukkasen aika & paikka ja energia & liikemäärä muodostavat nelivektorit: x! = (ct, x i ), p! = (E / c, p i ) Miten tämä toimii, jos aika on luku ja paikka operaa=ori? (Pitäisikö ajasta tehdä operaa=ori? (Tässä olisi suuria vaikeuksia: ei voi toimia kuten paikan ja liikemäärän tapauksessa, koska energian spektri on diskree%.) Kvan%ken=äteoria lähestyy ongelmaa eri suunnasta: systeemin rakennuspalikat eivät ole hiukkasia, vaan ken%ä. 12
Kvanttikenttäteoria = kvanttifysiikka + suppea suhteellisuusteoria + kenttäteoria Klassisessa mekaniikassa ken:ä on olio, joka täy=ää koko avaruuden ja jolla on 8e=y arvo avaruuden jokaisessa pisteessä. (Esimerkiksi sähköken=ä, joka on vektori ja jolla on siis kolme komponen%a.) Kvan%mekaniikassa kvan8tetaan pistemäiset hiukkaset, ja kvan%ken=äteoriassa kvan8tetaan kentät. ( Toinen kvan@:aminen ) Kvan%ken=ä ei liitä avaruuden jokaiseen pisteeseen lukua, vaan operaa=orin. Kvan%mekaniikassa oleellisia operaa=oreita ovat ˆx ja ˆp, kvan%ken=äteoriassa ˆ!(t, x) ja!ˆ!(t, x). Ken=ä ˆ!(t, x) ei kuvaa yhden elektronin todennäköisyysjakaumaa, vaan kaikkia elektroneita (ja positroneita) kerralla. Yksi=äinen elektroni on liikkuva paikallinen aalto kvan%kentässä. (Sanalla hiukkanen on kaksi merkitystä: se tarkoi=aa sekä yksi=äistä kentän 8hentymää e=ä kentän lajia. On siis elektroniken=ä, fotoniken=ä jne., jonka kvan=eja ovat elektronit, fotonit jne.) 13
ˆ!(t, x) = ˆ!(t, x) +" ˆ!(t, x) ken=äoperaa=ori kentän odotusarvo kentän fluktuaa8o Ken=äoperaa=ori voidaan jakaa kentän odotusarvoon, joka vastaa klassista ken=ää, ja fluktuaa8oihin kentän ympärillä. Samaan tapaan kuin paikan odotusarvo on (hajonnan ollessa pieni) suunnilleen sama kuin klassisen hiukkasen rata, kentän odotusarvo vastaa suunnilleen klassisen fysiikan kentän käy=äytymistä. Kvan%mekaniikka kuvaa 8e=yä määrää hiukkasia, ja siinä lasketaan todennäköisyyksiä sille, missä nämä hiukkaset ovat, mikä niiden liikemäärä (ja spin ja niin edelleen) on. Kvan%ken=äteoriassa lasketaan lisäksi todennäköisyyksiä sille, mitä hiukkasia on ylipäänsä olemassa. 14
ATLAS- detektorin ensimmäinen 7 TeV:n hiukkastörmäys. 15
Kvan%ken=äteoriassa hiukkasia syntyy ja tuhoutuu. Ei voida laskea sitä, mitä hiukkasia törmäyksessä syntyy, ainoastaan todennäköisyysjakauma niiden syntymiselle. Kiinnostuksen kohteena on todennäköisyysamplitudi: A = lopputila Ŝ alkutila on todennäköisyys havaita 8e=y loppu8la, jos lähdetään 8etystä alku8lasta ja jos systeemi vuorovaiku=aa tavalla, jota kuvaa operaa=ori S, jonka nimi on S- matriisi. A 2 S- matriisi kuvaa alku8lan loppu8laksi. Sen matemaa%nen muoto määräytyy siitä, millaisia vuorovaikutuksia systeemissä on. 16
Kvan%mekaniikassa systeemi on määritelty, kun kerrotaan montako hiukkasta siinä on, ja kerrotaan kunkin massa, spin ja sen kokema vuorovaikutuspoten8aali. (Lisäksi tarvitaan 8etys8 alkuehdot.) Kvan%ken=äteoriassa kerrotaan sen sijaan, montako hiukkaslaatua on olemassa, ja mitkä niiden massat ja spinit ovat, ja miten ne vuorovaiku=avat keskenään. Kvan%ken=äteoriassa hiukkasten vuorovaikutus ei ole mielivaltainen, vaan kun hiukkaset on lue=eloitu, on vain äärellinen määrä tapoja, joilla ne voivat vuorovaiku=aa. Hiukkaset voidaan jakaa kahteen lajiin: bosoneihin ja fermioneihin. 17
Spin- sta8s8ikka- teoreema Fermionien ja bosonien seli=ämiseksi palataan hetkeksi kvan%mekaniikkaan. Hiukkasilla ei ole muuta iden8tee%ä kuin niiden kvan%luvut. Niinpä monihiukkas8lassa havaintosuureiden pitää pysyä samana, kun vaihdetaan kaksi samat kvan%luvut omaavaa hiukkasta. Tila voi sil8 muu=ua, koska havaintosuureet eivät riipu 8lan vaiheesta. Tarkastellaan esimerkiksi heliumatomia (Z=2) ja jätetään elektronien keskinäiset vuorovaikutukset sikseen. Tila on silloin! = n 1 l 1 m 1 s z1 n 2 l 2 m 2 s z2! n 1 l 1 m 1 s z1 ;n 2 l 2 m 2 s z2 Pitää siis olla n 2 l 2 m 2 s z2 ;n 1 l 1 m 1 s z1 = e i! n 1 l 1 m 1 s z1 ;n 2 l 2 m 2 s z2 ( α on reaalinen) 18
n 2 l 2 m 2 s z2 ;n 1 l 1 m 1 s z1 = e i! n 1 l 1 m 1 s z1 ;n 2 l 2 m 2 s z2 Kvan%ken=äteoriassa voidaan osoi=aa, e=ä e i! = ±1 1) Ainoastaan arvot ovat mahdollisia. 2) Merkin ja spinin s välillä on yhteys (spin- sta@s@ikka- teoreema)*:! = i2"s Toisin sanoen: Jos hiukkasen spin on kokonaisluku, 8la on symmetrinen (+merkki). Jos hiukkasen spin on puoliluku, 8la on an8symmetrinen (- merkki). Hiukkasia, joiden spin on kokonaisluku, kutsutaan bosoneiksi, ja hiukkasia joiden spin on puoliluku, kutsutaan fermioneiksi. (*Mielenkiintoinen yksityiskohta: Tulos pätee vain kun avaruuden ulo=uvuuksia on kolme tai enemmän. Kahdessa ulo=uvuudessa on anyoneja, joille α voi olla mikä tahansa reaaliluku.) 19
Paulin kieltosääntö Spin- sta8s8ikkateoreemasta seuraa Paulin kieltosääntö, jonka mukaan kaksi saman lajin fermionia (elektroni, positroni, myoni, protoni,...) ei voi olla samassa 8lassa (eli omata samoja kvan%lukuja). Esimerkiksi heliumatomin (Z=2) perus8lassa molemmilla elektroneilla on n=1, l=0 ja m=0, mu=a s z on erilainen. Mu=a jo li8umin (Z=3) tapauksessa alimmalle energiatasolle ei enää mahdu elektroneja, joten perus8lassa yhden elektronin on pakko olla 8lassa n=2. Alkuaineiden elektronikuorten rakenne (ja siten erilainen käy=äytyminen) seuraa Paulin kieltosäännöstä. Kemia pohjaa kvan7ken8äteoriaan! 20
Kvan%ken=äteorian rakenteesta Kvan%ken=äteorian määri=ävät kaksi tekijää: 1. Millaisia hiukkasia teoriassa on. 2. Millaisia vuorovaikutuksia hiukkasilla on. Kvan%ken=äteorian rakenne sitoo nämä kaksi seikkaa yhteen. Vaa8mukset siitä, e=ä teoria on rela8vis8nen, vuorovaikutusten suhteen lokaali ja matemaa%ses8 toimiva ovat hyvin rajoi=avia. Eräs rajoi=ava tekijä ovat teorian symmetriat, eli muunnokset joissa teoria säilyy samanlaisena. Esimerkki tästä ovat aika- avaruuteen lii=yvät symmetriat kuten Lorentz- kovarianssi. Symmetriat voivat myös lii=yä muunnoksiin ken%en avaruudessa. 21
Mi=asymmetria QED:ssä Havainnollistetaan yhtey=ä mi=asymmetrian ja vuorovaikutuksen välillä QED:n tapauksessa. Kvan%ken=äteoriassa, kuten kvan%mekaniikassa, todennäköisyys8heys ei muutu muunnoksessa!(t, x)! e i"!(t, x), missä " on reaalinen vakio QED:ssä vaaditaan, e=ä teoria on invarian% muunnoksessa!(t, x)! e i"(t,x)!(t, x), missä "(t,x) on reaaliarvoja saava funktio Tällaista muunnosta, missä muunnosparametrin 8lalla on funk8o, kutsutaan mi:amuunnokseksi ja muu=uma=omuus sen suhteen on nimeltään mi:asymmetria. 22
QED:ssä vapaata elektronia kuvaava ken=ä toteu=aa Diracin yhtälön (ken=ä on nelikomponen%nen vektori, mu=a se on nyt epäoleellista): # i! %! $!t + c " i=1 3!i!!x i & (" = #mc 2 " ' Diracin yhtälö ei säilytä muotoaan mi=amuunnoksessa!(t, x)! e i"(t,x)!(t, x) Yhtälöön pitää siis lisätä joku toinen ken=ä A, joka muuntuu siten, e=ä yhtälö säily=ää muotonsa. (Vrt. suppean suhteellisuusteorian Lorentz- muunnokset: klassisen mekaniikan liikeyhtälö ei säilytä muotoaan, joten sitä pitää muokata.) 23
Yhtälö # i! %! $!t + c " i=1 3!i!!x i & (" = #mc 2 " + ea", ' missä A on uusi ken=ä ja e on vakio, säily=ää muotonsa mi=amuunnoksessa +!(t, x)! e i"(t,x)!(t, x) -, A(t, x)! A(t, x)"! %#" - '. e & #t + c $ i=1 3 #i #" #x i Kyseessä ei ole enää vapaan hiukkasen liikeyhtälö. Tässä A kuvaa sähkömagnee%sta ken=ää ja termi eaψ kuvaa sähkömagnee%sen kentän ja elektronin vuorovaikutusta. Vakio e on elektronin sähkövaraus. ( * ) Suppean suhteellisuusteorian Lorentz- symmetria rajoi=aa mahdollisten vuorovaikutusten muotoa. Kvan%ken=äteorian mi=asymmetria määrää vuorovaikutuksen muodon täysin. (Vain sen voimakkuus jää vapaaksi.) 24
Vuorovaikutukset lii=yvät siis elimellises8 teorian symmetriaan, eli muu=uma=omuuteen jossain muunnoksissa. Jos oletetaan, e=ä on olemassa sähköises8 vara=u elektroni, niin QED:n rakenne vaa8i, e=ä on olemassa myös fotoni, ja kertoo miten se vuorovaiku=aa elektronin kanssa. QED:ssa ei ole mitään muuta vapau=a kuin se, mikä on elektronin massa, spin ja sähkövaraus. Vuorovaikutuksiin lii=yy väli:äjähiukkanen, joka väli=ää vuorovaikutuksia hiukkasten välillä. QED:ssä tämä on sähkömagnee%sta ken=ää kuvaava fotoni. Hiukkasia, jotka eivät ole väli=äjähiukkasia, sanotaan ainehiukkasiksi. (Joskus tämä nimi varataan vain fermioneille.) Vuorovaikutukset määräävät täysin sen, millaisia väli=äjähiukkasia teoriassa on. Ne myös rajoi=avat teorian ainesisältöä: hiukkasia voi olla olemassa vain 8etyissä yhdistelmissä. (Tästä lisää hiukkasfysiikan Standardimallin yhteydessä.) 25
Perturbaa8oteoria Kvan%ken=äteorian yhtälöt ovat liian vaikeita ratkaistavaksi eksak8s8 silloin kun vuorovaikutukset otetaan huomioon, eli kun hiukkaset eivät liiku vapaas8. Kaksi pääasiallista tapaa lähestyä ongelmaa: tutkitaan lähes vapaita hiukkasia (häiriöteoria, perturbaa@oteoria, perturba@on theory) tai tehdään eksakteja numeerisia laskuja 8etokoneella. Tarkastellaan perturba@ivista kvan%ken=äteoriaa QED:n esimerkin kau=a. QED:ssä on kaksi ken=ää: elektroniken=ä ja fotoniken=ä. Ken%en käy=äytymistä voidaan laskea approksimoimalla, e=ä elektroni ja fotoni ovat vapaita melkein aina, ne vain toisinaan vuorovaiku=avat keskenään. Perturbaa8oteoria voidaan esi=ää käteväs8 Feynmanin diagrammien (eli Feynmanin graafien) avulla. 26
Feynmanin graafit Feynmanin graafit ovat tapa visualisoida kvan%ken=äteorian häiriöteorian laskuja ja pitää kirjaa niistä. Niillä on suuri merkitys kvan%ken=äteorian tekemisessä intui8ivisemmaksi. Graafien avulla kuvataan hiukkasten vuorovaikutuksia silloin kun ne ovat heikkoja. Vapaata hiukkasta kuvaa viiva, vuorovaikutusta kuvaa viivojen risteys eli verteksi. Kaikki hiukkasreak8ot perturbaa8oteoriassa voidaan kuvata piirtämällä viivoja ja verteksejä. Jokainen Feynmanin graafi vastaa 8e=yä todennäköisyysamplitudia hiukkasreak8olle. Jokaista viivaa ja verteksiä vastaa 8e=y matemaa%nen lauseke. Lai=amalla nämä lausekkeet yhteen graafin kertomalla tavalla voidaan laskea halutun prosessin todennäköisyys. 27
QED:n Feynmanin graafit QED:ssä on vain kaksi hiukkasta elektroni ja fotoni. (Positroni on ero=amaton osa elektronia.) QED:ssä on vain yksi alkeisvuorovaikutus. Vapaiden hiukkasten viivoja on siis kahdenlaisia ja verteksejä on vain yksi. Kaikki QED:n (perturba8iviset) prosessit voidaan kuvata näillä visuaalisilla elementeillä. 28
Vapaata elektronia tai positronia kuvaa suora viiva, fotonia aaltoviiva: elektroni e - (yl. spin- 1/2 fermioni) positroni e + (yl. spin- 1/2 an8fermioni) fotoni γ Vuorovaikutusta kuvaa verteksi, jossa kaksi elektroniviivaa ja yksi fotoniviiva kohtaavat: p p p + q = p fotoni γ q ajan suunta 29
Vuorovaikutusta kuvaa vuorovaikutusverteksi: p g p p + q = p γ q ajan suunta Tässä p, q ja p ovat neli- impulsseja (indeksi α jätetään kirjoi=ama=a) ja g on kytkentävakio. Vuorovaikutuksessa (ja siten verteksissä): Sähkövaraus säilyy Spinin z- komponen% säilyy Neliliikemäärä (eli energia ja kolmiliikemäärä) säilyy 30
Vuovaikutusverteksiä vastaava matemaa%nen lauseke on verrannollinen kytkentävakioon g, joka kertoo kuinka voimakas vuorovaikutus on. QED:ssä kytkentävakio on sähkövaraus, elektronille siis - e. Todennäköisyysamplitudissa on vähintään yksi e, joten todennäköisyydessä niitä on vähintään kaksi (ja aina parillinen määrä). g 2 Kytkentävakio esiintyy yhdistelmänä 4!" 0!c = e 2 4!" 0!c!!. Todennäköisyys löytää 8e=y loppu8la kun tunnetaan alku8la voidaan siis kirjoi=aa! P(lopputila,alkutila) = " P n! n = P 1! + P 2! 2 + P 3! 3 + n=1 QED:ssä!! 1 137. α <<1 vuorovaikutus on heikko, joten perturbaa8oteoria voi toimia. (Mu=a ei ole taa=ua, e=ä se toimii. Yllä oleva summa ei väl=ämä=ä suppene!) 31
Jos kytkinvakio on α 1, perturbaa8oteoria ei toimi. (Palaamme tähän QCD:n kohdalla.) 32
Todennäköisyysamplitudi 8etylle prosessille saadaan seuraavas8: Määritellään ensin loppu8la ja alku8la, eli kerrotaan mitä hiukkasia niissä on. Päätetään, mihin kytkentävakion potenssiin (eli mihin tarkkuuteen) as8 lasku tehdään. Piirretään kaikki mahdolliset Feynmanin graafit, jotka yhdistävät alku8lan ja loppu8lan ja joissa on korkeintaan halu=u määrä kytkentävakion potensseja. Kirjoitetaan graafeja vastaavat matemaa%set lausekkeet Feynmanin sääntöjen mukaises8. Summataan kaikkia graafeja vastaavat todennäköisyysamplitudit. Otetaan itseisarvon neliö. Jokainen QED:n Feynmanin graafi rakennetaan ylläolevista kolmesta viivasta ja yhdestä verteksistä ja se kuvaa todennäköisyysamplitudia 8etylle vuorovaikutukselle. Feynmanin graafeja on kullekin reak8olle ääretön määrä. Perturbaa8oteorian ideana on se, e=ä monimutkaisempien graafien kontribuu8o on pienempi, koska kytkentävakio on pieni. 33
QED:n Feynmanin graafit e - vuorovaikutusverteksi neli- impulssi p kytkentävakio aika g q p todennäköisyysamplitudi fotonin emi=oimiselle tai absorboimiselle neli- impulssi säilyy: p = p + q γ Kaikki QED:n prosessit voidaan rakentaa tästä ja viivoista. 34
elektroni emi=oi/absorboi fotonin e - e + positroni emi=oi/absorboi fotonin g g aika aika 35
QED:ssä: jos prosessi on mahdollinen, myös aikakäänne=y prosessi on mahdollinen, ja sen todennäköisyys on sama. (Tämä ei päde kaikille kvan%ken=äteorioille.) Esimerkki: elektroni- positroni- pari annihiloituu fotoniksi e + fotoni muu7uu elektroni- positroni- pariksi (parinmuodostus) e - e g g ajankääntö - e+ aika aika 36
Esimerkki 1: e - e + e - e + e - p 1 g k 1 e - γ e+ g e + p 2 k 2 A el (e! e + " e! e + ) =! f el (k 1, k 2, p 1, p 2 ) Tarkastellaan prosessia, jossa alku8lan elektroni ja positroni vuorovaiku=avat ja päätyvät elektroniksi ja positroniksi. 37
Reak<o voi tapahtua myös seuraavas< e + e + g + g e + e + e - g g e - A ann (e! e + " e! e + ) =! f ann (k 1, k 2, p 1, p 2 ) e - 38
Kokonaisuudessaan prosessin todennäköisyys on # $ n=1 P(e + e! " e + e! ) = A n (e + e! " e + e! ) = A el + A ann +O(! 2 ) 2 %! 2 f el + f ann 2 2 39
elektronin ja positronin törmätessä ne voivat myös annihiloitua fotoneiksi: e + g 2 fotonia kinemaa8ses@ ok! e - e + γγ g P(e! e + "!!)#" 2 e - Myös aikakäänne=y prosessi on mahdollinen: γγ e - e + e + e - 40
Virtuaaliset hiukkaset Feynmanin graafien sisäisiä viivoja vastaavat hiukkaset ovat virtuaalisia. Tämä tarkoi=aa sitä, e=ä p 2! m 2 c 4, eli hiukkasen neli- impulssin neliö ei ole massan neliö * c 2. p 2 e p 1 g e neli- impulssi säilyy: p 1 = q + p 2 q γ impulssin kulkusuunta k 1 + q = k 2 valitaan koordinaa8sto siten, e=ä p 1 + p 2 = 0 k 1 e g q 2 = (p 1! p 2 ) 2 = p 1 2 + p 2 2! 2p 1 " p 2 = 2m e 2 c 2! 2E 1 E 2 / c 2 + 2p 1 " p 2 e k 2 q 2 = 2m e 2 c 2! 2E 2 / c 2! 2p 1 2 =!4p 1 2 " 0 41
Vastaavas8: p q g k neli- impulssi säilyy: 2 p + k = q q = p + ( k) 2 q 2 = p 2 + k 2 + 2E + E! / c 2! 2k " p = 2m e 2 c 2 + 2E + E! / c 2! 2k " p valitaan massakeski- pistekoordinaa- 8sto: k + p = 0 q 2 = 2m e 2 c 2 + 2E 2 / c 2 + 2k 2 = 4m e 2 c 2 + 4k 2! 0 reaaliset elektroni ja positroni eivät voi annihiloitua yhdeksi fotoniksi 42
Sisäisten viivojen hiukkasten neli- impulssin neliö ei ole sama kuin havai=avien hiukkasten. Se voi olla posi8ivinen tai nega8ivinen, vaikka fysikaalisella hiukkasella se on massan neliö*c 2. Pitää keski=yä siihen, mitä voidaan havaita: sisäisiä viivoja ei nähdä, ainoastaan alku8la ja loppu8la havaitaan. Virtuaaliset hiukkaset eivät esiinny alku- tai loppu8loissa. Virtuaalisten hiukkasten olemassaolo voidaan päätellä siitä, miten ne vaiku=avat mita=avien hiukkasten käy=äytymiseen. Onko sellainen asia olemassa, jota ei voi koskaan suoraan havaita? Vai onko virtuaalisissa hiukkasissa kyse vain todellisten hiukkasten vuorovaikutuksen parametrisoinnista? Kvan%ken=äteoria antaa uuden näkökulman kysymykseen siitä, mikä on todellista ja mitä on olemassaolo. 43
elektroni (alkeishiukkanen) voi emi=oida virtuaalisen fotonin ja absorboida sen myöhemmin q Itseisvuorovaikutus virtuaalinen fotoni p = q+k p k p virtuaalinen elektroni k 2! m e 2 c 2 todennäköisyysamplitudi emi=oida ja absorboida virtuaalinen fotoni A(e! " e!! " e! )#" havai=ava efek8: esim. vetyatomin Lambin siirtymä (tuplaviiva on y8meen sido=u elektroni) Sidotun elektronin energia (ja sen emi=oiman fotonin energia) muu=uu hieman. h=ps://www.llnl.gov/str/may06/beiersdorfer.html 44
KVANTTIKENTTÄTEORIAN TYHJÖ ON DYNAAMINEN myös tyhjö voi emi=oida ja absorboida virtuaalisia hiukkasia: e - e + A(tyhjö! e " e +! tyhjö)#! tyhjö kuplii virtuaalisia hiukkasia aika e - e - e + e + virtuaalisia hiukkasia A!! 2 A!! 4 jne. kvan%mekaanises8 0 fys = 0 +! e! e + +! 2 e! e + "" +... 45
Kvan%ken=äteorioiden tyhjö voi olla monimutkainen. Virtuaaliset prosessit aiheu=avat korjauksia tyhjön energiaan. QED:ssä ja muissa kokeellises8 varmennetuissa kvan%ken=äteorioissa tyhjön energia on mielivaltainen. Ilman gravitaa8ota tyhjön energia on joka tapauksessa epäfysikaalinen, koska ainoastaan energiaeroja voi mitata. (Kun yleinen suhteellisuusteoria otetaan mukaan, 8lanne muu=uu.) QED:ssä tyhjö ei aiheuta kummoisempia hankaluuksia, mu=a näemme myöhemmin, e=ä QCD:n kohdalla 8lanne on monimutkaisempi. Kaikissa hiukkasfysiikan teorioissa kaikki vuorovaikutukset voidaan ymmärtää hiukkasten vaihtona Feynmanin graafien avulla. (Ainakin perturbaa8oteoriassa.) Käsi=eet voima ja poten8aali ovat approksimaa8oita. 46
Esim. vetyatomi kvan%mekaniikassa: staa%nen poten8aali e 2 V(r) =! 4!" 0!cr y8mellä on staa%nen poten8aali Kvan%ken=äteoria: ei poten8aalia vaan fotonien vaihtoa efek8ivises8 poten8aali suurilla etäisyyksillä 47
vetyatomi kvan7ken8äteoree7ses< e p elektroni ja protoni vaihtavat virtuaalisia hiukkasia V(r) = p + p + + +... p p! e2 4!" 0 r + korjauksia "! e2 4!" 0 r kun r, t 48
Sähkövarauksen synny=ämän poten8aalin muoto riippuu siitä, miltä etäisyydeltä esim. elektronia katsotaan eli sähkövarauksen arvo riippuu siitä, millaisia virtuaalisia hiukkasia varausta luotaava fotoni kohtaa fotonin aallonpituus määrää sen, miten syvälle pilveen se näkee elektronia ympäröi virtuaalisten hiukkasten pilvi elektronin sähkövaraus riippuu energiasta, jolla sitä mitataan 49
Juokseva kytkentävakio Häiriöteoriassa: q γ q γ e(q) e 0 + q γ e 0 e 0 e 0 +... e(q) = e 0 f 0 (q)+ e 0 3 f 1 (q)+... 50
α kytkentävakio juoksee 1/137 1/127 sähkövaraus kasvaa kun energia kasvaa, eli pituusskaala pienenee 100 GeV loge 51
52
QED:n sähkövarauksen juokseminen on kokeellises8 todenne=u ilmiö. Kysymys on vain siitä, e=ä Teoree%ses8 sähkövaraus kasvaa energian myötä ja saavu=aa ääre=ömän arvon jollain äärellisellä energialla. Tällöin QED:n matema8ikka ei enää toimi. QED on siis efek@ivinen teoria, joka pätee vain 8etyn energian alapuolella. Käytännössä asialla ei ole juuri merkitystä, koska on olemassa muitakin hiukkasia kuin elektroni ja fotoni, ja muitakin vuorovaikutuksia kuin sähkömagnee%nen vuorovaikutus. QED on osa hiukkasfysiikan Standardimallia. 53