LUENTO 1: KINEMATIIKAN JA LuK Riku Järvinen 2.9.2009
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA LÄHTÖKOHDAT j Klassinen mekaniikka toimii hyvänä analogiana moneen modernin fysiikan ilmiöön ja kehittää matemaattisia valmiuksia monipuolisesti. Tässä luvussa käsittelemme tilanteita, joissa pistemäinen hiukkanen liikkuu yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa. Tämä malli on sopiva silloin, kun sivusuuntainen liike ja pyörimisliike ovat merkitybbksettömän pieniä. Esittelemme suureet nopeus ja kiihtyvyys, joiden avulla pisteen liikettä voidaan kuvailla. Erityistä huomiota kiinnitetään liikeyhtälöihin.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA LÄHTÖKOHDAT Klassinen mekaniikka toimii hyvänä analogiana moneen modernin fysiikan ilmiöön ja kehittää matemaattisia valmiuksia monipuolisesti. j Tässä luvussa käsittelemme tilanteita, joissa pistemäinen hiukkanen liikkuu yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa. Tämä malli on sopiva silloin, kun sivusuuntainen liike ja pyörimisliike ovat merkitybbksettömän pieniä. Esittelemme suureet nopeus ja kiihtyvyys, joiden avulla pisteen liikettä voidaan kuvailla. Erityistä huomiota kiinnitetään liikeyhtälöihin.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA LÄHTÖKOHDAT Klassinen mekaniikka toimii hyvänä analogiana moneen modernin fysiikan ilmiöön ja kehittää matemaattisia valmiuksia monipuolisesti. Tässä luvussa käsittelemme tilanteita, joissa pistemäinen hiukkanen liikkuu yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa. Tämä malli on sopiva silloin, kun sivusuuntainen liike ja pyörimisliike ovat merkitybbksettömän pieniä. j Esittelemme suureet nopeus ja kiihtyvyys, joiden avulla pisteen liikettä voidaan kuvailla. Erityistä huomiota kiinnitetään liikeyhtälöihin.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ j Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. j Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) j Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. j Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISEN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖ Tarkastellaan x-akselilla liikkuvaa hiukkasta. Oletetaan, että hiukkanen liikkuu ajassa t 2 t 1 = t matkan x 2 x 1 = x. Tällöin hiukkasen keskimääräisen nopeuden v k suuruuden itseisarvo saadaan yhtälöstä v k = x t (1) Tästä eteenpäin merkitsemme (keski)nopeuden suuruutta eli keskivauhtia lyhyesti v k. Jos hiukkanen on ennen liikkumistaan lähtöpisteessä x 0, niin hiukkasen paikka ajanhetken t jälkeen on j Yhtälö (2) on tasaisen liikkeen liikeyhtälö. x = x 0 + t v k (2)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA j Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. j Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA j Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) j Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA NOPEUS FYSIKAALISENA SUUREENA Nopeus on vektorisuure, jolle tulee ilmoittaa suuruuden lisäksi myös suunta. Koska liike on x-akselin suunnassa, voidaan kirjoittaa v k = ( x/ t)î î on x-akselin suuntainen yksikkövektori ( î = 1) Nopeuden yksiköt SI-järjestelmässä saadaan ajan ja pituuden SI-yksiköistä: [v] = [x] [t] = m s (3)
TASAISEN LIIKKEEN KUVAAJIA KUVA: Tasainen liike (t, x)-koordinaatistossa.liikkuvan kappaleen vauhti on v k = 0, 5 m/s.
TASAISEN LIIKKEEN KUVAAJIA KUVA: Tasainen liike liike (t, v)-koordinaatistossa.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä j Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, 736... km/h 90 km/h
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu j Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, 736... km/h 90 km/h
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. j Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, 736... km/h 90 km/h
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, 736... km/h 90 km/h
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, 736... km/h 90 km/h
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKI: NOPEUDEN LASKEMINEN TASAISESSA LIIKKEESSÄ Tehtävä Juna etenee tasaisella vauhdilla v k. Laske junan keskivauhti, jos matka Jyväskylästä Tampereelle kestää 1 h 35 min. Ratkaisu Oletetaan, että Jyväskylän ja Tampereen välinen etäisyys on 150 km. Muutetaan aika tunneiksi. Asettamalla x 0 = Jyväskylä ja x = Tampere saadaan yhtälön (2) avulla 150 km 150 km = t v k v k = 19/12 h = 94, 736... km/h 90 km/h
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MUUTTUVAN LIIKKEEN ERI TYYPIT j Muuttuva liike voi olla tasaisesti muuttuvaa tai mielivaltaisesti muuttuvaa. Nyrkkisääntönä kannattaa muistaa, että suurin osa tutuista lukiokaavoista kiihtyvyydelle, paikalle ja nopeudelle pätee ainoastaan tasaisesti muuttuvalle liikkeelle!! Tasaisesti muuttuva liike tarkoittaa hiukkasen liikettä, jossa vauhti kasvaa tai pienenee tasaisella muutosnopeudella.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MUUTTUVAN LIIKKEEN ERI TYYPIT Muuttuva liike voi olla tasaisesti muuttuvaa tai mielivaltaisesti muuttuvaa. j Nyrkkisääntönä kannattaa muistaa, että suurin osa tutuista lukiokaavoista kiihtyvyydelle, paikalle ja nopeudelle pätee ainoastaan tasaisesti muuttuvalle liikkeelle!! Tasaisesti muuttuva liike tarkoittaa hiukkasen liikettä, jossa vauhti kasvaa tai pienenee tasaisella muutosnopeudella.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MUUTTUVAN LIIKKEEN ERI TYYPIT Muuttuva liike voi olla tasaisesti muuttuvaa tai mielivaltaisesti muuttuvaa. Nyrkkisääntönä kannattaa muistaa, että suurin osa tutuista lukiokaavoista kiihtyvyydelle, paikalle ja nopeudelle pätee ainoastaan tasaisesti muuttuvalle liikkeelle!! j Tasaisesti muuttuva liike tarkoittaa hiukkasen liikettä, jossa vauhti kasvaa tai pienenee tasaisella muutosnopeudella.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVA LIIKE j Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v 1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v 2, voidaan keskikiihtyvyyden suuruus a k = a k vastaavalla aikavälillä t 1 t 2 laskea yhtälöstä a k = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä: (4) [a] = [v] [t] = m s 2 (5)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVA LIIKE Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v 1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v 2, voidaan keskikiihtyvyyden suuruus a k = a k vastaavalla aikavälillä t 1 t 2 laskea yhtälöstä a k = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä: (4) [a] = [v] [t] = m s 2 (5)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVA LIIKE Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v 1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v 2, voidaan keskikiihtyvyyden suuruus a k = a k vastaavalla aikavälillä t 1 t 2 laskea yhtälöstä a k = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t j Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä: (4) [a] = [v] [t] = m s 2 (5)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVA LIIKE Jos hiukkasen vauhti on alkuhetkellä v 1 ja myöhemmällä ajanhetkellä v 2, voidaan keskikiihtyvyyden suuruus a k = a k vastaavalla aikavälillä t 1 t 2 laskea yhtälöstä a k = v 2 v 1 t 2 t 1 = v t Kiihtyvyyden SI-yksiköt voidaan laskea nopeuden ja ajan SI-yksiköistä: (4) [a] = [v] [t] = m s 2 (5)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT j Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 (7)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 (7)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) j Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 (7)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. j Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 (7)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA TASAISESTI MUUTTUVAN LIIKKEEN LIIKEYHTÄLÖT Mielivaltaisella ajanhetkellä t voidaan tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä hetkellinen nopeus laskea yhtälöstä v(t) = v 0 + at (6) Edellisessä yhtälössä hiukkasen alkuvauhti on v 0 ja kiihtyvyyden suuruus a. Eräs hyödyllinen yhtälö koordinaatille x ajan t suhteen saadaan, kun käytetään hyväksi keskinopeuden kaavaa ja tasaisesti kiihtyvän liikkeen oletuksia: x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 (7)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE j Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. j Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. j Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 gt2 v(t) = v 0 + gt Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA ESIMERKKINÄ PUTOAMISLIIKE Putoamisliike on luonnollinen esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä. Maan vetovoima aiheuttaa Maan pintaa kohti suuntautuvan vakiokiihtyvyyden g = 9, 81 m/s 2, joka on riippumaton kappaleen massasta, muodosta tms. geometrisista seikoista. Jos positiivinen suunta valitaan ylöspäin, niin putoamisliikettä kuvaavat yhtälöt ovat x(t) = x 0 + v 0 t + 1 2 gt2 v(t) = v 0 + gt j Nopeus v 0 voi olla suuntavalinnasta riippuen joko positiivinen tai negatiivinen.
TASAISESTI KIIHTYVÄ LIIKE GRAAFISESTI KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t,x)-koordinaatistossaesitettynä. Kiihtyvyyden suuruus on a = 1 m/s 2.
TASAISESTI KIIHTYVÄ LIIKE GRAAFISESTI KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t, v)-koordinaatistossa, a = 1 m/s 2. KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t,x)-koordinaatistossaesitettynä. Kiihtyvyyden suuruus on a = 1 m/s 2.
TASAISESTI KIIHTYVÄ LIIKE GRAAFISESTI KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t, v)-koordinaatistossa, a = 1 m/s 2. KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t,x)-koordinaatistossaesitettynä. Kiihtyvyyden suuruus on a = 1 m/s 2. KUVA: Tasaisesti kiihtyvä liike (t, a)-koordinaatistossa, a = 1 m/s 2.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MIELIVALTAINEN MUUTTUVA LIIKE...? j Yleisessä muuttuvassa liikkeessä tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt eivät välttämättä päde. Ne pätevät jollakin tarkkuudella silloin, kun rajoitutaan sellaiseen liikkeen osaan, jossa kiihtyvyys on ollut suurin piirtein tasaista. Keskimääräisten suureiden (keskinopeus ja keskikiihtyvyys) lisäksi lisäksi voidaan liikkeen kuvaajista määrittää hetkellisiä suureita, kuten hetkellinen nopeus ja hetkellinen kiihtyvyys.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MIELIVALTAINEN MUUTTUVA LIIKE...? Yleisessä muuttuvassa liikkeessä tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt eivät välttämättä päde. j Ne pätevät jollakin tarkkuudella silloin, kun rajoitutaan sellaiseen liikkeen osaan, jossa kiihtyvyys on ollut suurin piirtein tasaista. Keskimääräisten suureiden (keskinopeus ja keskikiihtyvyys) lisäksi lisäksi voidaan liikkeen kuvaajista määrittää hetkellisiä suureita, kuten hetkellinen nopeus ja hetkellinen kiihtyvyys.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MIELIVALTAINEN MUUTTUVA LIIKE...? Yleisessä muuttuvassa liikkeessä tasaisesti kiihtyvän liikkeen yhtälöt eivät välttämättä päde. Ne pätevät jollakin tarkkuudella silloin, kun rajoitutaan sellaiseen liikkeen osaan, jossa kiihtyvyys on ollut suurin piirtein tasaista. j Keskimääräisten suureiden (keskinopeus ja keskikiihtyvyys) lisäksi lisäksi voidaan liikkeen kuvaajista määrittää hetkellisiä suureita, kuten hetkellinen nopeus ja hetkellinen kiihtyvyys.
HETKELLINEN NOPEUS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA j Mielivaltaisessa (t, x) koordinaatiston kuvaajassa graafin jyrkkyys jollakin ajanhetkellä t = t eli käyrän kulmakerroin kertoo hiukkasen hetkellisen nopeuden ks. ajanhetkellä: v(t ) = dx(t) dt t=t (8) Käytännössä hetkellinen nopeus voidaan laskea piirtämällä (t, x)-koordinaatiston käyrälle tangenttisuora ja laskemalla suoran kulmakerroin.
HETKELLINEN NOPEUS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA Mielivaltaisessa (t, x) koordinaatiston kuvaajassa graafin jyrkkyys jollakin ajanhetkellä t = t eli käyrän kulmakerroin kertoo hiukkasen hetkellisen nopeuden ks. ajanhetkellä: v(t ) = dx(t) dt t=t (8) Käytännössä hetkellinen nopeus voidaan laskea piirtämällä (t, x)-koordinaatiston käyrälle tangenttisuora ja laskemalla suoran kulmakerroin.
HETKELLINEN NOPEUS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA Mielivaltaisessa (t, x) koordinaatiston kuvaajassa graafin jyrkkyys jollakin ajanhetkellä t = t eli käyrän kulmakerroin kertoo hiukkasen hetkellisen nopeuden ks. ajanhetkellä: v(t ) = dx(t) dt t=t (8) j Käytännössä hetkellinen nopeus voidaan laskea piirtämällä (t, x)-koordinaatiston käyrälle tangenttisuora ja laskemalla suoran kulmakerroin.
HETKELLISEN NOPEUDEN MÄÄRITTÄMINEN t x v(t) = x t t = T
HETKELLINEN KIIHTYVYYS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA j Koska kiihtyvyys kuvaa nopeuden muutosnopeutta eli on (t, v)-koordinaatistossa kuvaajan kulmakerroin, voidaan se matemaattisesti tulkita nopeuden derivaattana. Koska derivaatan arvo voi muuttua eri pisteissä, sanotaan tietyssä pisteessä laskettua nopeuden kuvaajaan kulmakerrointa hetkelliseksi kiihtyvyydeksi kyseisessä pisteessä: a(t ) = dv(t) dt t=t (9)
HETKELLINEN KIIHTYVYYS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA Koska kiihtyvyys kuvaa nopeuden muutosnopeutta eli on (t, v)-koordinaatistossa kuvaajan kulmakerroin, voidaan se matemaattisesti tulkita nopeuden derivaattana. j Koska derivaatan arvo voi muuttua eri pisteissä, sanotaan tietyssä pisteessä laskettua nopeuden kuvaajaan kulmakerrointa hetkelliseksi kiihtyvyydeksi kyseisessä pisteessä: a(t ) = dv(t) dt t=t (9)
HETKELLINEN KIIHTYVYYS TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA Koska kiihtyvyys kuvaa nopeuden muutosnopeutta eli on (t, v)-koordinaatistossa kuvaajan kulmakerroin, voidaan se matemaattisesti tulkita nopeuden derivaattana. Koska derivaatan arvo voi muuttua eri pisteissä, sanotaan tietyssä pisteessä laskettua nopeuden kuvaajaan kulmakerrointa hetkelliseksi kiihtyvyydeksi kyseisessä pisteessä: a(t ) = dv(t) dt t=t (9)
HETKELLISEN KIIHTYVYYDEN MÄÄRITTÄMINEN a(t) = v t v t t = T
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MONIULOTTEINEN KINEMATIIKKA j Tähän asti olemme käsitelleet tilanteita, joissa liike tapahtuu vain yhdessä dimensiossa (ulottuvuudessa). Lähes kaikki fysiikan käytännön ongelmat vaativat kuitenkin useampiulotteista tarkastelua. Avaruusgeometrisessa hahmottamisessa päärooliin nousevat vektorit ja niiden perusominaisuudet, kuten pistetulo ja ristitulo. Tarkastellaan moniulotteisen liikkeen esimerkkinä heittoliikettä, jossa ainoa kappaleeseen vaikuttava voima on painovoima. Kyseessä on tasaisesti kiihtyvä liike.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MONIULOTTEINEN KINEMATIIKKA Tähän asti olemme käsitelleet tilanteita, joissa liike tapahtuu vain yhdessä dimensiossa (ulottuvuudessa). j Lähes kaikki fysiikan käytännön ongelmat vaativat kuitenkin useampiulotteista tarkastelua. Avaruusgeometrisessa hahmottamisessa päärooliin nousevat vektorit ja niiden perusominaisuudet, kuten pistetulo ja ristitulo. Tarkastellaan moniulotteisen liikkeen esimerkkinä heittoliikettä, jossa ainoa kappaleeseen vaikuttava voima on painovoima. Kyseessä on tasaisesti kiihtyvä liike.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA MONIULOTTEINEN KINEMATIIKKA Tähän asti olemme käsitelleet tilanteita, joissa liike tapahtuu vain yhdessä dimensiossa (ulottuvuudessa). Lähes kaikki fysiikan käytännön ongelmat vaativat kuitenkin useampiulotteista tarkastelua. Avaruusgeometrisessa hahmottamisessa päärooliin nousevat vektorit ja niiden perusominaisuudet, kuten pistetulo ja ristitulo. j Tarkastellaan moniulotteisen liikkeen esimerkkinä heittoliikettä, jossa ainoa kappaleeseen vaikuttava voima on painovoima. Kyseessä on tasaisesti kiihtyvä liike.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE OLETUKSET j Tämä on erittäin yksinkertaistettu malli luonnosta, sillä emme lainkaan huomioi ilmanvastusta ja ilmavirtoja. Oletetaan, että pallo heitetään positiivisten x- ja y-akselien määräämässä suunnassa yläviistoon kulmassa α ja annetaan pallolle alkunopeus v 0. Pallon nopeus voidaan jakaa x- ja y-suuntaisiin komponentteihin siten, että v 0 = v x0 î + v y0 ĵ. Koska ainoa vaikuttava voima on maan vetovoima negatiivisen y-akselin suuntaan, säilyy x-akselin suuntainen nopeuskomponentti vakiona eli a x = 0, toisin sanoen kyseessä on tasainen liike x-suunnassa.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE OLETUKSET Tämä on erittäin yksinkertaistettu malli luonnosta, sillä emme lainkaan huomioi ilmanvastusta ja ilmavirtoja. j Oletetaan, että pallo heitetään positiivisten x- ja y-akselien määräämässä suunnassa yläviistoon kulmassa α ja annetaan pallolle alkunopeus v 0. Pallon nopeus voidaan jakaa x- ja y-suuntaisiin komponentteihin siten, että v 0 = v x0 î + v y0 ĵ. Koska ainoa vaikuttava voima on maan vetovoima negatiivisen y-akselin suuntaan, säilyy x-akselin suuntainen nopeuskomponentti vakiona eli a x = 0, toisin sanoen kyseessä on tasainen liike x-suunnassa.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE OLETUKSET Tämä on erittäin yksinkertaistettu malli luonnosta, sillä emme lainkaan huomioi ilmanvastusta ja ilmavirtoja. Oletetaan, että pallo heitetään positiivisten x- ja y-akselien määräämässä suunnassa yläviistoon kulmassa α ja annetaan pallolle alkunopeus v 0. Pallon nopeus voidaan jakaa x- ja y-suuntaisiin komponentteihin siten, että v 0 = v x0 î + v y0 ĵ. j Koska ainoa vaikuttava voima on maan vetovoima negatiivisen y-akselin suuntaan, säilyy x-akselin suuntainen nopeuskomponentti vakiona eli a x = 0, toisin sanoen kyseessä on tasainen liike x-suunnassa.
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT j Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) j Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) j Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE LIIKEYHTÄLÖT Trigonometrialla nähdään, että alkutilanteessa pätee v x0 = cos(α) v 0 ja v y0 = sin(α) v 0 (10) Nyt voidaan valita x 0 = 0, joten paikka x-suunnassa mielivaltaisella ajanhetkellä t on x(t) = x 0 + v x0 t = cos(α) v 0 t (11) Pystysuunnassa palloon vaikuttaa Maan vetovoima. Nopeus ja paikka y-suunnassa ovat v y = v 0 sin(α) gt y = v 0 sin(α)t 1 2 gt2
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE VIIMEINEN SILAUS j Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- ja y-komponentit (vrt. Pythagoraan lause): r = x 2 + y 2 ja v = v 2 x + v 2 y (12) Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaan laskea yhtälöstä tan(γ) = v y(t) v x (t) (13)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE VIIMEINEN SILAUS Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- ja y-komponentit (vrt. Pythagoraan lause): r = x 2 + y 2 ja v = v 2 x + v 2 y (12) Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaan laskea yhtälöstä tan(γ) = v y(t) v x (t) (13)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE VIIMEINEN SILAUS Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- ja y-komponentit (vrt. Pythagoraan lause): r = x 2 + y 2 ja v = v 2 x + v 2 y (12) j Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaan laskea yhtälöstä tan(γ) = v y(t) v x (t) (13)
TASAINEN LIIKE MUUTTUVA LIIKE LIIKE USEAMMASSA ULOTTUVUUDESSA HEITTOLIIKE VIIMEINEN SILAUS Paikkavektorin ja nopeusvektorin suuruudet mielivaltaisella ajanhetkellä saadaan yhdistämällä x- ja y-komponentit (vrt. Pythagoraan lause): r = x 2 + y 2 ja v = v 2 x + v 2 y (12) Pallon suuntakulma γ eli poikkeama x-akselin tasosta ylös- tai alaspäin jollakin ajanhetkellä t voidaan laskea yhtälöstä tan(γ) = v y(t) v x (t) (13)
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT MOTIVOINTIA DYNAMIIKAN TARKASTELUUN j Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mieltämme painaa kysymys: Mikä aiheuttaa liikkeen? Vastauksen etsimiseksi alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan, voiman, välisiä vuorovaikutuksia. Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäinen ominaisuus ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta.
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT MOTIVOINTIA DYNAMIIKAN TARKASTELUUN Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mieltämme painaa kysymys: Mikä aiheuttaa liikkeen? Vastauksen etsimiseksi alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan, voiman, välisiä vuorovaikutuksia. Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäinen ominaisuus ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta.
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT MOTIVOINTIA DYNAMIIKAN TARKASTELUUN Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mieltämme painaa kysymys: Mikä aiheuttaa liikkeen? j Vastauksen etsimiseksi alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan, voiman, välisiä vuorovaikutuksia. Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäinen ominaisuus ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta.
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT MOTIVOINTIA DYNAMIIKAN TARKASTELUUN Edellisessä luvussa tutkimme hiukkasen liikettä, mutta mieltämme painaa kysymys: Mikä aiheuttaa liikkeen? Vastauksen etsimiseksi alamme tarkastella kappaleiden dynamiikkaa, jossa tutkitaan liiketilan muutoksen ja sen aiheuttajan, voiman, välisiä vuorovaikutuksia. j Voiman lisäksi esittelemme käsitteen massa, joka on kappaleen sisäinen ominaisuus ja joka kuvaa kappaleen kykyä vastustaa liiketilansa muutosta.
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT SISÄLLYS 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET Tasainen liike Esimerkki: nopeuden laskeminen tasaisessa liikkeessä Muuttuva liike Tasaisesti muuttuva liike Yleinen muuttuva liike Liike useammassa ulottuvuudessa 2 Newtonin mekaniikka Newtonin mekaniikan soveltaminen ja vapaakappalekuvat Esimerkki 1: Newtonin ensimmäinen laki Esimerkki 2: Newtonin toinen laki Kitkavoimat Kitkavoimat: Esimerkki 3
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT VOIMA FYSIKAALISENA SUUREENA j Voima on vektorisuure, joka aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen. Voimat voidaan raa asti jakaa kahteen ryhmään; kosketusvoimiin ja pitkän kantaman voimiin. Seuraavassa lueteltavat periaatteet pätevät kaikenlaisille voimille ja ne muodostavat pohjan newtonilaiselle (klassiselle) mekaniikalle.
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT VOIMA FYSIKAALISENA SUUREENA Voima on vektorisuure, joka aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen. j Voimat voidaan raa asti jakaa kahteen ryhmään; kosketusvoimiin ja pitkän kantaman voimiin. Seuraavassa lueteltavat periaatteet pätevät kaikenlaisille voimille ja ne muodostavat pohjan newtonilaiselle (klassiselle) mekaniikalle.
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT VOIMA FYSIKAALISENA SUUREENA Voima on vektorisuure, joka aiheuttaa kappaleen liiketilan muutoksen. Voimat voidaan raa asti jakaa kahteen ryhmään; kosketusvoimiin ja pitkän kantaman voimiin. j Seuraavassa lueteltavat periaatteet pätevät kaikenlaisille voimille ja ne muodostavat pohjan newtonilaiselle (klassiselle) mekaniikalle.
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT HUOMATUKSIA NEWTONIN LAKEIHIN j Tässä yhteydessä pitää huomauttaa, että esitettävät säännöt, vaikka ne usein lakien nimellä kulkevatkin, eivät ehkä ole koko totuus. Newtonin mekaniikka on vain fysikaalinen malli, joka pätee tietyissä olosuhteissa jollakin tarkkuudella.
NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT HUOMATUKSIA NEWTONIN LAKEIHIN Tässä yhteydessä pitää huomauttaa, että esitettävät säännöt, vaikka ne usein lakien nimellä kulkevatkin, eivät ehkä ole koko totuus. j Newtonin mekaniikka on vain fysikaalinen malli, joka pätee tietyissä olosuhteissa jollakin tarkkuudella.
NEWTON 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Hiukkanen, johon ei vaikuta voimia tai johon vaikuttavien voimien summa on nolla, liikkuu tasaisella nopeudella v (joka voi olla v = 0). Jos vaikuttavia voimia on esimerkiksi kolme (3) kappaletta, voidaan tämä periaate lyhyesti kirjoittaa muodossa 3 F n = F1 + F2 + F3 = 0 (14) n=1
NEWTON 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Hiukkanen, johon ei vaikuta voimia tai johon vaikuttavien voimien summa on nolla, liikkuu tasaisella nopeudella v (joka voi olla v = 0). j Jos vaikuttavia voimia on esimerkiksi kolme (3) kappaletta, voidaan tämä periaate lyhyesti kirjoittaa muodossa 3 F n = F1 + F2 + F3 = 0 (14) n=1
NEWTON 1 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Hiukkanen, johon ei vaikuta voimia tai johon vaikuttavien voimien summa on nolla, liikkuu tasaisella nopeudella v (joka voi olla v = 0). Jos vaikuttavia voimia on esimerkiksi kolme (3) kappaletta, voidaan tämä periaate lyhyesti kirjoittaa muodossa 3 F n = F1 + F2 + F3 = 0 (14) n=1
NEWTON 2 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Jos hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima eroaa nollasta, on hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä. Kiihtyvyyden suunta on sama kuin vaikuttavan kokonaisvoiman suunta. Voima voidaan selvittää yhtälöstä F = m a (15) Yhtälössä (15) m on kappaleen massa, joka kuvaa kappaleen inertiaa eli kykyä vastustaa liiketilan muutosta.
NEWTON 2 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Jos hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima eroaa nollasta, on hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä. Kiihtyvyyden suunta on sama kuin vaikuttavan kokonaisvoiman suunta. j Voima voidaan selvittää yhtälöstä F = m a (15) Yhtälössä (15) m on kappaleen massa, joka kuvaa kappaleen inertiaa eli kykyä vastustaa liiketilan muutosta.
NEWTON 2 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Jos hiukkaseen vaikuttava kokonaisvoima eroaa nollasta, on hiukkanen kiihtyvässä liikkeessä. Kiihtyvyyden suunta on sama kuin vaikuttavan kokonaisvoiman suunta. Voima voidaan selvittää yhtälöstä F = m a (15) j Yhtälössä (15) m on kappaleen massa, joka kuvaa kappaleen inertiaa eli kykyä vastustaa liiketilan muutosta.
NEWTON 2 HUOMIOITA KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Oletetaan, että vaikuttavia voimia on esimerkiksi 3 kpl. Tällöin Newtonin toinen laki on yhtäpitävää seuraavan voimien komponenttien yhtälöryhmän kanssa: 3 F xn = ma x, n=1 3 F yn = ma y, n=1 3 F zn = ma z, (16) n=1 Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisessa suunnassa saadaan omat yhtälönsä, joita voidaan yrittää ratkaista. Joskus eri suunnat voivat olla relaatiossa toisiinsa, jolloin riippuvuus on luonnollisesti huomioitava laskuissa.
NEWTON 2 HUOMIOITA KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Oletetaan, että vaikuttavia voimia on esimerkiksi 3 kpl. Tällöin Newtonin toinen laki on yhtäpitävää seuraavan voimien komponenttien yhtälöryhmän kanssa: 3 F xn = ma x, n=1 3 F yn = ma y, n=1 3 F zn = ma z, (16) n=1 Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisessa suunnassa saadaan omat yhtälönsä, joita voidaan yrittää ratkaista. Joskus eri suunnat voivat olla relaatiossa toisiinsa, jolloin riippuvuus on luonnollisesti huomioitava laskuissa.
NEWTON 2 HUOMIOITA KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Oletetaan, että vaikuttavia voimia on esimerkiksi 3 kpl. Tällöin Newtonin toinen laki on yhtäpitävää seuraavan voimien komponenttien yhtälöryhmän kanssa: 3 F xn = ma x, n=1 3 F yn = ma y, n=1 3 F zn = ma z, (16) n=1 j Käytännössä tämä tarkoittaa, että jokaisessa suunnassa saadaan omat yhtälönsä, joita voidaan yrittää ratkaista. Joskus eri suunnat voivat olla relaatiossa toisiinsa, jolloin riippuvuus on luonnollisesti huomioitava laskuissa.
NEWTON 3 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Jos kappale A kohdistaa voiman F AB kappaleeseen B, niin kappale B kohdistaa yhtä suuren mutta vastakkaissuuntaisen voiman FBA kappaleeseen A. Newtonin kolmatta lakia ei yleensä mietitä loppuun asti, vaan kysellään: KYSYMYS Jos molemmat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtäsuureet voimat, niin eikö voimien summa ole silloin nolla ja kappaleet pysyvät paikoillaan?
NEWTON 3 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Jos kappale A kohdistaa voiman F AB kappaleeseen B, niin kappale B kohdistaa yhtä suuren mutta vastakkaissuuntaisen voiman FBA kappaleeseen A. j Newtonin kolmatta lakia ei yleensä mietitä loppuun asti, vaan kysellään: KYSYMYS Jos molemmat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtäsuureet voimat, niin eikö voimien summa ole silloin nolla ja kappaleet pysyvät paikoillaan?
NEWTON 3 KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT Jos kappale A kohdistaa voiman F AB kappaleeseen B, niin kappale B kohdistaa yhtä suuren mutta vastakkaissuuntaisen voiman FBA kappaleeseen A. Newtonin kolmatta lakia ei yleensä mietitä loppuun asti, vaan kysellään: KYSYMYS Jos molemmat kappaleet kohdistavat toisiinsa yhtäsuureet voimat, niin eikö voimien summa ole silloin nolla ja kappaleet pysyvät paikoillaan?
NEWTON 3 HUOMIOITA KINEMATIIKAN PERUSTEET NEWTONIN MEKANIIKKA NEWTONIN MEKANIIKAN SOVELTAMINEN JA VAPAAKAPPALEKUVAT KITKAVOIMAT j Jos edellinen kommentti olisi totta, niin mikään ei liikkuisi minnekään. Esimerkiksi minun painaessani tämän ohjaimen painiketta viidenkymmenen Newtonin voimalla, nappi kohdistaa minuun yhtä suuren voiman eikä hieno esitys etene. Mikä avuksi? Nyt tulee muistaa, että kappaleeseen kohdistuvien voimien kokonaisvaikutusta laskiessa tarkastellaan aina yhtä kappaletta. Newtonin kolmannessa laissa voimat kohdistuvat eri kappaleisiin, eli niitä molempia ei oteta huomioon, kun lasketaan yhteen kappaleeseen vaikuttavaa kokonaisvoimaa.