Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin suhteen. Vertailussteemiä kutsutaan koordinaatistoksi ja pisteiden paikat ilmoittavia lukuja koordinaateiksi. Koordinaatistoja muodostetaan sekä kaksiulotteiseen tasoon että kolmiulotteiseen avaruuteen. Pisteen paikan ilmoittavat koordinaatit voivat olla sopivasti valittuja etäisksiä, kulmia tai joitakin muita vastaavia suureita. Tasotapauksessa koordinaatteja tarvitaan kaksi, avaruustapauksessa kolme. Niiden lukumäärää kutsutaan dimensioksi eli ulotteisuudeksi; tason dimensio on siten 2, avaruuden 3. Yleisimmin kätett koordinaatisto on ns. suorakulmainen koordinaatisto, tasossa -koordinaatisto, avaruudessa -koordinaatisto. Koordinaatisto voidaan kuitenkin muodostaa monella muullakin tavalla. Probleeman luonteesta, esimerkiksi tilanteen smmetrioista riippuu, millaisen koordinaatiston kättö on ksinkertaisinta. Tason ja avaruuden ohella koordinaatisto voidaan muodostaa mös ksiulotteiselle suoralle. Yksinkertaisin tapa on kiinnittää jokin suoran piste ja ilmoittaa pisteiden paikat etäisksinä tästä pisteestä, toiseen suuntaan positiivisina, toiseen negatiivisina. Kseessä on itse asiassa lukusuora. geometrinen probleema piste lukusuora
Koordinaatistot 2/6 Sisältö Suorakulmainen koordinaatisto tasossa Tason suorakulmainen koordinaatisto muodostetaan valitsemalla jokin piste origoksi ja asettamalla tämän kautta kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa suoraa koordinaattiakseleiksi. Suorille valitaan positiiviset suunnat ja niitä kutsutaan - ja -akseleiksi. Nimitkset valitaan leensä siten, että kierrettäessä positiiviselta - akselilta lähtien origon mpäri vastapäivään 90 astetta päädtään positiiviselle -akselille. Tätä kutsutaan mös positiiviseksi kiertosuunnaksi. Pisteen paikka ilmoitetaan kahtena koordinaattina: -koordinaatti on kohtisuora etäiss -akselista ja -koordinaatti kohtisuora etäiss -akselista. - koordinaatti on positiivinen, jos piste sijaitsee positiivisen -akselin puolella -akselia, vastakkaisella puolella negatiivinen. Vastaava pätee -koordinaatille. kiertosuunta (positiivinen) ( 0, 0 ) 0 0
Koordinaatistot 3/6 Sisältö Suorakulmainen koordinaatisto avaruudessa Avaruuden suorakulmainen koordinaatisto muodostetaan samaan tapaan kuin tasokoordinaatisto. Koordinaattiakseleita on tällöin kolme, kaikki toisiaan vastaan kohtisuoria. Voidaan ajatella, että tason -koordinaatistoa tädennetään asettamalla origon kautta sekä - että -akselia vastaan kohtisuora -akseli. Tämän positiivisen suunnan valitsemiseen on kaksi mahdollisuutta ja se valitaan leensä siten, että -akselin, -akselin ja -akselin (tässä järjestksessä) positiiviset suunnat suhtautuvat siten kuin ihmisen oikean käden peukalo, etusormi ja keskisormi suorakulmaisiksi ojennettuina. Tällöin puhutaan oikeakätisestä kooordinaatistosta, mikä on tason positiivisen kiertosuunnan vastine avaruudessa. Koordinaattiakseleiden määräämät tasot ovat koordinaattitasoja: -taso, taso ja -taso. Pisteen paikka ilmoitetaan kolmena positiivisena tai negatiivisena koordinaattina samaan tapaan kuin tasossa: -koordinaatti on kohtisuora etäiss (positiivisena tai negatiivisena) -tasosta, -koordinaatti -tasosta ja -koordinaatti -tasosta. 0 ( 0, 0, 0 ) 0 0
Koordinaatistot 4/6 Sisältö Tason napakoordinaatisto Tason napakoordinaatistossa pisteen paikka ilmoitetaan antamalla sen etäiss r origosta ja suuntakulma eli napakulma ϕ positiiviseen -akseliin nähden. Napakulma mitataan positiivisena positiiviseen kiertosuuntaan. Koordinaattien sallitut arvot ovat r 0, π < ϕ π. Kulmalle kätetään usein mös väliä 0 ϕ<2πja sille voidaan tarpeen mukaan sallia arvoja, jotka sisältävät jakson 2π monikertoja. kiertosuunta (positiivinen) (, ) r sin ϕ r ϕ r cos ϕ Napakoordinaattien ja suorakulmaisten koordinaattien välinen htes on { { = r cos ϕ r = 2 + sekä 2. = r sin ϕ ϕ = arctan(/) On huomattava, että funktiosta arctan ei välttämättä kätetä päähaaraa, koska tällöin saataisiin vain välillä [ π/2,π/2] olevia napakulmia. Tarvittaessa päähaarasta saatuun arvoon on lisättävä tai siitä on vähennettävä π (jolloin itse asiassa kätetään sopivaa sivuhaaraa); miten milloinkin on meneteltävä, nähdään helpoimmin päättelemällä oikea koordinaatiston neljännes koordinaattien ja merkeistä. Esimerkiksi: Jos pisteen suorakulmaiset koordinaatit ovat = 1, = 3, ovat sen napakoordinaatit r =2,ϕ=2π/3. ( 1, 3) 2 sini kosini arcus-funktio päähaara (arcus) sivuhaara (arcus) muistikolmio muistikolmio 2 2π 3 1 1 Kompleksilukujen napakoordinaattiesits perustuu edellä kuvattujen napakoordinaattien kättöön. napakoordinaatit (kompleksitason)
Koordinaatistot 5/6 Sisältö Lieriökoordinaatit Kolmiulotteisen avaruuden lieriökoordinaatit eli slinterikoordinaatit saadaan kättämällä -tason osalta napakoordinaatteja r, ϕ ja ottamalla -koordinaatti kolmanneksi koordinaatiksi. Lieriökoordinaatit saavat siten arvot r 0, π < ϕ π, R. lieriö (,, ) r cos ϕ ϕ r r sin ϕ Lieriökoordinaattien ja suorakulmaisten -koordinaattien väliset htedet ovat seuraavat: = r cos ϕ = r sin ϕ = ; r = 2 + 2 ϕ = arctan(/) =. sini kosini arcus-funktio Tässä on arctan-funktiosta kätettävä sopivaa haaraa samoin kuin napakoordinaattien tapauksessa.
Koordinaatistot 6/6 Sisältö Pallokoordinaatit Kolmiulotteisen avaruuden pallokoordinaatit vastaavat paikan ilmoittamista pallon säteen sekä maantieteellisen pituuden ja leveden avulla: r 0 on pisteen etäiss origosta, ts. sen origokeskisen pallon säde, jolla piste sijaitsee; π <ϕ πpisteen pituus vastaten -tason napakulmaa; π/2 ϑ π/2 pisteen leves, so. origon ja pisteen hdsjanan kaltevuuskulma -tasoon nähden. pallo r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ ϕ r ϑ (,, ) r cos ϑ sin ϕ Pallokoordinaattien ja -koordinaattien väliset htedet ovat seuraavat: r = 2 + 2 + 2 = r cos ϑ cos ϕ = r cos ϑ sin ϕ = r sin ϑ ; ϕ = arctan(/) ϑ =arcsin. 2 + 2 + 2 Kulmaa ϕ laskettaessa on funktiosta arctan kätettävä sopivaa haaraa kuten lieriökoordinaattien ja tason napakoordinaattien tapauksessa. Funktiosta arcsin sen sijaan kätetään aina päähaaraa kulman ϑ lausekkeessa. Edellä määriteltihin pallokoordinaatteihin viitataan toisinaan maantieteellisinä pallokoordinaatteina. Varsinkin fsiikassa kätetään mös hieman toisella tavoin määriteltjä, ns. fsikaalisia pallokoordinaatteja. Tällöin kulma ϑ korvataan kulmalla, joka ilmoittaa pisteen kaarietäisden positiivisesta -akselista. Jos fsikaalisten pallokoordinaattien kulmaa merkitään ϑ, on siis ϑ = π/2 ϑ ja 0 ϑ π. Edellä oleviin vastaavuuskaavoihin tulee vähäisiä muutoksia. sini kosini arcus-funktio päähaara (arcus)