Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio x : Z R tai yleisemmin x : Z C Lukujonon termeille käytetään merkintää x k = x(k) Lukujonolle käytetään merkintää {x k } Lukujono esitetään usein antamalla sen k:s termi Sanotaan, että jono {x k } on kausaalinen, jos x k = 0 kun k < 0 Tällä kurssilla käsittelemme pääsääntöisesti kausaalisia lukujonoja, joille käytämme merkintää {x k } 0 = {x k}
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Kausaalinen lukujono Kausaalinen lukujono {x k } = {2 k 2 } = { 1 4, 1 2, 1, 2, 4, 8,...} {x k } = {2 k 2 } 0 1 2 3 k
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Aritmeettinen ja geometrinen lukujono Aritmeettisessa lukujonossa kahden peräkkäisen termin erotus on vakio {x k } = {ak + b} = {b, a + b, 2a + b, 3a + b,...} Geometrisessä lukujonossa kahden peräkkäisen termin välinen osamäärä on vakio {x k } = {ab k } = {a, ab, ab 2, ab 3,...} Esimerkkejä Aritmeettinen lukujono { 1, 2, 5, 8,...} Geometrinen lukujono {2, 6, 18, 54,...}
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Yksikköaskeljono ja impulssijono Määrittelemme yksikköaskeljonon {u k } jonoksi, jonka termeille pätee { 1 kun k 0 u k = 0 kun k < 0 Yksikköaskeljono on yksinkertaisesti ykkösjono {1} 0 = {1} Määrittelemme impulssijonon {δ k } jonoksi, jonka termeille pätee { 1 kun k = 0 δ k = 0 kun k 0
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-muunnoksen määritelmä Määritelmä Jonon {x k } (kaksipuolinen) määritellään kaavalla Z{x k } = X() = k= x k k muuntaa lukujonon kompleksimuuttujan funktioksi
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Kausaalisen jonon Kausaalisille jonoille x k = 0 kun k < 0, joten Z{x k } = k=0 Kyseessä on yksipuolinen x k k = x 0 + x 1 + x 2 2 + x 3 3 +... Kausaalisen lukujonon ta voidaan pitää Laplace-muunnoksen diskreettinä vastineena
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Yksikköaskeljonon ja impulssinjonon ESIMERKKI. Yksikköaskeljonon {u k } Z{u k } = = k= u k k = 1 k = ( ) 1 k k=0 1 1 1/ = 1 k=0 ( > 1) ESIMERKKI. Impulssinjonon {δ k } Z{δ k } = k= δ k k = δ 0 = 1 ( )
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Geometrisen jonon ESIMERKKI. Geometrisen jonon {a k } Z{a k } = = k=0 a k k = k=0 ( a ) k 1 1 a/ = a ( > a )
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Kaksipuolinen ESIMERKKI. Lasketaan jonon { a k } 1 Z{ a k } 1 = 1 k= = 1 k=0 = a a k k ( a = k=1 ) k = 1 ( < a ) a k k = k a k k=1 1 1 /a = a
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Aritmeettisen jonon ESIMERKKI. Lasketaan aritmeettisen jonon {k} Geometrisen jonon {a k } on Z{a k } = a ( > a ) Derivoimalla molemmat puolet muuttujan a suhteen: d da Z{ak } = Z{ d da ak } = d ( ) da a joten Kun a = 1 Z{ka k 1 } = Z{k} = ( a) 2 ( > a ) ( 1) 2 ( > 1)
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Näytteistetyt funktiot Miten muuntaa jatkuvat funktiot (jatkuva-aikaiset signaalit)? Käyttämällä näytteenottovaliä T, voimme diskretisoida funktion f (t) jonoksi {f (kt)} = {f (0), f (T), f (2T),..., f (nt),...} Näytteistetyn funktion : Z{f (kt)} = k=0 f (kt) k
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Näytteistetyn funktion ESIMERKKI. Lasketaan signaalin f (t) = e t u(t) Käytetään näytteenottoväliä T, jolloin saamme jonon {e kt } = {1, e T, e 2T, e 3T,..., e nt,...} Määritelmän mukaan Z{e kt } = k=0 e kt k = ( ) e T k = k=0 Suppenemisalue riippuu näytteeottovälistä e T ( > e T )
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lineaarisuus Lineaarisuus. Olkoon jonon {x k } X() ja sen suppenemissäde R 1, ja jonon {y k } Y () ja sen suppenemissäde R 2. Olkoon lisäksi α ja β vakioita. Tällöin Z{αx k + βy k } = αz{x k } + βz{y k } = αx() + βy () kun > max(r 1, R 2 ) Todistus. Z{αx k + βy k } = k=0 αx k + βy k k = αx() + βy () = α k=0 x k k + β y k k k=0
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lineaarisuus ESIMERKKI. Lasketaan jonon {2, 6, 18, 54,...} Kyseessä on geometrinen jono {2 3 k } = {2, 6, 18, 54,...} Z{2 3 k } = 2Z{3 k } = 2 3, > 3 ESIMERKKI. Lasketaan jonon { 1, 2, 5, 8,...} Kyseessä on aritmeettinen jono {3k 1} = { 1, 2, 5, 8,...} Z{3k 1} = 3Z{k} + Z{1} = 3 ( 1) 2 + 1, > 1 = 2 + 2 ( 1) 2
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lineaarisuus ESIMERKKI. Lasketaan sinifunktion f (t) = sin(ωt)u(t) Käyttämällä Eulerin kaavaa ja lineaarisuutta, saamme Z{sin(kωT)} = Z{ 1 2i eikωt 1 2i e ikωt } = 1 2i Z{eikωT } 1 2i Z{e ikωt } = 1 2i e iωt 1 2i e iωt = 1 (e iωt e iωt ) 2i 2 (e iωt + e iωt ) + 1 sin(ωt) = 2 ( > 1) 2 cos(ωt) + 1
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Ensimmäinen translaatiolause. Viive Viive. Olkoon {x k } kausaalinen lukujono. Tällöin viivästetylle lukujonolle {x k k0 } pätee Z{x k k0 } = 1 k 0 Z{x k} kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k Todistus. Z{x k k0 } = = k=0 p=0 x k k0 k = x p p+k = 1 0 k 0 x k k0 k k=k 0 p=0 x p p = 1 k Z{x k} 0
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Viive ESIMERKKI. Viivästetty geometrinen jono {x k } = {2 k } = {1, 2, 4, 8,...}, {x k 2 } = {0, 0, 1, 2, 4, 8,...} = {2 k 2 u k 2 } Z{x k 2 } = 1 2 Z{x k} = 1 2 2 ESIMERKKI. Viivästetty impulssijono {δ k 4 } = {0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0,...} Z{δ k 4 } = 1 4 Z{δ k} = 1 4
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Toinen tranlaatiolause. Aikaistus Aikaistus. Olkoon {x k } kausaalinen lukujono. Tällöin aikaistetulle lukujonolle {x k+1 } pätee Z{x k+1 } = Z{x k } x 0 kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k Todistus. Z{x k+1 } = = k=0 p=1 x k+1 k = x p p = x p p 1 p=1 x p x 0 + p=0 p = Z{x k } x 0
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Aikaistus Yleisemmin: k Z{x k+k0 } = k 0 1 0 Z{x k } x n k n n=0 Erityisesti aikaistetulle lukujonolle {x k+2 } pätee: Z{x k+2 } = 2 Z{x k } 2 x 0 x 1
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Muita ominaisuuksia Olkoon lukujonon {x k } X() = Z{x k }, a vakio ja n positiivinen kokonaisluku. Tällöin Potenssifunktiolla a k kertominen Kertominen funktiolla k n Z{a k x k } = X(a 1 ) Z{k n x k } = ( d d ) n X() Alkuarvolause ja loppuarvolause lim X() = x 0, ( lim x k = lim 1 1 ) X() k 1
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Taulukko Z-muunnoksista {x k } Z{x k } Suppenemisalue δ k 1 u k 1 > 1 a k a > a k ( 1) 2 > 1 ka k 1 e kt ( a) 2 e T > a > e T sin kωt sin ωt 2 2 cos ωt+1 > 1
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos Käänteismuunnokselle käytetään merkintää Z 1. Olkoon jonon {x k } X(). Tällöin {x k } = Z 1 [X()] Käänteismuunnos on lineaarinen operaatio Menetelmiä Integraalikaava Algebrallinen manipulaatio (osamurtokehitelmä) + taulukot Sarjakehitelmien hyödyntäminen
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Integraalikaava Käänteismuunnos voidaan määrittää käyräintegraalista x k = 1 X() k 1 d 2πi C missä C on positiivisesti suunnistettu yksinkertainen umpinainen käyrä, joka kiertää origon ja sisältyy suppenemisalueeseen. Kertoimet voidaan laskea nyt residylauseen avulla: n x k = Res[X() k 1, j ] j=1 missä 1, 2,..., n ovat funktion f () = X() k 1 navat
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos residy-laskennan avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion Z-käänteismuunnos X() = 1 + 4, > 4 Kun k = 0 funktiolla X() k 1 on navat pisteissä = 0 ja = 4. Täten [ ] [ ] 1 x 0 = Res ( + 4), 0 1 + Res ( + 4), 4 = 1 4 1 4 = 0 Kun k 1 funktiolla X() k 1 on napa pisteessä = 4.
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos residy-laskennan avulla Jatkoa Täten x k = Res [ ] k 1 + 4, 4 = ( 4) k 1 kun k 1. Kyseessä on siis lukujono {0, 1, 4, 4 2, 4 3,...} = {( 4) k 1 u k 1 }.
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos ja osamurtokehitelmä ESIMERKKI. Lasketaan funktion X() = Z-käänteismuunnos 2 2 7 ( 1) 2 ( 3), > 3 Muodostetaan funktiolle X()/ osamurtokehitelmä X() = 2 7 ( 1) 2 ( 3) = 1/4 1 + 5/2 ( 1) 2 + 1/4 3 Hyödyntämällä käänteismuunnoksen lineaarisuutta ja taulukoita, saamme {x k } = 1 [ ] 4 Z 1 + 5 [ ] 1 2 Z 1 ( 1) 2 1 [ ] 4 Z 1 3 = 1 4 {u k} + 5 2 {k} 1 4 {3k }
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos ja osamurtokehitelmä ESIMERKKI. Lasketaan funktion X() = Z-käänteismuunnos Osamurtokehitelmä: X() = 2 2 7 ( 1) 2 ( 3), > 3 2 2 7 ( 1) 2 ( 3) = 11/4 1 + 5/2 ( 1) 2 + 3/4 3 1 1 1 = 11 4 1 + 5 2 ( 1) 2 3 4 3 Ensimmäisen translaatiolauseen perusteella Z{x k 1 } = 1 Z{x k}
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos ja osamurtokehitelmä Jatkoa Ottamalla käänteismuunnos ja hyödyntämällä lineaarisuutta, saamme jonon {x k }, jonka termeille pätee tai x k = { 11 4 u k 1 + 5 2 (k 1) 3 4 3k 1 kun k > 0 0 kun k = 0 x k = { 1 4 + 5 2 k 1 4 3k kun k > 0 0 kun k = 0 = 1 4 u k + 5 2 k 1 4 3k kun k 0
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos ja osamurtokehitelmä ESIMERKKI. Lasketaan funktion Z-käänteismuunnos X() = 2 + 1, > 1 Muodostetaan funktiolle X()/ osamurtokehitelmä. Saamme X() = 1 2 + 1 = 1/2i + i + 1/2i i Ottamalla käänteismuunnos, saamme {x k } = { 1 2 i( i)k 1 2 i(i)k } = { 1 2 ie ikπ/2 1 2 ieikπ/2 } = {sin k π 2 }
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos potenssisarjan avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion Z-käänteismuunnos X() = 3 + 2 2 + 1 3 Voimme ilmaista funktion X() potenssisarjana X() = 1 + 2 + 1 3 ja siten Z 1 [X()] = {1, 2, 0, 1, 0, 0,...}
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Z-käänteismuunnos potenssisarjan avulla ESIMERKKI. Lasketaan funktion Z-käänteismuunnos X() = 1 + 4, > 4 X() = 1 + 4 = 1 1 1 ( 4/) = 1 k=0 = 0 + 1 4 2 + 42 3 43 4 +... ( 4 ) k Kyseessä on siis lukujono {0, 1, 4, 4 2, 4 3,...}, joka on geometrisen lukujonon {x k } = {( 4) k } viivästetty versio {x k 1 } = {( 4) k 1 u k 1 }
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Differenssiyhtälöt Differenssiyhtälöt kuvaavat diskreettejä systeemejä Kertalukua p oleva lineaarinen differenssiyhtälö voidaan esittää muodossa: a p y k+p + a p 1 y k+p 1 +... + a 0 y k = x k Z-muunnoksen avulla differenssiyhtälö voidaan muuntaa algebralliseen muotoon hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta ja käyttäen translaatiolausetta. Käänteismuuntamalla algrebrallisen yhtälön ratkaisu, saamme alkuperäisen differenssiyhtälön ratkaisun
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö ESIMERKKI. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y (t) = F(t, y(t)) = 1 y(t) numeerisesti kun y(0) = 0 Diskretisoidaan differentiaaliyhtälö käyttäen Eulerin menetelmää: y k+1 y k T = F(t k, y k ) = 1 y k missä T on aika-askeli. Saadaan differenssiyhtälö y k+1 (1 T)y k = T, y 0 = 0 Ottamalla puolittain ja hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta, saamme Z{y k+1 } (1 T)Z{y k } = TZ{1}
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö Jatkoa Translaatiolauseen perusteella Z{y k+1 } = Z{y k } y 0 = Z{y k }, joten Y () (1 T)Y () = T 1 missä Y () = Z{y k }. Ratkaistaan Y ()/ ja muodostetaan osamurtokehitelmä. Saamme Y = 1 1 1 (1 T) joten Y () = 1 (1 T)
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälö Jatkoa Käänteismuuntamalla saamme ratkaisuksi {y n } = {1 (1 T) n }
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Toisen kertaluvun homogeeninen differenssiyhtälö ESIMERKKI. Ratkaistaan differenssiyhtälö y k+2 + 3y k+1 + 2y k = 0, y 0 = 0, y 1 = 1 Ottamalla puolittain ja hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta, saamme Z{y k+2 + 3y k+1 + 2y k } = Z{y k+2 } + 3Z{y k+1 } + 2Z{y k } = 0 Toisen translaatiolauseen perusteella ( 2 Y () 2 y 0 y 1 ) + 3 (Y () y 0 ) + 2Y () = 0 Asettamalla alkuehdot yhtälöön ja ratkaisemmalla Y (), saamme Y () = 2 + 3 + 2
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Toisen kertaluvun homogeeninen differenssiyhtälö Jatkoa Y () = 2 + 3 + 2 = Käänteismuuntamalla saamme + 1 + 2 {y k } = Z 1 [Y ()] = {( 1) k ( 2) k }
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö ESIMERKKI. Ratkaistaan differenssiyhtälö 8y k+2 6y k+1 + y k = 9, y 0 = 1, y 1 = 3 2 Ottamalla puolittain ja hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta, saamme 8Z{y k+2 } 6Z{y k+1 } + Z{y k } = 9Z{u k } = Toisen translaatiolauseen perusteella 9 1 ) 8 ( 2 Y () 2 y 0 y 1 6 (Y () y 0 ) + Y () = 9 1
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö Jatkoa Asettamalla alkuehdot yhtälöön ja ratkaisemmalla Y (), saamme Y () = 8 2 + 6 (4 1)(2 1) + 9 (4 1)(2 1)( 1) Muodostamalla osamurtokehitelmän funktiolle Y ()/ saamme Y () = 2 1/4 4 1/2 + 3 1 joten Y () = 2 1/4 4 1/2 + 3 1
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö Jatkoa Käänteismuuntamalla saamme { ( ) 1 k ( ) 1 k {y k } = 2 4 + 3} 4 2
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö ESIMERKKI. Ratkaistaan differenssiyhtälö y k+2 + 7y k+1 18y k = δ k, y 0 = 0, y 1 = 0 Ottamalla puolittain ja hyödyntäen muunnoksen lineaarisuutta, saamme Z{y k+2 } + 7Z{y k+1 } 18Z{y k } = Z{δ k } = 1 Toisen translaatiolauseen perusteella ( 2 Y () 2 y 0 y 1 ) + 7 (Y () y 0 ) 18Y () = 1 Asettamalla alkuehdot yhtälöön ja ratkaisemmalla Y (), saamme Y () = 1 2 + 7 18
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Epähomogeeninen differenssiyhtälö Jatkoa Osamurtokehitelmän avulla voimme kirjoittaa funktion Y () muotoon Y () = 1 2 + 7 18 = 1/11 2 + 1/11 + 9 = 1 11 1 2 1 1 11 + 9 Käänteismuuntamalla saamme jonon {y k }, jonka termeille pätee y k = { 1 11 2k 1 1 11 ( 9)k 1 kun k > 0 0 kun k = 0