Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h πr h π 8 9 580,79 5 800 (cm ) 5 800 cm 5,8 dm 7. Suoran ympyrälieriön muotoisen sadevesitynnyrin korkeus on 85 cm ja pohjan halkaisija 5 cm. r d 5 6 (cm) Sadevettä mahtuu tynnyriin A p h πr h π 6 85 180 515,91 180 000 (cm ). 180 000 cm 180 dm 180 l Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14
8. Kuution särmän pituus on x. a) x 140 x 140 x 5,19 5, (cm) b) 4,00 l 4,00 dm x 4,00 x 4, 00 x 1,5874 1,59 (dm) 1,59 dm 15,9 cm 9. Puutukin halkaisija on 8 cm ja pituus 5, m 50 cm. 1 dm puuta painaa 0,6 kg. r d 8 14 (cm) Puutukin tilavuus on A p h πr h π 14 50 0 191,1 0 191 (cm ). 0 191 cm 0,191 dm Tukin massa on 0,191 0,6 19,11 190 (kg). 0. Suorakulmaisen särmiön muotoisen pahvilaatikon pituus on 4 cm ja leveys 7 cm. Laatikon tilavuus on 50 litraa. 50 l 50 dm 50 000 cm a b c 4 7 c 50 000 1554c 50 000 : 1 554 c,17 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15
1. Suoran ympyrälieriön muotoisen juomalasin pohjan halkaisija on 7,0 cm. Lasin korkeus on 1,0 cm. Lasiin kaadetaan,0 dl mehua. r d 7,0,5 (cm) Mehun tilavuus on,0 dl 0, l 0, dm 00 cm. Lasketaan mehun korkeus lasissa. A p h πr h π,5 h 00 1,5πh 00 : 1,5π h 5,1968 5,0 (cm) Pinta jää lasin yläreunasta 1,0 5,0 6,8 (cm).. a) vaipan ala A v πd h π 1 0 75,98 750 (cm ) 750 cm 7,5 dm b) r d 1 6 (cm) pohjan ala A p πr π 6 11,097 11,10 (cm ) kokonaispinta-ala A A v + A p 75,98 + 11,10 980,18 980 (cm ) 980 cm 9,8 dm. Etiketin korkeus on h 1, 0,5 1,7 (cm). Etiketin pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16
A v πd h π 7,4 1,7 95,4 00 (cm ). 00 cm,0 dm 4. A4-arkin mitat ovat 1,0 x 9,7 cm. Lasketaan ensin lieriön pohjan säde. p πd πr πr 9,7 : π r 4,76901... 4,769 (cm) Lieriön tilavuus on A p h πr h π 4,769 1,0 1 474,08 1 470 (cm ). 1 470 cm 1,47 dm 5. Suklaapakkaus on säännöllinen kolmiopohjainen särmiö. Pohjasärmän pituus on 5,9 cm ja korkeus 0, cm. Särmiön vaipan ala on A v p h 5,9 0, 56,1 540 (cm ). Lasketaan päätykolmion korkeus x. Se saadaan Pyhtagoraan lauseen avulla. 5,9,95 (cm) x +,95 5,9 x 6,1075 x ± 6,1075 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5,10954 5,110 (cm) Päätykolmion pinta-ala: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17
A p 5,9 5,110 15,074... 15,1(cm ) Pakkaukseen tarvitaan pahvia: A A v + A p 56,1 + 15,1 566, 570 (cm ) 570 cm 5,7 dm 6. Kuutio, jonka särmän pituus on 4,0 cm. 7. Suorakulmaisen särmiön pituus on 4,0 cm, leveys,0 cm ja korkeus,0 cm. Laske särmiön avaruuslävistäjän pituus. Pohjatahkon lävistäjä: x 4,0 +,0 x 5 x ± 5 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5,0 (cm) Avaruuslävistäjä: y,0 + 5,0 y 9 x ± 9 ain positiivinen juuri kelpaa. x 5,85 5,4 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 18
8. Suorakulmaisen särmiön särmien pituuksien suhde on a : b : c 1 : : 5. Särmiön tilavuus on,50 l,50 dm. Merkitään lyhyimmän sivun pituutta a:lla. Muiden sivujen pituudet ovat a ja 5a. Tilavuudelle saadaan yhtälö, josta ratkaistaan a. a a 5a,50 10a,50 : 10 a 0,5 a 0, 5 a 0,6996 0,6 (dm) 0,6 dm 6, cm a 6, cm b a 6,996 1,599 1,6 cm c 5a 5 6,996 1,498 1,5 cm 9. Pellistä halutaan valmistaa puolen litran vetoinen suoran ympyrälieriön muotoinen mitta-astia, jonka korkeus on h 1 cm. 0,5 l 0,5 dm 500 cm Ympyrälieriön tilavuus on πr 1 500 A h πr h. p : 1π 500 r 1π Halkaisijan pituus on 500 r ± ain positiivinen juuri kelpaa. 1π r,6418,64 (cm) d r,64 7,8 7, (cm). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 19
40. Suoran ympyrälieriön korkeus on 8 ja pohjan halkaisija 6. r d 6 aipan ala: A v πd h π 6 8 48π Pohjan ala: A p πr π 9π Kokonaispinta-ala: A A v + A p 48π + 9π 66π 41. Tulitikkulaatikon mitat ovat 5, x,5 x 0,8 cm. a) Laatikon tilavuus on 5,,5 0,8 14,56 15 (cm ). b) Laatikon kokonaispinta-ala on A kok 0,8,5 + 0,8 5, + 5,,5 50, 50 (cm ). 4. 4. Suoran ympyrälieriön muotoisen saavin korkeus on 7 cm ja pohjan halkaisija 64 cm. Pyry täyttää saavin 8 litran vesiämpäreillä. 64 r d (cm) A p h πr h π 7 4 840,4 5 000 (cm ) 5 000 cm 5 dm 5 l Saaviin mahtuu Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 140
5 8 9,75 9 ämpärillistä. 44. Kuution tilavuus on 45 cm. a) Kuution särmän pituus: x 45 x 45 x,55689,6 (cm) b) Kuution kokonaispinta-ala: A kok 6x 6,557 75,91 76 (cm ) 45. Tiilen tiheys on 1,6 g/cm. Tiilen tilavuus on 7,5 1,0 7,0 6,5 (cm ). Tiilen massa on tilavuus kertaa tiheys. 6,5 1,6 4 1 4 00 (g). 4 00 g 4, kg 46. Saunan pata on muodoltaan suora ympyrälieriö, jonka pohjan halkaisija on 70 cm. Padan tilavuus on 00 litraa 00 dm 00 000 cm. r d 70 5 (cm) A p h πr h π 5 h 00 000 15πh 00 000 : 15π h 51,9689 5 (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 141
47. Suklaapakkaus on säännöllinen kolmiopohjainen särmiö, jonka korkeus on 0,8 cm ja pohjasärmän pituus on,6 cm. Lasketaan päätykolmion korkeus x Pythagoraan lauseen avulla.,6 1,8 (cm) x + 1,8,6 x 9,7 x ± 9,7 ain positiivinen juuri kelpaa. x,1176,118 (cm) Päätykolmion pinta-ala: A p,6,118 5,614 (cm ) Pakkauksen tilavuus on A p h 5,614 0,8 116,779 10 (cm ) 10 cm 1, dl. 48. Metrin mittaisen teräsputken ulkohalkaisija on 6,0 cm ja sisähalkaisija 5,0 cm. Teräksen tiheys on 7,8 g/cm. u πr h π 100 900π s πr h π,5 100 65π u s 900π 65π 75π Putken massa on tiheys kertaa tilavuus. m 7,8 75π 6 78,71 6 700 (g) 6 700 g 6,7 kg. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14
49. Kasvihuone on muodoltaan suora lieriö, jonka pohjat (päädyt) ovat puoliympyröitä. Kasvihuoneen korkeus on,0 m ja pituus 8,5 m. a) Kasvihuoneen tilavuus. A p πr π,0 6,81... 6,8 (m ) A p h 6,8 8,5 5,8 5 (m ) b) Kasvihuoneen seinät ja katto ovat läpinäkyvää ohutta muovia. Muovin hinta on rakentamisen aikana ollut 1,80 /m. Katon ala on πrh π,0 8,5 A 5,4070... 5,41(m v ). Seinän ala on A p πr π,0 1,566... 1,57 (m ) Kokonaisala on A kok A v + A p 5,41 + 1,57 65,98 (m ). Muovi maksaa 65,98 1,80 118,64 10 ( ). 50. Suorakulmaisen särmiön muotoisen laatikon mitat ovat 5 x 5 x 45 cm. Pisin putki mahtuu avaruuslävistäjälle. Pohjatahkon lävistäjä: x 5 + 5 x 1850 x ± 1850 ain positiivinen juuri kelpaa. x 4,01 4 (cm) Avaruuslävistäjä: y 4,01 + 45 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 14
y 874 y ± 874 ain positiivinen juuri kelpaa. y 6,4 6 (cm) Laatikkoon mahtuu 6 cm pitkä putki. 51. Neliöpohjaisen suorakulmaisen särmiön pohjaneliön sivun pituus on kolmasosa särmiön korkeudesta. Särmiön tilavuus on tasan 1 m. Särmiön pohjaneliön sivun pituus saadaan tilavuuden avulla. x x x 1 x 1 : x 1 1 x x 0,696 0,69 (m) 0,69 m 69 cm Korkeus on x 0,69,079,08 (m).,08 m 08 cm. Pohjaneliön sivun pituus on 69 cm ja särmiön korkeus 08 cm. 5. Suoran ympyrälieriön korkeus ja pohjan halkaisija ovat molemmat r. Lieriö on pakattu mahdollisimman pieneen kuution muotoiseen pakkaukseen. a) Kuution sivun pituus on r. Kuution tilavuus on k (r) 8r. Lieriön pohjan säteen pituus on r ja lieriön korkeus r. Lieriön tilavuus on l πr h πr r πr. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 144
b) Lieriön tilavuus on kuution tilavuudesta πr π 0,78598... 78,54 %. 8r 4 Tyhjää tilaa jää 100 % 78,54 % 1,46 % 1 %. Kartio 5. a) Ap h 50 9,0 150 (cm ) b) Ap h 00 914 9,... 90 (cm ) 54. a) Pohjaneliön ala on A p 8,0 8,0 64 (cm ). Ap h 64 1,0 77,... 80 (cm ) b) Tilavuus on A p h πr h π 5, 7,8 0,86... 0 (cm ). 55. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin korkeus on 9, cm ja pohjasärmän pituus 10,0 cm. Pohjaneliön ala on A p 10,0 10,0 100 (cm ). 9, Ap h 100 9, 06,66... 10 (cm ) 10,0 56. Pyramidin korkeus saadaan Pythagoraan lauseella. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 145
h +,0 7,5 h + 9 56,5 9 h 47,5 x ± 47,5 ain positiivinen juuri kelpaa. x 6,87 6,9 (cm) h,0 7,5 57. Suoran ympyräkartion muotoisen jäätelötuutin korkeus on 14,7 cm ja suuaukon halkaisija 6,0 cm. Tilavuus on A p h π,0 14,7 18,54... 140 (cm ). 140 cm 0,140 dm 0,140 l 1,4 dl 58. Suoran ympyräkartion pohjaympyrän halkaisija on 5, cm ja sivujanan pituus 7,5 cm. Ympyräkartion korkeus saadaan Pythagoraan lauseella. h +,6 7,5 h + 6,76 56,5 6,76 h 49,49 h ± 49,49 ain positiivinen juuri kelpaa. h 7,0491 7,049 (cm) Tilavuus on A p h πr h π,6 7,049 49,800... 50 (cm ). h 7,5,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 146
59. a) Pyramidin vaipan ala on A v 4 1 (cm ). b) Suoran ympyräkartion vaipan ala on A v πrs π 0,9,8 7,916 7,9 (m ). 60. Suoran ympyräkartion muotoisen hatun sivujanan pituus on 5 cm ja pohjaympyrän halkaisija 16 cm. Suoran ympyräkartion vaipan ala on A v πrs π 8 5 68,1 60 (cm ). appuhattuun tarvitaan pahvia 60 cm 6, dm. 61. Lasten lelulinnan tornin katto on säännöllinen neliöpohjainen pyramidi, jonka korkeus on 8,0 cm ja pohjasärmän pituus 15,6 cm. x 7,8 + 8,0 x 14,84 x ± 14,84 ain positiivinen juuri kelpaa. x 11,1718 11,17(cm) Katon pinta-ala on pyramidin vaipan ala: 8,0 x A v 11,17 15,6 4 48,5976 50 (cm ) 7,8 50 cm,5 dm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 147
6. Ympyrän sektorin säde on 10,0 cm ja keskuskulman suuruus 150 o. Sektori kääritään suoran ympyräkartion vaipaksi. Sektorin kaaren pituus on b α 150o o πr o π 10 6,17998... 6,1799 (cm). 60 60 Pohjaympyrän kehän pituus on sektorin kaaren pituinen. πr 6,1799 : π r 4,1666 (cm) Halkaisija on d r 4,1667 8,4 8, (cm). 6. Kheopsin pyramidi rakennettiin säännölliseksi neliöpohjaiseksi pyramidiksi. Pyramidin pohjasärmän pituus oli 0 m ja pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma 5 o. a) Pyramidin korkeus on nykyään 19 m. Lasketaan alkuperäinen korkeus. o tan 5 115 tan5 o h h 115 115 h 115 tan5 o h 147,19 147,19 (m) Pyramidi on madaltunut h 147,19 19 8,19 8, (m). 5 o 115 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 148
b) Pyramidin rakennusaineena käytetyn kiven tiheys on 700 kg/m. Pyramidin tilavuus on Ap h 0 0 147,19 595 450,... 595 450 (cm ). Alkuperäinen massa on m 595 450 700 7 007 715 000 7 000 000 000 (kg). 64. Suoran ympyräkartion korkeus on 18,0 cm ja pohjaympyrän halkaisija 10,8 cm. Kartion vaippana oleva ympyrän sektori levitetään tasoon. Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πr πd 10,8π Sektorin säde on kartion sivujanan s pituus. s 18,0 + 5,4 s 5,16 18 s 5,4 s ± 5,16 ain positiivinen juuri kelpaa. s 18,79 18,8 (cm) α Sektorin keskuskulman suuruus saadaan kaaren pituuden b π r avulla. 60 o α π 18,79 10,8π 60 60 o 7,58απ 888π : π 7,58α 888 : 7,58 α 10,45 10 65. Yhdenmuotoisista kolmioista saadaan muodostettua verranto. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 149
h 10 h + 4 8 Kerrotaan ristiin. 8h 10(h + 4) 8h 10h + 40 10h 18h 40 : 18 h 1, 1, (m) Kokonaisen pyramidin tilavuus: kok A p h 8 8 (4 +1,) 9 755,57... 9 755,57 (m ). Pyramidin yläosan tilavuus: y Ap h 10 10 1, 444,... 444, (m ). Katkaistun pyramidin tilavuus on 9 755,57 444, 9 11,4 9 00 (m ). 66. Suoran ympyräkartion muotoisen kuohuviinilasin korkeus on 1,4 cm ja suuaukon halkaisija 6,0 cm. Lasiin kaadetaan 8 cl kuohuviiniä. 6,0 1 8 cl 0,08 l 0,08 dm 80 cm Lasin tilavuus on πr h π,0 1,4 116,867... 116,86 (cm ). h 1,4 Yhdenmuotoisten kappaleiden tilavuuksien suhde on kappaleiden mittakaavan kuutio (kolmas potenssi). 1 h 1,4 80 h 116,86 1,4 Kerrotaan ristiin. 116,86h 80 1,4 :116,86 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 150
h 80 1,4 116,86 h 105,6 h 105, 6 h 10,985 10,9 iinin pinta jää lasin reunan alapuolelle 1,4 10,9 1,47 1,5 (cm). 67. Muurahaiskeko on kartio, jonka korkeus on h 45 cm 4,5 dm ja pohjan pinta ala A p 5 dm. Keon tilavuus on y Ap h 5 4,5 7,5 8 (dm ). 68. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin korkeus on 17,0 cm ja pohjasärmän pituus 11,5 cm. Pyramidin tilavuus on y Ap h 11,5 11,5 17,0 749,41... 749 (cm ). 69. Pastillien perheen isän 50-vuotisjuhlien 0 vierasta juovat tervetuliaisjuoman. Lasin tilavuus on πr h π 4,1 10,0 176,0... 176 (cm ) 176 cm 0,176 dm. 0 henkilölle juomaa tarvitaan 0 0,176 dm 5,8 dm 5, l. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 151
70. Suoran ympyräkartion sivujanan pituus on 16,0 cm ja pohjan halkaisija 9,0 cm. a) aipan ala on A v πrs π 4,5 16,0 6,19 0 (cm ). 0 cm, dm b) Lasketaan kartion korkeus. h 16,0 h + 4,5 16,0 h + 0,5 56 0,5 4,5 h 5,75 h ± 5,75 ain positiivinen juuri kelpaa. h 15,541 15,5 (cm) Tilavuus on πr h π 4,5 15,5 5,5... 0 (cm ). 71. Mykerinoksen pyramidi Egyptin Gizassa oli alun perin säännöllinen neliöpohjainen pyramidi, jonka korkeus oli 65,5 m ja pohjasärmän pituus 10 m. Rakennusaineena käytetyn kiviaineksen tiheys on 700 kg/m. Pyramidin tilavuus on y Ap h 10 10 65,5 169,8... 160 (m ). Massa saadaan, kun tilavuus kerrotaan tiheydellä. m 1 60 700 6 54 010 000 6 00 000 000 (kg) 7. Suoran pyramidin muotoisen teltan pohja on säännöllinen kuusikulmio, jonka sivun pituus on 1,70 m. Teltan korkeus on 1,80 m. h 1,70 0,85 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15
Pohjan kuusikulmio koostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta. Lasketaan kolmion korkeus. h + 0,85 1,7 h + 0,75,89 0,75 h,1675 h ±,1675 ain positiivinen juuri kelpaa. h 1,47 (m) Pohjan pinta-ala on A p 1,70 1,47 6 7,518 (m ). Teltan tilavuus on y A p h 7,518 1,80 4,508... 4,51 (m ). 7. Kuvan lampunvarjostin on katkaistun suoran ympyräkartion vaippa. s 5 6 6 Yhdenmuotoisten kolmioiden perusteella: s 6 + s 5 6 Kerrotaan ristiin. 6s 5 (6 + s) 6s 650 + 5s 5s 11s 650 : 11 s 59,0909 59,09 (cm) aipan ala: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 15
A v πrs Puuttuvan yläosan vaipan ala: A vy π 1,5 59,09 0,46 Koko kartion vaipan ala: s 59,09 + 6 85,09 (cm) A vkok π 18 85,09 4811,7 arjostimen pinta-ala on 4811,7 0,46 491,7 500 (cm ). 500 cm 5 dm 74. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin muotoisen pakkauksen tilavuus on puoli litraa. Pakkauksen pohjasärmän pituus on 1,0 cm. 0,5 l 0,5 dm 500 cm A p h 1,0 1,0 h 500 144h 1 500 : 144 h 10,4166 10,4 (cm) 75. Ympyrän sektorin säde on s 1,0 cm ja keskuskulma 14 o. Sektorista kääritään vaippa suoralle ympyräkartiolle. Sektorin kaari on o α 14 b π r π 1,0 5,0457... 5,05 (cm). o o 60 60 a) Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πd : π b d π Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 154
Pohjan halkaisija on 5,05 d 16,568... 16,6 (cm). π b) Lasketaan kartion korkeus. h + 8, 1,0 h + 68,89 441 68,89 h 7,11 h ± 7,11 ain positiivinen juuri kelpaa. h 19,901 19,9 (cm) Ympyräkartion tilavuus on h 8, 1,0 πr h π 8, 19,9 1 91,60... 1 90 (cm ) 1 90 cm 1,9 dm 76. Kuution sisään asetetaan tilavuudeltaan mahdollisimman suuri suora ympyräkartio, jonka pohja on särmiön pohjalla. Kuution tilavuus: kuutio (r) 8r Kartion tilavuus: kartio πr r πr Kartion tilavuus on kuution tilavuudesta πr : 8r πr 1 8r (r, π 0,617... 6 %. 1 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 155
Pallo 77. Pallon säde on r 6,1 cm. a) Pallon tilavuus on 4 πr 4π 6,1 950,77... 950 (cm ). b) Pallon pinta-ala on A 4πr 4π 6,1 467,59 470 (cm ). 78. Jalkapallon sisähalkaisija on cm. r d 11(cm) Jalkapallon tilavuus on 4πr 4π 11 5 575,7... 5 600 (cm ). Jalkapalloon mahtuu ilmaa 5 600 cm 5,6 dm 5,6 l. 79. Puolipallon muotoisen lasimaljan suuaukon halkaisija on 5,0 cm. r d 5 1,5 (cm) Puolipallon pinta-ala on puolet pallon pinta-alasta. 1 A 4πr 4π 1,5 1 98 cm 9,8 dm 981,74... 98 (cm ) 80. Makeistehtaassa valmistetaan pallon muotoisia marmeladimakeisia, joiden halkaisija on,0 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 156
r d,0 1,5 (cm) Yhden makeisen tilavuus on πr 4π 1,5 4 14,171... 14,14 (cm ). iiden litran marmeladiannoksesta saadaan makeisia: 5 dm 5 000 cm 5 000 14,14 5,6 50 (kpl). 81. Pallon tilavuus on tasan 1 litra 1 dm 1 000 cm. πr 4 4π r 1 000 4πr 000 : 4π r 000 4π r 000 4π r 6,050 6,04 (cm) Halkaisija on d r 6,04 1,408 1,4 (cm). 8. Pallon pinta-ala on,4 dm. A 4πr 4πr,4 : 4π,4 r 4π r ±,4 4π ain positiivinen juuri kelpaa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 157
r 0,50157 0,50 (dm) Pallon tilavuus on πr 4π 0,50 4 0,5896... 0,59 (dm ) 0,59 dm 590 cm 8. Suoran ympyräkartion muotoisen jäätelötuutin suuaukon halkaisija on 5,0 cm ja korkeus 14,0 cm. Tuutin sisus on täynnä jäätelöä ja lisäksi suuaukon yläpuolella on puolipallon muotoinen jäätelökerros, jonka halkaisija on sama kuin suuaukon halkaisija. Ympyräkartion tilavuus on πr h π,5 14,0 91,69785... 91,697(cm ). Puolipallon tilavuus on puolet pallon tilavuudesta. 4πr : 4π,5 Jäätelöä on tuutissa :,749...,749 (cm ) 91,697 +,749 14,546 10 (cm ) 10 cm 0,10 dm 0,10 l 1, dl. 84. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. Lasketaan maapallon säde R. πr 40 000 : π 40 000 R π R 6 66,1977 6 66,198 (km) Lasketaan maapallon 64 asteen leveyspiirin säde r. cos64 o r 6 66,198 6 66,198 r 6 66,198 cos64 o Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 158
r 790,758 (km) Maapallon 64 asteen leveyspiirin pituus on p πr π 790,758 17 54 17 500 (km). 85. Pallon muotoisen kivisen patsaan massa on 1850 kg. Kiven tiheys on 700 kg/m. Lasketaan patsaan tilavuus. Se saadaan, kun massa jaetaan tiheydellä. 1 850 700 0,685185... 0,6851(m ) Lasketaan pallon muotoisen patsaan säde. πr 4 4π r 0,6851 4πr,055 : 4π,055 r 4π r,055 4π r 0,546875 0,5468 (m) Patsaan levein kohta on πr π 0,5468,46,44 (m),44 m 44 cm. Pyryn ja Piin välimatka, kun he pitävät toisiaan molemmista käsistä kiinni, on 175 + 160 5 (cm), joten patsas ei mahdu heidän väliinsä. 86. Pallo on pakattu mahdollisimman pieneen kuution muotoiseen pakkaukseen. Merkitään pallon sädettä r:llä. Kuution särmän pituus on r. Kuution tilavuus: Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 159
kuutio (r) 8r Pallon tilavuus: kartio πr 4 Pallon tilavuus on kuution tilavuudesta 4πr : 8r 4πr 1 8r π 6 Tyhjää tilaa on 100 % 5,6 % 47,64 48 %. 0,5598... 5,6 %. 87. Englannin kanaalin ali Englannista Ranskaan kulkeva Kanaalitunneli kulkee Englannin Folkestonesta Ranskan Coquellesiin. Tunnelin pituus on 50,45 km, josta veden alla on 7,9 km. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. Lasketaan maapallon säde R. πr 40 000 : π 40 000 R π R 6 66,1977 6 66,198 (km) Lasketaan x. 50,45 5,5 (km) x + 5,5 666,198 5,5 x 40 57 840,67 x ± 40 57 840,67 ain positiivinen juuri kelpaa. x 666,14805 666,1480 (km) Kysytty syvyys on 666,198 666,1480 0,0480 (km). 0,00480 km 48 m 50 m Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 160
88. Tukholman Globen-hallin korkeus on 85 m ja pohjan halkaisija 110 m. Halli on muodoltaan ns. pallosegmentti, jonka tilavuus on h π h r π 85 85 55 605 80 610 000 (m ). 89. Jumppapallon halkaisija on 65 cm. r d 65,5 (cm) Pallon tilavuus on 4πr 4π,5 14 79,1... 140 000 (cm ). 140 000 cm 140 dm Pallon pinta-ala on A 4πr 4π,5 1 7, 1 000 (cm ). 1 000 cm 10 dm 1, m 90. Appelsiinin halkaisija 9, cm 9 mm. Kuoren paksuus on 5 mm. d 9 10 8 (mm) r 41 (mm) πr 4π 41 4 88 695,60... 90 000 (mm ) 90 000 mm 0,90 dm,9 dl 91. Koripallon ympärysmitta on 76 cm. πr 76 : π r 76 π r 1,095775 1,0958 (cm) 4πr 4π 1,0958 7 41,97... 7 400 (cm ) 7 400 cm 7,4 dm 7,4 l Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 161
9. Maapallon pinta-alasta 71 % on vettä. Maapallon säde on 6 70 km. Maapallon pinta-ala on A 4πr 4π 6 70 509 904 6,8 (km ). esialueiden pinta-ala on 0,71 509 904 6,8 6 0 098, 60 000 000 (km ). 9. Pallon tilavuus on 50 cm. πr 4 4π r 50 4πr 1 590 : 4π r 1 590 4π r 1 590 4π r 5,009 5,00 (cm) Pallon ympärysmitta on πr π 5,00 1,5415 (cm). 94. Kuulantyönnössä käytettävän messinkisen kuulan halkaisija on 11,8 cm. Messingin tiheys on 8,4 g/cm. r d 11,8 5,9 (cm) 4πr 4π 5,9 860,895... 860,9(cm ) Massa on tilavuus kertaa tiheys. m 860,9 8,4 76,46 7 00 (g) 7 00 g 7, kg Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16
95. Pallon muotoisen jätevesiastian tilavuus on 5 00 litraa. Astia halutaan upottaa maahan suoran ympyrälieriön muotoiseen kuoppaan niin, että sen ylin kohta on 50 cm maan pinnan alapuolella. Pallon tilavuus on 5 00 l 5 00 dm 5 00 000 cm. πr 4 4π r 500 000 4πr 15 900 000 : 4π r r 15900 000 4π 15 900 000 4π r 108,1589 108,16 (cm) Kuopan leveys on r 108,16 16, 0 (cm) 0 cm, m. Kuopan syvyys on, + 0,5,7 m 96. Kravun kääntöpiirin sijainti on,5 pohjoista leveyttä ja Kravun kääntöpiirin sijainti,5 eteläistä leveyttä. Mitataan matka Kravun kääntöpiiriltä Kauriin kääntöpiirille pintaa pitkin. 45 o o 40 000 5 000 (km) 60 97. Neljä tennispalloa on pakattu päällekkäin mahdollisimman pieneen suoran ympyrälieriön muotoiseen peltipurkkiin, jossa on muovikansi. Tennispallon halkaisija on 6,5 cm. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 16
Tennispallon säde on 6,5 r d,5 (cm). Lieriön korkeus on h 4 6,5 6 (cm). Pohjan pinta-ala on A p πr π,5,18074,181 (cm). Lieriön vaippa on A v πr h π,5 6 50,99158 50,99(cm). Peltiä tarvitaan,181 + 50,99 564,11 560 (cm ). 560 cm 5,6 dm 98. Kuutio, jonka särmän pituus on 10,0 cm, on pallon sisällä niin, että sen kärjet ovat pallon pinnalla. Kuution avaruuslävistäjä on pallon halkaisija. Avaruuslävistäjän laskemista varten on selvitettävä kuution tahkon lävistäjän pituus. x 10 + 10 x 00 x ± 00 ain positiivinen juuri kelpaa. x 14,1415 14,141 (cm) Avaruuslävistäjä on y 14,141 + 10 y 99,99899 y ± 99,99899 ain positiivinen juuri kelpaa. y 17,04 17, (cm) y r Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 164
Pallon säde on puolet halkaisijasta. 17, r y 8,66 (cm) Kuution tilavuus on kuutio 10 10 10 1 000 (cm ). Pallon tilavuus on pallo 4πr 4π 8,66 70,45... 70 (cm ). Kuution tilavuus on pallon tilavuudesta kuutio 1 000 0,676 7 %. pallo 70 Kertaustehtäviä 99. Suoran ympyrälieriön muotoisen juomalasin sisäosan korkeus ja suuaukon halkaisija ovat molemmat 6,7 cm. r d 6,7,5 (cm) A p h πr π,5 6,7 6,1 6 (cm ),0 litrasta (,0 dm 000 cm ) virvoitusjuomaa saa täysiä lasillisia 000 6 1,7eli 1 täyttä lasillista. 400. Rantapallon ympärysmitta on 8 cm. πr 8 : π 8 r 1,0507...(cm) π Tilavuus on 4πr 4π 1,0507 9 10,86... 9 00 (cm ) Pallossa on ilmaa 9 00 cm 9, dm 9, l. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 165
401. Suoran ympyrälieriön pohjaympyrän halkaisija on 6,0 cm. Lieriön vaipan ala on 4 cm. A v πdh π 6,0 h 4 : 6,0π h 4 6,0π h 1,41 1 (cm) 40. Suorakulmaisen särmiön tilavuus on 50 cm. Särmiön pohja on neliö, ja särmiön pohjaneliön sivun pituus on puolet särmiön korkeudesta. Merkitään pohjaneliön sivun pituutta x:llä. x x x 50 x 50 : x 175 x 175 x 5,5944 5,59 (cm) Korkeus on h x 5,59 11,186 11, (cm). 40. Minttu osti elokuvanäytökseen evääksi popcorneja, joita myytiin suoran ympyräkartion muotoisessa kannettomassa pahvipakkauksessa. Pakkauksen korkeus oli 1,5 cm ja suuaukon halkaisija 9,0 cm. r d 9,0 4,5 (cm) Lasketaan sivujanan pituus s. s 4,5 + 1,5 s 176,5 s ± 176,5 ain positiivinen juuri kelpaa. s 1,85 1,9 (cm) aipan ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 166
A v πrs π 4,5 1,9 187,88 190 (cm ). 190 cm 1,9 dm 404. Sisu tekee 5 cm paksuun jäähän pyöreän avannon. Avannon halkaisija on 55 cm. Avannosta kairataan pois ympyrälieriön muotoinen jääkimpale. r d 55 7,5 (cm) A p h πr h π 7,5 5 59 95,74 59 96 (cm ) Avannosta poistettavan jään massa, kun jään tiheys on 0,9 g/cm, on m 59 96 0,9 54 644, 55 000 (g) 55 000 g 55 kg. 405. Säännöllisen neliöpohjaisen pyramidin pohjasärmän pituus on 14,0 cm. Pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma on 68 o. Lasketaan korkeus h. o tan 68 h 7 7 h h 7 tan68 o 115 h 17,56 17, (cm) Tilavuus on A p h 14,0 14,0 17, 1 1,... 1 100 (cm ). 1 100 cm 1,1 dm 406. Talon 6,0 m 600 cm pitkän seinän viereen tehdään hiekan avulla tasainen kallistus, niin että sadevedet valuvat talosta poispäin. Kallistettavan alueen leveys on,5 m 50 cm. Hiekkakerroksen syvyydeksi halutaan seinän vierestä 40 cm ja,5 metrin päässä seinästä 0 cm. 600 Hiekka on lieriönä, jonka pohjat ovat puolisuunnikkaita. 40 50 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 167 0
Puolisuunnikkaan pinta-ala on A p 40 + 0 50 8 750 (cm ). Hiekan tilavuus on A p h 8 750 600 5 50 000 (cm ). 5 50 000 cm 5 50 dm 550 l Hiekkaa hankitaan 640 litran säkeissä, joten säkkejä tarvitaan 5 50 640 8,0... eli 9 kpl. 407. Pallolla ja kuutiolla on sama tilavuus, 1,0 l 1,0 dm. Lasketaan pallon säde sen tilavuudesta. 4 πr 4π r 1 4πr : 4π r 4π r 4 π r 0,605 0,60 (dm) Pallon pinta-ala on A 4πr 4π 0,60 4,805 4,8 (dm ). Lasketaan kuution sivun pituus sen tilavuudesta. a 1,0 a 1,0 a 1,0 (dm) Kuution pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 168
A 6a 6 1,0 6,0 (dm ). Kuution pinta-ala on pallon pinta-alasta 6,0 1,46... 1,4 14, %. 4,8 Kuution pinta-ala on 14, % 100 % 4, % 4 % suurempi kuin pallon. 408. Helsingistä Utsjoelle on matkaa linnuntietä pitkin 1 150 km. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. Lasketaan maapallon säde R. πr 40 000 : π 40 000 R π R 666,198 666, (km) Matka linnuntietä pitkin on kaaren pituus. α b π r 60 o α o 40 000 1 150 60 60 40 000α 414 000 : 40 000 β α 10,5o Lasketaan x. α 10,5 5,175 o sin5,175 o x 6 66, 6 66, x 6 66, sin5,175 x 574,187 574, (km) Matka lyhenee 1150 x 1150 574, 1,56 1,6 (km). Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 169
409. Suoralle ympyräkartiolle kääritään vaippa ympyrän sektorista, jonka säde on s 15,0 cm ja keskuskulma 5 o. Sektorin kaari on o α 5 b π r π 15,0 61,59 (cm). o o 60 60 Sektorin kaari on pohjaympyrän kehä. b πd : π b d π 61,59 d 19,588(cm) π 19,588 r 9,79165 (cm) Lasketaan kartion korkeus. h + 9,79165 15,0 9,79165 h 15,0 r h 19,16 h ± 19,16 ain positiivinen juuri kelpaa. h 11,656 11,6 (cm) Ympyräkartion tilavuus on πr h π 9,79165 11,6 1 140,89... 1 140 (cm ). 1 140 cm 1,14 dm Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 170
Harjoituskokeet Koe 1 1. a) Pythagoraan lause: x + 4,5 6,9 x + 0,5 47,61 0,5 x 7,6 x ± 7,6 Negatiivinen juuri ei käy. x 5,06 5, (cm) b) Tasaisella maalla sijaitsevan lipputangon varjon pituus oli 16,9 m, kun auringonsäteet kohtasivat maanpinnan 8 asteen kulmassa. Lasketaan lipputangon korkeus x. x 16,9 tan 8 x 16,9 tan8 16,9 x 16,9 8 o x 8,9858... 9,0 (m). a) Hevosta esittävän piirroskuvan leveys on 4,8 cm ja korkeus,4 cm. Kuvasta otetaan kopiokoneella suurennos. Suurennetun kuvan korkeus on 5,9 cm. Lasketaan suurennetun kuvan leveys x verrannon avulla. 5,9 x Kerrotaan ristiin.,4 4,8,4x 5,9 4,8,4x 8, :,4 x 8,94 8, (cm) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 171
b) Ympyrän pinta-ala on 4 cm. Lasketaan ympyrän säde. A πr πr 4 r ± 4 π : π Negatiivinen juuri ei käy. r,656,7 (cm). Kartan mittakaava on 1 : 50 000. Järven pinta-ala kartalla on 1 cm. Lasketaan järven todellinen pinta-ala x. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A A 1 m n 1 x 1 50 000 1 1 x 50 000 Kerrotaan ristiin. x 1 50 000 x 500 000 000 000 000 000 (cm ) 000 000 000 cm 0 000 000 dm 00 000 m 000 a 0 ha, km 4. Tasakylkisen kolmion kannan pituus on 5,4 cm ja kylkien pituus 9,8 cm. Lasketaan kolmion korkeus Pythagoraan lauseella. h +,7 9,8 h + 7,9 96,61 7,9 h 88,75 9,8 h 9,8 h ± 88,75 Negatiivinen juuri ei käy. 5,4 h 9,407 9,41 (cm) Kolmion pinta-ala on Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17
A 9,41 5,4 5,467 5 (cm ). 5. Ympyrän halkaisija on 15,0 cm. Sektorin kaaren pituus on 5,0 cm. Lasketaan ympyrän sektorin keskuskulman suuruus. α b π r 60 o α o 15,0π 5,0 60 60 15,0πα 9 000 : 15,0π α 190,98 191 6. Suoran ympyrälieriön muotoisen vesisaavin korkeus on 8 cm ja pohjan halkaisija 58 cm 5,8 dm. Saaviin kaadetaan 150 litraa 150 dm vettä. Lasketaan veden korkeus. r d 5,8,9 (dm) A p h πr h π,9 h 150 8,41πh 150 : 8,41π h 5,677 5,7 (dm) 5,7 dm 57 cm Pinta jää suuaukon yläreunasta 8 57 5 (cm). 7. Khefrenin pyramidin pohjasärmän pituus on 14,5 m. Pyramidin sivutahkojen ja pohjan välinen kulma on 5. Laske pyramidin massa, kun kiviaineksen tiheys on 700 kg/m. Lasketaan korkeus. o tan5 h 107,5 107,5 h 107,5 tan5 h 14,55 14, (m) h 5 o 107,5 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 17
y A p h 14,5 14,5 14, 18 419,55 (m ) Pyramidin massa on tilavuus kertaa tiheys. m 18 419,55 700 5 89 5 718 5 900 000 000 (kg) 8. Kolmion kahden sivun pituudet ovat 5, cm ja 7, cm ja sivujen välisen kulman suuruus on 1. Lasketaan sivun x pituus. o sin 1 x 5, 5, x 5, sin1 x,67819,678 (cm) Lasketaan sivun y pituus. o cos1 y 5, 5, y 5, cos1 y 4,4576 4,457 (cm) Lasketaan sivun z pituus. z 7, y 7, 4,457,84 (cm) Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. s,84 +,678 s 15,54 7, y x 1 o 5, z s s ± 15,54 Negatiivinen juuri ei käy. s,905,9 (cm) 9. Pallo on pakattu mahdollisimman pieneen suoran ympyrälieriön muotoiseen laatikkoon. Merkitään pallon sädettä r:llä. Lieriön korkeus on r. h r Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 174
Lieriön tilavuus on L πr h πr. Pallon tilavuus on P 4πr. Pallon tilavuuden suhde lieriön tilavuuteen on 4πr : πr 4πr 1 πr (πr 0,666666... 66,67 %. Lieriössä on tyhjää tilaa 100 % 66,67 %, % %. Koe 1. a) Ympyrän halkaisija on 7,8 cm. r d 7,8,9 (cm) Ympyrän pinta-ala on A πr π,9 47,78 48 (cm ). b) cos67 4,7 x cos67 x 4,7 x : cos67 4,7 x cos67 x 1,08... 1,0 (cm). a) Suorakulmion muotoisen hiekkakentän leveys on 6 m ja lävistäjän pituus 41 m. x + 6 41 Pythagoraan lause x + 676 1 681 676 x 1005 41 x 6 x ± 1005 Negatiivinen juuri ei käy. x 1,70 (m) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 175
b) Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 11, cm ja 15,9 cm. Puolisuunnikkaan korkeus on 5,0 cm. Puolisuunnikkaan pinta-ala on a + b 11, + 15,9 A h 5,0 67,75 68 (cm ).. Lähes suora 1 km 1 00 000 cm pitkä maantie oli kartalla 4 cm pitkä. Kartan mittakaava on 4 1 00 000 ( 4 1 50 000 eli 1 : 50 000. 4. Tasaisella maalla kasvanut puu kaatui myrskyssä niin, että pystyyn jääneen tyviosan korkeus oli,1 m ja kaatunut latvaosa osui maanpintaan 16 asteen kulmassa. Lasketaan kaatuneen latvaosan korkeus x. sin16,1 x x,1 x 16 o sin16 x,1 : sin16 x,1 sin16 x 7,61870... 7,619 (m) Puun korkeus on 7,619 +,1 9,719 9,7 (m). 5. Kuution kokonaispinta-ala on 180 cm. Lasketaan sivun pituus pinta-alan avulla. A 6x 6x 180 : 6 x 0 x ± 0 ain positiivinen juuri kelpaa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 176
x 5,477 5,477 Kuution tilavuus on x 5,477 164,9 160 (cm ). 6. Suoran ympyräkartion muotoisen kannellisen jäätelötuutin pakkauksen korkeus on 14,7 cm ja kannen halkaisija on 6,0 cm. Laske pakkauksen kokonaispinta-ala. r d 6,0,0 (cm) Lasketaan sivujanan s pituus Pythagoraan lauseen avulla. s 14,7 +,0 s 5,09 s ± 5,09 ain positiivinen juuri kelpaa. s 15,009 15,00 (cm) aipan ala on A v πrs π,0 15,00 141,71 141,4 (cm ). Kannen ala on A p πr π,0 8,74 8, (cm ). Kokonaispinta-ala on A v + A p 141,4 + 8, 169,7 170 (cm ). 170 cm 1,7 dm 7. Ympyrän halkaisija on 7,0 cm. Ympyrän sisään on piirretty suorakulmio, jonka pitemmät sivut ovat kaksi kertaa niin pitkät kuin lyhyemmät sivut. Merkitään lyhyemmän sivun pituutta x:llä, jolloin pidemmän sivun pituus on x. Pythagoraan lause: x + (x) 7 x + x x 49 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 177
x + 4x 49 5x 49 : 5 x 9,8 x ± 9,8 Negatiivinen juuri ei käy. x,1049,10 (cm) Pidemmän sivun pituus on x,10 6,60. Suorakulmion pinta-ala on A,10 6,60 19,598 0 (cm ). 8. enäjä on pinta-alaltaan maailman suurin valtio. Sen pinta-ala on A v 17 075 400 km. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km, ja maapallon pinta-alasta on maa-alueita 9 %. Maapallon säde: πr 40 000 : π 40 000 R π R 666,198 666, (km) Maapallon pinta-ala: A M 4πr 4π 666, 509 64 18,6 (km ) Maa-alueita: 0,9 509 64 18,6 147 686 61 (km ) enäjän pinta-alan osuus maapinta-alasta: 17 075 400 147 686 61 0,1156... 1 % 9. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 1. Kolmion kateettien pituusero on pituusyksikköä. Merkitään pidempää kateettia x:llä, jolloin lyhyempi kateetti on x. x + (x ) 1 x + (x )(x ) 144 x 1 x + x x x + 4 144 x Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 178
x 4x 140 0 Tapa 1 a, b 4 ja c 140 x ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 140) b ± x b 4ac a x 4 ± 116 4 x 4 + 116 4 9,46... 9,4 tai x 4 116 4 7,46... 7,4 Negat. ei käy. Toinen kateetti: + 84 + 84 7,46... 7,4 Tapa x 4x 140 0 : x x 70 0 a 1, b ja c 70 ( ) ± x ( ) 1 4 1 ( 70) b ± x b 4ac a ± x 84 + 84 x 9,46... 9,4 tai x 84 7,46... 7,4 Negat. ei käy. Toinen kateetti: + 84 + 84 7,46... 7,4 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 179