Kenguru 2013 Junior sivu 1 / 19 3 pistettä 1. Sannalla oli neliön muotoisia paperiarkkeja, joille hän piirsi kuvioita. Kuinka monella näistä kuvioista on yhtä suuri piiri kuin paperiarkilla? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Ratkaisu: Siirtämällä janoja nähdään, että kaikilla paitsi toisella ja kolmannella kuviolla on sama piiri kuin paperiarkilla. 2. Rouva Loikkanen osti kullekin nelihenkisen perheensä jäsenelle neljä maissintähkää. Kaupassa hän sai kyltin mukaisen alennuksen. Kuinka paljon maissit maksoivat? (A) 0,80 (B) 1,20 (C) 2,80 (D) 3,20 (E) 3,40 Ratkaisu: Rouva Loikkanen osti 4 4 = 16 maissintähkää. 16 : 6 = 2, jää 4, joten kaksi maissintähkistä oli ilmaisia. Hänen oli siis maksettava 14 0,20 = 2,80.
Kenguru 2013 Junior sivu 2 / 19 3. Kengu matkustaa mielellään junalla tunnelin läpi. Eilen hänen mennessään tunneliin kello näytti 12:30 ja hänen tullessaan ulos 12:34. Mikä seuraavista on varmasti totta? Kengu oli tunnelissa (A) tasan neljä minuuttia (B) korkeintaan neljä minuuttia (C) vähintään neljä minuuttia (D) vähintään kolme minuuttia (E) yli neljä minuuttia Ratkaisu: Kengu on mennyt tunneliin aikaisintaan kello 12:30:00 ja poistunut ennen kello 12:35:00 (esimerkiksi klo 12:34:99), joten hän oli tunnelissa alle 5 minuuttia. Toisaalta Kengu on mennyt tunneliin ennen kuin kello on ollut 12:31:00 (esimerkiksi kello 12:30:99) ja poistunut aikaisintaan kello 12:34:00, joten hän on ollut tunnelissa yli 3 minuuttia. Kengun tunnelissa oleva aika on siis voinut olla mikä tahansa aika avoimelta väliltä ] [ (yksikkönä minuutti). 4. Piirtämällä kaksi ympyrää Juhana teki kuvion, joka koostuu kolmesta alueesta (ks. kuva): yksi alue on vain vasemmanpuoleisen ympyrän sisällä, toinen vain oikeanpuoleisen ympyrän sisällä ja kolmas molempien ympyröiden sisällä. Jos hän piirtäisi kaksi neliötä, kuinka monesta alueesta kuvio voisi korkeintaan koostua? (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 9 Ratkaisu: Kuvasta nähdään, että alue voi koostua yhdeksästä kuviosta. Todistetaan vielä, että yhdeksän on suurin mahdollinen määrä. Jokaisen alueen reunalla on keskimmäistä aluetta lukuun ottamatta yksi kärki, joka ei ole minkään muun alueen reunalla. Siten keskimmäistä aluetta lukuun ottamatta jokaista aluetta kohti tarvitaan yksi kärki. Koska kärkiä on käytössä 4 + 4 = 8, on suurin mahdollinen alueiden määrä 9.
Kenguru 2013 Junior sivu 3 / 19 5. Luvuista 2, 4, 16, 25, 50 ja 125 valitaan ne kolme, joiden tulo on 1 000. Mikä on noiden kolmen luvun summa? (A) 131 (B) 91 (C) 77 (D) 70 (E) 45 Ratkaisu: ( ). Siten luku ei ole luvun 1 000 tekijä, joten ainakaan luku 16 ei ole kyseisten kolmen luvun joukossa. Jos on yksi noista kolmesta luvusta, niin luku 5 tarvitaan vielä täsmälleen yhden kerran tekijäksi. Tämä ei ole kuitenkaan mahdollista, koska ainoat viidellä jaolliset luvuista 2, 4, 50 ja 125 ovat ja. Jos näistä jompikumpi valittaisiin, niin luku 5 tulisi tekijäksi liian monta kertaa. Siten luku 25 ei ole yksi noista kolmesta luvusta. Vastaava päättely koskee myös lukua luvusta., joten myöskään 50 ei ole yksi noista kolmesta Luvuista ovat jäljellä enää 2, 4 ja 125, joten ne ovat ainoa mahdollisuus. Lisäksi niiden tulo on 1 000, joten ne ovat oikeat luvut. Lukujen 2, 4 ja 125 summa on 131. 6. Kuusi pistettä on piirretty kuvan mukaisesti ruudukkoon, jossa ruudut ovat neliöitä ja yhden ruudun pinta-ala on 1. Piirretään kolmio, jonka kärjet valitaan noiden kuuden pisteen joukosta. Mikä on kolmion pienin mahdollinen pinta-ala? (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 (E) 2 Ratkaisu: Koska ruudun sivun pituus on 1, ja pisteet ovat ruutujen kärjissä, niin pisteet kärkinä ei ole mahdollista piirtää kolmiota, jonka kanta tai korkeus olisi alle 1. Kuitenkin kolmio, jossa sekä kanta että korkeus ovat 1, on mahdollista piirtää (kolmen vasemmanpuoleisimman pisteen muodostama tylppäkulmainen kolmio), joten se on pienin kolmio, joka kyseisten pisteiden avulla voidaan piirtää. Tämän kolmion ala on.
Kenguru 2013 Junior sivu 4 / 19 7. Satu laski luvut ja yhteen virheettömästi ja sai tulokseksi luvun, joka on luvun 2 potenssi. Mikä tuo luku oli? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: ( ) ( ). 8. Kuution pintaan on maalattu mustia ja valkoisia neliöitä ikään kuin kuutio olisi rakennettu neljästä valkoisesta ja neljästä mustasta pienemmästä kuutiosta. Miltä kuutio näyttää tasoon levitettynä? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Yhdenvärisiä (sekä mustia että valkoisia) pieniä neliöitä on aina kolme vierekkäin siten, että kullakin niistä on yksi yhteinen sivu kahden muun kanssa. Siten E on oikea vastaus. 9. Luku on suurin positiivinen kokonaisluku, jolle on kolminumeroinen luku, ja on pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on kolminumeroinen luku. Laske. (A) 900 (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Pienin neljällä jaollinen kolminumeroinen luku on, joten. Koska on neljällä jaollinen, niin suurin neljällä jaollinen kolminumeroinen luku on, joten. Nyt.
10. Mikä seuraavista luvuista on suurin? Kenguru 2013 Junior sivu 5 / 19 (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Positiivisista luvuista se on suurin, jonka neliö on suurin. Luvun A neliö on Muutkin luvut ovat pienempiä kuin A: 4 pistettä 11. Kolmio RZT syntyy, kun tasasivuinen kolmio AZC kiertyy pisteen Z ympäri. Tiedetään, että. Kuinka suuri on kulma? (A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35 (E) 40 Ratkaisu: Kolmion AZC tasasivuisuudesta johtuen Siten. Koska, joten kolmio AZR on tasakylkinen. on ( ) Nyt
Kenguru 2013 Junior sivu 6 / 19 12. Kuviossa on kuudesta 1 cm x 1 cm neliöstä tehty siksakki, jonka piiri on 14 cm. Jos 2013 neliöstä tehdään siksakki samalla tavalla, mikä on sen piiri? (A) 2022 cm (B) 4028 cm (C) 4032 cm (D) 6038 cm (E) 8050 cm Ratkaisu: Kun lisätään yksi neliö, niin piiri kasvaa 2 cm. Siten 2013 neliöstä tehdyn kuvion piiri on ( ) (cm). 13. Jana yhdistää säännöllisen kuusikulmion kaksi vastakkaista kärkeä. Jana, joka on kohtisuorassa janaa vastaan, yhdistää vastakkaisten sivujen keskipisteet. Kuusikulmion ala on 60. Laske. (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 (E) 100 Ratkaisu: Säännöllinen kuusikulmio voidaan jakaa kuuteen yhtenevään tasasivuiseen kolmioon.
Kenguru 2013 Junior sivu 7 / 19 Kuvan perusteella verrattuna, joten. Kuusikulmion ala on kuusinkertainen kolmion EFO alaan josta saadaan. 14. Luokan oppilaat tekivät matematiikan kokeen. Jos jokainen poika olisi saanut kokeesta 3 pistettä enemmän, olisi luokan keskiarvo ollut 1,2 pistettä nykyistä korkeampi. Kuinka monta prosenttia luokan oppilaista on tyttöjä? (A) 20 % (B) 30 % (C) 40 % (D) 60 % (E) mahdotonta tietää Ratkaisu: Olkoon luokassa t tyttöä ja p poikaa. 3 pistettä jokaista poikaa kohti nosti keskiarvoa 1,2 pisteellä, joten. Jakamalla kolmella saadaan poikien osuudeksi, joten tyttöjen osuus on 60 %. 15. Suorakulmion ABCD sivut AB ja CD ovat x-akselin suuntaiset, eikä mikään suorakulmion kärjistä ole y-akselilla. Pisteen A x-koordinaatti on pienempi kuin pisteen B x-koordinaatti, ja pisteen A y-koordinaatti on pienempi kuin pisteen D y-koordinaatti. Millä suorakulmion kärjistä suhde (y-koordinaatti) : (x-koordinaatti) on pienin? (A) A (B) B (C) C (D) D (E) riippuu tilanteesta Ratkaisu: Jos molemmat koordinaatit ovat positiivisia, on koordinaattien suhde sitä pienempi, mitä pienempi y-koordinaatti on ja mitä suurempi x-koordinaatti on. Pienin suhde on tällöin kärjellä B. Jos taas koordinaatit ovat erimerkkiset, on koordinaattien suhde negatiivinen. Tällöin suhde on sitä pienempi, mitä suurempi sen itseisarvo on. Itseisarvo taas on suurimmillaan, kun jaettavan eli y-koordinaatin itseisarvo on suurin ja jakajan eli x-koordinaatin itseisarvo pienin. Esimerkiksi koordinaatiston toisessa neljänneksessä suhde on siis pienin kärjellä C (kuvassa pilkulliset pisteet).
Kenguru 2013 Junior sivu 8 / 19 16. Eilen Karilla ja hänen pojallaan oli molemmilla syntymäpäivä. Tänään Kari kertoo ikänsä poikansa iällä virheettömästi ja saa tulokseksi 2013. Minä vuonna Kari on syntynyt? (A) 1952 (B) 1953 (C) 1981 (D) 1982 (E) mahdotonta tietää Ratkaisu: iät ovat. Luvun 2013 alkulukuhajoitelman perusteella mahdolliset 1 ja 2013 3 ja 11 61 11 ja 3 61 61 ja 3 11 Näistä kolmessa ensimmäisessä toinen ikä on epärealistisen suuri. Viimeinen vaihtoehto on realistinen: isä 61 ja poika 33 vuotta. Kari-isän syntymävuodeksi tulee. 17. Teemu yritti piirtää kaksi tasasivuista kolmiota kiinni toisiinsa, jolloin syntyisi suunnikas, mutta hän ei mitannut kaikkia pituuksia ja kulmia tarkasti. Jälkeenpäin Mari mittasi neljä kulmista oikein (ks. kuva). Mikä kuvion viidestä janasta on pisin? (A) AD (B) AC (C) AB (D) BC (E) BD Ratkaisu:, joten ylempi ja alempi kolmio ovat yhdenmuotoiset. Kolmion pisin sivu on suurimman kulman vastainen ja lyhin sivu pienimmän kulman vastainen. Sivu AB on molemmille kolmiolle yhteinen, ja se on ylemmän kolmion toiseksi pisin sivu ja alemman kolmion lyhin sivu. Siten alempi kolmio on suurempi kuin ylempi. Alemman kolmion pisin sivu on AD, joten se on pisin viidestä janasta.
Kenguru 2013 Junior sivu 9 / 19 18. Kuinka monta sellaista viiden peräkkäisen positiivisen kokonaisluvun joukkoa on olemassa, jolla on ominaisuus kolmella luvuista on yhtä suuri summa kuin lopuilla kahdella? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) yli 3 Ratkaisu: Luvut ovat ja, missä. Vaihtoehdot ovat: 1) (ei mahdollinen, koska ) 2) (ei mahdollinen, koska ) 3) (ei mahdollinen, koska ) 4) (ei mahdollinen, koska ) 5) (ei mahdollinen, koska ) 6) (ei mahdollinen, koska ) 7) ei kelpaa 8) ei kelpaa 9) kelpaa 10) kelpaa Joukkoja on siis kaksi.
Kenguru 2013 Junior sivu 10 / 19 19. Kuinka montaa eri reittiä kuvassa pääsee pisteestä A pisteeseen B? Vain kuvaan merkittyihin suuntiin saa kulkea. (A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 12 (E) 15 Ratkaisu: Kuvan merkinnöillä reitit ovat seuraavat. ACFJB ACFIB ACDIB AEHLB AEHIB AEDIB AGFJB AGFIB AGKJB AGHLB AGHIB AGKLB 20. Kuusinumeroisen luvun numeroiden summa on parillinen ja numeroinen tulo pariton. Mikä seuraavista on totta? (A) Luvun numeroista kaksi tai neljä on parillisia. (B) Kyseistä lukua ei ole olemassa. (C) Parittomia numeroita on luvussa pariton määrä. (D) Luvussa voi olla kuusi eri numeroa. (E) Mikään edellisistä ei pidä paikkaansa.
Kenguru 2013 Junior sivu 11 / 19 Ratkaisu: Koska numeroiden tulo on pariton, on jokaisen numeron oltava pariton. Siten vaihtoehdot A ja C ovat vääriä. Koska kaikki luvun numerot ovat parittomia ja parittomia numeroita on olemassa vain viisi (1, 3, 5, 7 ja 9), ei luvussa voi olla kuutta eri numeroa. Siten vaihtoehto D on väärä. Kyseiseksi luvuksi kelpaa esimerkiksi 111 111 (summa 6, tulo 1), joten vaihtoehto B on väärä. Koska vaihtoehdot A D ovat vääriä, on E oikein. 5 pistettä 21. Kuinka monta desimaalia on luvussa? (A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 1024000 Ratkaisu:. Huomataan, että jne., siis viimeinen numero on ensimmäisissä muotoa olevissa luvuissa 5., joten viimeinen numero on kaikissa muotoa olevissa luvuissa 5, ja jokainen nimittäjässä oleva kakkonen aiheuttaa desimaalilukuun yhden desimaalin lisää. Toisaalta jokainen kymmenellä jakaminen siirtää pilkkua yhdellä vasemmalle, ja koska muotoa olevissa luvuissa kokonaisosa on nolla, aiheuttaa jokainen nimittäjässä oleva luku 10 desimaalilukuun yhden desimaalin lisää. Desimaaleja on siis. 22. Kuinka monta jännettä ympyrään pitää vähintään piirtää, jotta niillä olisi ympyrän sisällä täsmälleen 50 leikkauspistettä? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 Ratkaisu: Leikkauspisteitä saadaan eniten, jos jokainen jänne leikkaa jokaisen muun jänteen (tällöin yhdensuuntaisia jänteitä ei ole) eikä yhdessä pisteessä leikkaa enempää kuin kaksi jännettä. Erisuuntaistenkaan jänteiden ei tarvitse leikata jänteet voidaan piirtää lyhyemmiksi, jos halutaan etteivät ne leikkaa. Siis kun kaikki jänteet piirretään erisuuntaisiksi, niin leikkauspisteiden määrälle saadaan toteutettavissa oleva yläraja, mutta alaraja on nolla riippumatta jänteiden määrästä.
Kenguru 2013 Junior sivu 12 / 19 Jos erisuuntaisia suoria on kpl, niin jokainen suora leikkaa suoraa ja leikkauspisteitä on ( ) kpl. (On jaettava kahdella, jotta ei laskettaisi jokaista leikkauspistettä kahdesti). Yhtälön ( ) positiivinen ratkaisu on alaspäin: ja.. Arvioidaan tätä lukua ylös- ja Siis on piirrettävä vähintään 11 jännettä, jotta leikkauspisteitä saadaan riittävästi; toisaalta aivan jokaisen jänteen ei tarvitse leikata aivan jokaista jännettä. 23. 100 opiskelijaa osallistui matematiikkaolympialaisiin, 50 fysiikkaolympialaisiin ja 48 tietotekniikkaolympialaisiin. Kukin opiskelija täytti kyselylomakkeen, jossa kysyttiin kolme kyllä-ei-kysymystä: osallistuitko 1) ainakin yhteen kilpailuun 2) ainakin kahteen kilpailuun 3) kolmeen kilpailuun. Kyllävastauksia kysymykseen 2 oli 50 % vähemmän kuin kysymykseen 1 ja kysymykseen 3 2/3 vähemmän kuin kysymykseen 1. Kuinka monta opiskelijaa osallistui ainakin yhteen näistä kilpailuista? (A) 100 (B) 108 (C) 124 (D) 150 (E) 198 Ratkaisu: ainakin yhteen osallistui kpl ainakin kahteen osallistui kpl kolmeen osallistui kpl täsmälleen kahteen osallistui täsmälleen yhteen kilpailuun kpl kpl Osallistumisia oli siis yhteensä ja toisaalta. Saadaan yhtälö, josta. 24. Määritellään, että kolmen luvun muutossumma on uusi kolmen luvun joukko, jossa kukin kolmesta luvusta on korvattu kahden muun luvun summalla. Esimerkiksi joukon { } muutossumma on { }, jonka muutossumma puolestaan on { }. Jos aloitetaan joukosta { }, kuinka monta peräkkäistä muutossummaa tarvitaan, jotta saadaan luku 2013 joukon jäseneksi? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) Luku 2013 tulee enemmän kuin yhden kerran. (E) Lukua 2013 ei tule koskaan.
Kenguru 2013 Junior sivu 13 / 19 Ratkaisu: Lasketaan muutamia ensimmäisiä muutossummia : { } { } { } { } { } Näyttäisi siltä, että muutossummaan tulee aina kolme peräkkäistä lukua, joista keskimmäinen on luvun 2 potenssi. Todistetaan, että näin todella on. Joukosta { } saadaan muutossummaksi { } ja siitä edelleen { } eli kolmesta peräkkäisestä luvusta tulee aina kolme peräkkäistä lukua, ja joka toisella kerralla luvut ovat pienimmästä suurimpaan ja joka toisella kerralla suurimmasta pienimpään. Siis jos aloitetaan kolmesta peräkkäisestä luvusta, niin kaikissa seuraavissa muutossummissa on aina kolme peräkkäistä lukua. Koska ensimmäisen joukon keskimmäinen luku on luvun 2 potenssi ja seuraavan muutossumman keskimmäinen luku on edelliseen verrattuna kaksinkertainen, on seuraavassa muutossummassa keskimmäinen luku luvun 2 potenssi, samoin sitä seuraavassa äärettömyyksiin asti. Siis keskimmäinen luku on aina luvun 2 potenssi. Lukua 2013 lähimmät luvun 2 potenssit ovat 1024 ja 2048. 2013 ei ole yhtä suurempi tai yhtä pienempi kuin kumpikaan niistä, joten 2013 ei esiinny missään muutossummassa. 25. Kokonaisluvuilla 1-22 tehdään 11 jakolaskua siten, että jokainen kokonaisluku käytetään yhden kerran. Enintään kuinka monessa näistä jakolaskuista tulos on kokonaisluku? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11 Ratkaisu: Kokonaislukujen 1-22 joukossa ovat luvut 13, 17 ja 19, jotka ovat alkulukuja, joten ne eivät kaikki voi esiintyä jaettavina sellaisissa jakolaskuissa, joissa tulos on kokonaisluku (yksi niistä voi, koska luvulla yksi voidaan jakaa kerran). Lisäksi nuo kolme lukua ovat liian suuria esiintyäkseen jakajina sellaisissa jakolaskuissa, joissa tulos on kokonaisluku (jaettavahan on korkeintaan 22 eli pienempi kuin 2 13, 2 17 ja 2 19). Siten ainakin kaksi luvuista 13, 17 ja 19 tulee jakajaksi tai jaettavaksi jakolaskuun, jonka tulos ei ole kokonaisluku, eli ainakin yksi tällainen jakolasku lasketaan. Siten vastaus on korkeintaan 10. Toisaalta vastaus on vähintään 10, sillä 10 voidaan saada esimerkiksi seuraavilla laskuilla: Viimeiseksi laskuksi jäisi tällöin tai. Koska vastaus on vähintään 10 ja korkeintaan 10, niin vaihtoehto D on oikein.
Kenguru 2013 Junior sivu 14 / 19 26. Kuinka monta sellaista kolmiota on olemassa, jonka kärjet on valittu säännöllisen 13-kulmion kärkien joukosta ja joissa säännöllisen 13-kulmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on kolmion sisäpuolella? (A) 72 (B) 85 (C) 91 (D) 100 (E) muu määrä Ratkaisu: Tutkitaan säännöllistä 13-kulmiota ABCDEFGHIJKLM. Olkoot pisteet N ja O janojen GH ja HI keskipisteet kuvan mukaisesti. Tällöin janojen BO ja AN leikkauspiste on säännöllisen 13- kulmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste P. Jos halutaan piirtää kolmio, jonka kärkien joukossa ovat A ja B ja piste P on kolmion sisällä, niin kolmannen kärjen on oltava pisteestä A katsottuna halkaisijan vasemmalla puolella ja pisteestä B katsottuna halkaisijan oikealla puolella. Ainoa tällainen kolmio on ABH.
Kenguru 2013 Junior sivu 15 / 19 Vastaavasti, jos halutaan piirtää kolmio, jonka kärkien joukossa ovat A ja C ja piste P on kolmion sisällä, niin kolmannen kärjen on oltava pisteestä A katsottuna halkaisijan vasemmalla puolella ja pisteestä C katsottuna halkaisijan oikealla puolella. Tällaisia kolmioita on kaksi, ACH ja ACI. Käyttämällä kahtena kärkenä pisteitä A ja D voidaan vastaavasti piirtää kolmiot ADH, ADI ja ADJ (3 kpl). Käyttämällä kahtena kärkenä pisteitä A ja E voidaan taas piirtää yksi kolmio enemmän kuin edellisessä tapauksessa. Näin saadaan kolmiot AEK, AEJ, AEI ja AEH (4 kpl). Jos kaksi kärkeä on A ja F, saadaan kolmiot AFL, AFK, AFJ, AFI ja AFH (5 kpl).
Kenguru 2013 Junior sivu 16 / 19 Jos kaksi kärkeä on A ja G, saadaan kolmiot AGM, AGL, AGK, AGJ, AGI ja AGH (6 kpl). Jos yksi kärki on A ja toinen kärki valitaan pisteestä A katsottuna halkaisijan vasemmalta puolelta, joudutaan kolmas kärki valitsemaan halkaisijan oikealta puolelta. Tällöin saadaan kolmio, joka on jo laskettu kertaalleen. Siten kaikki kolmiot, joissa A on kärkenä, on jo laskettu. Niitä on kpl. Symmetrian vuoksi jokainen muukin piste kärkenä voidaan piirtää 21 kolmiota. Koska kolmiossa on kolme kärkeä, on kolmioiden kokonaismäärää laskettaessa jaettava kolmella, jottei laskettaisi jokaista kolmiota kolmeen kertaan. Kolmioita on siis yhteensä kpl. 27. Avaruusalus lähti pisteestä A ja lensi suoraan vakionopeudella 50 km/h. Tämän jälkeen joka tunti pisteestä A lähti avaruusalus lentämään suoraan vakionopeudella, ja seuraava avaruusalus oli aina 1 km/h edellistä nopeampi. Viimeinen avaruusalus lähti 50 tuntia ensimmäisen jälkeen nopeudella 100 km/h. Mikä on sen avaruusaluksen nopeus, joka oli kauimpana pisteestä A 100 tuntia ensimmäisen avaruusaluksen lähdön jälkeen? (Kaikki avaruusalukset lensivät hieman eri suuntiin, joten ne eivät voineet törmätä toisiinsa.) (A) 50 km/h (B) 66 km/h (C) 75 km/h (D) 84 km/h (E) 100 km/h Ratkaisu: Numeroidaan avaruusalukset lähtöjärjestyksen mukaan niin, että ensimmäinen avaruusalus on alus numero 0. Nyt n:nnen avaruusaluksen nopeus on 50 (km/h). Aika, jonka :s avaruusalus on lentänyt 100 tuntia ensimmäisen avaruusaluksen lähdön jälkeen on (h). Tällöin n:nnen avaruusaluksen kulkema matka 100 tuntia avaruusaluksen lähdön jälkeen on ( )( ). Matkan lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli (toisen asteen termi ), jonka huipun n-koordinaatti on nollakohtien ja keskiarvo. Siis 26. avaruusalus on nopein (aloitettiin numerosta 0), ja sen nopeus on (km/h). 28. Luvut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ja 10 kirjoitetaan ympyrään mielivaltaiseen järjestykseen. Jos kukin luku lasketaan yhteen naapureidensa (viereisten lukujen) kanssa, saadaan 10 summaa. Mikä on näistä pienimmän summan suurin mahdollinen arvo? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 (E) 18
Kenguru 2013 Junior sivu 17 / 19 Ratkaisu: Pienimmäksi summaksi on mahdollista saada 15 ainakin seuraavasti: Pienimmän summan suurin mahdollinen arvo on siis vähintään 15. Todistetaan, että 15 on myös maksimimäärä. Jos pienin summa olisi 16 tai suurempi, niin kolmen vierekkäisen summa olisi aina vähintään 16. Tällöin lukujen summa olisi kuvan mukaisesti vähintään. Kuitenkin kokonaislukujen 1-10 summa on vain 55, joten pienin summa voi olla korkeintaan 15. Koska pienimmän summan suurin mahdollinen arvo on vähintään 15 ja korkeintaan 15, niin vaihtoehto B on oikein.
Kenguru 2013 Junior sivu 18 / 19 29. 100 puuta (koivuja ja mäntyjä) kasvaa tien varressa samalla puolella tietä. Minkään kahden koivun välissä kasvavien puiden määrä ei ole viisi. Kuinka moni näistä 100 puusta voi korkeintaan olla koivu? (A) 52 (B) 51 (C) 50 (D) 49 (E) 48 Ratkaisu: Kuuden ensimmäisen ja kuuden viimeisen puun joukossa olevat koivut poistavat yhden koivun kuuden puun päästä, kun taas indekseillä varustetut koivut poistavat yhden koivun kuuden puun päästä molemmista suunnista. Koivuja saadaan siis eniten, jos täytetään ensin puurivin molemmat päät koivuilla ja edetään sen jälkeen kaksi puuta kerrallaan molemmista päistä yhtä aikaa laittamalla kyseiset puut koivuiksi, jos mahdollista. Näin saadaan seuraava kuvio (rivin lopussa suluissa indeksin arvo rivin viimeisen puun kohdalla): KKKKKKMMMM (10) 6 koivua MMKKKKKKMM (20) 6 koivua MMMMKKKKKK (30) 6 koivua MMMMMMKKKK (40) 4 koivua KKMMMMMMKK (50) 2 + 2 koivua KKMMMMMMKK (60) 2 + 2 koivua KKKKMMMMMM (70) 4 koivua KKKKKKMMMM (80) 6 koivua MMKKKKKKMM (90) 6 koivua MMMMKKKKKK (100) 6 koivua Koivuja voi siis olla korkeintaan 6 6 + 4 4 = 52.
Kenguru 2013 Junior sivu 19 / 19 30. Olipa kerran kylä, jossa oli vain kahdenlaisia asukkaita: ritareita, jotka puhuvat aina totta, ja kelmejä, jotka valehtelevat aina. Eräänä päivänä kylään tuli tarkastaja. Hän kysyi jokaiselta kylän asukkaalta yhden kysymyksen koskien jotakuta toista kylän asukasta; oliko tuo toinen asukas kelmi vai ritari. Hän ei koskaan kysynyt samasta asukkaasta kahdesti. Sitten hän pidätti jokaisen kelmiksi väitetyn ja lähti kylästä pidätettyjen kanssa. Ne jäljelle jääneet ritarit, joiden vastaukset olivat johtaneet pidätyksiin, hermostuivat ja lähtivät kylästä. Vapaaehtoisesti kylän jättäneiden ritarien määrä oli 1/3 pidätettyjen ritareiden määrästä. Kuinka suuri osa kaikista kylästä tavalla tai toisella lähteneistä asukkaista oli ritareita? (A) 4/7 (B) 2/3 (C) 3/5 (D) 4/9 (E) 5/11 Ratkaisu: Merkitään seuraavasti: Ritarit, jolta kysyttiin ritareista kpl Ritarit, jolta kysyttiin kelmeistä kpl Kelmit, jolta kysyttiin ritareista kpl Kelmit, jolta kysyttiin kelmeistä kpl Ritarit sanoivat kelmien olevan kelmejä ja ritarien ritareita, kun taas kelmit sanoivat ritarien olevan kelmejä ja kelmien ritareita, joten kelmejä pidätettiin kpl ja ritareita kpl. Ritareita poistui vapaaehtoisesti kpl. Kelmien kokonaismäärä on toisaalta (näin monelta kelmiltä kysyttiin) ja toisaalta (näin monesta kelmistä kysyttiin). Siten, josta saadaan. Yhteensä kylästä katosi asukkaita Poistuneiden ritarien osuus oli