Hierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1

Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan, kun toinen tekijöistä on alisteinen toiselle tekijälle niin, että niiden määräämät ryhmitykset muodostavat hierarkian? Heliövaara 2

Kaksiasteinen hierarkkinen koeasetelma 1/3 Oletetaan, että kokeen tavoitteena on tutkia, miten käsittelyt A 1, A 2,..., A I ja B 1(i), B 2(i),..., B J(i), i = 1, 2,..., I vaikuttavat vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin tilanteessa, jossa käsittelyt B j(1), B j(2),..., B j(i) ovat samankaltaisia, mutta eivät identtisiä käsittelyille A 1, A 2,..., A I, j = 1, 2,..., J. Heliövaara 3

Kaksiasteinen hierarkkinen koeasetelma 2/3 Tällöin sanomme, että koeasetelma on hierarkkinen ja käsittelyt B 1(i), B 2(i),..., B J(i) ovat alisteisia käsittelylle A i, i = 1, 2,..., I. Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa voidaan kuvata alla olevalla kaaviolla. A 1 A 2 A 3... B B... B B B... B B B... B 1(1) 2(1) J(1) 1(2) 2(2) J(2) 1(I) 2(I) J(I) Heliövaara 4

Kaksiasteinen hierarkkinen koeasetelma 3/3 Kaksiasteisessa hierarkkisessa koeasetelmassa havainnot kerätään seuraavasti: - Valtaan käsittelykombinaation (A i, B j(i) ) kohteeksi satunnaisesti K yksilöä, i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J. - Mitataan vastemuuttujan y arvot: y kij, k = 1, 2,..., K, i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J. Heliövaara 5

Havainnot Havainnoista y kij voidaan muodostaa seuraava taulukko: A 1 A I B 1(1) B 2(1) B J(1) B 1(I) B 2(I) B J(I) y 111 y 112 y 11J y 1I1 y 1I2 y 1IJ y 211 y 212 y 21J y 2I1 y 2I2 y 2IJ..... y K11 y K12 y K1J y KI1 y KI2 y KIJ.... Heliövaara 6

Kaksiasteisen hierarkkisen koeasetelman nollahypoteesit Käsittelyiden vaikutusta koskevat nollahypoteesit ovat muotoa ja H A : Ei A-vaikutusta H B(A) : Ei B-vaikutusta tekijän A sisällä. Kaksiasteisen hierarkkisen koeasetelman analyysi tarkoittaa nollahypoteesien H A ja H B(A) testaamimsta. Heliövaara 7

Tilastollinen malli ja sen parametrointi 1/5 Kaksiasteisen hierarkkisen koeasetelman tilastollinen malli voidaan parametroida seuraavasti: y kij = µ + α i + β j(i) + ε (ij)k k = 1, 2,..., K, i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J, jossa jäännöstermit ε (ij)k ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε (ij)k N(0, σ 2 ). Heliövaara 8

Tilastollinen malli ja sen parametrointi 2/5 Tilastollinen malli riippuu siitä, millaisia oletuksia tehdään tekijöiden A ja B satunnaisuudesta. Käsittelemme kolmea vaihtoehtoa: Tapaus 1: Tapaus 2: Tapaus 3: Tekijä A on kiinteä ja tekijä B on kiinteä. Tekijä A on kiinteä ja tekijä B on satunnainen. Tekijä A on satunnainen ja tekijä B on satunnainen. Heliövaara 9

Tilastollinen malli ja sen parametrointi 3/5 Tapaus 1: A on kiinteä ja B on kiinteä. - Tällöin oletamme, että parametrit µ, α i, β j(i), i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J ovat kiinteitä, ei-satunnaisia vakioita ja I α i = 0 ja J β j(i) = 0, i = 1, 2,..., I i=1 j=1 Heliövaara 10

Tilastollinen malli ja sen parametrointi 4/5 Tapaus 2: A on kiinteä ja B on satunnainen. - Tällöin oletamme, että parametrit µ, α i, i = 1, 2,..., I ovat kiinteitä, ei-satunnaisia vakioita ja I i=1 α i = 0 - Lisäksi oletamme, että β j(i) N(0, σ 2 β), i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J Heliövaara 11

Tilastollinen malli ja sen parametrointi 5/5 Tapaus 3: A on satunnainen ja B on satunnainen. - Tällöin oletamme, että parametri µ on kiinteä, ei-satunnainen vakio. - Lisäksi oletamme, että α i N(0, σα), 2 i = 1, 2,..., I β j(i) N(0, σβ), 2 i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J Heliövaara 12

Parametreja koskevat nollahypoteesit 1/3 Tapaus 1: A on kiinteä ja B on kiinteä. Nollahypoteesit H A ja H B(A) voidaan ilmaista muodossa: H A : α 1 = α 2 = = α I = 0 H B(A) : β 1(i) = β 2(i) = = β j(i) = 0, i = 1, 2,..., I Heliövaara 13

Parametreja koskevat nollahypoteesit 2/3 Tapaus 2: A on kiinteä ja B on satunnainen. Nollahypoteesit H A ja H B(A) voidaan ilmaista muodossa: H A : α 1 = α 2 = = α I = 0 H B(A) : σβ 2 = 0 Heliövaara 14

Parametreja koskevat nollahypoteesit 3/3 Tapaus 3: A on satunnainen ja B on satunnainen. Nollahypoteesit H A ja H B(A) voidaan ilmaista muodossa: H A : σα 2 = 0 H B(A) : σβ 2 = 0 Heliövaara 15

Ryhmäkeskiarvot, reunakeskiarvot ja kokonaiskeskiarvo Määritellään havaintoarvojen y kij ryhmäkeskiarvo ryhmässä j(i): ȳ ij = 1 K K k=1 y kij, i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J Määritellään havaintoarvojen y kij reunakeskiarvo kaikista havainnoista, jotka ovat alisteisia tekijän A tasolle i: ȳ i = 1 JK J j=1 K k=1 y kij = 1 J J j=1 ȳ ij, i = 1, 2,..., I Kaikkien havaintojen kokonaiskeskiarvo on ȳ = 1 IJK I i=1 J j=1 K k=1 y kij Heliövaara 16

Neliösummia 1/2 Määritellään havaintoarvojen y kji kokonaisvaihtelua kuvaava neliösumma SST = I J K (y kij ȳ ) 2, i=1 j=1 k=1 tekijän A vaikutusta kuvaava neliösumma SSA = JK I i=1 (ȳ i ȳ ) 2 sekä tekijän B vaikutusta tekijän A sisällä kuvaava neliösumma SSB(A) = K I i=1 J j=1 (ȳ ij ȳ i ) 2 Heliövaara 17

Neliösummia 2/2 Määritellään jäännösvaihtelua kuvaava neliösumma: SSE = I J K (y kij ȳ ij ) 2 i=1 j=1 k=1 Neliösummille pätee varianssianalyysihajotelma SST = SSA + SSB(A) + SSE ja neliösummien vapausasteet toteuttavat yhtälön IJK 1 = (I 1) + I(J 1) + IJ(K 1). Heliövaara 18

Testi A-vaikutukselle Tapaus 1: A on kiinteä ja B on kiinteä Määritellään F -testisuure F A = IJ(K 1) I 1 SSA SSE Jos nollahypoteesi pätee, niin H A : Ei A-vaikutusta F A F ((I 1), IJ(K 1)) Heliövaara 19

Testi B-vaikutukselle tekijän A sisällä Tapaus 1: A on kiinteä ja B on kiinteä Määritellään F -testisuure Jos nollahypoteesi F B(A) = IJ(K 1) I(J 1) SSB(A) SSE H B(A) : Ei B-vaikutusta tekijän A sisällä pätee, niin F B(A) F (I(J 1), IJ(K 1)) Heliövaara 20

Varianssianalyysitaulukko Tapaus 1: A on kiinteä ja B on kiinteä Tulokset on tapana esittää varianssianalyysitaulukossa. Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA I 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B tekijän SSB(A) I(J 1) MSB(A) = SSB(A)/df F B(A) = MSB(A)/MSE A sisällä Jäännös SSE IJ(K 1) M SE = SSE/df Kokonais SST IJK 1 vaihtelu Heliövaara 21

Testi A-vaikutukselle Tapaus 2: A on kiinteä ja B on satunnainen Määritellään F -testisuure F A = I(J 1) I 1 SSA SSB(A) Huom! Nyt siis F A = MSA/MSB(A). Jos nollahypoteesi pätee, niin H A : Ei A-vaikutusta F A F ((I 1), I(J 1)) Heliövaara 22

Testi B-vaikutukselle tekijän A sisällä Tapaus 2: A on kiinteä ja B on satunnainen Määritellään F -testisuure Jos nollahypoteesi F B (A) = IJ(K 1) I(J 1) SSB(A) SSE H B(A) : Ei B-vaikutusta tekijän A sisällä pätee, niin F B (A) F (I(J 1), IJ(K 1)) Heliövaara 23

Varianssianalyysitaulukko Tapaus 2: A on kiinteä ja B on satunnainen Tulokset on tapana esittää varianssianalyysitaulukossa. Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA I 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSB(A) B tekijän SSB(A) I(J 1) MSB(A) = SSB(A)/df F B(A) = MSB(A)/MSE A sisällä Jäännös SSE IJ(K 1) M SE = SSE/df Kokonais SST IJK 1 vaihtelu Heliövaara 24

Tapaus 3: A on satunnainen ja B on satunnainen Tapauksessa 3 (A ja B satunnaisia) testit ja varianssianalyysitaulukko ovat täysin samat kuin tapauksessa 2 (A kiinteä, B satunnainen). Heliövaara 25

Kaksiasteisen hierarkkisen koeasetelman laskutoimitusten suorittaminen Ohjeet tarvittavien laskutoimitusten suorittamiseen löytyy 10. laskuharjoituksen ratkaisuista sivuilta 6-7. Heliövaara 26

2 k -faktorikokeet Heliövaara 27

2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikoe on k suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta käytetään usein tilanteissa, joissa tutkittavia faktoreita on paljon. Heliövaara 28

Osafaktorikokeet Jos voidaan olettaa, ettei tiettyjä monen faktorin yhdysvaikutuksia esiinny, voidaan 2 k -faktorikokeen sijaan käyttää 2 k p -osafaktorikoetta. Alla on esimerkit 2 3 -faktorikokeesta ja 2 3 1 -osafaktorikokeesta. A B C + + + + + + A B C + + + + + + + + + + + + Heliövaara 29

2 2 -faktorikokeet Heliövaara 30

2 2 -faktorikokeet Oletetaan, että haluamme tutkia, miten kaksi faktoria eli tekijää A ja B, joilla molemmilla on kaksi tasoa: matala (-) ja korkea (+) vaikuttavat vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2 2 = 4 käsittelykombinaatiota: A B Käsittelykombinaatio Merkintä - - A =matala, B =matala (1) + - A =korkea, B =matala a - + A =matala, B =korkea b + + A =korkea, B =korkea ab Heliövaara 31

Havaintoarvojen summat Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 2 n = 2 2 n = 4n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: (1) = Havaintoarvojen summa, kun A = ( ), B = ( ) a = Havaintoarvojen summa, kun A = (+), B = ( ) b = Havaintoarvojen summa, kun A = ( ), B = (+) ab = Havaintoarvojen summa, kun A = (+), B = (+) Heliövaara 32

Tekijän A päävaikutus Tekijän A vaikutus, kun tekijän B taso on matala (-): + b ab (a (1))/n B Tekijän A vaikutus, kun tekijän B taso on korkea (+): (1) a (ab b)/n A + Tekijän A päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: A = 1 [ a (1) + ab b ] = 1 [ab + a b (1)] 2 n n 2n Heliövaara 33

Tekijän B päävaikutus Tekijän B vaikutus, kun tekijän A taso on matala (-): + b ab b (1)/n B Tekijän B vaikutus, kun tekijän A taso on korkea (+): (1) a (ab a)/n A + Tekijän B päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: B = 1 [ b (1) + ab a ] = 1 [ab + b a (1)] 2 n n 2n Heliövaara 34

Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus: AB = 1 [ ab b a (1) ] = 1 [ ab a 2 n n 2 n = 1 [ab a b + (1)] 2n b (1) ] n + b ab B (1) a A + Heliövaara 35

Tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat kontrasteja Tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat käsittelykombinaatioiden (ab, a, b, (1)) ortogonaalisia kontrasteja: A = 1 [ab + a b (1)] 2n B = 1 [ab a + b (1)] 2n AB = 1 [ab a b + (1)] 2n Heliövaara 36

Neliösummia 1/2 Koska tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat käsittelykombinaatioiden (ab, a, b, (1)) ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavoilla: SSA = 1 [ab + a b (1)]2 4n SSB = 1 [ab a + b (1)]2 4n SSAB = 1 [ab a b + (1)]2 4n Heliövaara 37

Neliösummia 2/2 Olkoon y kij k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j). Kokonaisneliösumma SST ja jäännösneliösumma SSE määritetään kuten kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa: SST = 2 2 n (y kij ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 SSE = 2 2 n (y kij ȳ ij ) 2 i=1 j=1 k=1 Neliösummat toteuttavat kaksisuuntaisen varianssianalyysin varianssianalyysihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE. Heliövaara 38

2 2 -faktorikokeen nollahypoteesit 2 2 -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat: H AB : Ei yhdysvaikutusta H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta Heliövaara 39

Varianssianalyysitaulukko 2 2 -faktorikokeen tulokset esitetään varianssianalyysitaulukossa: Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB 1 MSB = SSB/df F B = MSB/MSE AB SSAB 1 MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE Jäännös SSE 4(n 1) M SE = SSE/df Kokonais SST 4n 1 vaihtelu Heliövaara 40