L 9 8 Z S I G N A A L I E O R I A O S A I : F O U R I E R - S A R J A Johdo. Siglie luoielu. Alouooje speri j syseeie juussee 5 Fourier-srj 6. Fourier-srj eroie 7. Jsollise sigli syerioiisuude 9.. Prillisuus.. Priouus.. Puolilosyeri.. Neljäsos-losyeri. Fourier-srj osoiiesiys. Fourier-srj soelluus: RC-ihoirpiiri 5.5 Fourier-srj espoeiuoo 9.6 Apliudi- j ihesperi
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I ää erili perusuu irjoihi: Jes W. Nilsso, Sus A. Riedel: Elecric Circuis, Luu 6-7 6 h ediio, Precice Hll ( Sio S. Hyi: A Iroducio o Alog d Digil Couicios, Joh Wiley & Sos (99 Juho Lie: ieoliieeeii. Lueooise, OOL Merili o su eijä sysyllä piää Siglieori urssi pohjl. JOHDANO. SIGNAALIEN LUOKIELU Sigli o ysiroie fuio, jo ulje u iforio. Fuioll o sie ulli jheellä ysiäsieie ro. Jos yseie ro o reliluu, puhu reliroises siglis. Aro oi oll yös oplesiluu, jolloi sigli o oplesiroie. Kussi pusess i o riippuo uuuj j reliroie. ilees riippue sigli oid luoiell eljällä ll:. Jsollisejsoo sigli. Jsolliselle siglille g( o oiss g(g(, issä o i j o joi io. Piei : ro, joll eho o oiss, o fuio g( jso (jsoi. Sigli, jolle eho ei ole oiss illää : roll, o jsoo.. Deeriisisesuise sigli. Deeriisise sigli ro o ueuj iill jheillä. Niille oid irjoi lyyie lusee, jo ull e oid esiää ysiäsieisesi. Suise sigli ro ieyllä jheellä ei oid r eus. ällise sigli oid jell ole ysi äye suures jouos siglej, joiss ulli siglill o o louoos. Kulli jouo siglill o iey esiiyisodeäöisyys. OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I. Eergisigliehosigli: Sähöeiiss j ieoliieeessä sigli edus j fuio uuu ir i jäieä. rsell jäieä u( suse R yli, jo syyää sähöirr i(. susess ulu heellie eho p( sd S:sä uull ll u ( p ( Ri R ( Moleill oill esieyä heellie eho o errollie joo jäiee i irr eliöö. Jos lisäsi RΩ, ähdää eä seä irr eä jäiee ull eholle sd äsällee s esiysp. Meriää ää fuio g(:llä, jolloi sigli heellie eho oid esiää uodoss p(g (. Sigli g( ooiseergi lse iegrli E li g ( d g ( d j sigli esiääräie eho ll P li g ( d g ( d Sigli o eergisigli, jos ooiseergi < E <. Sigli o ehosigli, jos < P <. Sigli ei oi oll yhä i seä eergi- eä ehosigli. Eriyisesi o huo, eä eergisigli esiääräie eho o oll, u s ehosigli ooiseergi o ääreö. Yleesä (u ei ieeää äläää jsollise j suise sigli o ehosiglej, u s deeriisise j jsoo sigli o eergisiglej. Alogise digilise sigli: Alogisell siglill seä sigli pliudi eä i o jui uuuji. Niiä syyy joi fysilise prosessi ulose, esierisi ääiloje osuess irofoii i lo osuess lodiodii i looisipuee. Olip sigli syyeisi iä hs, sigli uue sähöisesi joäsielyä re. Disreeiiie sigli (discree ie sigl o ääriely i ieyillä jheillä. Sigli uodos äyejoo, joss eri jheillä OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I oeu äyee o uiei edellee jui uuuji. Ku disreeiroise sigli äyee isoid j ood, eli iille slli i ieyllä äärellisellä älillä olei disreeejä roj, ulose sd digilie sigli. äähä o ieei se sigli uoo, jo ieooee i äyää! Esieri: suse (RΩ läpi eeä ir o uoo i(. Oo yseessä eergi- i ehosigli? Miä o sigli ooiseergi j esiääräie eho? Kuss o piirrey pää sigli j se eliöä. Sigli oisuu slise olljheesä ääreöä us. Sie E g ( d d eergiiegrli läheee ääreöä, eli eioje erei iegrli ei suppee. ässä o syyä uis, iä ääräy iegrli eidä llioje ielellä roi. Sehä u äyrä j i-seli älii jääää pi-l. ri osiifuio pi-l o oll, i siä seur ääreöä us i-seli suu, os posiiiise j egiiise puolijso uo oises. Kyseessä o sie pisi jsollie sigli, yös ehosigli. Kesiääräie eho lse yhde äyde jso yli: si 8 P g ( d d [ d d ] OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I 5 Esieri: ui fuio g(e -. Sigli ei ole jsollie (jsopiuus o ääreö, se läheee oll u s ohi ääreöä. Fuio j i-seli älii jäää pi-l o uiei äärellie. Kyseessä o sie jsoo eergisigli. Kooiseergi sd iegroill E g e ( d ( e ( d e d. AALOMUOOJEN SPEKRI JA SYSEEMIEN AAJUUSASEE Sähöie louoo o helpoie ähäissä osillosoopi äyöllä. Moesi uiei ise louoo iiospi o se juussisälö eli speri. Siiuooisesi äräheleä fuio si(θ si(fθ o juusuuse peruslio. Siiärähely oo eho esiyy yhdelle juudelle f. ärähely perussuureide älillä o uu yheyde f f issä o jsoi j uljuus. Speri o louodo eie (iegrliuuos, jo uoo riippuu louodo luoees. Jsollise louodo speri oosuu erillisisä opoeeis, joide juude o louodo perusjuude ( oieroj. Ne sd louodo Fourier-srjs. Jsooll louodoll o ju speri. Se o louodo Fourier-uuos. OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I 6 Lierise syseeie juusäyäyyie pluuu sperilyysii. Lähöohd uodos syseei ipulssise, eli louoo, jo syseei uo ysiöipulssiheräeesä. Syseei juusse o ipulssisee Fourier-uuos. Siili syseei ipulssise o iee j sie jsoo. ällie oli. edellise esieri espoeifuio. Kupii sefuio u äydellisesi lierise syseei iuuse ihi hs louooo. rsell esi Fourier-srj j se eroiie lseis. FOURIER-SARJA Moe sähöliee uo jsollisi louooj. Piejuusgeerori uo pisi siilo, yös ilo. Eleroii puolel lieee uisiss, eä siisigli oid ssuu (oo- j puolilossuuus. Siellä o yös ollu iegrori- j derioriyeä iropiirihisiill ehyiä. Iegrori uo oliolo j deriori piiejä. Kii esieri o jsollisi siglej, joill o iey juussisälö. Jsollisill fuioill o oi äyöä uulli ui sähöeiiss. Fysii puolel soellusi o esierisi eie ärähelijä, joho uusuii fysii lroiss, seä esee j läö irusiliö. Ise siss ii Fourier-srj j -uuos, juouu rslises eios Je Bpise Fourier:s (768-8. Hä ui läöjohuis elliss j esii eeelä, joll jsollie fuio esieää su rigooerisisä fuiois: ( ( ( Kooloss. Koliolo Kilo ( ( ( Puoliloss. Koliolo Kilo Miä hs jsollie fuio f( oid esiää ääreöää su hroisi sii- j osiiloj. Kui eri juus o fuio perusjuude ooie oier. f ( [ ] si OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I 7 issä,,, K eroii, j usu Fourier-srj eroiisi j e lse f(:sä. eri o fuio perusuljuus. Perusuljuude ooise oierr,, o fuio hroisi uljuusi. Fourier-srj äyeää siis pprosioi hluu louoo. ää sd iisesi lsell srjlle sopi eroie j sull sie äillä eroiill pioeuj hroisi sii- j osiiloj riiää äärä. Miä eeä srjehielä erejä su oe u, siä prei ehielä s ohee ole louoo. Fourier-srj eroie sd ois. FOURIER-SARJAN KEROIME o o o f ( d f ( d f ( si d issä,,, ilisee srj :e eroie. K huo eriyisesi, eä o sigli f( yhde jso yli lseu esiro. Jäeää äide oje odisie eioille. Kso se sij, ie iiä äyeää. Esieri: Määrieää oheise oliolouodo Fouriersrj eroie. Koiss esiiyä oid li psi. K se se ollsi, jolloi iegrli o lseiss ähä helpoi. ui sigli yhde jso yli ( -> o uoo äähä o uoo yx ole suor yhälö, issä eri o ulerroi. Kerroi sd s ( d d ( OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6 8 ää ulos olisi oi ollu pääeläissä suor louodosi. Sigli esiroh o ässä pusess puole siiros. Seursi lse : Iegroii ei oisu suor äsä uodos. O joo äyeää osiisiegroii i so iegrli sos. Osiisiegroii Ny li -> u j -> ', jolloi Sijoius oll seä ylä- eä lrjll, os si( j si(. Lse jäliäie iegrli: Sijoiusess o äyey yheyä. Lisäsi uise, eä ((! d d u u u ' ' d d si si ( si d [ ] d d si si si
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I 9 Ny o ii ole erroi lseu. Sijoie e Fourier-srj luseeesee, jolloi sd loppuulos ( [ si ] si si si si si... Ohess o esiey (: srjehieläsä,, j 5 esiäise eri su (. Miä eeä erejä srjehielää oe, siä prei su uisu oliolo. äsä esierisä jo ähii, eä eroiie lseisess s ulu hi j upi Sisi ii i, joill lse oid ysieris, o eeä ui ereullei. Edellä osiierie eroie eiä ii ollisi. rsell seursi, ie ulos o yleiseäissä j rsell louodo syeri iuus srj eroiii.. JAKSOLLISEN SIGNAALIN SYMMERIAOMINAISUUDE Jsollisell siglill o oless eri syerioiisuu:. Prillisuus. Priouus. Puolilosyeri OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I. Neljäsos-losyeri.. PARILLISUUS Sigli (yleisesi fuio o prillie, jos f(f(-. Ohess esieri prillises siglis. Se o syerie pysyseli suhee. Fourier-srj eroie o, f ( d f ( d Huo ero luperäisii eroiii! Iegrli edessä ole eroie o sierisi j iegroii ylärj eee : sijs :ee... PARIOMUUS Priolle siglille f(-f(-. Fourier-srj eroie o:, f ( si d Huo, eä ii -eroie, yös esiro, o oll, jos sigli o prio. Jsollise sigli priouus j prillisuus seläsii riippuu j ollohd lis. Jos esierisi ylläole sigli siirreää : err jopup suu, sd siiä prillie... PUOLIAALOSYMMERIA Jsollisell siglill o puolilosyeri, iäli f(-f(-. Suoesi ää roi, eä sigli o puolilosyerie, jos sigli siiräie puole jso err j äääie iseli ypäri (eli ieroii, ulosesi luperäise sigli. Khdes edellisesä us edellie EI ole puolilosyerie, u jäliäie o. OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I Fourier-srj eroiis esiroeri o oll i. Myös ii eroie j o olli prillisille : roille. Aios prio : ro joi olls eriäää:, u prillie f ( d, u prio, u prillie f ( si d, u prio.. NELJÄSOSA-AALOSYMMERIA Sigli o eljäsos-losyerie, jos se o puolilosyerie j se lisäsi syerie posiiiise j egiiise puolijso esiohie suhee. Näisä sigleis sepuoleie o eljäsos-losyerie, u oiepuoleie ei. Jos sigli o eljäsos-losyerie, se oid ehdä joo prillisesi i priosi sopill j ollhee lill. sepuoleie sigli o ässä seläsi prio, u jos siä siirreää : err, se o prillie. Oiepuoleis sigli ei sesij sd illää isiirroll se eepää prillisesi ui priosi. OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I Jos li j ollhei sie, eä sigli o prillie, o Fourier-srj eroie:, u prillie 8 f ( d, u, iill : roill prio Jos li j ollhei sie, eä sigli o prio, o Fourier-srj eroie:, iill : roill 8 f ( si d, u, u prillie prio Jäeää ässäi odisuse j siirryää rsele esieriä. Esieri: Lse oheise sigli Fourier-srj eroie. i( rsell esisi sigli syerioiisuusi. Se o I ii prio. Lisäsi se o seä puoli- eä eljäsoslosyerie. Sie ii -eroie o olli,. Lisäsi : prillisille roille. risee lse ios : I o prio eroie. Riiää rsell äliä ->. ällä älillä ir o uoo i( ole ouse suor. 8 i( si d si d 8 I I si d OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6 Fuio o s uoo ui edellisessä esierissä. Pääsää s osiisiegroi, jee! Ny esiäie sijoius uo oll, os Fourier-srj oid esiää uodoss Oheisess uss o uloseu srjs iide jso iie pää. Suss o u eri 7 si (9 eriä. Jällee ähdää, eä sigli l ähielle uisu oliolo. [ ] I d I si ( [ ] si 8 si si si I I I I... si7 9 si5 5 si 9 si 8 si si 8 (,,5... I I i - -5 5,5,5,5,5,5 5 5,5 6 6,5
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6. FOURIER-SARJAN OSOIINESIYS Fourier-srj sii- j osiieri oid yhdisää yhdesi erisi. Silloi jäieide i iroje hroise juude oid esiää osoiie. ässä li lähöohdsi osiieri. issä A j θ o oplesiluu -j iseisro j iheul. Jos sigli o prillie, o jolloi θ o. Jos sigli o prio, o jolloi θ 9 o. Esieri: Lse oheise sigli Fourier-srj eroie j irjoie srj eljä esiäisä eriä osoiiuodoss. Jäiesigli ( ei ole se eepää prio ui prillie. Syeriioj ei sie oi äyää. Sigli s ioro älillä [,] j o oll lopu jso j. Riiää rsell ios luäliä, joss sigli o olls eriää. Loppuosll ääräy iegrli ro o rsi oll, eihä siellä erry yhää lisää pi-l! ( ( A f θ A j A θ θ rc ( si si si si d si d
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I 5 Kesiro oi pääellä lsei:. Koplesiso -j pisee : roill,,, o j j 5 o j j 9 j j o 5 o Sie jäie ( oid esiää Fourier-srj, jo eljä esiäisä eriä o o o ( ( 5 ( 9 ( 5 o. FOURIER-SARJAN SOELLUUS: RC-AIHOIRAPIIRI rsell oheise u uis RC-ihoirpiiriä ulojäieeä o sigligeeroris s oheise u uie ilo. R g ~ g C o Lse esi ulojäiee Fourier-srjesiys. Ki o ällä jhee ollohd lill prio, lisäsi se o seä puolilo-, eä eljäsos-losyerie. Siis ios : prio eroie joi olls eriäää. OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6 6 Fourier-srjesiys o sie Ki oid siis esiää su srj yeyisä, siilo uois, ihojäieläheisä, joill ulli o o juues j pliudis. Kui lähee osuus sd selille superposiioperieell. Miä hs ysiäise lähee uo odesori yli iu lähöjäiee osoiiesiys o uoo Perusjuude uo jäieosoii o Ku lee iiäjä liioluull, sd yhälö uooo issä d ( ( ( 8 8 si 8... si 7 7 si 5 5 si si si,,5,... g RC j g RC j o C R β rc( RC β
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6 7 ää osoii s isoss jäieä ssi. hroiselle lähöjäieelle sd j Yleisesi :elle hroiselle lähöjäieelle Sie lähöjäiee Fourier-srjesiys o,,5,... ( si( ( RC β K lyyise luseee illo seelle RC-srjpiirissä. Milä se sie h äyää? Ylläole ei ole oi helppoluuie. oid uiei rsell uui erioispusi. Jos odesori psissi C o hyi suuri, eri C o piei oreille hroisille. si( β C R 9 C R RC j o β si( 9 β C R rc( si( RC C R β β
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I 8 RC RC,,5,...,,5,... o si( 9 äsä ähdää, eä hroise juusie pliudi o lähdössä errollie eijää, u ulelle ille oli errollie eijää. oid jell, eä odesori oiosulee piiri oreille hroisille lähdössä eli se esää illo oreide hroise juusie läpieo. Jos C o ii suuri, eä ios perusjuus o eriää, sieeee o : uooo RC Fourier-srjesiys eroo siis eille, eä ässä yeässä hyi suurill psissi roill ilo uuuu siillosi! Eäs u C ->? Kos g jrc eli pieillä juusill odesori joh lähes eseeä j se iuus häiää oo u C. Miä suurepi C, siä eeä piiri äärisää ulosigli. Ku C pieeee, sd yhä eeä ulosigli uisu lähösigli. Ääripuse (C sd s i iä sie syöeiii. Ku iiie i pssiiie piiri uu ulo- j lähösiglie pliudi j ihe, puhu pliudi- j ihesärösä. ässä pliudisärö ileee sie, eä ulo j lähdö hroise juude iee eri lill : fuio. ihesärö äyy siiä, eä ulosigli iheul o i oll, u se lähösigli iheul sd s -rc( RC. g Milä lähöjäie sie äyää u C o ääripäide älissä? Kilo r odesori uoroelle jäieisii j -. sirpiirie puolel uise, eä RCpiiri se äillisee jäiee uuosee o espoeilie. Kille ri sd seesi ouse j lse espoeili, jo OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I 9 s o luuis j puruuis: Lus- j purusjsoill lähöjäie o sd ois o o ( ( e RC e, [ ( ] RC, Oheisess uss o esiey, ie lähöjäie äyäyyy eri C: roill. Koiill o eriy ulojäie, eli piirii syöey i. Nähdää, eä Iso C pieillä C: roill sd louoo, jo eeä i äheä uisu ulojäieä. Ku C s, se l uisu oliolo. Piei C.5 FOURIER-SARJAN EKSPONENIMUOO Fourier-srj oid esiää ielä yhdessä uodoss j f ( C e issä C j f ( e d ää uoo oid joh sii- j osiiesiysesä äyäe hyäsi Euleri uuosoj, joide yleie uoo o x si x j jx jx [ e e ] jx jx [ e e ] OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I Esieri: Lse oheise louodo Fourier-srj eroie äyäe espoeiesiysä. ( Yhde jso i pi-l eryy i i olless "päällä". Riiää sie iegroid älilä - τ -> τ. τ τ τ τ C j τ τ e j d τ j τ jτ ( e e si τ τ j e j Alouoo ( o prillie. Sisi iill : roill, joe C o relie. C : pliudi oud sic-fuio sixx uis ju, iä ähdää, u C irjoie uooo C τ si τ. τ Sic-fuio ulee s ielä use oeesee joss. Lopuli oid irjoi (: espoeiuooie srjehielä uodoss: τ ( si τ e τ j. OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I.6 AMPLIUDI- JA AIHESPEKRI Fourier-srj eroie siis ääriää jsollise sigli oiisuude. Ku iedeää,, j, sigli f( oid uodos ää iedo peruseell - ii eoriss. Ku j o iedoss, ui hroise juude pliudi (A j ihe (φ oid lse. ää iedo peruseell ei uie oid äläää hho, ilä fuio äyää eri jheillä (isoss. Lieee uiei selää, eä ää suuree äysi u jsollise sigli. Sigli äyäyyie j fuio o sie i hdollis lse äisä eroiis, i helppo se ei äläää ole. Jsollise sigli f( Fourier-srj oid esiää grfisesi sie, eä ui hroise juude pliudi j ihe esieää : fuio. ällisess esiysessä edus juu. Kos seä pliudi eä ihe oid lse i disreeeissä piseissä ( oi sd ro,,, puhu iisperisä. iisperi o yypillie jsollise siglie juusuus. Seursi oiosi opi, eä jsoo sigli juussisälö o uodos ju speri. Silloi päädyää Fourier-uuosee, jo rsell urssi loppuosss. Esieri: Lse edellise esieri espoeiesiysee perusu sigli pliudi- j ihesperi. odeii, eä C τ si τ. τ Sijoie hiollisuude uosi luuro 5 j τ5. Silloi yhälö ysierisuu uooo si 5 C. 5 C : iseisro j ihe oid esiää oheisi uji. ässä o esiey C iseisro : roill -5 - > 5. Jos jsoi olisi iedoss, oisi uj piirää suor juude fuio. Apliudisperi siis u sigli juussisälöä. Fuioll o ollohd : roill - 5,, 5, Kos C o relie, iheul joo o i 8 o, riippue siiä, iä eri si(5(5 eri o. OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA I, 8,8,6,, -5 - -5 5 5 6-5 - -5 5 5 OULUN SEUDUN AMMAIKORKEAKOULU EKNIIKAN YKSIKKÖ JUKKA JAUHIAINEN 6