Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan SI - järjestelmässä metreinä sekunnissa. Derivaatta määritellään tunnetusti erotusosamäärän avulla esimerkiksi seuraavasti. Olkoon funktio y = f(x) jatkuva, reaaliarvoinen funktio, joka on määritelty jossain x:n aidossa ympäristössä. Jos rajaarvo Erotusosamäärän raja-arvo f' x 0 =lim f x 0 f x 0, on yksikäsitteisenä olemassa, niin sen arvoa sanotaan funktion f(x) derivaataksi kodassa x 0. Derivaatalla on olemassa yvinkin monta erilaista merkintätapaa. Niitä ovat ovat esimerkiksi df x dx ja D f x. Nämä kaksi tarkoittavat läinnä derivaattafunktiota, eivät derivaattaa jossain pisteessä. Numeerisen derivoimisen idea on jättää rajalle meno vään kesken: parametri ei mene ian nollaan, mutta melkein. Nollaa arvioidaan siis pienellä luvulla. Tässä mielessä tilanne on sama kuin tietokoneen ojelmoimisessa: muuttuja on tiettyjen rajojen puitteissa sama kuin vaikkapa jokin ennalta valittu tai tiedetty vakio kuten nolla, ei tarkasti sama. Mainitsinan aiemmin, että monelle sovellukselle jo 10-6 on käytännössä nolla. Tarkastellaan x 0 :n ympäristöä. Vaidetaan merkintätapa määrittelemällä = x x 0 eli tulkitsemalla asia niin kuin se on: :n itseisarvo on x:n etäisyys x 0 :sta. Silloin erotusosamäärä saa muodon f x f x 0. Geometrisesti tämä on kaden pisteen koordinaattien erotusten osamäärä eli vastaavien janojen pituuksien osamäärä. Seuraava kuva selventänee asiaa. 1(6)
y = f(x) y 0 = f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 Silloin, kun joudutaan turvautumaan numeeriseen derivoimiseen on usein kyseessä tilanne, missä saatavilla on vain joukko mittauspisteitä. Ei siis välttämättä ole ollenkaan tietoa mistään suljetussa muodossa eli alkeisfunktioiden avulla esitettävissä olevasta lausekkeesta. Jos tiedetään, että mitatut arvot riippuvat jostain ajasta, esimerkiksi sillä tavalla, että derivaatan ideassa on mieltä, niin keinona on juuri numeerinen derivoiminen. Seuraava taulukko esittää erään esineen liikettä ajan suteen. Yksikköinä ovat metri ja sekunti. Tetävänä on laskea esineen etkellisiä nopeuksia. Tällöin on muistettava, että nopeus on paikan derivaatta ajan suteen. 2(6)
t [s] s [m] 0,000 0,00000 0,500 1,72583 1,000 5,90333 1,500 12,53248 2,000 21,61330 2,500 33,14578 3,000 47,12993 3,500 63,56573 4,000 82,45320 Numeerinen derivointi on englanniksi numerical differentiation. Käsitteestä erotusosamäärä käytetään englanniksi usein nimeä Newton's difference quotient. Tästä voi jotaa englanninkielisen nimen myös erotusosamäärän raja-arvolle. Usein kuitenkin sanotaan by definition tai muuta vastaavaa. Jos aluat tietää lisää, ae englanninkielisestä Wikipediasta sanaa derivative. Huomaa ero: numerical differentiation contra derivative. Erotusosamäärän käytöstä numeerisen derivaatan laskemisessa Koska esittelin erotusosamäärän kadessa eri muodossa, minulla on muodollisesti kaksi eri merkintätapaa laskea nopeuksia. Ne ovat f x Erotusosamäärä = 0 f x 0 (3) ja f x f x 0 Erotusosamäärä = (4) Ei kuitenkaan tedä eroa näitten välillä. Esimerkki 41 Laske taulukon tietojen perusteella esineen nopeus etkellä 3 sekuntia. Ratkaisu Nopeus on paikanmuutoksen ja siien kuluneen ajan sude. Tarvitaan siis matka ja siien kulunut aika. Siien on kaksi madollisuutta: 0,5 sekuntia ennen etkeä t = 3 sekuntia tai 0,5 sekuntia sen jälkeen, siis = x x 0 = +0,5 sekuntia tai = x x 0 = 0,5 sekuntia. Taulukosta: 3(6)
v(t = 3s) = f x f x 0 = 33,14578m 47,12993m 2,5s 3,0s = 13,984m =28m /s 0,5 s tai v(t = 3s) = f x f x 0 = 47,12993m 63,56573m 3,0s 3,5s = 16,436m =33m/ s 0,5 s Kaksi ian eri arvoa! Ero näissä on valtavan paljon suurempi kuin mitä ainakin minä odottaisin annettujen lukuarvojen väitetyn tarkkuuden nojalla! Taulukon arvojen tarkkuutta ei ole syytä epäillä. Syy on siinä, että tämä menetelmä ei anna tarkempaa arvoa nopeudelle. Tarvittava tieto ei itse asiassa ole olemassa! Vastaus: Nopeus on välillä ]28m/s;33m/s[. Keskusdifferenssin käyttäminen antaa joskus tarkemman arvion kuten seuraavassa kappaleessa uomaat. Joskus tämä näennäisesti parempi tarkkuus on araa. Keskusdifferenssin käytöstä numeerisen derivaatan laskemisessa Keskusdifferenssi määritellään kaden peräkkäisen erotusosamäärän keskiarvona. Edellä käytettyjen merkintöjen mukaan keskusdifferenssi = 1 2 [ f x f x 0 0 f x f x 0 0 ]= f x f x 0 0 2 eli f' x f x f x 2. Nyt sitten kokeilen tätä äskeiseen esimerkkiin. Pudotan äskeisestä viisastuneena eti kärkeen muutaman desimaalin luvuista. Esimerkki 42 Laske taulukon tietojen perusteella esineen nopeus etkellä 3 sekuntia. Ratkaisu Keskusdifferenssin avulla on nyt, kun = 0,5 sekuntia eli 2 = 1 sekunti ja t = 3 sekuntia edelleen: 4(6)
f' x f x f x = 2 f 3s0,5 s f 3s 0,5 s 1s = 63m 33m =30 m/s s Vastaus: Esineen nopeus ajanetkellä kolme sekuntia on noin 30 metriä sekunnissa. Oeisen kuvan tarkoitus on tarjota intuitiivinen mielikuva siitä, mitä edellä tapatui. Sen merkintöjä käyttämällä saadaan keskusdifferenssin avulla sekantin QR kulmakerroin. Se on läempänä pisteeseen O piirretyn tangentin tangentti ei ole kuvassa kulmakerrointa kuin kumpikaan sekantin QO tai OR kulmakerroin. O R Q 5(6)
Huomaa, että käytännön laskuissa voi tulla ankaluuksia, jos on kovin pieni eli jos jaetaan läellä nollaa olevalla luvulla. Tällaisissa tilanteissa näkyy matematiikan ianteellisen maailman ja arkipäivän raadollisen elämän ero erityisen selvästi. Matematiikassaan osoittaja ja nimittäjä voivat aivan mainiosti läestyä nollaa, jos ne tekevät niin oikealla tavalla. Esimerkiksi lim x0 Esimerkki 43 sin x =1. x Arvioi funktion f x=e sin x e cos x derivaattaa kodassa x = 0. Käytä :n arvoa 0,01 sekä seitsemää merkitsevää numeroa välituloksissa. Vertaa tulosta tarkkaan arvoon. Ratkaisu Sivun uusi pituus on 101 cm. f'0 f 00,01 f 0 0,01 1,708 096 1,728 096 = =1 2 0,01 0,02 Annetun funktion derivaattafunktio on f'x=sin x e cos x cos x e sin x, joten derivaatta kodassa 0 on täsmälleen 1. Tulos oli siis oikea, mutta se jotui siitä, että pyöristysvireet kumosivat toisiaan mukavasti. 6(6)