800653S Matriisiteoria. Tero Vedenjuoksu

800653S Matriisiteoria Tero Vedenjuoksu 19 toukokuuta 2010

Sisältö 1 Lineaarialgebraa 3 11 Merkintöjä 3 12 Perusominaisuuksia 5 13 Matriisien lohkomuodot 6 14 Vektoriavaruus ja aliavaruus 8 15 Aliavaruuksien summat 10 16 Lineaarikuvaukset 11 17 Projektiot 14 2 Matriisin astehajotelma ja LU-hajotelma 17 21 Determinantti 17 22 Binet-Cauchy -kaava 18 23 Matriisin aste 22 24 Matriisin astehajotelma 27 25 LU-hajotelma 28 3 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 33 31 Invariantit aliavaruudet 33 32 Lineaaristen kuvauksien suora summa 34 33 Lineaarisen kuvauksen ominaisarvot 35 34 Invariantit aliavaruudet ja matriisit 36 35 Matriisin ominaisarvot ja karakteristinen polynomi 37 36 Ominaisarvojen kertaluvut 40 37 Matriisipolynomeista 41 4 Similaarisuusmuunnokset 44 41 Similaarisuus 44 42 Diagonalisoituvat matriisit 45 43 Matriisityyppejä 50 44 Unitaariset similaarisuusmuunnokset 51 5 Singulaariarvohajotelma ja Moore-Penrose -inverssi 56 51 Hermiittiset ja definiitit matriisit 56 52 Singulaariarvohajotelma 59 1

SISÄLTÖ 2 53 Polaarinen hajotelma 62 54 Moore-Penrose -inverssi 62 6 Polynomimatriisit ja normaalimuodot 66 61 Polynomimatriisit 66 62 Minimaalipolynomi 70 63 Polynomimatriisien ekvivalenssimuunnokset 73 64 Invariantit polynomit 74 65 Smithin kanoninen muoto 77 66 Ensimmäinen luonnollinen normaalimuoto 81 67 Alkeistekijät 83 68 Toinen luonnollinen normaalimuoto 84 69 Jordan-muoto 86 7 Matriisifunktiot 89 71 Matriisifunktion määrittely 89 72 Interpolaatiopolynomeista 90 73 Spektraalihajotelma 92 8 Jordan-muoto ja yleistetyt ominaisvektorit 96

1 Lineaarialgebraa 11 Merkintöjä Kurssilla tarkasteltavat vektoriavaruudet ovat yleensä äärellisulotteisia Käytämme seuraavassa merkintää K n tarkoittamaan n-pituisten pystyvektorien x 1 x 2 x = = [ x 1 x 2 ] t x n x n = (x 1, x 2,, x n ) t (x i K) muodostamaa joukkoa Vastaavasti K (n) tarkoittaa n-pituisten vaakavektorien x = [ x 1 x 2 x n ] muodostamaa joukkoa Merkitsemme myös (x i K) K n = {(x 1, x 2,, x n ) t : x i K} K (n) = {(x 1, x 2,, x n ) : x i K} Alkiot x i ovat vektorin komponentteja Tällöin (K n, +, ) ja (K (n), +, ) ovat K- kertoimisia vektoriavaruuksia kun operaatiot määritellään normaaliin tapaan komponenteittain Avaruuden K n luonnollinen kanta koostuu vektoreista e 1 = (1, 0,, 0) t, e 2 = (0, 1,, 0) t,, e n = (0, 0,, 1) t Kun m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, kaikkien sellaisten m n-matriisien a 11 a 12 a 1n A = [ a ij ]m n = a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn joukkoa, missä alkiot a ij K kaikilla i = 1, 2,, m ja j = 1, 2,, n, merkitään K m n 3

11 MERKINTÖJÄ 4 Jos m = n, niin matriisi A = [ a ij ]m n on neliömatriisi Sanomme, että a ij on matriisin A = [ a ij (i, j)-alkio ]m n Kahden matriisin A K m n ja B K n k tulo AB on matriisi [ c ij ]m k K m k, missä c ij = n a il b lj l=1 = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = (A:n i:s vaakarivi) (B:n j:s pystyrivi) Esimerkki 11 Olkoon A = [a ij ] n n ja B = [b ij ] n n n n-matriiseja Tarkastellaan vektoreita x = (x 1,, x n ) t, y = (y 1,, y n ) t ja z = (z 1,, z n ) t, missä { y k = n i=1 a kix i z k = n i=1 b kiy i (k = 1, 2,, n) Esitetään vektori z matriisien A ja B avulla Nyt siis y = Ax ja z = By, joten z = By = BAx Huomautus Matriisien tulo on määritelty tällä tavalla koska käsiteltäessä matriiseja lineaarisina kuvauksina matriisien tulo on itseasiassa lineaaristen kuvausten yhdiste Matriisin A = [ a ij ]m n K m n transpoosi on n m-matriisi a 11 a 21 a m1 A t = [ a ji ]n m = a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Matriisin A = [ a ij ]m n K m n konjugoitu transpoosi A on n m-matriisi a 11 a 21 a m1 A = [ ] t a ij = a 12 a 22 a m2 n m, a 1n a 2n a mn missä a ij on alkion a ij liittoluku Siis jos A R m n, niin A = A t Määritelmä 12 Neliömatriisi A = [ a ij ]n n K n n on yläkolmiomatriisi, jos a ij = 0 aina kun i > j; alakolmiomatriisi, jos a ij = 0 aina kun i < j; diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 aina kun i j Diagonaalimatriisia merkitään myös A = diag(a 11, a 22,, a nn )

12 PERUSOMINAISUUKSIA 5 Määritelmä 13 Matriisi I = I n = diag(1, 1,, 1) sanotaan yksikkömatriisiksi eli identiteettimatriisiksi Jos B K m n, niin I m B = BI n = B Määritelmä 14 Neliömatriisi A = [ a ij ]n n K n n on säännöllinen tai kääntyvä (nonsingular, invertible) jos on olemassa sellainen matriisi B K n n, että AB = BA = I Tällöin merkitään B = A 1 Tehtävä 1 Osoita, että jo yksi ehdoista AB = I ja BA = I riittää takamaan sen, että A on säännöllinen ja B = A 1 12 Perusominaisuuksia Matriisien ja vektoreiden perusominaisuudet oletetaan tunnetuksi Ohessa on kuitenkin listattuna muutamia usein käytettyjä ominaisuuksia Seuraavassa kaikkien matriisitulojen ja -summien oletetaan olevan määriteltyjä: 1) A + B = B + A mutta yleisesti AB BA (tulot AB ja BA eivät ole välttämättä samaa kokoa) 2) Ehdosta AB = 0 ei yleisesti seuraa, että A = 0 tai B = 0 (esimerkiksi lineaarinen yhtälöryhmä AX = 0) 3) Edellisen kohdan nojalla voi olla A C vaikka AB = CB Ei siis saa supistaa (ainoastaan jos B on kääntyvä) 4) Jos A, B K n n ovat yläkolmiomatriiseja, niin myös AB ja A 1 (jos A on säännöllinen) ovat yläkolmiomatriiseja Vastaava sääntö pätee alakolmiomatriiseille ja myös diagonaalimatriiseille 5) (AB) t = B t A t ja (AB) = B A 6) (A ) = A; (A + B) = A + B ; (A ) 1 = (A 1 ) ; (za) = z A (z C) Esimerkki 15 Olkoon A C n n ja B C n n ja osoitetaan (AB) = B A Nyt matriisin AB (i, j)-alkio c ij on c ij = = = n a iv b vj v=1 n a iv b vj v=1 n a iv b vj, v=1 joka on siis matriisin A B (i, j)-alkio Siis AB = A B, joten (AB) = (AB ) t = (A B ) t = B t A t = B A Osoitetaan lisäksi, että (A ) 1 = (A 1 ) Tämä seuraa siitä, että A (A 1 ) = (A 1 A) = I = I

13 MATRIISIEN LOHKOMUODOT 6 13 Matriisien lohkomuodot Matriisille A K m n saadaan lohkomuotoja kun ositetaan A reunasta reunaan ulottuvilla vaaka- ja pystyviivoilla A 11 A 12 A 1q A 21 A 22 A 2q A = (11) A p1 A p2 A pq Jos lohko A ij on kokoa m i n j, niin m = m 1 + m 2 + + m p ja n = n 1 + n 2 + + n q Määritelmä 16 Neliömatriisi A K n n on kvasidiagonaalimatriisi, jos sillä on sellainen lohkomuoto (11), missä p = q, lohkot A 11, A 22,, A pp ovat neliömatriiseja ja A ij = 0 aina kun i j Tällöin merkitään A = diag(a 11, A 22,, A pp ) Vastaavalla tavalla määritellään kvasiyläkolmio- ja kvasialakolmiomatriisit Esimerkki 17 a) Eräs usein käytetty lohkomuoto kun A K n n on seuraava: a 11 a 12 a 1,n 1 a 1n a 21 a 22 a 2,n 1 a 2n A = a n 1,1 a n 1,2 a n 1,n 1 a n 1,n a n1 a n2 a n,n 1 a nn = A n 1 missä u, v t K n 1 Tätä lohkomuotoa käytetään useassa mm todistuksessa ja sitä voidaan käyttää hyväksi myös käänteismatriisia ratkaistaessa: Oletetaan, että AB = I ja lohkotaan B, kuten A Tällöin saadaan matriisiyhtälöryhmä matriisin B lohkoille b) Yleisessä lohkomuodossa olevien matriisien tulo voidaan muodostaa vastaavasti kuten normaali matriisitulo Olkoon A 11 A 12 A 1q B 11 B 12 B 1s A 21 A 22 A 2q B 21 B 22 B 2s A = ja B = A p1 A p2 A pq B q1 B q2 B qs Tällöin tulon AB (i, j)-lohko on q A iv B vj v=1 kunhan esiintyvät lohkojen tulot ovat määritelty, ts lohkojen koot sopivat yhteen Siis tulon AB (i, j)-lohko on matriisin A i:s lohkovaakarivi kertaa matriisin B j:s lohkopystyrivi Eli lohkomuotoisten matriisien kertominen onnistuu kuten tavanomainen matriisitulo aina kun tarvittavat lohkotulot ovat määriteltyjä v u a nn,

14 VEKTORIAVARUUS JA ALIAVARUUS 7 c) Olkoon A K m n ja B K n k Tehdään matriiseille A ja B pysty- ja vaakariviositukset Tällöin saamme A 1 A = [ ] A 2 A 1 A 2 A n = A m B 1 B 2 B n B = [ ] B 1 B 2 B k = (a 1, a 2,, a n )B = a 1 B 1 + a 2 B 2 + + a n B n; b 1 b 2 A = b 1A 1 + b 2 A 2 + b n A n ; b n A 1B A 2B AB = = A [ B 1 B 2 ] B k A mb = [ AB 1 AB 2 ] AB k Jokainen A i B on siis B:n vaakarivien ja jokainen AB i on A:n pystyrivien lineaarinen yhdiste Siis matriisin AB vaakarivit ovat matriisin B vaakarivien lineaarisia yhdistelmiä ja pystyrivit ovat matriisin A pystyrivien lineaarisia yhdistelmiä 14 Vektoriavaruus ja aliavaruus Olkoon V epätyhjä joukko ja K kunta Oletetaan, että seuraavat laskutoimitukset ovat määritelty: (x, y) x + y : V V V (α, x) αx : K V V Määritelmä 18 Epätyhjä joukko V on K-kertoiminen vektoriavaruus eli lineaarinen avaruus, jos edellä määritellyt laskutoimitukset toteuttavat seuraavat ehdot: (V1) x + (y + z) = (x + y) + z; (V2) x + y = y + x;

14 VEKTORIAVARUUS JA ALIAVARUUS 8 (V3) on olemassa 0 V V (nollavektori), jolle x + 0 V = x; (V4) Jos x V, niin on olemassa sellainen y V, että x+y = 0 V (merkitään y = x) (V5) α(x + y) = αx + αy; (V6) (α + β)x = αx + βx; (V7) (αβ)x = α(βx); (V8) 1 K x = x, missä 1 K on kunnan K ykkösalkio kaikilla x, y, z V ja α, β K Huomautus Jatkossa oletetaan, että tarkasteltava kunta K on reaalilukujen kunta R tai kompleksilukujen kunta C ja puhumme pelkästään vektoriavaruudesta V Vektoriavaruuksien perusominaisuudet oletetaan tunnetuiksi (ks Lineaarialgebra I & II) Määritelmä 19 Olkoon V vektoriavaruus ja U V Tällöin U on avaruuden V aliavaruus, jos (VA1) x + y U kaikilla x, y U, (VA2) αx U kaikilla α K ja x U, ja (VA3) 0 U, ts U Olkoon S V epätyhjä Joukon S virittämä avaruuden V osajoukko L(S) (tai span(s)) koostuu kaikista joukon S vektoreiden lineaarisista yhdisteistä Siis L(S) = {y V : y = α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α k x k, missä x i S, α i K} Määritelmä 110 Avaruuden V vektorijoukko S = {x 1, x 2,, x k } on lineaarisesti riippuva jos yhtälöllä α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α k x k = 0 on epätriviaali ratkaisu, ts α i 0 jollakin i = 1, 2,, k Vastaavasti jos yo yhtälöllä on vain triviaaliratkaisu (α 1 = α 2 = = α k = 0), niin joukko S on lineaarisesti vapaa (tai lineaarisesti riippumaton) Lause 111 Vektorijoukko S on lineaarisesti riippuva jos ja vain jos jokin joukon S vektoreista on muiden joukon S vektoreiden lineaariyhdiste Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) Määritelmä 112 Olkoon U vektoriavaruuden V aliavaruus Tällöin vektorijoukko S = {x 1, x 2,, x k } U on aliavaruuden U kanta jos (i) U = L(S) ja (ii) S on lineaarisesti vapaa

15 ALIAVARUUKSIEN SUMMAT 9 Vektoriavaruuden V kanta on siis lineaarisesti vapaa vektorijoukko S, joka virittää avaruuden V Jos vektoriavaruuden V kannassa on n vektoria, sanotaan avaruuden V olevan n-ulotteinen tai n-dimensioinen, merkitään dim V = n Jos avaruudella V ei ole äärellistä virittäjäjoukkoa, niin V on ääretönulotteinen Esimerkki 113 Vektoriavaruus K n = L{e 1, e 2,, e n }, missä vektorit e i muodostavat avaruuden K n luonnollisen kannan Lause 114 Olkoon V {0} vektoriavaruus ja S = {x 1, x 2,, x n } V Joukko S on avaruuden V kanta jos ja vain jos jokainen avaruuden V vektori voidaan esittää yksikäsitteisesti joukon S vektorien lineaariyhdisteenä Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) 15 Aliavaruuksien summat Määritelmä 115 Olkoon U ja Z vektoriavaruuden V aliavaruuksia Tällöin merkitsemme U + Z = {x V : x = u + z, u U, z Z} ja sanomme, että U + Z on aliavaruuksien U ja Z summa Lause 116 Jos U ja Z ovat avaruuden V aliavaruuksia, niin U + Z on avaruuden V aliavaruus Määritelmä 117 Olkoon U ja Z vektoriavaruuden V aliavaruuksia Jos jokaisella vektorilla x U +Z on yksikäsitteinen esitys muodossa x = u+z, missä u U ja z Z, niin U + Z on aliavaruuksien U ja Z suora summa, merkitään U Z Seuraava lause on hyödyllinen tulos osoitettaessa annettua vektoriavaruutta aliavaruuksien suoraksi summaksi Lause 118 Jos U ja Z ovat avaruuden V aliavaruuksia, niin V = U Z jos ja vain jos U + Z = V ja U Z = {0} Huomautus Jos U = {0} ja Z = V, niin tällöin V = U Z Seuraavat tulokset löytyvät kurssista Lineaarialgebra II Lause 119 Olkoon U ja Z vektoriavaruuden V äärellisulotteisia aliavaruuksia Tällöin myös U + Z on äärellisulotteinen ja dim (U + Z) = dim U + dim Z dim (U Z) Seuraus 120 Jos vektoriavaruus V on äärellisulotteinen ja V = U + Z, niin (i) dim V dim U + dim Z ja (ii) dim V = dim U + dim Z jos ja vain jos V = U Z

16 LINEAARIKUVAUKSET 10 Lause 121 Jos U on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V aliavaruus, niin on olemassa sellainen avaruuden V aliavaruus Z, että V = U Z Esimerkki 122 Olkoon V = R 3 ja tarkastellaan aliavaruuksia U = {(x, y, 0) R 3 : x, y R} ja Z = {(x, 0, z) R 3 : x, z R} Tällöin V = U + Z ja U Z = {(x, 0, 0) R 3 : x R} {0}, joten summa ei ole kuitenkaan suora Lisäksi dim V < dim U + dim Z mutta dim V = dim U + dim Z dim (U Z) Etsitään lauseen 121 mukainen aliavaruus Z siten, että V = U Z Olkoon Z = {(0, 0, z) R 3 : z R}, jolloin jokainen x V = R 3 on yksikäsitteisesti muotoa Siis V = U Z x = (x, y, 0) + (0, 0, z) U + Z 16 Lineaarikuvaukset Lineaariset kuvaukset ovat tärkeitä matematiikan työkaluja Esimerkiksi analyysin perusoperaatiot (mm derivaatta ja integraali) ovat lineaarisia kuvauksia Lisäksi lineaariset yhtälöryhmät ovat tulkittavissa lineaarisia kuvauksia koskevina yhtälöinä Jatkossa avaruudet V ja W ovat K-kertoimisia äärellisulotteisia vektoriavaruuksia ellei toisin mainita Kun avaruuksien V ja W kannat ovat kiinnitetyt, voimme samaistaa lineaariset kuvaukset vastaavien kuvausten matriisien kanssa Määritelmä 123 Kuvausta A: V W sanotaan lineaariseksi mikäli (i) A(x + y) = A(x) + A(y) (ii) A(cx) = ca(x) kaikilla x, y V ja c K Lineaarista kuvausta sanotaan usein myös lineaariseksi operaattoriksi Jos W = K, niin lineaarista kuvausta sanotaan lineaariseksi funktionaaliksi Yleisesti lineaarisen kuvauksen yhteydessä vektoria A(x) merkitään usein lyhyemmin Ax Jos A: V W ja B : V W ovat lineaarisia kuvauksia, niin A = B täsmälleen silloin kun Ax = Bx kaikilla x V Jos A: V W on lineaarinen kuvaus ja U V on aliavaruus, niin merkitsemme kuvauksen A rajoittumaa aliavaruuteen U symbolilla A U Selvästi myös rajoittuma A U : U W on lineaarinen

16 LINEAARIKUVAUKSET 11 Lause 124 Jos A: V W on lineaarinen kuvaus, niin A0 V = 0 W Todistus Koska Ax = 0 V jos ja vain jos x = 0 V tai a = 0 K (harjoitustehtävä), niin A0 V = A(0 K 0 V ) = 0 K A(0 V ) = 0 W Esimerkki 125 a) Olkoon I = I V : V V identtinen kuvaus, ts Ix = x kaikilla x V Tällöin identtinen kuvaus I on lineaarinen b) Olkoon N : V W ns nollakuvaus, eli Nx = 0 W kaikilla x V Tällöin kuvaus N on lineaarinen Määritelmä 126 Olkoon A: V W lineaarinen kuvaus Tällöin kuvauksen A kuva-avaruus R(A) on joukko R(A) = {y W : y = Ax jollakin x V } = A(V ) ja kuvauksen A ydin on joukko N(A) = {x V : Ax = 0} = A 1 ({0}) Lause 127 Lineaarisen kuvauksen A: V W kuva-avaruus R(A) ja ydin N(A) ovat aliavaruuksia Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) [ ] 1 1 0 Esimerkki 128 Tarkastellaan matriisia A = K 1 1 1 2 3 Tällöin matriisia A voidaan käsitellä lineaarisena kuvauksena A: K 3 K 2 Määrätään kuvauksen A ydin N(A) Jos x = (x 1, x 2, x 3 ) t N(A), niin { x 1 x 2 = 0, x 1 + x 2 + x 3 = 0 eli x 1 = x 2 ja x 3 = 2x 2 Siis jokainen vektori x N(A) on muotoa x = (x 2, x 2, 2x 2 ) t = x 2 (1, 1, 2) t, missä x 2 K Aliavaruus N(A) on siis origon kautta kulkeva (vektorin (1, 1, 2) t suuntainen) suora Lause 129 Lineaarinen kuvaus A: V W on injektio jos ja vain jos N(A) = {0} Todistus Olkoon N(A) = {0} Jos Ax = Ay, niin A(x y) = Ax Ay = 0 Siis x y N(A) Täten x y = 0, eli x = y ja kuvaus A on siis injektio Oletetaan, että A: V W on injektio ja x N(A) Tällöin Ax = 0 = A0, joten injektiivisyyden nojalla x = 0 Siis N(A) = {0} Esimerkki 130 Olkoon P = {x : x on R-kertoiminen polynomi} Jos x P ja u(t) = t x(t), missä t R, niin myös u P Jokaisella x P merkitään Ax = u, jolloin saamme kuvauksen A: P P Osoitetaan, että P on lineaarinen (Jatko luennolla) Lause 131 Olkoon A: V W lineaarinen kuvaus ja S V

16 LINEAARIKUVAUKSET 12 (i) Jos S on avaruuden V virittäjäjoukko, niin A(S) on avaruuden R(A) = A(V ) virittäjäjoukko (ii) Jos A on injektio ja S on lineaarisesti riippumaton, niin A(S) on lineaarisesti riipumaton (iii) Jos A on injektio ja S on V :n kanta, niin A(S) on kuva-avaruuden R(A) kanta Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) Huomautus Jatkossa tarkastelemme äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, jolloin lineaariset kuvaukset ja matriisit voidaan samaistaa kun tarkasteltavien avaruuksien kannat ovat kiinnitetyt Olkoon siis V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia Lause 132 Olkoon {v 1, v 2,, v n } avaruuden V kanta ja {w 1, w 2,, w n } W Tällöin on olemassa yksikäsitteinen lineaarinen kuvaus A: V W siten, että Av 1 = w 1, Av 2 = w 2,, Av n = w n Todistus Osoitetaan ensin kuvauksen olemassaolo Jos x V ja x = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n, niin olkoon Ax = a 1 w 1 + + a n w n Tällöin A on kuvaus avaruudelta V avaruudelle W Lisäksi Av 1 = w 1, Av 2 = w 2,, Av n = w n On siis osoitettava, että kuvaus A: V W on lineaarinen Jos niin tällöin saamme x = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n ja y = b 1 v 1 + b 2 v 2 + + b n v n, A(x + y) = A((a 1 + b 1 )v 1 + (a 2 + b 2 )v 2 + + (a n + b n )v n ) = a 1 w 1 + a 2 w 2 + + a n w n + b 1 w 1 + b 2 w 2 + + b n w n = Ax + Ay Vastaavasti jos c K, niin A(cx) = A((ca 1 )v 1 + (ca 2 )v 2 + + (ca n )v n ) = c(a 1 w 1 + a 2 w 2 + + a n w n ) = cax, joten kuvaus A on lineaarinen Osoitetaan vielä kuvauksen yksikäsitteisyys Olkoon siis A ja B kaksi lineaarista kuvasta, jotka toteuttavat lauseen ehdon, ts

17 PROJEKTIOT 13 Av i = w i = Bv i kaikilla i = 1, 2,, n Jos x = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a n v n V, niin Ax = a 1 Av 1 + + a n Av n = a 1 Bv 1 + + a n Bv n = Bx Siis A = B, mikä todistaa lauseen Lause 133 Jos A: V W on lineaarinen kuvaus, niin Todistus (Ks Lineaarialgebra II) dim V = dim N(A) + dim R(A) 17 Projektiot Määritelmä 134 Lineaarista kuvausta P : V V sanotaan projektioksi jos P 2 = P (P 2 = P P ), ts P on idempotentti Esimerkki 135 Nollakuvaus ja identiteettikuvaus ovat projektioita (triviaaleja tapauksia) 1 0 0 Esimerkki 136 Olkoon P = 0 1 0 R 3 3 Osoitetaan, että P on projektio 0 0 0 Nyt P (x 1, x 2, x 3 ) t = (x 1, x 2, 0) t, joten P 2 (x 1, x 2, x 3 ) t = P (P (x 1, x 2, x 3 ) t ) = P (x 1, x 2, 0) t = (x 1, x 2, 0) t Siis P 2 = P eli P on projektio Lause 137 Olkoon P : V V projektio Tällöin (a) I P on projektio, (b) R(I P ) = N(P ), ja (c) N(I P ) = R(P ) Todistus (a) Nyt (I P ) 2 = (I P )(I P ) = I 2 2P +P 2 = I 2P +P = I P, joten I P on projektio (b) Jos x R(I P ), niin on olemassa y V siten, että (I P )y = x Täten P x = P ((I P )y) = P y P 2 y = P y P y = 0, joten x N(P ) Toisaalta jos x N(P ), niin tällöin P x = 0 Siis (I P )x = Ix P x = x, joten x R(I P ) Täten R(I P ) = N(P ) (c) Selvästi P on projektio jos ja vain jos I P on projektio Nyt P = I (I P ) on projektio, missä myös I P on (a)-kohdan mukaan projektio Täten (b)- kohdan nojalla N(I P ) = R(I (I P )) = R(P ) (Todistus onnistuu myös (b)-kohdan mukaisella päättelyllä)

17 PROJEKTIOT 14 Lause 138 Jos P : V V on projektio, niin V = N(P ) R(P ) Todistus Nyt N(P ) ja R(P ) ovat aliavaruuksia Olkoon x V, jolloin se voidaan esittää muodossa x = x 1 + x 2, missä { x 1 = (I P )x x 2 = P x Lauseen 137 avulla saadaan x 1 R(I P ) = N(P ) ja x 2 R(P ) Siis x = x 1 + x 2 N(P ) + R(P ), joten V = N(P ) + R(P ) Osoitetaan vielä, että N(P ) R(P ) = {0} Jos x N(P ) R(P ), niin x N(P ) ja x R(P ) = N(I P ) Täten (I P )x = 0 jos ja vain jos P x = x ja P x = 0, joten x = P x = 0 Siis V = N(P ) R(P ) Esimerkki 139 Olkoon vektoriavaruus V = U Z Jos x V, niin sillä on yksikäsitteinen esitys x = u+z, missä u U ja z Z Jos x V, niin merkitään u = P x, jolloin saamme kuvauksen P : V U Osoitetaan, että kuvaus P on projektio (sanotaan projektioksi aliavaruudelle U aliavaruuden Z suuntaan)

2 Matriisin astehajotelma ja LU-hajotelma 21 Determinantti Olkoon A K n n ja A 1, A 2,, A n sen vaaka- tai pystyrivit Merkitään kummassakin tapauksessa A = (A 1, A 2,, A n ) Kun poistetaan matriisista A sen i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi, saadaan (n 1) (n 1)-matriisi, jota merkitään A(i j):llä Matriisin A determinanttia merkitään det A tai joskus myös A Palautetaan mieliin lineaarialgebran kursseilla osoitetut determinantin ominaisuudet: D1 Laplace-kehitelmä vaakarivin i ja pystyrivin j mukaan: det A = det A = n ( 1) i+j a ij det A(i j) j=1 n ( 1) i+j a ij det A(i j) i=1 D2 det(a 1,, A i,, A j,, A n ) = det(a 1,, A j,, A i,, A n ) (eli kahden rivin paikanvaihto muuttaa determinantin merkin) D3 det A = 0 jos A i = A j jollakin indeksillä i j D4 Jos jokin rivi A i on muotoa aa i + ba i (a, b K), niin det A = a det A + b det A, missä A = (A 1,, A i,, A n) ja A = (A 1,, A i,, A n) D5 det(c A) = c n det A aina kun c K D6 det(a 1,, A i + ca j,, A n ) = det A aina kun i j D7 det A t = det A D8 Olkoon adj A = [ b ij ] t, missä bij = ( 1) i+j det A(i j) on ns alkion a ij kotekijä (cofactor) Tällöin A adj A = ( adj A) A = det A I, missä adj A on matriisin A ns adjungaatti eli liittomatriisi 15

22 BINET-CAUCHY -KAAVA 16 D9 A on säännöllinen jos ja vain jos det A 0 Siis jos A on säännöllinen, niin ominaisuuden D8 nojalla D10 Jos A, B K n n, niin A 1 = 1 adj A det A det AB = det A det B = det B det A = det BA Siis ominaisuuden D9 avulla saamme det A 1 = 1 det A 22 Binet-Cauchy -kaava Olkoon k 1 < k 2 < < k n kokonaislukuja Sekoittamalla ne eri järjestykseen saadaan n! kappaletta eri permutaatioita (j 1, j 2,, j n ) Permutaatiossa (j 1, j 2,, j n ) lukupari (j r, j s ) muodosta inversion jos r < s ja j r > j s Merkintä Jos p on permutaatio, niin τ(p) on permutaatiossa p esiintyvien inversioiden lukumäärä Huomautus Jokainen lukujen k 1 < k 2 < < k n permutaatio p = (j 1, j 2,, j n ) voidaan muuttaa peruspermutaatioksi (k 1, k 2,, k n ) suorittamalla peräkkäin τ(p) kappaletta vierekkäisten alkioiden paikanvaihtoja Ominaisuuksien D1 D10 lisäksi matriisin A K n n determinantilla det A on seuraava tärkeä ominaisuus liittyen permutaatioihin: Lause 21 Jos A K n n, niin det A = p=(j 1,j 2,,j n) ( 1) τ(p) a j11a j22 a jnn, missä summa otetaan lukujen 1, 2,, n kaikkien permutaatioiden yli Todistus Osoitetaan väite induktiolla matriisin koon suhteen Jos n = 1, niin det A = det[a 11 ] = a 11 Lauseen summassa on vain yksi termi ( 1) 0 a 11 = a 11, joten väite on oikea kun n = 1 Induktio-oletus: Väite on tosi (n 1) (n 1)-matriiseille Olkoon A K n n ja merkitään S(A) = ( 1) τ(p) a j11a j22 a jnn p=(j 1,j 2,,j n)

22 BINET-CAUCHY -KAAVA 17 Olkoon 1 i n mielivaltaisesti valittu ja merkitään c 1i :llä alkion a 1i kerrointa summassa S(A) Siis summassa S(A) poimitaan ne termit, jossa j i = 1 ja poistetaan kerroin a ij Tällöin saadaan c 1i = p=(j 1,j 2,,jn) j i =1 ( 1) τ(p) a j11a j22 a jnn }{{} ei tekijää a 1i Huomaa, että nyt summissa, joissa ei ole kerrointa a 1i on n 1 kpl termejä Tarkastellaan kerrointa c 1i ja merkitään q = (j 1,, j i 1, j i+1,, j n ) Permutaatio q siis on permutaatio p, josta on poistettu luku 1 Nyt q on lukujen 2, 3,, n permutaatio ja τ(q) = τ(p) (i 1) koska p:n inversiot (j 1, 1),, (j i 1, 1) (i 1 kappaletta) jäävät pois Täten c 1i = q ( 1) τ(q)+(i 1) a j11a j22 a jnn }{{} ei tekijää a 1i = ( 1) i+1 q ( 1) τ(q) a j11a j22 a jnn }{{} ei tekijää a 1i 2 ( 1) Koska A(1 i) = niin saamme kertoimen c 1i muotoon a 21 a 2,i 1 a 2,i+1 a 2n, a n1 a n,i 1 a n,i+1 a nn c 1i = ( 1) i+1 q ( 1) τ(q) a j11a j22 a jnn = S(A(1 i)) }{{} ei tekijää a 1i Induktio-oletuksen nojalla yo summasta saadaan S(A(1 i)) = det A(1 i), joten S(A) = = n a 1i c 1i i=1 n ( 1) 1+i a 1i det A(1 i) i=1 D10 = det A [ a11 a Esimerkki 22 Olkoon A = 12 a 21 a 22 ] Tällöin lukujen 1 ja 2 permutaatioita p = (j 1, j 2 ) ovat täsmälleen p 1 = (1, 2) ja p 2 = (2, 1) Nyt τ(p 1 ) = 0 ja τ(p 2 ) = 1, joten lauseen 21 mukainen summa on joka on det A a 11 a 22 a 21 a 12,

22 BINET-CAUCHY -KAAVA 18 Määritelmä 23 Olkoon A = [ ] a ij Km n Matriisin A kokoa p p oleva minori on a i1j ( ) 1 a i1j 2 a i1j p i1 i A 2 i p a i2j 1 a i2j 2 a i2j p = det j 1 j 2 j p, a ipj 1 a ipj 2 a ipj p missä p = 1, 2,, min{m, n} Matriisista A siis poistetaan ensin kaikki muut vaakarivit paitsi i 1, i 2,, i p (i 1 < i 2 < < i p ) Sen jälkeen poistetaan saadusta p n-matriisista kaikki muut pystyrivit paitsi rivit j 1, j 2,, j p (j 1 < j 2 < < j p ) Kokoa p p-minori on tämän saadun p p-matriisin determinantti ( ) i1 i A 2 i p j 1 j 2 j p Neliömatriisin A K n n kokoa p oleviksi pääminoreiksi (principal minors) kutsutaan minoreita ( ) i1 i A 2 i p i 1 i 2 i p Neliömatriisin A K n n kokoa 1 olevat pääminorit ovat siis diagonaalialkiot a 11, a 22,, a nn ja kokoa n oleva pääminori on det A Lause 24 (Binet-Cauchy -kaava) Jos A K m n ja B K n m, missä m n, niin ( ) ( ) 1 2 m k1 k det AB = A B 2 k m k 1 k 2 k m 1 2 m 1 k 1<k 2< <k m n Summa otetaan kaikkien niiden permutaatioiden (k 1, k 2,, k n ) (ts k ν -yhdelmien) yli, jotka toteuttavat annetun ehdon 1 k 1 < k 2 < < k m n Todistus Kirjoitetaan matriisitulo AB seuraavasti: [ ] n AB = i b n 1=1 i 11A i1 i b n 2=1 i 22A i2 i b n=1 i mma im m m missä A ik on matriisin A k:s pystyrivi kun k = 1, 2,, m (huomaa summausindeksin valinta) Jokainen pystyrivi on siis n:n matriisin A pystyrivivektorin summa, joten soveltamalla determinantin ominaisuutta D4 toistuvasti saadaan det AB = = n n i 1=1 i 2=1 n n i 1=1 i 2=1 n b i11b i22 b imm det [ ] A i1 A i2 A im i m=1 n i m=1 ( ) 1 2 m b i11b i22 b imm A i 1 i 2 i m,

22 BINET-CAUCHY -KAAVA 19 Nyt yo summan ne termit, joissa sama i ν esiintyy ainakin kahdesti ovat nollia ominaisuuden D3 nojalla Täten ne voidaan jättää pois, jolloin saadaan det AB = ( ) 1 2 m b i11b i22 b imm A, (21) i 1 i 2 i m 1 k 1< <k m n p missä jälkimmäinen summa otetaan lukujen k 1 < k 2 < < k m kaikkien permutaatioiden p = (i 1, i 2,, i m ) yli Jokainen permutaatio p = (i 1, i 2,, i m ) voidaan muuttaa takaisin peruspermutaatioksi suorittamalla τ(p) kappaletta vierekkäisten alkioiden paikanvaihtoja Jokaista paikanvaihtoa vastaa kahden pystyrivin vaihto determinantissa ( ) 1 2 m A, i 1 i 2 i m joten determinantin merkki vaihtuu τ(p) kertaa Täten ( ) ( ) 1 2 m A = ( 1) τ(p) 1 2 m A i 1 i 2 i m k 1 k 2 k m Siis kertoimen c 1i alkuperäisestä lausekkeesta (21) saadaan ( ) 1 2 m det AB = A ( 1) τ(p) b k 1 k 2 k i11b i22 b imm m = 1 k 1< <k m n 1 k 1< <k m n ( ) 1 2 m A B k 1 k 2 k m lauseen 21 nojalla Tämä oli haluttu muoto p=(i 1,i 2,,i m) ( k1 k 2 k m 1 2 m Seuraus 25 Jos A K n n ja B K n n, niin ainoa k ν -yhdelmä, joka toteuttaa annetun ehdon on yhdelmä 1, 2,, n Tällöin siis det AB = det A det B Esimerkki 26 Tarkastellaan matriiseja (vrt harjoitus 2 tehtävä 6) [ ] c a1 a A = 2 a 1 d 1 3 K b 1 b 2 b 2 3 ja B = c 2 d 2 K 3 2 3 c 3 d 3 Tällöin tulon AB determinantti saadaan Binet-Cauchy -kaava käyttämällä muotoon ( ) ( ) 1 2 k1 k det AB = A B 2 k 1 k 2 1 2 1 k 1<k 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 = A B + A B + A B 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 = a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 d 1 c 2 d 2 + a 1 a 3 b 1 b 3 c 1 d 1 c 3 d 3 + a 2 a 3 b 2 b 3 c 2 d 2 c 3 d 3 )

23 MATRIISIN ASTE 20 23 Matriisin aste Tarkastellaan ensin lineaarista kuvasta A: V W Tällöin lineaarisen kuvauksen A aste r(a) määritellään kuva-avaruuden R(A) dimensiona, ts r(a) = dim R(A) Jos A K m n, niin käytetään matriisin ytimelle ja kuva-avaruudelle samoja merkintöjä kuin lineaarisille kuvauksille Siis N(A) = {x K n : Ax = 0} ja R(A) = {y K m : Ax = y jollakin x K n } Myös merkinnät Ker (A) ja Im (A) ovat yleisesti käytettyjä Matriisin A K m n aste voidaan määritellä usealla (yhtäpitävällä) tavalla Määritelmä 27 Olkoon A K m n (i) Matriisin A vaakariviaste on A:n lineaarisesti riippumattomien vaakarivien maksimimäärä Siis A:n vaakariviaste on dim Row (A) = dim L{A (1), A (2),, A (m) }, missä A (i) on matriisin i:s vaakarivi (ii) Matriisin A pystyriviaste on A:n lineaarisesti riippumattomien pystyrivien maksimimäärä Siis A:n pystyriviaste on dim Col (A) = dim L{A 1, A 2,, A n }, missä A j on matriisin j:s pystyrivi (iii) Matriisin A determinanttiaste on suurin sellainen k, että matriisin A k k-minori on eri kuin nolla, ts jokin minori ( ) i1 i A 2 i k 0 j 1 j 2 j k Esimerkki 28 Tarkastellaan matriisia 1 3 3 2 A = 2 6 9 5 R 3 4 1 3 3 0 Tällöin matriisi A on lineaarinen kuvaus A: R 4 R 3 Olkoon A (i) matriisin A i:s vaakarivi ja A j matriisin A j:s pystyrivi Nyt A (3) = 2A (2) 5A (1) ja vaakarivit A (1) ja A (2) ovat lineaarisesti riippumattomat Täten matriisin A vaakariviaste on 2

23 MATRIISIN ASTE 21 Vastaavasti A 2 = 2A 1 ja A 4 = A 1 + 1 3 A 3, missä A 1 ja A 3 ovat lineaarisesti riippumattomia Siis matriisin A pystyriviaste on myös 2 Lisäksi ( ) [ ] 1 3 1 2 A = det = 2 0, 1 4 1 0 joten determinanttiaste on vähintään 2 Toisaalta kaikki 3 3 -minorit (4 kpl) ovat nollia, joten matriisin A determinanttiaste on 2 Edellisen esimerkissä vaakarivi-, pystyrivi ja determinanttiasteet ovat samoja Tämä ei ole sattumaa sillä lauseiden 29 ja 210 nojalla nämä asteet ovat aina samoja Lause 29 Jos A K m n, niin dim R(A) = dim Row (A) = dim Col (A), ts vaaka- ja pystyriviasteet ovat samat Todistus (Ks Lineaarialgebra I & II) Osoitetaan vielä, että matriisin A K m n determinanttiaste on sama kuin matriisin A vaaka- ja pystyriviaste Lause 210 Jos matriisin A K m n determinanttiaste on k ja ( ) i1 i A 2 i k 0, j 1 j 2 j k niin matriisin A pystyrivit j 1, j 2,, j k ovat lineaarisesti riippumattomat ja jokainen pystyrivi on niiden lineaarinen yhdiste Täten matriisin A determinanttiaste on sama kuin matriisin A pystyriviaste Todistus Koska vaaka- ja pystyrivien järjestyksen vaihtaminen matriisissa A ei vaikuta determinanttiasteeseen eikä pystyriviasteeseen, riittää tarkastella minoria ( ) 1 2 k A 0 1 2 k Nyt saadaan siis A a 11 a 1k a 1s ( ) 1 2 k t = det 1 2 k s a k1 a kk a ks } a t1 a tk {{ a ts } merk B aina kun t = 1, 2,, m ja s = 1, 2,, n Jos t k tai s k, niin yo det B = 0 sillä tällöin matriisissa B on kaksi samaa vaaka- tai pystyriviä Jos t > k ja s > k, niin determinanttiasteen määritelmän nojalla det B = 0 Olkoon c 1, c 2,, c k ja c s viimeisen vaakarivin alkioiden kotekijät, ts c j = ( 1) t+j det B(t j) Tällöin ( ) 1 2 k c s = A 0 (22) 1 2 k

23 MATRIISIN ASTE 22 ja det B = A kaikilla t = 1, 2,, m Täten ( ) 1 2 k t = a 1 2 k s t1 c 1 + + a tk c k + a ts c s = 0 c 1 A 1 + c 2 A c + c k A k + c s A s = 0, missä A i on matriisin A i:s pystyrivi Koska (22) mukaan c s 0, niin saamme ( A s = c ) ( 1 A 1 + c ) ( 2 A 2 + + c ) k A k c s c s c s aina kun s = 1, 2,, n Täten lauseen jälkimmäinen väite on todistettu Osoitetaan vielä pystyrivien A 1, A 2,, A k lineaarinen riippumattomuus Oletetaan, että α 1 A 1 + α 2 A 2 + + α k A k = 0, missä α i K Tällöin eli α 1 a 11 a 12 a 21 + α a 22 2 + + α a 2k k = 0, a k1 a k2 a kk a 1k a 11 a 12 a 1k α 1 a 21 a 22 a 2k α 2 = 0 a k1 a k2 a kk α k }{{}}{{} merk C merk x ( ) 1 2 k Koska det C = A 0, niin matriisi C on kääntyvä Siis on 1 2 k oltava x = 0, eli α 1 = α 0 = = α k = 0 Matriisin A K m n aste voidaan siis määritellä vaakarivi-, pystyrivi- tai determinanttiasteen avulla, merkitään r(a) Lisäksi saamme seuraavan tuloksen käyttämällä hyväksi lineaarialgebrasta tuttua tulosta: jos A: V W ( dim V < ) on lineaarinen kuvaus, niin dim V = dim R(A) + dim N(A) Lause 211 Jos A K m n, niin r(a) = dim R(A) = n dim N(A) Seuraus 212 Olkoon A K n n Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) Matriisi A on säännöllinen; (b) Käänteismatriisi A 1 on olemassa; (c) det A 0;

23 MATRIISIN ASTE 23 (d) r(a) = n; (e) Matriisin A vaakarivit ovat lineaarisesti riippumattomat; (f) Matriisin A pystyrivit ovat lineaarisesti riippumattomat; (g) dim R(A) = n; (h) dim N(A) = 0; (i) Yhtälöllä Ax = b on täsmälleen yksi ratkaisu aina kun b K n ; (j) Yhtälöllä Ax = 0 on vain triviaaliratkaisu x = 0 Lause 213 (i) r(a + B) r(a) + r(b) aina kun A + B on määritelty; (ii) r(ab) min{r(a), r(b)} aina kun AB on määritelty; (iii) r(ab) = r(a) ja r(ba) = r(a) aina kun B on säännöllinen ja matriisien tulo on määritelty, ts säännöllisellä matriisilla kertominen ei vaikuta matriisin asteeseen; (iv) N(A) = N(A A) ja r(a) = r(a A) Todistus (i) Olkoon A = [ A 1 A 2 A n ] Km n ja B = [ B 1 B 2 B n ] K m n pystyriviosituksia Tällöin joten A + B = [ A 1 + B 1 A 2 + B 2 A k + B k ], r(a + B) = dim R(A + B) = dim L{A 1 + B 1, A 2 + B 2,, A k + B k } dim L{A 1, A 2,, A k, B 1, B 2,, B k } dim L{A 1, A 2,, A k } + dim L{B 1, B 2,, B k } = dim R(A) + dim R(B) = r(a) + r(b) (ii) Tarkastellaan matriiseja A K m p ja B K p n ja merkitään matriisien A ja B vaaka- ja pystyriviositukset seuraavasti: A 1 A 2 A = [ ] A 1 A 2 A p = A m B 1 B 2 B = [ ] B 1 B 2 B n = B p

24 MATRIISIN ASTEHAJOTELMA 24 Nyt matriisin AB i:s pystyrivi on b 1i AB i = [ ] b 2i A 1 A 2 A p = b 1iA 1 + b 2i A 2 + + b pi A p, b pi joten pystyrivit AB i L{A 1, A 2,, A p } (i = 1, 2,, n) Siis nähdään pystyriviasteen avulla, että r(ab) r(a) Toisaalta matriisin AB j:s vaakarivi on B 1 B 2 A jb = [ ] a j1 a j2 a jp = a j1b 1 + a j2 B 2 + + a jp B p B p Siis matriisiin AB vaakarivit A j B L{B 1, B 2,, B p} (j = 1, 2,, m), joten r(ab) r(b) vaakariviasteena Täten saadaan (iii) Edellisen kohdan nojalla r(ab) min{r(a), r(b)} r(a) = r(abb 1 ) r(ab) r(a), joten r(a) = r(ab) aina kun B on säännöllinen ja tulo AB on määritelty Vastaava päättely osoittaa, että r(a) = r(ba) kun tulo on määritelty ja B on säännöllinen (iv) Olkoon x K n ja A K m n Jos x N(A), niin Ax = 0, joten A Ax = 0 Täten x N(A A) Toisaalta jos x N(A A), niin A Ax = 0 Siis x A Ax = 0, joten (Ax) Ax = (Ax Ax) = 0 Täten Ax = 0, joten x N(A) ja N(A) = N(A A) Osoitetaan vielä, että r(a) = r(a A) Nyt A A K n n ja A K m n, joten r(a) = dim R(A) = n dim N(A) = n dim N(A A) = dim R(A A) = r(a A) 24 Matriisin astehajotelma Seuraava lause osoittaa, että jokainen matriisi A K m n voidaan esittää täyttä astetta olevien matriisien tulona

25 LU-HAJOTELMA 25 Lause 214 (Astehajotelma) Olkoon matriisin A K m n aste r(a) = r Tällöin matriisi A voidaan esittää muodossa A = P Q, missä P K m r, Q K r n ja r(p ) = r(q) = r Lisäksi on olemassa sellaiset säännölliset matriisit B K m m ja C K n n, että [ ] Ir 0 A = B C 0 0 Todistus Olkoon A K m n ja r(a) = r Tällöin r n ja r m Tehdään matriisille A pystyriviositus A = [ ] A 1 A 2 A n Koska r = r(a), niin pystyriviasteen määritelmän mukaan on olemassa sellaiset lineaarisesti riippumattomat pystyrivit A k1, A k2,, A kr, että A i = α 1i A k1 + α 2i A k2 + + α ri A kr = [ ] α 2i A k1 A k2 A kr α ri α 1i aina kun i = 1, 2,, n Täten A = [ ] A 1 A 2 A n α 11 α 12 α 1n = [ ] α 21 α 22 α 2n A k1 A k2 A kr }{{} merk P α r1 } α r2 {{ α rn } merk Q (A) Nyt siis P K m r ja Q K r n Jos r(q) < r, niin r = r(a) = r(p Q) min{r(p ), r(q)} < r, mikä on ristiriita Siis pystyriviasteen mukaan r(p ) = r ja r(q) = r Täydennetään matriisi P m m-matriisiksi B lisäämällä lineaarisesti riippumattomia pystyrivejä m p kappaletta Tällöin r(b) = m pystyriviasteen määritelmän nojalla Samoin voidaan täydentää matriisi Q sellaiseksi n n-matriisiksi C, että r(c) = n vaakariviasteen määritelmän nojalla Täten B ja C ovat säännöllisiä, missä B = [ P R ] [ ] Q ja C = S Lisäksi B [ ] Ir 0 C = [ P R ] [ [ ] I r 0 Q = P Q = A 0 0 0 0] S 25 LU-hajotelma Jos matriisi A K n n voidaan hajottaa ala- ja yläkolmiomatriisin tuloksi A = LU, niin esimerkiksi determinantin ja yhtälöryhmän Ax = b ratkaiseminen

25 LU-HAJOTELMA 26 helpottuu huomattavasti Yhtälöryhmä Ax = b voidaan ratkaista ratkaisemalla ensin yhtälö Ly = b, jonka jälkeen yhtälö Ux = y Määritelmä 215 Matriisin A K n n johtavat pääminorit ovat ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 n A, A,, A 1 1 2 1 2 n Lause 216 (LU-hajotelma) Olkoon A K n n ja ( ) 1 2 k A 0 (k = 1, 2,, n 1) 1 2 k Tällöin matriisilla A on tulohajotelma A = LU, missä U on yläkolmiomatriisi ja L on sellainen alakolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat kaikki ykkösiä Lisäksi matriisit L ja U ovat yksikäsitteisiä Todistus Olkoon A i matriisin A vasen i i-yläkulma, ts a 11 a 1i A i = a i1 a ii Tällöin A = A n ja kunkin yläkulman A i johtavat pääminorit ovat myös matriisin A johtavia pääminoreja Lisäksi oletuksen mukaan ne ovat nollasta eroavia kokoon n 1 saakka Osoitetaan induktiolla, että lauseen väite pitää paikkansa jokaiselle A i, jolloin väite saadaan kun i = n Jos i = 1, niin väite on selvä sillä A 1 = [a 11 ] = [1][a ii ] on vaadittua muotoa oleva esitys Oletetaan, että lause on tosi matriisille A k 1 (k 1 < n), ts A k 1 = L k 1 U k 1, missä matriisit L k 1 U k 1 ovat yksikäsitteiset vaadittua muotoa olevat matriisit Koska lauseen oletusten mukaan 0 det A k 1 = det L k 1 det U k 1 = 1 k 1 det U k 1, niin myös det U k 1 0, ts matriisit U k 1 ja L k 1 ovat säännöllisiä Tarkastellaan lauseen väitettä yläkulmalle A k Lohkotaan matriisit A k, L k ja U k seuraavasti: A k = A k 1 v u a kk k k L k = L k 1 0 x 1 k k U k = U k 1 0 α Osoitetaan, että yhtäsuuruus A k = L k U k pätee sopivilla vektoreiden x K 1 (k 1) ja y K (k 1) 1 sekä vakio α K valinnoilla Nyt A k = L k U k jos ja vain jos A k 1 = L k 1 U k 1, xu k 1 = v, L k 1 y = u ja xy + α = a kk Siis A k 1 = L k 1 U k 1 (tosi induktio-oletuksen nojalla) x = vu 1 k 1 (tosi koska U k 1 on säännöllinen) y = L 1 k 1 u (tosi koska L k 1 on säännöllinen) α = a kk xy (tosi koska tulo xy on määritelty) y k k

25 LU-HAJOTELMA 27 Lisäksi yo ehdot toteutuvat yksikäsitteisesti, joten matriisi A k on yksikäsitteisesti haluttua muotoa A k = L k U k aina kun k n Siis väite on tosi myös matriisille A = A n Huomautus Lauseen 216 avulla voidaan osoittaa, että jos ( ) 1 2 k A 0 aina kun k = 1, 2,, r(a), 1 2 k niin A = LU, missä L on ala- ja U yläkolmiomatriisi Lisäksi toinen niistä voidaan valita säännölliseksi, jolloin tämän aste on sama kuin r(a) Matriisin LU-hajotelmalle on olemassa myös toisenlainen versio kun matriisi A K n n on hermiittinen (ts A = A) ja positiivisesti definiitti (ts x Ax > 0 aina kun x K n \ {0}) Tällöin matriisille A saadaan ns Choleskyn hajotelma A = LL, missä L on alakolmiomatriisi Todistus on vastaava kuin lauseen 216 todistus Huomautus Jos A = [ a ij ] Kn n on positiivisesti definiitti, niin a ii > 0 kaikilla i = 1, 2,, n koska a ii = e i Ae i > 0 missä e i K n on luonnollisen kannan vektori Lemma 217 Jos A K n n on hermiittinen ja positiivisesti definiitti, niin jokainen lohkomatriisi a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A p = (p n) a p1 a p2 a pp on myös hermiittinen ja positiivisesti definiitti p p Todistus Hermiittisyys on selvä Olkoon x p K p ja täydennetään vektori x p avaruuden K n vektoriksi x lisäämällä koordinaatteihin p + 1, p + 2,, n nollia Tällöin x pa p x p = x Ax > 0 oletuksen nojalla Lemma 218 Jos A K n n on hermiittinen ja positiivisesti definiitti, niin det A > 0 Todistus (Katso kappale 35 matriisin ominaisarvoista ja ominaisvektoreista) Hermiittisen matriisin A K n n ominaisarvot ovat reaaliset (harjoitustehtävä) Koska A on positiivisesti definiitti, niin 0 < x Ax = x (λx) = λ x x = λ(x x) aina kun λ on matriisin A ominaisarvo ja x on sitä vastaava ominaisvektori Täten positiivisesti definiitin matriisin ominaisarvot λ ovat myös aidosti positiivisia Koska det A on ominaisarvojen tulo (katso huomautus sivulla 39), niin det A > 0

25 LU-HAJOTELMA 28 Seuraus 219 (Choleskyn hajotelma) Olkoon A K n n hermiittinen sekä positiivisesti definiitti Tällöin A = LL, missä L on alakolmiomatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat aidosti positiivisia Lisäksi hajotelma on yksikäsitteinen Todistus Osoitetaan lause induktiolla matriisin A K n n koon suhteen Jos A on 1 1-matriisi (A = [ a 11 ] R1 1 ), niin väite on selvä Merkitään matriisin A K n n i i-yläkulmaa a 11 a 12 a 1i a 21 a 22 a 2i A i = a i1 a i2 a ii Oletetaan, että väite on tosi matriisille A k 1 (k 1 < n), joka on hermiittinen ja positiivisesti definiitti Siis A k 1 = L k 1 L k 1 Tarkastellaan matriisia A k ja esitetään se lohkomuodossa A k = A k 1 b b a kk k k = L k 1 0 c α L = k 1 L k 1 c L k 1 L k 1 c 0 α L k 1 c c c + α α Nyt yo lohkomuotoinen tulo on voimassa jos voimme valita vektorin c K k 1 ja vakion α K siten, että L k 1 c = b ja a kk = c c + α 2 Koska det L k 1 > 0, niin L k 1 on kääntyvä Täten voimme valita vektorin c = L 1 k 1 b yksikäsitteisesti Osoitetaan vielä, että vakio α K voidaan valita siten, että α 2 = a kk c c Riittää osoittaa, että a kk c c > 0, jolloin voimme valita α = a kk c c Nyt

25 LU-HAJOTELMA 29 lemman 218 nojalla 0 < det A k = det = det = det = det = det A k 1 b A k 1 a kk b = det A k 1 b b A 1 b 0 a kk b (L k 1 L k 1 ) 1 b A k 1 0 a kk b (L 1 k 1 ) L 1 A k 1 b k 1 b k 1 A k 1 b 0 a kk (L 1 k 1 }{{} b ) L 1 k 1 }{{} b =c =c A k 1 b 0 a kk c c = det A k 1 (a kk c c) b a kk b A 1 k 1 b Lemman 218 nojalla myös det A k 1 > 0, joten a kk c c = det A k det A k 1 > 0 Täten myös α K (itseasiassa α R) voidaan valita siten, että A k = L k L k on haluttua muotoa Väite seuraa induktioperiaatteen nojalla koska A n = A

3 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 31 Invariantit aliavaruudet Oletetaan, että V on äärellisulotteinen K-kertoiminen vektoriavaruus kuten aikaisemminkin Määritelmä 31 Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja S V sen aliavaruus Aliavaruus S on invariantti kuvauksen A suhteen (A-invariantti) jos Ax S kaikilla vektoreilla x S Esimerkki 32 Triviaalit tapaukset {0} ja V ovat avaruuden V invariantteja aliavaruuksia minkä tahansa lineaarisen kuvauksen suhteen Lause 33 Jos A: V V on lineaarinen kuvaus, niin aliavaruudet N(A) ja R(A) ovat A-invariantteja Lisäksi jokainen avaruuden R(A) aliavaruus on A-invariantti Todistus Olkoon x N(A), jolloin Ax = 0 Koska myös 0 N(A), niin N(A) on A-invariantti Olkoon y R(A), jolloin on olemassa x V siten, että Ax = y Koska Ay = A(Ax) R(A), niin Ay R(A) Siis R(A) on A-invariantti Tehtävä 2 Olkoon A, B : V V lineaarisia kuvauksia Osoita, että jos AB = BA (kuvausten yhdistäminen), niin N(B) ja R(B) ovat A-invariantteja Tehtävä 3 Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus Osoita, että A-invarianttien aliavaruuksien summat ja leikkaukset pysyvät A-invariantteina Lause 34 Olkoon {x 1, x 2,, x k } avaruuden V aliavaruuden S kanta ja olkoon A: V V lineaarinen kuvaus Tällöin aliavaruus S on A-invariantti jos ja vain jos Ax i S kaikilla i = 1, 2,, k Todistus Jos S on A-invariantti aliavaruus, niin Ax i S kaikilla i = 1, 2,, k Oletetaan siis, että Ax i S kaikilla i = 1, 2,, k, missä {x 1, x 2,, x k } on aliavaruuden S kanta Jos x S, niin x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α k x k, missä α i K kaikilla i = 1, 2,, k Täten Ax = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 + + α k Ax k Koska Ax i S kaikilla i = 1, 2,, k ja S on aliavaruus, niin myös niiden lineaariset yhdisteet kuuluvat avaruuteen S Siis Ax S, joten S on A-invariantti 30

32 LINEAARISTEN KUVAUKSIEN SUORA SUMMA 31 Huomautus Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja S V A-invariantti aliavaruus Tällöin lauseen 121 mukaan on olemassa aliavaruus S V siten, että V = S S Aliavaruus S ei kuitenkaan yleensä ole A-invariantti (ks seuraava esimerkki) Esimerkki 35 Olkoon lineaarinen kuvaus A: K 2 K 2 määritelty seuraavasti: [ ] [ ] x1 x1 + x A = 2 x 2 x 2 [ ] 1 1 Siis kuvauksen A matriisi luonnollisen kannan suhteen on  = Selvästi 0 1 aliavaruus S = L{(1, 0) t } on A-invariantti aliavaruus sillä A(α, 0) t = (α, 0) t kaikilla α K Nyt S = L{(0, 1) t } on sellainen aliavaruus, että S S = K 2 Kuitenkin A(0, α) t = (α, α) t S kun α 0 Siis S ei ole A-invariantti aliavaruus Huomautus Vastaavat määritelmät ja tulokset ovat voimassa matriiseille A K n n kunhan kannat, joiden suhteen tarkastelu tehdään, on valittu 32 Lineaaristen kuvauksien suora summa Oletetaan, että avaruus V voidaan esittää suorana summana V = S 1 S 2 S k k = S i i=1 Oletetaan lisäksi, että A: V V on lineaarinen kuvaus ja että aliavaruudet S 1, S 2,, S k ovat A-invariantteja Koska nyt jokainen x V on yksikäsitteisesti muotoa x = x 1 + x 2 + + x k, missä x i S i (i=1,2,, k), niin saamme Ax = Ax 1 + Ax 2 + Ax k = A S1 x 1 + A S2 x 2 + + A Sk x k k = A i x i, i=1 missä A i on kuvauksen A rajoittuma aliavaruuteen S i, ts A i = A Si Nyt jokainen A i on myös lineaarinen kuvaus, joten voimme määritellä seuraavasti:

33 LINEAARISEN KUVAUKSEN OMINAISARVOT 32 Määritelmä 36 Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja V = k i=1 S i Merkitään lisäksi A Si = A i Tällöin lineaarinen kuvaus A: V V on lineaaristen kuvausten A i suora summa Merkitään A = k A i = A 1 A 2 A k i=1 Huomautus Suoran summan määrittelyn ajatuksena on hajottaa lineaarisen kuvauksen A tarkastelu osiin A i, eli rajoittaa tarkastelu sen invariantteihin aliavaruuksiin Huomautus Vastaavat määritelmät ja tulokset ovat voimassa matriiseille A K n n kunhan kannat, joiden suhteen tarkastelu tehdään, on valittu 33 Lineaarisen kuvauksen ominaisarvot Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja tarkastellaan avaruuden V 1-ulotteisia A-invariantteja aliavaruuksia Lause 37 Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus ja olkoon {0} S V A-invariantti aliavaruus, jolle dim S = 1 Tällöin on olemassa yksikäsitteinen λ K siten, että Ax = λx kaikilla x S \ {0} Todistus Koska dim S = 1, niin S = {αx 0 : x 0 S \ {0} ja α K} Nyt Ax S kaikilla x S koska S on A-invariantti Jos x S, niin x = α 0 x 0 (α 0 K) Tällöin Ax = A(α 0 x 0 ) = βx 0 S Jos valitaan λ = β/α 0, niin Ax = λx kuten haluttiin Osoitetaan yksikäsitteisyys: Olkoon x, y S \ {0} sellaisia vektoreita, että x = α 0 x 0, y = β 0 x 0 = β 1 x ja Ax = λx Tällöin Ay = A(β 1 x) = β 1 Ax = β 1 λx = λy Tehtävä 4 Osoita, että jos jollakin nollavektorista eroavalla vektorilla x 0 V pätee Ax 0 = λx 0, (1) jollakin λ K, niin aliavaruus S = L{x 0 } on A-invariantti Nollavektorista eroavien vektoreiden, jotka toteuttavat ehdon (1), löytäminen on siis olennaista mikäli halutaan löytää yksiulotteisia invariantteja aliavaruuksia Määritelmä 38 (a) Olkoon A: V V lineaarinen kuvaus Jos x V \{0} toteuttaa yhtälön Ax = λx, jollakin λ K, niin λ K on kuvauksen A ominaisarvo ja vektori x ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori

34 INVARIANTIT ALIAVARUUDET JA MATRIISIT 33 (b) Lineaarisen kuvauksen spektri σ(a) on kaikkien kuvauksen A ominaisarvojen muodostama joukko Yhtälö (1) voidaan esittää myös ekvivalentissa muodossa (λi A)x 0 = 0, (x 0 0) (2) missä I on identiteetti kuvaus Lineaariselle kuvakselle A: V V voidaan siis määritellä ns ominaisavaruus N(λI A), jonka nollavektorista eroavat alkiot ovat ominaisarvoa λ vastaavia ominaisvektoreita 34 Invariantit aliavaruudet ja matriisit Tarkastellaan lineaarista kuvausta T : K n K n Mitä lineaaristen kuvausten suorat summat tarkoittavat matriiseita tarkasteltaessa? Oletetaan, että S 1 ja S 2 ovat avaruuden K n T -invariantteja aliavaruuksia, joille K n = S 1 S 2 Tarkastellaan avaruutta K n luonnollisen kannan suhteen Olkoon avaruuden S 1 kantavektorit {z 1, z 2,, z k } ja avaruuden S 2 kantavektorit {z k+1, z k+2,, z n }, jolloin vektorit {z 1, z 2,, z n } muodostavat siis avaruuden K n jonkin kannan Koska oletuksen mukaan S 1 ja S 2 ovat T -invariantteja, niin T z j S 1 aina kun j = 1, 2,, k ja T z j S 2 aina kun j = k + 1, k + 2,, n Täten saamme seuraavat yhtälöt: T z j = T z j = k a ij z i (j = 1, 2,, k) i=1 n i=k+1 a ij z i (j = k + 1, k + 2,, n) Lineaarisen kuvauksen T matriisiksi saadaan siis matriisi A = [a ij ] n n, missä alkiot a ij määräytyvät yhtälöstä T z j = n i=1 a ijz i (j = 1, 2,, n) Täten matriisi A on muotoa [ ] A1 0, 0 A 2 missä A 1 K k k ja A 2 K (n k) (n k) Huomautus Tarkastelu toimii myös yleisemmässä muodossa, eli yleistä lineaarista kuvausta T : V V tarkasteltaessa Huomautus Jos lineaarinen kuvaus T : K n K n voidaan esittää suorana summana T = T 1 T 2, missä siis T 1 : S 1 S 1 ja T 2 : S 2 S 2, niin kuvausta T esittävä matriisin on kvasidiagonaalimatriisi A K n n Lisäksi matriisin A diagonaalilohkot ovat kuvausten T 1 ja T 2 matriisit

35 MATRIISIN OMINAISARVOT JA KARAKTERISTINEN POLYNOMI 34 35 Matriisin ominaisarvot ja karakteristinen polynomi Olkoon K algebrallisesti suljettu kunta, ts jokainen K-kertoiminen polynomi p(λ) = a 0 λ n + a 1 λ n 1 + + a n 1 λ + a n voidaan esittää astetta 1 olevien tekijöiden tulona a 0 λ n + a 1 λ n 1 + + a n 1 λ + a n = a 0 (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ), missä a 0 0 ja λ 1, λ 2,, λ n K Tarkastellaan matriisia A K n n, eli lineaarista kuvausta A: K n K n Täten voimme määritellä ominasarvot ja ominaisvektori kuten yleisesti lineaarisille kuvauksille Määritelmä 39 (i) Olkoon A K n n Tällöin λ K on matriisin A ominaisarvo jos on olemassa x K n \ {0}, jolle Ax = λx Vektori x K n on puolestaan matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori (ii) Matriisin A spektri σ(a) on matriisin A kaikkien ominaisarvojen muodostama joukko Matriisin ominaisvektorit saadaan siis yhtälöstä Ax = λx, joka voidaan esittää muodossa (λi A)x = 0 Aikasemmasta tiedetään, että yhtälöllä on ei-triviaali (ts nollavektorista eroava ratkaisu) jos ja vain jos det(λi A) = 0 Saadaan siis seuraava tulos: Lause 310 Olkoon A K n n Tällöin λ K on matriisin A ominaisarvo jos ja vain jos det(λi A) = 0 Määritelmä 311 Matriisin A K n n karakteristinen polynomi on c A (λ) = det(λi A) = λ n + a 1 λ n 1 + + a n 1 λ + a n Edellisen lauseen mukaan matriisin A K n n ominaisarvot ovat polynomin c A (λ) nollakohdat, ts yhtälön c A (λ) = 0 ratkaisut Koska K oletettiin algebrallisesti suljetuksi, niin { c A (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) ja λ 1, λ 2,, λ n ovat matriisin A ominaisarvot Suorittamalla kaavassa c A (λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) kertominen saadaan seuraava tulos: Lause 312 Jos A K n n, niin c A (λ) = λ n + a 1 λ n 1 + + a n 1 λ + a n, missä a k = ( 1) k q 1<q 2< <q k λ q1 λ q2 λ qk

35 MATRIISIN OMINAISARVOT JA KARAKTERISTINEN POLYNOMI 35 Edellisen lauseen nojalla saadaan { a 1 = (λ 1 + λ 2 + + λ n ) ja a n = ( 1) n λ 1 λ 2 λ n Lemma 313 Jos A K n n ja sen pystyrivit q 1, q 2,, q k (q 1 < q 2 < < q k ) ovat e q1, e q2,, e qk, niin det A = se A:n pääminori kun poistetaan vaaka- ja pystyrivit q 1, q 2,, q k Todistus Kehitetään determinantti det A pystyrivin q 1 suhteen, saatu determinantti riviä q 2 vastaavan pystyrivin suhteen ja niin edelleen Näin saadaan haluttu pääminori Lause 314 Jos A K n n, niin c A (λ) = λ n + a 1 λ n 1 + + a n 1 λ + a n, missä a k = ( 1) k (A:n kaikkien k k-pääminoreiden summa) Todistus Olkoon A = [ A 1 A 2 A n ] matriisin A pystyriviositus Koska λi = [ λe 1 λe 2 λe n ], niin c A (λ) = det(λi A) = det [ λe 1 A λe 2 A λe n A ] = summa, jossa on 2 n kpl determinantteja, joissa i:s pystyrivi on λe i tai A i (i = 1, 2,, n) = λ n + muut 2 n 1 kpl termejä, missä λ n = det [ λe 1 λe 2 λe n ] Mitä ovat muut termit? Olkoon 1 k n kiinnitetty ja poimitaan yo summasta ne determinantit, joissa muotoa λe i olevia rivejä on tarkalleen n k kappaletta Näin saadaan tarkalleen ne determinantit, jotka syntyvät jos matriisissa A korvataan n k kappaletta pystyrivejä A j pystyriveillä λe j Lemman 313 mukaan näiden determinanttien summa on λ n k ( A:n k k-pääminoreiden summa) = ( 1) k c k λ n k missä c k on matriisin A k k-pääminoreiden summa Kun k = 1, 2,, n, niin saadaan c A (λ) = λ n c 1 λ n 1 + + ( 1) n 1 c n 1 λ + ( 1) n c n = λ n + a 1 λ n 1 + + a n 1 λ + a n, missä a k = ( 1) k c k kun k = 1, 2,, n Huomautus Lauseiden 312 ja 314 nojalla { a 1 = (a 11 + a 22 + + a nn ) = (λ 1 + λ 2 + + λ n ) a n = ( 1) n det A = ( 1) n λ 1 λ 2 λ n