9. LIIKEM R PŠŠkohdat: 1. LiikemŠŠrŠn sšilyminen. (a) Kimmoton tšrmšys: vain liikemššrš sšilyy (b) Kimmoinen tšrmšys: liikemššrš ja mekaaninen 3. (a) Impulssi energia sšilyvšt (b) Impulssin aiheuttama voima 9.1. LiikemŠŠrŠ M, sl 1997 69 Kappaleet muuttavat liiketilaansa voimien vaikutuksen vuoksi ja voimat vaikuttavat aina kahden kappaleen všlillš. TŠstŠ voidaan pšštellš, ettš kappaleen liiketilan muutokseen liitty aina myšs jonkin toisen kappaleen liiketilan muutos. RenŽ Descartes (1596Ð1650) ehdottikin, ettš liikkeen mššrš sšilyisikin esim. kappaleiden tšrmšyksissš, vaikka nopeudet muuttuvatkin. HŠn jopa ehdotti liikkeen mššršksi kappaleen massan ja vauhdin tuloa. Kun liikemššrš mššritellššn massan ja nopeuden tulona p = mv, (9.1) voidaan kokeellisesti todeta, ettš se on sšilyvš suure suljetulle ja eristetylle systeemille. TŠmŠ voidaan kirjoittaa myšs muotoon p 1 + p = vakio tai p 1 + p = 0, (9.) missš p 1 ja p ovat vain keskenššn vuorovaikutuksessa olevien kappaleiden liikemššršt. Newtonin havaitsi omissa kokeissaan edellisen pitšvšn paikkansa ja muotoilikin sen perusteella 3. lakinsa. HŠn totesi myšs Huygensin ja Wrenin ehdotusten mukaisesti suureen mv (eli kineettisen energian) sšilyvšn vain tietynlaisissa "kovissa" tšrmšyksissš. LiikemŠŠrŠn avulla dynamiikan peruslaki eli Newtonin. laki voidaan kirjoittaa muodossa F = dp/dt, (9.3) kun kappaleen massa on vakio, eli kappaleeseen vaikuttava voima on kappaleen liikemššršn muutos aikayksikšssš. TŠmŠ on itseasiassa se muoto, jonka Newton itse julkaisi. 9.. LiikemŠŠrŠn sšilyminen Tarkastellaan kahden kappaleen (m 1 ja m ) tšrmšystš, jossa kappaleiden všlinen voima voi aiheutua kosketuksesta tai se voi olla jonkin kentšn všlittšmš. Jos kappaleiden nopeudet ovat ennen tšrmšystš u 1 ja u sekš tšrmšyksen jšlkeen v 1 ja v, niin liikemššršn sšilymislaki voidaan kirjoittaa muotoon m 1 u 1 + m u = m 1 v 1 + m v (9.4) tai komponentteihinsa jaettuna m 1 u 1x + m u x = m 1 v 1x + m v x m 1 u 1y + m u y = m 1 v 1y + m v y m 1 u 1z + m u z = m 1 v 1z + m v z. M, sl 1997 70 (9.5) Kun merkitššn kahden kappaleen liikemššršš yhteensš P = p 1 + p ja jos ulkoisia voimia ei kappaleisiin vaikuta, niin dp/dt = d(p 1 +p )/dt = dp 1 /dt + dp /dt = F 1 + F 1 = 0, koska Newtonin 3. lain mukaan F 1 = ÐF 1. Samoin useammankin kappaleen muodostaman systeemin sisšisten voimien summa hšvišš ja koko systeemin liikemššršn muutos aiheutuu ulkoisista voimista F EXT = dp/dt. (9.6)
M, sl 1997 71 TšrmŠys on kappaleiden všlinen hetkellinen vuorovaikutus, jonka kesto voi vaihdella tapauksesta riippuen. TšrmŠys voi olla kimmoinen tai kimmoton, joissa molemmissa siis kappaleiden yhteinen liikemššrš sšilyy. Kimmoinen tšrmšys on sellainen, jossa myšs kappaleiden yhteinen kineettinen energia sšilyy eli 1/ m 1 u 1 + 1/ m u = 1/ m 1v 1 + 1/ m v. (9.7) Huomaa, ettš u i = u i áu i ja v i = v i áv i. Kosketusvoimien všlittšmš tšrmšys ei ole koskaan tšydellisen kimmoinen, joskin esim. teršspallojen yms. "kovien" kappaleiden tšrmšykset ovat hyvin lšhellš sitš. Sen sijaan kenttien všlittšmissš ja erityisesti atomi- ja hiukkasmittakaavan tšrmšyksissš tšydellinen kimmoisuus on tavallista. Kimmoton tšrmšys on sellainen, jossa kappaleiden yhteinen kineettinen energia všhenee, koska sitš "kuluu" mm. kappaleiden muodonmuutoksiin yms. "hšvišihin". Atomi- ja hiukkastasolla kineettistš energiaa voi varastoitua viritystiloihin. TŠydellisesti kimmottomassa tšrmšyksessš kappaleet tarttuvat yhteen. Superkimmoiseksi sanotaan tšrmšystš, jossa kineettinen energia lisššntyy. TŠmŠ voi aiheutua esim. viritystilojen purkautumisesta. (Huomaa, ettš kaikista energiamuodoista yhteenlaskettu kokonaisenergia sšilyy kuitenkin aina kaikissa tšrmayksissš) M, sl 1997 7 LiikemŠŠrŠn sšilymislain soveltamisohjeet: 1. (a) PiirrŠ kuva, johon on merkitty tšrmššvien kappaleiden massat sekš nopeudet tšrmšystš ennen ja sen jšlkeen (b) Valitse koordinaatisto. (a) Kirjoita liikemššršn sšilymisen yhtšlšt kaikille komponenteille (b) Kirjoita kineettisen energian sšilymisyhtšlš, jos tšrmšys on kimmoinen 3. Ratkaise yhtšlšistš kysytyt tuntemattomat suureet ja tarkista suureiden merkit. Esim. 9.3. Kaksi kappaletta, joiden massat ovat m 1 = 3.0 kg ja m = 5.0 kg tšrmššvšt kuvan mukaisesti nopeuksilla u 1 = 10.0 m/s ja u = 5.0 m/s ja tarttuvat yhteen. MikŠ on kappaleiden yhteinen nopeus tšrmšyksen jšlkeen? m 1 0û u 1 40û u m
Esim. 9.5. Ballistinen heiluri on laite, jota kšytetššn mm. ampuma-aseen luodin nopeuden mittaamiseen. (a) Kuinka luodin nopeus lasketaan? (b) Jos luodin massa on m = 10 g ja heilurin massa M =.0 kg sekš mitattu heilahduksen nousukorkeus 5.0 cm, mikš oli luodin nopeus ja kuinka paljon kineettistš energiaa "hšvišš"? 9.3. Kimmoiset tšrmšykset suoraviivaisessa liikkeessš Tarkastellaan kahden kappaleen kimmoista tšrmšystš yksiulotteisessa liikkeessš (x-akselilla), esim. kahden "kovan" pallon liikkuessa niiden keskipisteiden kautta kulkevaa suoraa pitkin. Kun nopeus on positiivinen oikealle ja negatiivinen vasemmalle, tulevat liikemššršn ja kineettisen energian sšilymisen ilmaisevat yhtšlšt muotoon m 1 (u 1 Ðv 1 ) = m (v Ðu ) ja m 1 (u 1 Ðv 1 ) = m (v Ðu ). M, sl 1997 73 (9.8) (9.9a) TŠstŠ saadaan edelleen m 1 (u 1 Ðv 1 )(u 1 +v 1 ) = m (v Ðu )(v +u ) ja jakamalla puolittain yhtšlšllš (9.8) vielš (v Ðv 1 ) = Ð(u Ðu 1 ). (9.10) Tarkastellaan kahta erikoistapausta: (i) Kappaleiden massat ovat yhtšsuuret, m 1 = m = m. TŠllšin liikemššršn sšilymisestš m 1 u 1 + m u = m 1 v 1 + m v ja yhtšlšstš (v Ðv 1 ) = Ð(u Ðu 1 ) saadaan v 1 = u ja v = u 1, eli kappaleet tavallaan vaihtavat nopeuksiaan. Esim. jos u = 0, niin v 1 = 0. (ii) Toinen kappale on aluksi levossa, u = 0 (m 1 m ). LiikemŠŠrŠn sšilymisestš m 1 u 1 = m 1 v 1 + m v ja yhtšlšstš (v Ðv 1 ) = Ð(u Ðu 1 ) = u 1 saadaan nyt ja v 1 = (m 1 Ð m ) u 1 m 1 + m v = m 1 u 1 m 1 + m. Kun m 1 >> m, v 1 u 1 ja v u 1. Kun m 1 << m, v 1 Ðu 1 ja v 0. M, sl 1997 74 (9.9b) (9.11) (9.1)
9.4. Voiman impulssi Tarkastellaan voiman F aiheuttamaa kappaleen liikemššršn muutosta p. MŠŠritellŠŠn, ettš se on voiman impulssi I = p = p f Ð p i. Koska F = dp/dt, niin dp = F dt ja p = F dt sekš edelleen I = t f F dt, (9.14) t i M, sl 1997 75 (9.13) missš t = t f Ðt i on voiman vaikutusaika. MŠŠritellŠŠn keskimššršinen voima F av yhtšlšllš I = p = F av t. (9.15) Siten esim. tšrmšyksissš liikkeen pysšyttšmiseen tarvittavaa voimaa voidaan pienentšš pidentšmšllš jarrutusaikaa. Esim. ErŠŠssŠ henkilšauton kolarissa matkustajan (80 kg) kokema keskimššršinen kiihtyvyys oli 0 g, kun auto pysšhtyi 80 km/h nopeudesta. MikŠ oli turvavšiden kyseiseen matkustajaan kohdistama keskimššršinen voima, pysšhdysaika ja impulssi? (Katso taulukoita 3.1 ja 3. kirjan sivulla 47) 9.5. LiikemŠŠrŠn ja kineettisen energian vertailu Koska F = dp/dt ja F = dk/dx tai vakiovoiman vaikuttaessa kappaleeseen F = p/ t ja F = K/ x, voidaan sanoa, ettš kappaleeseen vaikuttava nettovoima on toisaalta kappaleen liikemššršn muutosnopeus (ajan suhteen) eli impulssi ja toisaalta kappaleen kineettisen energian muutos liikkeen pituusyksikkšš kohti. SekŠ kappaleen liikemššrš ettš kineettinen energia riippuvat kappaleen nopeudesta. Siksi aina kappaleen kineettisen energian muuttuessa muuttuu myšs sen liikemššrš. EntŠ muttuuko aina kappaleen liikemššršn muutuessa myšs kappaleen kineettinen energia? 9.6. Kimmoinen tšrmšys tasoliikkeessš Kahden kappaleen tšrmšys johtaa yleisessš tapauksessa tasoliikkeeseen. TŠllšin saadaan liikemššršn sšilymislaista kaksi yhtšlšš ja kimmoisen tšrmšyksen tapauksessa kolmas yhtšlš kineetisen energian sšilymisestš, jolloin voidaan ratkaista kolme suuretta, kun muut tunnetaan. 9.7. Rakettimoottori M, sl 1997 76 Rakettimoottorin tyšntšvoima tyhjišssš perustuu liikemššršn sšilymiseen, kun "pakokaasu" ohjataan suurella nopeudella taakse pšin. TŠmŠ on ns. rekyyliliikettš, jota esiintyy myšs mm. ampuma-aseen laukaisuun liittyvšnš "potkuna". Tarkastellaan suoraviivaisessa liikkeessš olevaa rakettia, jonka massa on m, nopeus on v ja pakokaasujen nopeus raketin suhteen on u. MŠŠrŠtŠŠn rakettimoottorin tyšntšvoima ja raketin nopeuden lisšys.
M, sl 1997 77 10. HIUKKASJOUKON DYNAMIIKKA M, sl 1997 78 PŠŠkohdat: 1. Massakeskipiste. Newtonin 1. laki hiukkasjoukolle 3. Newtonin. laki hiukkasjoukolle 4. Hiukkasjoukon kineettinen energia Esim. 9.10. Raketin massa ilman polttoainetta on M R = 10 4 kg ja pakokaasujen nopeus (raketin suhteen) v ex = 10 3 m/s. Kuinka paljon polttoainetta on aluksi oltava, jotta se riittšš antamaan raketille levosta lšhtien loppunopeudeksi v f = v ex? 10.1. Massakeskipiste EdellŠ olemme tarkastelleet kappaleen mallina hiukkasta tai massapistettš. Osoittautuukin, ettš pian mššriteltšvš kappaleen tai hiukkasjoukon (eli systeemin) massakeskipiste noudattaa massapisteen etenevšn liikkeen dynamiikkaa, mutta esim. systeemin pyšrimisliikkeen kuvaamiseksi sen massan jakautuma on otettava huomioon. Tarkastellaan kahta hyvin kevyellš tangolla yhteenkytkettyš massaa m 1 ja m. Kokeellisesti voidaan todeta, ettš tangosta on lšydettšvissš yksi piste, johon vaikuttava voima aiheuttaa ainoastaan kappaleiden etenevšš liikettš, kun taas mihin tahansa muuhun pisteeseen vaikuttava voima aiheuttaa myšs pyšrimisliikettš. LisŠksi voidaan havaita, ettš tšmš piste jakaa tangon kahteen osaan l 1 ja l siten, ettš l /l 1 = m 1 /m eli m 1 l 1 = m l. MŠŠritellŠŠn, ettš tšmš piste on nšiden kahden massan massakeskipiste, joka on yleensš sama kuin painopiste, ks. 1.6.
Asetetaan x-akseli tankoa pitkin ja merkitššn massojen paikkoja x 1 ja x sekš massakeskipistettš x CM. TŠllšin l 1 = x CM Ð x 1 ja l 1 = x Ð x CM, joten m 1 (x CM Ð x 1 ) = m (x Ð x CM ). TŠstŠ voidaan ratkaista M, sl 1997 79 x CM = m 1 x 1 + m x m 1 + m joka on massoilla m 1 ja m painotettu paikkojen x 1 ja x keskiarvo. TŠmŠ voidaan yleistšš N:n massapisteen systeemille ja kaikille kolmelle koordinaattiakselille, jolloin N N N m i x i m i y i m i z i (10.) x CM = i M, y CM = i ja z CM = i M M, missš M = m i on koko systeemin yhteinen massa. NŠmŠ kolme yhtšlšš voidaan yhdistšš vektorimerkinnšin N m i r i (10.1) r CM = i M. Kun kappaletta kuvataan massapisteellš, sen paikka on kappaleen massakeskipiste. Massakeskipisteen paikan mukaan mššršytyy esim. kappaleen potentiaalienergia gravitaatiokentšssš ja siksi kappale asettuu sellaiseen paikkaan ja asentoon, jossa massakeskipiste on niin alhaalla kuin mahdollista. TŠhŠn perustuen voidaan mššrittšš kappaleen massakeskipiste kokeellisesti, ks. kappale 1.6. Esim. 10.. Tanko, jonka pituus on 3L, on taivutettu suoraan kulmaan sellaisesta kohdasta, joka jakaa sen L:n ja L:n mittaisiin osiin. Etsi taivutetun tangon massakeskipiste. M, sl 1997 80 Usein voidaan pšštellš kappaleen symmetrian perusteella yksi tai useampia massakeskipisteen komponenteista. MikŠli kappaleella on symmetria-akseleita tai tasoja tai symmetriakeskuksia, sisšltšvšt nšmš myšs kappaleen massakeskipisteen. Esim. sylinteri, suorakaide, pallo, rengas, kartio, tasakylkinen kolmio, jne. 10.. Jatkuvasti jakautuneen massan massakeskipiste Jatkuvasti jakautunut massa voidaan ajatella joukoksi infinitesimaalisen pieniš massa-alkioita, joiden summa saadaan integraalina, N å r i Dm i i Dm i 0 M r dm.
Siten joka voidaan jakaa komponentteihinsa x CM = 1 M M x dm Massaelementti dm valitaan kappaleen symmetrian mukaan. Esim. ohuen homogeenisen sauvan dm = l dx, ohuen homogeenisen suorakaiteen muotoisen levyn dm = s da ja homogeenisen suoran sšrmišn dm = r dv. r CM = 1 M M r dm,, y CM = 1 M y dm M, sl 1997 81 Esim. 10.3. Laske puoliympyršksi taivutetun ohuen homogeenisen sauvan massakeskipiste? Jos tšmš taivutettu sauva jaetaan kahteen yhtšsuureen osaan, missš on "puolikkaan" massakeskipiste? M ja z CM = 1 M M (10.3) z dm. 10.3. Massakeskipisteen dynamiikka M, sl 1997 8 Koska v = dr/dt, seuraa massakeskipisteen mššritelmšstš (10.1), ettš N å m i v i (10.4) v i CM = M ja edelleen ettš koko hiukkasjoukon liikemššrš P = M v CM = m 1 v 1 + m v +... + m N v N (10.5) eli kaikkien hiukkasten liikemššrien summa. Siten, jos hiukkasjoukon sisšisiš liikkeitš ei tarkastella tai kyseessš on jšykkš kappale (mahdollisesti jatkuvasti jakautunut), hiukkasjoukon kollektiivinen dynamiikka voidaan kuvata sen massakeskipisteen liikkeenš. Newtonin. laki voidaan kirjoittaa muotoon F EXT = M a CM (10.6) tai F EXT = dp/dt, (10.7) missš F EXT on hiukkasiin tai kappaleeseen vaikuttavien ulkoisten voimien resultantti. Esim. hiukkasjoukon pudotessa massakeskipiste on tasaisesti kiihtyvšssš liikkeessš riippumatta hiukkasten všlisistš vuorovaikutuksista. Erityisesti jos F EXT = 0, niin v CM = vakio.
M, sl 1997 83 10.4. Hiukkasjoukon kineettinen energia Tarkastellaan hiukkasjoukon hiukkasta, jonka paikka on r i = r CM + r i ', missš r CM ja r i ' ovat hiukkasjoukon massakeskipiste ja hiukkasen paikka sen suhteen. TŠmŠn hiukkasen nopeus on v i = v CM + v i ' vastaavin merkinnšin ja kineettinen energia K i = 1/ m i v = 1/ m i v i á v i = 1/ m i (v CM + v i ') á (v CM + v i ') = 1/ m i (v CM + v i ' + v CM á v i '). Koko joukon kineettinen energia on K = å K i = 1/ (åm i ) v CM + 1/ (åm i v i ' ) + v CM á (åm i v i '). Viimeinen termi v CM á (åm i v i ') = v CM á P INT = 0, koska joukon liikemššrš massakeskipisteen suhteen P INT hšvišš. Siten K = K CM + K rel, (10.8) missš K CM = 1/ M v CM on massakeskipisteen liikkeen kineettinen energia ja K rel = (1/ åm i v i ' ) on hiukkasten kineettinen energia massakeskipisteen suhteen. Siis, hiukkasjoukon kineettinen energia voidaan jakaa massakeskipisteen liikkeen ja joukon sisšisten liikkeiden kineettisiin energioihin. Hiukkasjoukon sisšinen liike voi olla esim. pyšrimistš, všršhdysliikettš tai hiukkasten "tšrmšyksiš". TŠllaisissa sisšisissš tšrmšyksissš voi vain sisšisten liikkeiden kineettinen energia muuttua toisiksi energian muodoiksi kimmottomuuden seurauksena. 10.5. Ulkoisten voimien tekemš tyš Hiukkasjoukon kineettinen energia voi muuttua sekš ulkoisten voimien tekemšn tyšn W EXT ettš sisšisten voimien tekemšn tyšn W INT seurauksena. Siten W EXT + W INT = DK CM + DK rel. (10.9) Jos mššritellššn sisšisen potentiaalienergia funktion DU INT = ÐW INT avulla hiukkasjoukon sisšinen energia E INT = K rel + U INT, niin tyšðenergia riippuvuus (10.9) voidaan kirjoittaa muotoon W EXT = DK CM + DE INT. 10.6. Kitkan tekemš tyš Liukukitkavoimien tekemšn tyšn voidaan nyt edellš olevan mukaisesti ajatella muuttuvan kappaleen ja pinnan muodostaman systeemin sisšiseksi energiaksi (lšmmšksi). 10.7. Muuttuvamassaiset systeemit MikŠli voiman vaikutuksen alaisen kappaleen massa muuttuu ilman ettš massaa viedššn kappaleesta pois tai tuodaan siihen lisšš (kuten raketin tapauksessa), tulee dynamiikan peruslaki muotoon kun p = mv. F EXT = dp/dt = m dv/dt + v dm/dt, M, sl 1997 84 (10.10) (10.14) (E = mc, ks. kirjan sivu 197)
11. J YK N KAPPALEEN PY RIMISLIIKE PŠŠkohdat: 1. Pyšrimisliikkeen kinematiikka. Hitausmomentti 3. JŠykŠn kappaleen pyšrimisliikkeen kineettinen energia 4. Voiman momentti 5. Newtonin. laki pyšrimisliikkeelle JŠykkŠ kappale on malli kiintešstš aineesta muodostuvalle kappaleelle. JŠykŠn kappaleen osaset pysyvšt paikoillaan toistensa suhteen, vaikka kappaleen eri kohtiin voi kohdistua voimia ja kappaleen liiketila voi muuttua. Tarkastellaan seuraavassa jšykšn kappaleen pyšrimistš kiintešn akselin ympšri. Akseli on kiinnitetty kappaleeseen ja se sšilyttšš suuntansa, mutta akseli voi olla etenevšssš liikkeessš kappaleen mukana. Jos akseli on lisšksi kiinnitetty inertiaalikoordinaatistoon, on kyseessš puhdas pyšrimisliike. 11.1. Pyšrimisliikkeen kinematiikka Kappaleen asento (pyšrimisessš akselin ympšri) mššritellššn kulman q = s / r (11.1) avulla jonkin referenssi asennon ja jonkin akselista etšisyydellš r olevan pisteen avulla, missš s on pisteen kierrossa kulkema matka. Kulman luonnollinen yksikkš on radiaani (rad), mutta myšs erilaisia asteita kšytetššn usein. M, sl 1997 85 KeskimŠŠrŠinen kulmanopeus mššritellššn w av = Dq / Dt = (q f Ð q i ) / (t f Ð t i ) ja hetkellinen kulmanopeus vastaavasti w = dq/dt. (11.3) Kulmanopeus voidaan mššritellš vektorisuureena, jonka suunta ilmaisee akselin suunnan ja pyšrimisliikkeen suunnan akselin ympšri. Pyšrimisliikkeen suunnan voi pšštellš vektorin w suunnasta, tai pšin vastoin, ns. "oikean kšden sššnnšn" avulla. Jos pyšrimisliikkeen jakso on T, on sen taajuus f = 1/T ja kulmanopeus w = p / T = p f. (11.4) Taajuuden yksikkš on kierrosta/s tai 1/s tai hertsi (1 Hz = 1 s Ð1 ), kun taas kulmanopeuden yksikkš on rad/s. Akselista etšisyydellš r pyšrivšn pisteen kulkema matka kulman q funktiona on yhtšlšn (11.1) mukaan s = rq. TŠstŠ saadaan derivoimalla ajan suhteen ko. pisteen ratanopeus v = r w. (11.5) Kappaleen kaikilla pisteillš on sama kulmanopeus w, mutta ratanopeus v riippuu pisteen ja akselin všlisestš etšisyydestš. Kulmanopeuden muuttuessa mššritellššn keskimššršinen kulmakiihtyvyys a av = Dw / Dt ja hetkellinen kulmakiihtyvyys vastaavasti M, sl 1997 86 (11.) a = dw/dt. (11.6) Kun edellisissš mššrittelyissš kšytetššn kulmanopeusvektoria, tulee myšs kulmakiihtyvyydestš vektorisuure. Kulmakiihtyvyyden yksikkš on rad/s.
Jos kulmakiihtyvyys a on vakio, on kyseessš tasaisesti kiihtyvš ympyršliike ja integroimalla ò dw = ò a dt saadaan w = w 0 + a t (11.7) ja integroimalla tšstš edelleen ò dq = ò w dt = ò (w 0 + a t) dt saadaan q = q 0 + w 0 t + 1/ a t. (11.8) NŠmŠ ovat tšsšmšlleen samaa muotoa kuin vastaavat tasaisesti kiihtyvšn suoraviivaisen liikkeen kinemaattisten suureiden všliset relaatiot. Edelleen samoin voidaan eliminoida aika t edellisistš yhtšlšistš, jolloin saadaan w = w 0 + a (q Ð q 0 ). Tasaisen ympyršliikkeen keskihakuiskiihtyvyys on a r = v / r = w r (11.10) ja jos tangentiaalista (eli nopeuden suuntaista) kiihtyvyyttš esiintyy, niin se on a t = a r. (11.11) NŠiden suureiden vektorisumman a = a r + a t itseisarvo on a = (a r + a t ) 1/. Huomaa, ettš pyšrivšn kappaleen kiertymškulma q, kulmanopeus w ja -kiihtyvyys a ovat samat minkš tahansa kappaleessa olevan pisteen suhteen mššritettynš. Siten esim. renkaan vieriessš pintaa pitkin tapahtuu hetkellinen pyšriminen kappaleen ja pinnan kosketuspisteen ympšri samalla kulmanopeudella kuin pyšriminen akselin ympšri tapahtuu. M, sl 1997 87 (11.9) 11.. Pyšrimisliikkeen kineettinen energia ja hitausmomentti Tarkastellaan jšykšn kappaleen pyšrimistš kiintešn akselin ympšri, jolloin kappaleen jokaisen massaelementin m i liike on ympyršliikettš etšisyydellš r i pyšrimisakselista. TŠllšin kappaleen pyšrimisliikkeen kineettinen energia on K = å i (1/ m i v i ) = å i (1/ m i r i w ), joka voidaan kirjoittaa muotoon K = 1/ I w, missš I = å i m i r i on kappaleen hitausmomentti. Kappaleen hitausmomentti riippuu pyšrimisakselin paikasta kappaleessa tai kappaleen massan jakautumisesta pyšrimisakselin suhteen. Siten voidaan pšštellš esim. samanmassaisten kappaleiden hitausmomenttien keskinšisiš suuruuksia. Kappaleen hitausmomentti on pyšrimisliikkeessš etenevšn liikkeen massaa vastaavassa asemassa, vrt. K = 1/ I w ja K = 1/ m v. Siten se on myšs pyšrimisliikkeen "hitautta" kuvaava suure. M, sl 1997 88 (11.13) (11.14)
M, sl 1997 89 Esim. 11.3. Molekyylien massa on keskittynyt siinš olevien atomien ytimiin. Laske kaksiatomisen molekyylin (ytimien massat m 1 ja m ) hitausmomentti sidoksen kautta kulkevan akselin suhteen sekš sidosta vastaan kohtisuorien akselien suhteen, kun akseli kulkee toisen atomin kautta tai massakeskipisteen kautta. M, sl 1997 90 TŠstŠ saadaan edelleen K = 1/ M v CM + 1/ I CM w, (11.15) missš M on kappaleen massa, v CM on massakeskipisteen ratanopeus, I CM on kappaleen hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan ja pyšrimisakselin kanssa yhdensuuntaisen akselin suhteen. Koska kulmanopeus w on sama kappaleen kaikkien pisteiden suhteen, v CM = wh. Siten K = 1/ Mh w + 1/ I CM w = 1/ (Mh + I CM ) w = 1/ I w, kun I = I CM + Mh. (11.16) TŠmŠ on ns. Steinerin sššntš (parallel axis theorem), jonka avulla voidaan laskea kappaleen hitausmomentti minkš tahansa akselin suhteen, jos sen suuntaisen ja massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen laskettu hitausmomentti tunnetaan. Esim. Sovella Steinerin sššntšš edellisen esimerkin (11.3) tapaukseen. Tarkastellaan vielš kappaletta, joka pyšrii massakeskipisteestš etšisyydellš h olevan akselin ympšri. TŠllšin kineettinen energia voidaan kirjoittaa massakeskipisteen kineettisen energian ja sisšisen liike-energian summana yhtšlšn (10.8) mukaisesti K = K CM + K rel.
11.3. Jatkuvasti jakautuneen massan hitausmomentti M, sl 1997 91 Hitausmomentin laskemiseksi jatkuvasti jakautuneen massan tapauksessa summa yli massaelementtien korvataan integraalilla yli koko kappaleen I = å i m i r i ò r dm = ò di = I eli I = ò r dm, (11.7) missš r on massaelementtien kohtisuora etšisyys pyšrimisakselista. M, sl 1997 9 Esim. 11.7. Laske homogeenisen pallon hitausmomentti keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Kuinka lasketaan ohuen pallokuoren hitausmomentti keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen. Esim. 11.5. Ohuen sauvan pituus on L ja massa M. Laske sauvan hitausmomentti sitš vastaan kohtisuoran akselin suhteen, kun akseli kulkee sauvan painopisteen kautta tai sen toisen pššn kautta. Esim. 11.6. Laske ympyršlevyn hitausmomentti sen keskipisteen kautta kulkevan kohtisuoran akselin suhteen.
11.4. Mekaanisen energian sšilyminen pyšrimisliikkeessš Mekaanisen energian sšilymislaki eli ns. "energiaperiaate" DE = DK + DU = 0 eli E = K + U on voimassa vain konservatiivisten voimien F = ÐÑU vaikuttaessa. Kun massakeskipisteen etenevšn liikkeen ja pyšrimisliikkeen energiat kirjoitetaan erikseen, K = 1/ M v CM + 1/ I CM w. 11.5. Voiman momentti M, sl 1997 93 Voima antaa kappaleelle kiihtyvyyden etenevšssš liikkeessš. Voiman vastine pyšrimisliikkeessš on momentti, joka antaa kappaleelle kulmakiihtyvyyden. MŠŠritellŠŠn voiman F momentti origon suhteen t = F = r (11.1) r^ F^ = r F sinq (11.) tai vektoriyhtšlšnš t = r F, (1.1) missš r on voiman vaikutuspisteen etšisyys valitusta origosta. Momentin SI-yksikkš on Nm. Se on sama kuin energian yksikkš, mutta momentti ei ole kuitenkaan energiasuure. Momentti on dynamiikassa voiman luonteinen suure ja vektori, kun taas energia on skalaari. 11.6. JŠykŠn kappaleen pyšriminen kiintešn akselin ympšri Tarkastellaan ensin kiintešstš akselista etšisyydellš r olevaa massapistettš m, johon vaikuttaa voima F. Voiman momentti akselin suhteen on t = r F^. Jos massapiste voi liikkua vain ympyršrataa akselin ympšri, saa se ratakiihtyvyyden = r a, jolle = = mr a. a^ F^ ma^ Siten t = r F^ = mr a = I a. Siis t = I a, (11.3a) missš I on massapisteen hitausmomentti akselin suhteen. TŠmŠ yleistetššn seuraavassa kappaleessa koskemaan myšs jšykkšš kappaletta (eikš ainoastaan yhtš massapistettš). Saatu tulos on dynamiikan peruslaki pyšrimisliikkeelle. Se pštee, paitsi kappaleen pyšrimisliikkeessš kiintešn akselin ympšri, myšs pyšrimisliikkeessš massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympšri, vaikka massakeskipiste olisi samalla etenevšssš liikkeessš. 11.7. Tyš ja teho M, sl 1997 94 Koska etenevšssš liikkeessš pštee dw = F dx on pyšrimisliikkeen tapauksessa voimassa dw = F^ (r dq) = t dq. Momentin tekemš tyš muuttuu kappaleen kineettiseksi energiaksi 1/ I w, joten t = dw dq = d 1 dq I w = I w dw dq = I w dw dt dt dq = I w a w 1 = I a ja siten voidaan (11.3a) yleistšš jšykšlle kappaleelle, t = I a. (11.3b)
M, sl 1997 95 Vektorimerkinnšin edellinen voidaan kirjoittaa muotoon t = I a. Koska P = dw/dt ja dw = t dq, saadaan P = t w, (11.4) samoin kuin etenevšn liikkeen tapauksessa P = F v. YhtŠlšŠ (11.3b) johdettaessa pššteltiin, ettš W = DK = 1/ I w f Ð 1/ I w i. (11.5) M, sl 1997 96 Esim. 11.15. Homogeeninen sauva, jonka pituus on L ja massa M, voi vapaasti pyšriš toisen pššnsš ympšri. (a) MikŠ on sauvan kulmakiihtyvyys, kun se muodostaa kulman q pystysuoran suunnan kanssa? (b) MikŠ on sauvan vapaan pššn kiihtyvyys silloin kun sauva on vaaka-asennossa? Esim. 11.13. Homogeeninen pallo, jonka massa on M, sšde R ja hitausmomentti /5 MR, vierii alas kaltevaa tasoa, joka muodostaa kulman q vaakatason kanssa. (a) MikŠ on pallon kiihtyvyys tason suunnassa? (b) MikŠ on lepokitkakertoimen všhintššn oltava, jotta pallo vierisi liukumatta? 11.8. Vierimiskitka
1. LIIKEM R MOMENTTI JA STATIIKKA PŠŠkohdat: 1. Voiman momentti vektorisuureena. (a) Massapisteen liikemššršmomentti (b) JŠykŠn kappaleen liikemššršmomentti kiintešn akselin suhteen 3. Pyšrimisliikkeen dynamiikka 4. LiikemŠŠrŠmomentin sšilyminen 5. Staattinen tasapaino M, sl 1997 97 1.1. Voiman momentti vektorisuureena EdellŠ, kappaleessa 11.5, jo mššriteltiin voiman momentti t = r F, (1.1) missš r on voiman vaikutuspisteen etšisyys valitusta origosta. Momentti on siis vektori, jonka itseisarvo on t = r^ F = r F^ = r F sinq ja suunta on kohtisuorassa vektoreita r ja F vastaan. Jos kappale on kiinnitetty origoon, voiman momentti pyrkii kiertšmššn kappaletta origon kautta kulkevan ja momenttivektorin suuntaisen akselin ympšri. Huomaa, ettš momentti mššritellššn pisteen suhteen, mutta hitausmomentti mššritellššn akselin suhteen. 1.. LiikemŠŠrŠmomentti M, sl 1997 98 Massapisteen liikemššršmomentti eli pyšrimismššrš jonkin pisteen, esim. origon suhteen on (1.) l = r p, missš r on massapisteen paikka origon suhteen ja p on sen liikemššrš. LiikemŠŠrŠmomentti on vektori, jonka suuruus on l = r p sinq = r^ p = p^ r. (1.3) LiikemŠŠrŠn SI-yksikkš on kgm /s. Vakionopeudella suoraviivaisessa liikkeessš olevan massapisteen liikemššršmomentti on vakio minkš tahansa pisteen suhteen mššritettynš. Jos massapiste on tasaisessa ympyršliikkeessš (vakiovauhdilla v) R-sŠteisen ympyršn kehšllš, saadaan sen liikemššršmomentiksi ympyršn keskipisteen suhteen vakio l, jolle l = mvr = mr w (1.4) ja l-vektori on kulmanopeuden w eli pyšrimisakselin suuntainen. Jos taas liikemššršmomentti mššritetššn jonkin muun akselilla olevan pisteen suhteen, saadaan edelleen vakio l, mutta nyt l ja w eivšt ole yhdensuuntaisia. Silloin l z = mr w. (1.5)
M, sl 1997 99 Usean hiukkasen m i joukon kokonaisliikemššršmomentti on L = å i l i = å i r i p i, (1.6) missš kaikki liikemššršmomentit L ja l i on mššriteltšvš saman pisteen suhteen. Tarkasteltaessa jšykšn kappaleen pyšrimistš akselin ympšri voi tšmš piste (origo) olla missš tahansa pyšrimisakselilla. Origon valinnasta riippuen yksittšisen massapisteen liikemššršmomentti l i = r i p i voi saada erilaisia arvoja, mutta liikemššršmomentin z-komponentti on yhtšlšn (.15) mukaan aina l iz = m i R i w. Siten L z = å i l iz = å i m i R i w ja koska I = å i m i R i, saadaan L z = I w. (1.7a) Jos jšykkš kappale on symmetrinen pyšrimisakselinsa suhteen, kumoutuvat kaikki l ix - ja l iy -komponentit pareittain, jolloin L = L z. Silloin L ja w ovat yhdensuuntaiset ja L = I w. (1.7b) YleisessŠ tapauksessa L- ja w-vektorien suunnat voivat poiketa toisistaan. Esim. 1.. M-massainen ja R-sŠteinen kiekko pyšrii kulmanopeudella w sellaisen kohtisuoran akselin ympšri, joka on etšisyydellš R/ kiekon keskipisteestš. MikŠ on L z ja L? 1.3. Pyšrimisliikkeen dynamiikka M, sl 1997 100 Derivoidaan ajan suhteen massapisteen liikemššršmomentin mššritelmš l = r p, jolloin saadaan dl/dt = r dp/dt + dp/dt p = r df + v mv = t. Siten siis massapisteelle on voimassa t = dl/dt, (1.8) missš sekš t ettš l on mššriteltšvš saman pisteen suhteen. Siis, massapisteen liikemššršmomentin muutos on sama kuin siihen vaikuttava voiman momentti. TŠmŠ vastaa etenevšn liikkeen relaatiota F = dp/dt. Massapistejoukon etenevšn liikkeen tarkastelussa todettiin, ettš joukon sisšiset voimat eivšt vaikuta koko systeemin massakeskipisteen dynamiikkaan, vaan ainoastaan ulkoiset voimat. Sama pštee myšs pyšrimisliikkeen dynamiikkaan ja yhtšlš (1.8) voidaan kirjoittaa koko massapistejoukolle muodossa t EXT = dl/dt, (1.9) missš t EXT = å i t i on massapisteisiin vaikuttavien ulkoisten momenttien summa ja L = å i l i on massapisteiden liikemššršmomenttien summa. Siis, hiukkasjoukon kokonaisliikemššršmomentin muutos on sama kuin hiukkasiin vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien summa. Symmetrisen jšykšn kappaleen liikemššrš on (1.7b) L = I w, josta derivoimalla ajan suhteen saadaan dl/dt = I dw/dt = I a, koska I on vakio. YhtŠlšn (1.9) perusteella saadaan nyt t = I a, (1.10) joka on jo edellš johdettu dynamiikan peruslaki (Newtonin. laki) pyšrimisliikkeelle (11.3).
M, sl 1997 101 1.4. LiikemŠŠrŠmomentin sšilyminen Koska (1.9) t EXT = dl/dt, voidaan pšštellš liikemššršmomentin sšilymislaki: M, sl 1997 10 Esim. 1.8. Johda Keplerin. laki: Auringon ja planeetan všlinen yhdysjana piirtšš yhtš pitkissš ajoissa yhtš suuret pinnat, kun planeetan kiertorata Auringon ympšri on ellipsi. eli jos t EXT = 0, niin L on vakio jos systeemiin vaikuttavien ulkoisten voimien momenttien summa on nolla, niin systeemin liikemššršmomentti sšilyy vakiona. LiikemŠŠrŠmomentin sšilymislaki on jšlleen analoginen etenevšn liikkeen liikemššršn sšilymislain kanssa. Huomaa erityisesti tšmšn lain yleisyys: Se on voimassa kaikenlaisille massajakautumille (niin massapistejoukolle kuin jšykšlle kappaleelle) ja myšs hitausmomentin muuttuessa. Jos L = I w ja hitausmomentti muuttuu, niin I f w f = I i w i. (1.11) Esim. 1.5. Kiekko, jonka hitausmomentti on 4.0 kgm, pyšrii pystysuoran akselin ympšri 3.0 rad/s. Toinen kiekko, jonka hitausmomentti on.0 kgm, ei aluksi pyšri, mutta liukuu edellisen kiekon akselia pitkin sen pššlle, jonka jšlkeen kiekot pyšrivšt yhdessš. (a) MikŠ on kiekkojen yhteinen kulmanopeus? (b) MikŠ on kineettisen energian muutos?
1.5. JŠykŠn kappaleen tasapaino JŠykŠn kappaleen sanotaan olevan tasapainossa, jos seuraavat kaksi ehtoa ovat molemmat voimassa: 1. kappaleen massakeskipisteen kiihtyvyys on nolla ja. kappaleen kulmakiihtyvyys minkš tahansa akselin suhteen on nolla. Tasapainossa oleva kappale voi siis liikkua tasaisella nopeudella tai pyšriš vakiokulmanopeudella. Jos myšs nšmš nopeudet ovat nollia, niin kappaleen sanotaan olevan staattisessa tasapaionossa. Jos kappaleen massakeskipiste ei ole kiihtyvšssš liikkeessš, tšytyy ulkoisten voimien vektorisumman hšvitš eli å i F i = 0, (1.1) joka voidaan jakaa komponentteihinsa å i F xi = 0, å i F yi = 0, ja å i F zi = 0. Jos kappaleella ei ole kulmakiihtyvyyksiš minkššn akselin suhteen, tšytyy kaikkien ulkoisten voimien momenttien vektorisumman myšs hšvitš eli å i t i = 0, (1.14) joka myšs voidaan jakaa komponentteihinsa å i t xi = 0, å i t yi = 0, ja å i t zi = 0. (1.15) Voimaparin muodostavat kaksi voimaa, joiden summa on nolla, mutta joiden momentti ei ole nolla. M, sl 1997 103 (1.13) 1.6. Painopiste M, sl 1997 104 Maan vetovoima vaikuttaa kappaleen jokaiseen massaelementtiin. NŠmŠ voimat voivat antaa kappaleelle (putoamis)kiihtyvyyttš ja kulmakiihtyvyyttš riippuen kappaleeseen kohdistuvista tukivoimista. Kappaleen painopiste on se piste, jonka suhteen maan vetovoiman momentti on nolla. Tarkastellaan kappaleen massaelementtien m i x-koordinaatteja, kun x-akseli on vaakasuuntainen. TŠllšin maanvetovoiman momentti on t = åt i = w 1 (x 1 Ðx CG ) + w (x Ðx CG ) +... + w N (x N Ðx CG ) = 0, missš w i = m i g i ja x CG on painopisteen x-koordinaatti. TŠstŠ voidaan ratkaista x CG = (å i w i x i ) / (å i w i ) (1.16) Ellei kappale ole kovin suuri, on maan vetovoiman voimakkuus g sama koko kappaleen alueella (g i = g). Silloin x CG = (å i m i x i ) / M, (1.17) missš M = å i m i. TŠllšin siis kappaleen painopiste yhtyy kappaleen massakeskipisteeseen. Kappaleessa 10.1. esitetty massakeskipisteen mššrittšmismenetelmš perustuu itse asiassa painopisteen ominaisuuksiin ja kyseessš onkin painopisteen mššrittšminen.
M, sl 1997 105 Statiikan tehtšvien ratkaisuohjeita: 1. (a) PiirrŠ kuva ja mššrittele kappale, jonka tasapainoa tarkastelet. (b) PiirrŠ kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. PŠŠttele kitkavoimien suunta asettamalla ne ensin nolliksi.. Valitse koordinaatisto siten, ettš... 3. Valitse akseli ( tai akselit tai piste...), jonka suhteen momentit lasketaan. 4. Kirjoita voimien ja momenttien tasapainoyhtšlšt ja ratkaise ne. Esim. 1.1. Tikkaat, joiden pituus on L ja massa M, nojaavat kitkatonta seinšš vasten lattialla, jonka lepokitkakerroin tikkaille on m s. MŠŠritŠ suurin kaltevuuskulma q, jonka tikkaat voivat muodostaa seinšn kanssa ja tikkaiden tšllšin seinššn kohdistama voima. 1.7. Dynaaminen tasapaino 1.8. Pyšrimis- ja kiertoliikkeiden liikemššršmomentti Kappaleessa 11. erotettiin kineettisen energian ja hitausmomenttien kšsitteiden yhteydessš pyšriminen massakeskipisteen suhteen ja massakeskipisteen (rata)liike. Massakeskipisteen liike voi olla esim. kiertoliikettš. Maapallo esim. pyšrii massakeskipisteensš kautta kulkevan akselin ympšri ja samalla kiertšš radallaan Auringon ympšri. Massakeskipisteen kiertoliikkeeseen liittyvš rataliikemššršmomentti on L O = r CM p CM ja massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen tapahtuvan pyšrimisen (engl. spin) liikemššršmomentti on L CM = I CM w CM. NŠiden summa on kokonaisliikemššršmomentti L = L O + L CM = r CM p CM + I CM w CM. M, sl 1997 106 Esim. 1.13. Kevyeen kulmanopeudella w pyšrivššn levyyn kiinnitettyjen massojen m liikemššršmomentti.
Myšs kappaleeseen vaikuttava ulkoisten voimien momentti voidaan jakaa samoin t = t O + t CM (1.18) siten, ettš t O = dl O /dt ja t CM = dl CM /dt. (1.19) Siis, eliminoimalla toinen momenteista t O ja t CM saadaan sitš vastaava liikemššršmomentti sšilymššn. TŠllŠ on paljon sovellutuksia (pyšrivšn kappaleen asento sšilyy). 1.9. HyrrŠ HyrrŠ (engl. top) on nopeasti pyšrivš symmetrinen kappale. EdellŠ olevan mukaan se pyrkii sšilyttšmššn pyšrimisakselinsa (w L CM ) suunnan. Kun pyšrivšn hyrršn akselin suuntaa yritetššn muuttaa voimaparin avulla, esim. maan vetovoima ja sitš vastaava tukivoima, niin havaitaan, ettš hyrrš joutuu ns. prekessioliikkeeseen. Oheisen kuvan mukaisesti t = r F = r ^i (Ðmg ^k) = mgr sinq ^j = dl/dt. Siten siis pyšrimisakselin suunnan ja liikemššršmomentin suunnan muutos on vaakasuoraan suuntaan ja siitš seuraa pyšrimisakselin kiertoliike kartiopintaa pitkin. Koska dl = mgr sinq dt ja toisaalta dl = L sinq df, (L = Iw) saadaan prekessioliikkeen kulmataajuudeksi W p = df/dt = mgr / L. (1.0) M, sl 1997 107 M, sl 1997 108 Esim. Millainen on hyrršn prekessioliike silloin kun pyšrimisakseli on vaakasuora ja tuettu toisesta pššstššn? Prekessioliikkeen yhtšlš (1.0) voidaan kirjoittaa muotoon mgr sinq = W p L sinq ja tšstš edelleen muotoon t = W p L. (1.1) TŠssŠ on jšlleen analogia etenevšn liikkeen tapaukseen. Samoin kuin momentti t muuttaa kappaleen liikemššršmomenttia L muuttaa voima F kappaleen liikemššršš p F = w p. (1.) Prekessioliikkeen lisšksi hyrršn pyšrimisakseli tekee myšs ns. nutaatioliikettš.
13. GRAVITAATIO PŠŠkohdat: 1. Newtonin gravitaatiolaki. Superpositioperiaate 3. Hidas massa ja painava massa 4. (a) KentŠn kšsite (b) PainovoimakentŠn voimakkuus ja vetovoiman antama kiihtyvyys 5. Keplerin lait 6. Jatkuvasti jakautuneiden massojen painovoima Gravitaatio- eli painovoimateorian pššpiirteet ovat tulleet esille kattavasti jo aikaisemmissa kappaleissa. Sen vuoksi tehdššn tšssš vain lyhyt yhteenveto ja joitakin tšsmennyksia nšihin asioihin. 13.1. Newtonin gravitaatiolaki Kappaleessa 5.3 esiteltiin jo Newtonin yleinen gravitaatiolaki kahden pistemšisen massan m 1 ja m všliselle vetovoimalle F 1 = ÐG m 1 m r r 1, missš G = 6.67 10 Ð11 Nm /kg on gravitaatiovakio. 13.. Hidas massa ja painava massa M, sl 1997 109 (13.1) Klassillisen mekaniikan puitteissa painovoimaan liittyvš painava massa ja kappaleiden liiketilojen muutoksia vastustava hidas massa ovat periaatteessa eri kšsitteitš. Kokeellisesti ei kuitenkaan nšitš kšsitteitš voida erottaa ja siksi ne postuloidaankin klassillisessa mekaniikassa samaksi yleiseksi kšsitteeksi, massa. NŠiden massakšsitteiden yhdistšminen inspiroi Einsteinia yleisen suhteellisuusteorian kehittšmiseen. 13.3. GravitaatiokentŠn voimakkuus Gravitaatiovuorovaikutuksen (-voiman) všlittyminen selitetššn massan muodostaman gravitaatiokentšn avulla. Massa m kokee toisen massan M muodostaman gravitaatiokentšn, jonka voimakkuus on TŠstŠ seurauksena on painovoima W = mg. 13.4. Keplerin lait g = F m = ÐG M r r. Keplerin empiirisesti muotoilemat lait planeettojen liikkeille ovat 1. Planeettojen ratakšyršt ovat ellipsejš, joiden toisessa polttopisteessš on Aurinko.. Auringon ja planeetan yhdysjana piirtšš yhtš pitkissš ajoissa yhtš suuret pinnat. (Ks. Esim. 1.8) 3. Planeettojen kiertoaikojen nelišt ovat suoraan verrannollisia niiden Auringosta mitattujen (13.4) keskietšisyyksien kuutioihin. (Ks. kappale 6.3) 13.5. Jatkuvat massajakautumat Jatkuvan massajakautuman painovoimakenttš saadaan integroimalla dg = G dm yli koko jakautuman. ErŠs tšrkeš ja kšyttškelpoinen tulos on se, ettš pallosymmetrisen massajakautuman painovoimakenttš jakautuman ulkopuolella on sama kuin jakautuman keskipisteeseen asetetun samanmassaisen massapisteen painovoimakenttš. M, sl 1997 110 (13.3) r (13.9)
14. KIINTE T AINEET, NESTEET JA KAASUT PŠŠkohdat: 1. KiinteŠn aineen kimmokertoimet: Youngin moduli, leikkausmoduli ja puristusmoduli. Pascalin laki 3. Arkimedeen laki 4. Massan sšilyminen: jatkuvuus- eli kontinuiteettiyhtšlš 5. Bernoullin yhtšlš Aineen kolme olomuotoa ovat kiinteš, neste ja kaasu. EnglanninkielessŠ on temi "fluid", joka tarkoittaa sekš nesteitš ettš kaasuja. Eri olomuodoissa aineen atomien (tai molekyylien) keskinšiset suhteet ja liiketilat poikkeavat toisistaan. On olemassa myšs rajatapauksia, esim. amorfiset aineet, joissa aineen olomuodon mššrittely em. tavalla ei ole kovin selvšš. 14.1. Tiheys Arkimedeen sanotaan keksineen kšsitteen aineen tiheys r = m / V, (14.1a) eli aineen massa tilavuusyksikkšš kohti. Jos tiheys ei ole sama koko kappaleen alueella mššritellššn r = dm/dv, (14.1b) joka on paikan funktio. Tiheyden SI-yksikkš on kg/m 3. Aineen tiheys riippuu sen lšmpštilasta ja paineesta. Ominaispaino on aineen tiheyden suhde veden tiheyteen 4ûC. ErŠiden aineiden tiheyksiš M, sl 1997 111 Aine tiheys (kg/m 3 ) Aine tiheys (kg/m 3 ) ilma 1.9 vesi 1.0 10 3 H 0.09 puu ~0.5 10 3 He 0.18 Al.70 10 3 O 1.43 Pt 1.4 10 3 14.. Kimmokertoimet M, sl 1997 11 kiinteš aine muuttaa muotoaan ulkoisten voimien vaikutuksen alaisena. Jos kappale palaa alkuperšiseen muotoonsa voimen vaikutuksen lakattua, on kappale kimmoinen, esim. jousi. Kun ulkoista voimaa (esim. pinta-alaa kohti) sanotaan jšnnitykseksi ja suhteellista muodon muutosta myštymšksi, mššritellššn kimmokerroin yleisesti muodossa kimmokerroin = jšnnitys / myštymš. (14.) Youngin moduli on tavallisin kimmokertoimista ja sille kšytetššn siksi myšs pelkkšš kimmokerroin-nimeš. Se kuvaa kappaleen, esim. tangon venymistš tai puristumista. MŠŠritellŠŠn nyt jšnnitys s = F/A, (14.3) missš F on tangon pššhšn kohdistuva voima ja A on tangon poikkileikkauksen pinta-ala. Suhteellinen venymš on e = DL/L, (14.4) missš L on tangon pituus. Youngin moduli on Y = s / e. (14.5) MikŠli Y on vakio, on kimmovoima suoraan verrannollinen myštymššn F/A = Y DL/L. TŠmŠ on Hooken laki ja se on voimassa ns. kimmoisuusalueella suhteelisuusrajaan saakka. Kimmoisuusrajalta muodonmuutokset ovat vielš palautuvia, mutta sen jšlkeen kappale kšyttšytyy elastisesti. Murtorajalla kappale katkeaa.
Leikkausmoduli mššritellššn kappaleeseen sen pinnan suuntaisen voiman F t tai leikkausjšnnityksen s t = F t /A ja sen aiheuttaman leikkausmyštymšn e t = Dx/h avulla. KiinteŠn kappaleen leikkausmoduli on nyt S = s t / e t. (14.6) Ideaalineste ei voi vastustaa leikkausvoimaa, mutta todellisten nesteiden viskositeetti mššritellššn juuri niiden kykynš vastustaa leikkausvoiman aiheuttamaa pysyvšš muodon muutosta. Puristusmoduli voidaan mššritellš samalla tavalla aineen kaikille olomuodoille. Se mššritellššn kappaleen kaikkiin pintoihin kohdistuvan kohtisuoran voiman ja sitš vastaavan suhteellisen tilavuuden muutoksen DV/V avulla. Em. voima on helpoimmin kuvattavissa paineen P = F n /A avulla. Paineen SI-yksikkš on pascal (Pa), 1 Pa = 1 N/m. Puristusmoduli mššritellššn nyt B = Ð DP DV/V. (14.7) NŠin mššriteltynš B on positiivinen suure. Joskus kšytetššn myšs suuretta kompressibiliteetti k = 1/B. M, sl 1997 113 ErŠiden aineiden kimmokertoimia ( 10 9 N/m ) Aine Y S B TerŠs 00 80 140 Alumiini 70 5 70 Betoni 0 Vesi Ð.1 14.3. Paine NesteissŠ ja kaasuissa ei esiinny staattisia leikkausvoimia, mutta ne kohdistavat kappaleisiin niiden pintoja vastaan kohtisuoria voimia F n, jotka ovat verrannollisia pintojen pinta-aloihin A. Nesteen ja kaasun aiheuttama paine on P = F n /A. NŠmŠ voimat aiheutuvat neste- tai kaasumolekyylien tšrmšyksistš pintaa vastaan. Paineen SI-yksikkš on pascal (Pa), 1 Pa = 1 N/m. Ilmanpaine maanpinnalla on noin 10 5 N/m. Se voidaan todeta useilla yksinkertaisilla koejšrjestelyillš. Ilmanpaine aiheutuu ilmakehšn painosta maan vetovoimakentšssš. Siksi se voidaan laskea vaakasuoran pinnan pššllš olevan ilmapatsaan painon avulla. Huomaa, ettš paine on kuitenkin sama kaikissa asennoissa olevia pintoja vastaan. EdellŠ olevasta johtuen nesteen ja kaasun paine maan vetovoimakentšssš riippuu korkeudesta (mitattuna esim. nesteen pinnasta). Esim. nestepatsaan painosta W = mgh = rahg saadaan paine W/A = rgh ja P = P 0 + rgh, (14.8) missš P 0 on nesteen pinnalla olevan kaasun paine. TŠstŠ seuraa, ettš yhtyvissš astioissa nestepintojen korkeus on sama. M, sl 1997 114
M, sl 1997 115 Pascalin laki Edelliseen tulokseen (nesteen paine riippuu vain siitš syvyydestš, jolla painetta mitataan) perustuen Pascal pšštteli jo vuonna 1653, ettš suljetussa astiassa olevaan nesteeseen kohdistuva ulkoinen paine vaikuttaa saman suuruisena kaikkialla nesteessš ja kaikkiin astian seinšmiin. TŠmŠn periaatteen soveltamiseen perustuu esim. hydraulinen nosturi (tunkki). Paineen mittauksessa kšytetššn tunnettuna nesteenš usein elohopeaa Hg (r Hg = 13.6 10 3 kg/m 3 ), ja sen avulla mššritellššnkin eršs paineen yksikkš, 1 torri = 1 mmhg eli elohopeamillimetri. Edelleen 760 torria = 1 atm = 101.3 kpa eli (normaali-)ilmakehš. Joskus kšytetššn myšs yksikkšš 1 at = 1 kp/cm eli teknillinen ilmakehš. Ilmanpaine ilmoitetaan usein yksikšissš bari, 1 b = 10 5 Pa, tai 1 mb = 10 Ð3 b. Esim. Ilmanpaineen korkeusriippuvuus. M, sl 1997 116 Paineen mittaaminen Kaasun paineen mittaamiseen voidaan kšyttšš esim. manometriš, jossa kšytetššn hyvšksi nesteen tunnettua tiheyttš ja yhtšlšš (14.8). TŠllŠ tavoin saadaan mitatuksi kaasun paine ympšršivšn ilmakehšn paineen suhteen. Ilmanpaine voidaan taas mitata barometrillš, joka on tunnetulla nesteellš tšytetty ylšsalaisin oleva ja ylšpššstššn suljettu putki.
14.4 Arkimedeen laki M, sl 1997 117 Kokonaan tai osaksi nesteeseen (tai kaasuun) upotettuun kappaleeseen kohdistuu nesteen paineen aiheuttamia voimia. Koska yhtšlšn (14.8) mukaan paine syvemmšllš on suurempi, kappaleeseen kohdistuva nettovoima on ylšspšin. TŠmŠ voima on noste. Nosteen suuruus voidaan pšštellš siitš, ettš kappaleen syrjšyttšmš neste (kappaleen tilalla) olisi tasapainossa. Siten nesteessš tai kaasussa olevaan kappaleeseen vaikuttaa noste, joka on yhtš suuri kuin kappaleen syrjšyttšmšn neste- tai kaasumššršn paino. Nosteen suunta on ylšspšin ja vaikutuspiste on kappaleen syrjšyttšmšn nesteen painopiste. TŠmŠ on Arkimedeen laki, jossa nosteen suuruus on F B = r f Vg, (14.9) missš r f on nesteen tiheys ja V on kappaleen syrjšyttšmšn nesteen tilavuus. Esim. 14.. Ilmassa punnittuna kruunun massa on 3.0 kg ja veteen upotettuna sen "punnittu paino" on 6 N. Laske kruunun tiheys. Myšs nestettš tihešmpšš ainetta oleva kappale voi kellua nesteen pinnalla. SelitŠ kuinka. Kelluminen voi olla stabiilia tai labiilia riippuen kelluvan kappaleen painopisteen sijainnista. 14.5. JatkuvuusyhtŠlš M, sl 1997 118 Tarkastellaan seuraavassa ideaalinesteen tai kaasun stationššristš ja pyšrteetšntš virtausta. Yleisesti, virtaus voi olla pyšrteetšntš (laminaarista) tai turbulenttia. StationŠŠrisessŠ virtauksessa nesteen virtausnopeus on vakio kaikissa pisteissš. Ideaalineste on kokoonpuristumatonta ja kitkatonta. StationŠŠrisessŠ virtauksessa nestehiukkasen rata on virtausviiva ja hiukkasen nopeus kussakin virtausviivan pisteessš on sen tangentin suuntainen. Virtausviivat eivšt leikkaa toisiaan. Virtausviivojen kimppu on vuoputki, jonka pinnan lšpi ei tapahdu virtausta. Hiukkasen nopeus pitkin virtausviivaa voi vaihdella, minkš seurauksena vuoputken poikkileikkauksen pinta-ala muuttuu. Tarkastellaan vuoputken massa-alkiota Dm, joka tulee vuoputkeen ajassa Dt. TŠllšin Dm = r 1 A 1 v 1 Dt, kun v 1 Dt = Dl 1. Kun sama massa poistuu putken toisesta pššstš samassa ajassa, sadaan jatkuvuusyhtšlš r 1 A 1 v 1 = r A v, (14.10) joka siis seuraa massan sšilymisestš. Jos kyseessš on kokoonpuristumaton neste, A 1 v 1 = A v. (14.11)
14.6. Bernoullin yhtšlš Tarkastellaan nyt ideaalinesteen laminaarista virtausta putkessa, jonka poikkileikkaus ja korkeus muuttuu kuvan mukaisesti. AikavŠlillŠ Dt neste siirtyy putkessa matkan Dl 1 ja Dl (eri pšistš mitattuna). TŠllšin paineiden nesteeseen tekemšt tyšt ovat F 1 Dl 1 ja ÐF Dl, missš F i = P i A i. Mekaanisen energian sšilymisen perusteella voidaan kirjoittaa eli P 1 A 1 Dl 1 Ð P A Dl = mgy Ð mgy 1 + 1/ mv Ð 1/ mv 1 M, sl 1997 119 P 1 m/r + mgy 1 + 1/ mv 1 = P m/r + mgy + 1/ mv, josta saadaan Bernoullin yhtšlš (Daniel Bernoulli, v. 1738) P 1 + rgy 1 + 1/ rv 1 = vakio. (14.1) Virtaavassa nesteessš siis staattinen paine P, hydrostaattinen paine rgh ja dynaaminen paine eli patopaine 1/ rv yhteenlaskettuna antavat vakion. Esim. 14.3. Astian kyljessš on reikš ja vettš korkeudelle h reišstš mitattuna. MillŠ nopeudella vesi juoksee reišstš? Bernoullin yhtšlšn sovellutuksia Venturimetri Pitot-putki Lentokoneen siipi M, sl 1997 10 Kaasun purkautuminen sšilišstš
15. V R HDYSLIIKE PŠŠkohdat: 1. Harmonisen oskillaattorin amplitudi ja jaksonpituus. Harmonien voima 3. Oskillaattorin kineettinen ja potentiaalienergia 4. Matemaattinen heiluri, fysikaalinen heiluri ja torsioheiluri Toistuvaa ilmištš tai liikettš sanotaan jaksolliseksi ja edestakaista liikettš sen lisšksi všršhdysliikkeeksi tai oskillaatioksi. Mekaaninen všršhtely on jonkin kappaleen tai sen osan edestakaista etenemis- tai pyšrimisliikettš. VŠrŠhtely on yleensš vaimenevaa, jolloin sen liikkeen laajuus pienenee. Pakotettua všršhtelyš pitšš yllš jokin jaksollinen ulkoinen voima, jolloin voi esiintyš myšs resonanssi-ilmišitš. 15.1. Harmoninen oskillaattori M, sl 1997 11 Tarkastellaan jouseen kiinnitetyn kappaleen všršhtelyš. Liikkeen laajuutta kuvataan amplitudilla A, kun ÐA < x < A. Jos jaksonpituus on T, niin f = 1/T on všršhtelyn taajuus. TŠllaisen všršhtelijšn paikka ajan t funktiona on x(t) = A sin(wt+f), missš kulmataajuus w = p / T = p f (15.1) ja f on vaihekulma tai vaihevakio. Termi wt+f on všršhtelyn vaihe. TŠmŠ on esimerkki yksinkertaisesta harmonisesta oskillaattorista. Yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin ominaisuuksia: 1. Amplitudi on vakio (yksinkertainen). Taajuus (tai jaksonpituus) on riippumaton amplitudista 3. VŠrŠhtely on sini-muotoista ja sillš on vain yksi taajuus (harmoninen) Harmonisen oskillaattorin x(t) = A sin(wt+f) nopeus v(t) = dx/dt = úx(t) ja kiihtyvyys a(t) = d x/dt = úú x(t) ovat úx(t) = wa cos(wt+f) (15.3) ja úú x(t) = Ðw A sin(wt+f). (15.4) TŠstŠ nšhdššn, ettš úú x(t) = Ðw x(t) eli a = Ðw x tai d x dt + w x = 0. (15.5) TŠmŠ on harmonisen liikkeen differentiaaliyhtšlš. 15.. Harmoninen voima Harmoniselle liikkeelle on siis voimassa a µ Ðx ja koska massapisteen dynamiikalle on voimassa F = ma, on massapisteen m harmonisen liikkeen aiheuttava voima muotoa F µ Ðx. TŠllainen on harmoninen voima on siis mm. jousivoima F sp = Ðkx, josta tulee liikeyhtšlšksi ma = Ðkx eli TŠllšin siis w = k/m ja ja w = Ö(k/m) T = p / w = p Ö(m/k). M, sl 1997 1 d x dt + k m x = 0. (15.6) (15.7) (15.8)
15.3. Harmonisen oskillaattorin energia Harmonisen oskillaattorin potentiaalienergia on U= 1/ kx = 1/ ka sin (wt+f) (15.9) ja kineettinen energia on K= 1/ mv (15.10) = 1/ mw A cos (wt+f) ja kokonaisenergia on vakio E= 1/ mv + 1/ kx = 1/ mv max + 1/ ka, (15.11) kuten kappaleessa 8.5 jo todettiin. Yleisesti, parabolisessa potentiaalissa U µ x všršhtelevš hiukkanen on harmoninen oskillaattori. TŠtŠ kšytetššn mallina mm. molekyylien všršhtelylle. M, sl 1997 13 Esim. 15.6. Johda harmonisen liikkeen liikeyhtšlš sen kokonaisenergian lausekkeesta. 15.4. Heilurit M, sl 1997 14 Matemaattinen heiluri Kun matemaattisen heilurin pituus on L, iikeyhtšlšksi tulee múú s = Ðmg sinq. Kun pienillš amplitudeilla voidaan approksimoida sinq» q ja sijoitetaan vielš s = Lq, saadaan d q (15.1) dt + g L q = 0. Nyt siis w = g/l ja w = Ö(g/L) ja T = p Ö(L/g). (15.13) Siten q(t) = q 0 sin(wt+f). (15.14) Huomaa, ettš w, on heilahtelun kulmataajuus, joka on vakio, eikš liikkeen kulmanopeus dq/dt (¹ vakio). Fysikaalinen heiluri Kappale, jonka hitausmomentti ripustuspisteen suhteen on I ja painopisteen etšisyys ripustuspisteestš on d, muodostaa fysikaalisen heilurin. Sen liikeyhtšlš Ia = t = Ðmgd sinq on d q dt + mgd q = 0. (15.15) I Nyt w = mgd/i ja w = Ö(mgd/I) (15.16) ja T = p Ö(I / mgd). (15.17) Jos matemaattisen tai fysikaalisen heilurin amplitudi on suuri, ei approksimaatio sinq» q ole hyvš ja eikš liike ole enšš likimain harmonista. TŠllšin liikkeen jaksonpituus kasvaa ja T = T 0 1 + 1 4 sin q 0 + 9 64 sin4 q 0 +..., missš T 0 on vastaavan harmonisen liikkeen jaksonpituus ja q 0 on amplitudia vastaava heilahduskulma.
Torsioheiluri Lankaan ripustettu kappale, joka kiertyy lankaa pitkin kulkevan akselin ympšri muodostaa torsioheilurin. Langan kiertymistš vastustava momentti noudattaa Hooken lakia t = Ðkq, missš k on torsiovakio. Torsioheilurin liikeyhtšlšksi Ia = t tulee siten d q dt + k I q = 0. TŠstŠ seuraa, ettš w = k/i ja M, sl 1997 15 w = Ö(k/I) (15.18) ja T = p Ö(I/k). (15.19) Huomaa, ettš torsioheilurin tapauksessa ei tarvita pienen kulman approksimaatiota. 15.6. Pakotettu všršhtely M, sl 1997 16 VŠrŠhtelyŠ voi pitšš yllš jokin ulkoinen jaksollinen voima, jolloin liikettš sanotaan pakotetuksi všršhtelyksi. Jos ulkoinen voima on F(t) = F 0 cos(w e t) ja všliaineen vastus on f = Ðgx, tulee liikeyhtšlšksi múú x = Ðkx Ð g úx + F 0 cos(w e t) eli d x (15.5) dt + g m dx dt + m k x = F 0 cos(w e t). Jos w e = w 0 = Ö(k/m), saa pakotettu liike suurimman amplitudinsa. SitŠ sanotaan resonanssiksi. 15.5. Vaimeneva všršhtely VŠliaineessa liikkuvaan kappaleeseen kohdistuva kitkan luonteinen ns. všliaineen vastus f on kappaleen nopeuteen v verrannollinen, f = Ðgv, jos nopeus ei ole kovin suuri. Harmonisen všršhtelyn (1-dim.) liikeyhtšlš on silloin múú x = Ðkx Ð g úx eli d x dt + g m dx dt + m k x = 0.