Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Piia Nieminen Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Marraskuu 2008

Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos NIEMINEN, PIIA: Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli Pro gradu -tutkielma, 30 s. Matematiikka Marraskuu 2008 Tiivistelmä Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli sai alkunsa ranskalaisen Roland Fraïssén tutkimuksista elementaarisen ekvivalenssin parissa. Myöhemmin puolalais-amerikkalainen Andrzej Ehrenfeucht antoi Fraïssén saavuttamille tuloksille peliteoreettisen muotoilun. Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli on malliteorian menetelmä, joka perustuu struktuurien samanlaisuuden tarkasteluun. Menetelmä on osoittautunut erityisen hyödylliseksi logiikoiden ilmaisuvoiman tutkimuksissa. Tässä tutkielmassa Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peliä käsitellään äärellisten mallien teorian kannalta. Osoitetaan, että kyseinen menetelmä riittää karakterisoimaan ensimmäisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoiman. Lisäksi käsitellään Ehrenfeuchtin ja Fraïssén pelin hyödyllisyyttä toisen kertaluvun logiikassa. Osoitetaan, että eräs Ehrenfeuchtin ja Fraïssén pelin laajennus riittää karakterisoimaan eksistentiaalisen monadisen toisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoiman. 1

Sisältö 1 Johdanto 3 2 Valmistelevia tarkasteluita 4 2.1 Käsitteitä............................. 4 2.2 Ensimmäisen kertaluvun logiikka................ 6 2.2.1 Syntaksi.......................... 6 2.2.2 Semantiikka........................ 8 3 Samanlaisuus 10 3.1 Isomorsmi............................ 11 3.2 Elementaarinen ekvivalenssi................... 12 4 Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli 15 5 Ensimmäisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoima 19 5.1 Ehrenfeuchtin ja Fraïssén lause................. 21 5.2 EF-peli FO-logiikan ilmaisuvoiman kuvaajana......... 23 6 Toisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoima 24 6.1 Toisen kertaluvun logiikka.................... 24 6.2 EF-pelin sovellukset SO-logiikan ilmaisuvoiman kuvaajana.. 26 Viitteet 30 2

1 Johdanto Klassinen malliteoria on matemaattiseen logiikkaan pohjautuva osa-alue, joka tutkii matemaattisten struktuurien ominaisuuksia ja luokittelua. Tutkimukset ovat keskittyneet pääosin äärettömiin struktuureihin tai sellaisiin struktuuriluokkiin, jotka sisältävät sekä äärellisiä että äärettömiä struktuureita. Klassisen malliteorian tulokset ovat antaneet tärkää tietoa ensimmäisen kertaluvun logiikan ominaisuuksista ja ilmaisuvoimasta, mutta toisaalta äärellisiin struktuureihin rajoituttaessa tärkeimmät tulokset ovat osoittautuneet hyödyttömiksi. Äärellisiin struktuureihin rajoittuminen tuli aiheelliseksi, kun tietotekniikan ja tietojenkäsittelytieteen kehitys toi tullessaan monia malliteorialle läheisiä ongelmia. Muun muassa tietokantateorian, laskettavuuden ja tietojenkäsittelytieteen formaalien kielten ongelmat olivat helposti kuvattavissa logiikan ja malliteorian menetelmin. Klassinen malliteoria pitäytyi kuitenkin omissa tutkimuskohteissaan ja tuloksissaan. Tietojenkäsittelytieteen ongelmia syntyi ratkomaan uusi suuntaus - äärellisten mallien teoria - johon on myöhemmin viitattu myös tietojenkäsittelytieteen logiikkana [7, s. 1]. Olennaisimpien tulosten hyödyttömyydesta huolimatta klassisen malliteorian menetelmien joukosta löytyy tapauksia, joita myös äärellisten mallien teoria on soveltanut hyvinkin menestyksekkäästi. Yksi näistä harvoista menetelmistä on Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli, lyhyemmin EF-peli, joka perustuu kahden struktuurin samanlaisuuden tarkasteluun. EF-peli sai alkunsa ranskalaisen Roland Fraïssén menetelmästä kuvata struktuurien elementaarista ekvivalenssia. Puolalais-amerikkalainen Andrzej Ehrenfeucht muotoili Fraïssén algebrallista hahmotelmaa niin, että se soveltui myös peliteoreettisiin tarkasteluihin. Pelin kulku perustuu edestakaisin-menetelmään (backand-forth method), jossa kaksi pelaajaa valitsee kahden struktuurin alkioita tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Toinen pelaajista pyrkii osoittamaan, että tarkasteltavat struktuurit ovat erilaiset, kun toinen pelaaja puolustaa struktuurien samanlaisuutta. EF-pelillä ja sen kehitelmillä on saavutettu tärkeitä tuloksia muun muassa ensimmäisen ja toisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoimaan liittyen. Tämän tutkielman tavoite on esitellä havainnollisesti mutta täsmällisesti Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peliä ja sen hyödyllisyyttä ensimmäisen kertaluvun logiikan sekä toisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoiman kuvaamisessa. Lukijalta odotetaan yliopistotasoisen matematiikan perusteiden hallintaa ja erityisesti logiikan perusteiden ymmärtämistä. Koska kirjallisuudessa merkinnät ja määritelmät eroavat monin tavoin toisistaan, eikä yhdenkään yksittäisen teoksen tyyli tuntunut sellaisenaan tutkielmaan sopivalta, tekijä on katsonut parhaaksi käyttää toisen luvun tarvittavien käsitteiden ja merkintöjen huolelliseen esittelyyn. Tutkielman kolmannessa luvussa käsittellään kahta olennaista samanlaisuuden käsitettä ja esitellään osa Fraïssén elementaari- 3

sen ekvivalenssin hahmotelmasta. Toisen ja kolmannen luvun tärkeimmäksi lähdeteokseksi voidaan lukea Ebbinghausin, Flumin ja Thomasin kirja Mathematical Logic [2], joka käsittelee matemaattista logiikkaa laajasti mutta täsmällisesti. Myös Libkinin teos Elements of Finite Model Theory [4] sekä Ebbinghausin ja Flumin teos Finite Model Theory [1] ovat olleet mainittavassa osassa. Neljännessä luvussa keskitytään EF-pelin ja sen ominaisuuksien esittelyyn. Edellä mainittujen teosten lisäksi neljännessä luvussa oli suurena apuna Hodgesin kirja A Shorter Model Theory [3], joka toi hieman erilaisen näkökulman EF-peliin. Tutkielman viides luku käsittelee määriteltävyyttä ja ensimmäisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoimaa. Luvussa todistetaan Ehrenfeuchtin ja Fraïssén lause ja osoitetaan EF-pelin merkittävyys ensimmäisen kertaluvun logiikan määriteltävyystuloksien kannalta. Viidennessä luvussa tärkeimmäksi lähteeksi osoittautui Libkinin teos [4]. Kyseinen teos on olennaisessa osassa myös viimeisessä luvussa, jossa EF-pelin hyödyllisyyttä käsitellään toisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoiman kuvaamisessa. Toisen kertaluvun logiikan tarkasteluissa uusia näkökulmia toi myös Kolaitis'n ja Libkinin toimittama kokoomateos Finite Model Theory and it's Applications [5]. 2 Valmistelevia tarkasteluita 2.1 Käsitteitä Aakkosto σ on epätyhjä äärellinen joukko vakiosymboleita c 1,..., c n, relaatiosymboleita R 1,..., R n ja funktiosymboleita f 1,..., f n. Jokaisella relaatioja funktiosymbolilla on paikkaluku k N +, joka kertoo relaation tai funktion attribuuttien määrän. Käytetään k paikkaiselle relaatiosymbolille ja k paikkaiselle funktiosymbolille yleisiä merkintätapoja R(c 1,..., c k ) ja f(c 1,..., c k ). Paikkaluku 0 on varattu vakiosymboleille, sillä vakiot voidaan kuvata nollapaikkaisiksi funktioiksi. Jos aakkosto ei sisällä funktiosymboleita, kutsutaan sitä relationaaliseksi aakkostoksi. Aakkostoa kutsutaan puhtaasti relationaaliseksi, jos se sisältää ainoastaan relaatiosymboleita. Useimmiten on yksinkertaisempaa keskittyä relationaalisten tai puhtaasti relationaalisten aakkostojen käsittelyyn, eikä tämä tuota suurempia ongelmia määritelmien tai todistusten kannalta. Palataan relationaalisen aakkoston muodostamiseen myöhemmin. Matemaattisessa logiikassa ja äärellisten mallien teoriassa keskeisimpien käsitteiden joukkoon kuuluvat struktuurin ja mallin käsitteet. Vaikka mallilla ja struktuurilla saatetaan suomenkielisessä kirjallisuudessa tarkoittaa samaakin asiaa, tässä tutkielmassa kyseiset käsitteet erotetaan toisistaan. Mallin ja struktuurin ero selviää lukijalle ensimmäisen kertaluvun logiikan semantiikassa. Libkinin [4, s. 13] käyttämän esitystavan mukaan aakkoston σ struktuuri A = A, {c A i }, {R A i }, {f A i } koostuu universumista A, aakkoston σ vakioiden 4

tulkinnoista universumin A alkioiksi c A i, aakkoston σ k-paikkaisten relaatioiden tulkinnoista struktuurin A relaatioiksi R A i A k sekä aakkoston σ k- paikkaisten funktioiden tulkinnoista struktuurin A funktioiksi f A i : A k A. Vaikka Libkinin käyttämä määritelmä kuvaa struktuurin kokonaisuudessaan riittävällä tavalla, merkintä A = A, {c A i }, {R A i }, {f A i } ei sellaisenaan kerro aakkoston σ symbolien tulkinnasta mitään, vaan esittelee suoraan struktuurin A vakiot, relaatiot ja funktiot. Määritellään struktuuri toisella yleisesti käytössä olevalla tavalla, jossa tulkinta käsitetään erillisenä funktiona. Määritelmä 2.1. Olkoon σ aakkosto, jolloin σ-struktuuri A = A, α koostuu epätyhjästä joukosta A, jota kutsutaan struktuurin A universumiksi tai perusjoukoksi dom(a), ja funktiosta α, joka kuvaa aakkoston σ jokaiselle symbolille X tulkinnan α(x) = X A struktuurissa A. Nyt aakkoston σ jokaisen vakiosymbolin c tulkinta α(c) = c A on struktuurin A alkio, eli c A A. Aakkoston σ k-paikkaisen relaatiosymbolin tulkinta α(r) = R A on struktuurin A k-paikkainen relaatio R A A k. Edelleen aakkoston σ k-paikkaisen funtion tulkinta α(f) = f A on struktuurin A k- paikkainen funktio fi A : A k A. Struktuuri A on äärellinen, jos sen universumi A on äärellinen joukko. Huomautus. Vakiosymbolien tulkinnat voivat olla samoja. Toisin sanoen voi olla c A i = c A j, vaikka i j pitäisi paikkansa. Relaatiosymbolit voidaan tulkita tyhjiksi, jolloin pätee Ri A = jollakin tai joillakin i {1,..., n}. Nyt, kun stuktuuri on määritelty täsmällisesti, voidaan jatkossa merkinnän A = A, α sijaan käyttää merkintätapaa A = A, {c A i }, {Ri A }, {fi A }. Näin säästytään funktion α tulkintojen erilliseltä esittelyltä. Esimerkki 2.1. Tarkastella aakkostoa σ, jonka alkioita ovat vakiosymbolit 0 ja 1, kaksipaikkainen järjestysrelaatio sekä kaksipaikkaiset funktiot ja +. Tällöin aakkostosta σ voidaan muodostaa muun muassa reaalilukujen ja rationaalilukujen järjestetyt kunnat R, 0 R, 1 R, R, + R, R ja Q, 0 Q, 1 Q, Q, + Q, Q [4, s. 13]. Kaikki jatkossa käsiteltävät aakkostot ja struktuurit ovat äärellisiä. Usein aakkoston σ struktuurin vakioita, relaatioita ja symboleita merkitään samoilla symboleilla kuin aakkostossa σ. Esitellään lyhyesti eräs hyödyllinen struktuurityyppi ja sen käsitteistöä. Kyseistä struktuurityyppiä käytetään jatkossa useaan otteeseen. Määritelmä 2.2. Olkoon σ = {E}, missä E on kaksipaikkainen relaatiosymboli. Aakkoston σ struktuuria G = G, E G kutsutaan verkoksi, kun pätee E G G 2, ja E G on irreeksiivinen sekä symmetrinen. 5

Verkon G alkioita kutsutaan solmuiksi. Kun on voimassa (g 1, g 2 ) E G, paria (g 1, g 2 ) sanotaan särmäksi. Olkoon n lukua 1 suurempi luonnollinen luku ja olkoot E(g 1 g 2 ), E(g 2 g 3 ),..., E(g n 1 g n ) verkon G relaatioita. Tällöin jono g 1,..., g n muodostaa polun solmusta g 1 solmuun g n. Kun vähintään kolmen solmun mittaisen polun alku- ja loppusolmu on sama, polkua kutsutaan sykliksi. Sanotaan, että verkko G on yhtenäinen, jos mielivaltaisesta solmusta g G on olemassa polku jokaiseen verkon G solmuun g G. Esitetään nyt Ebbinghausin, Flumin ja Thomasin [2, s. 120] mukaisesti, kuinka mielivaltaisesta aakkostosta σ voidaan rajoittua puhtaasti relationaaliseen aakkostoon σ r. Menettely perustuu funktioiden ja vakioiden käsittelyyn kuvauksina, sillä kuvaus on helppo määritellä relaatioksi. Olkoon σ mielivaltainen aakkosto. Muodostetaan jokaista k-paikkaista funktiosymbolia f 1,..., f n σ vastaamaan uusi (k + 1)-paikkainen relaatiosymboli F 1,..., F n. Samalla tavoin vakiosymboleita c 1,..., c n σ vastatkoon uudet yksipaikkaiset relaatiosymbolit C 1,..., C n. Puhtaasti relationaalinen aakkosto σ r koostetaan uusista relaatiosymboleista F 1,..., F n ja C 1,..., C n sekä aakkoston σ relaatiosymboleista R 1,..., R n. Nyt jokainen σ-struktuuri A voidaan käsittää σ r -struktuurina A r määrittelemällä struktuurin A r universumi ja tulkinnat alla lueteltujen kohtien mukaisesti. Olkoon A r := A. Olkoon R Ar := R A kaikille relaatiosymboleille R σ. Määritetään relaatio F Ar funktion f A kuvaajaksi siten, että kaikille aakkoston σ k-paikkaisille funktiosymboleille f pätee F Ar (a 1... a k a k+1 ), jos ja vain jos f A (a 1,..., a k ) = a k+1. Määritetään relaatio C Ar vakion c A kuvaajaksi siten, että kaikille aakkoston σ vakiosymboleille c pätee C Ar (a), jos ja vain jos c A = a. Relationaaliseen aakkostoon rajoittuminen tapahtuu vastaavasti, mutta tällöin vakiot jätetään käsittelemättä. Puhtaasti relationaaliseen aakkostoon rajoittumiseen oikeuttavat lauseet löytyvät todistuksineen Ebbinghausin, Flumin ja Thomasin kirjasta [2, s. 120-121, 186]. 2.2 Ensimmäisen kertaluvun logiikka 2.2.1 Syntaksi Ensimmäisen kertaluvun logiikka voidaan kuvata kielenä, jonka avulla asioita on mahdollista ilmaista matemaattisesti. Usein käytetään lyhyempää ilmausta FO-logiikka, joka muodostuu englanninkielisestä termistä rst order logic. 6

Suomenkielisissä lähteissä ensimmäisen kertaluvun logiikan sijaan puhutaan usein predikaattilogiikasta, mutta joissain teoksissa predikaattilogiikan alle luetaan myös korkeamman kertaluvun logiikat. Täten voidaan ajatella, että FO-logiikka on vain yksi useista predikaattilogiikoista. FO-logiikan aakkoston pohjan ja koko syntaksin ytimen muodostavat seuraavat loogiset symbolit: muuttujat v 1, v 2,... ; konnektiivit, ; sulkeet (, ); eksistenssikvanttori ja identiteettisymboli =. Lisäksi FO-logiikan aakkostoon kuuluu olennaisena osana symboliaakkosto, jonka sisältö vaihtelee sovelluksesta riippuen. Koska loogisten symbolien joukko pysyy muuttumattomana, symboliaakkosto määrittää ensimmäisen kertaluvun logiikan kielen. Jatkossa aakkosto σ on FO-logiikan symboliaakkosto, ellei toisin mainita. Aakkoston σ määrittämän FO-logiikan kaavanmuodostussääntöjä varten tarvitaan termin käsite, jolla tarkoitetaan yleisesti predikaattilogiikkojen kaavojen yksilöitä eli subjekteja. Määritelmä 2.3. Termeiksi kutsutaan vain ja ainoastaan niitä symbolijonoja, jotka voidaan muodostaa soveltamalla sääntöjä (i)-(iii) äärellisen monta kertaa. (i) Jokainen muuttuja v i on termi. (i) Jokainen vakio c i σ on termi. (iii) Jos t 1,..., t k ovat termejä ja f on aakkoston σ k-paikkainen funktio, f(t 1,..., t k ) on termi. Tavanomaisesti symboleilla x, y, z,... merkitään muuttujia, symboleilla c 1, c 2, c 3,... vakioita, ja symboleilla t 1, t 2, t 3,... termejä. Myös muuttujille x, y, z,... voidaan tarpeen mukaan käyttää alaindeksejä. Määritelmä 2.4. FO-kaavoiksi luetaan vain ne symbolijonot, jotka on muodostettu soveltamalla sääntöjä (i)-(v) äärellisen monta kertaa. (i) Jos t 1 ja t 2 ovat termejä, niin t 1 = t 2 on kaava. (ii) Jos t 1,..., t k ovat termejä ja R on k-paikkainen relaatiosymboli, niin R(t 1,..., t k ) on kaava. (iii) Jos ϕ 1 on kaava, niin ϕ 1 on kaava. 7

(iv) Jos ϕ 1 ja ϕ 2 ovat kaavoja, niin ϕ 1 ϕ 2 on kaava. (v) Jos ϕ on kaava, niin xϕ on kaava. Atomikaavoiksi kutsutaan vain niitä kaavoja, jotka on muodostettu kaavanmuodostussäännöillä (i) ja (ii). Aakkoston σ määrittämän FO-logiikan kaavojen joukolle käytetään merkintää FO[σ]. Voidaan puhua myös σ-kaavoista. Jatkossa käytetään standardeja lyhenteitä ϕ ψ, ϕ ψ, ϕ ψ xϕ ja merkintöjen ( ϕ ψ), ϕ ψ, (ϕ ψ) (ψ ϕ) ja x ϕ sijasta tässä järjestyksessä. Olkoon S joukko kaavoja. Jos joukon S kaavoista muodostetaan uusia kaavoja konnektiiveilla, ja, uusia kaavoja kutsutaan S-kaavojen Boolen kombinaatioiksi. Kaavoissa xϕ ja xϕ kvanttorit vaikuttavat muuttujan x arvoon omalla tavallaan. Tästä syystä kvanttorin vaikutuksen alaisia muuttujia kutsutaan sidotuiksi. Vastaavasti kvanttorien vaikutuksen ulkopuolelle jääviä muuttujia sanotaan vapaiksi. Määritelmä 2.5. Muuttujatermin t = x ainoa vapaa muuttuja on x. Vakiotermillä t = c ei ole vapaita muuttujia. Termin f(t 1,..., t k ) vapaat muuttujat ovat termien t 1,..., t k vapaat muuttujat. Atomikaavan t 1 = t 2 vapaat muuttujat ovat termien t 1 ja t 2 vapaat muuttujat. Atomikaavan R(t 1,..., t k ) vapaat muuttujat ovat termien t 1,..., t k vapaat muuttujat. Käytetään kaavassa ϕ esiintyvien vapaiden muuttujien joukolle merkintää free(ϕ). Määritellään induktiivisesti: free( ϕ) := free(ϕ); free(ϕ ψ) := free(ϕ) free(ψ), kun on,, tai ; free( vϕ) := free(ϕ) {v} ja free( vϕ) := free(ϕ) {v}. Kaavaa, jossa ei ole vapaita muuttujia, kutsutaan lauseeksi. Merkitään lauseita symboleilla Φ, Ψ,.... 2.2.2 Semantiikka Syntaksin määriteltyä FO-logiikan kielen ja kaavanmuodostussäännöt, semantiikka antaa kielelle ja kaavoille merkityksen. Semantiikan voidaan ajatella rakentuvan totuusrelaation ympärille. Totuusrelaatiolla ilmoitetaan 8

kaavojen toteutuminen tietyissä struktuureissa, toisin sanoen onko kaava tosi vai epätosi. Oletetaan, että tarkastellaan FO-kaavan ϕ totuutta struktuurissa A. Kaavan ϕ totuusarvo riippuu luonnollisesti vain niistä tulkinnoista, jotka annetaan kaavan vapaille muuttujille [2, s. 35-36]. Merkityksellisiä ovat tietysti myös kaavan ϕ ei-loogisten symbolien tulkinnat struktuurin A mukaisesti. Määritelmässä 2.1 aakkoston σ vakio-, relaatio- ja funktiosymbolit kuvattiin struktuurin A tulkinnoiksi funktiolla α. Kun tutkitaan FO-kaavan totuutta σ-struktuurissa A, on muuttujien olemassaolon takia tulkittava termejä pelkkien vakio- ja funktiosymbolien tulkitsemisen sijaan. Termien tulkitsemiseksi struktuurissa A käytetään tulkintajonoa β, joka tulkitsee muuttujat universumin A alkioiksi mutta jättää vakio- ja funktiosymbolien tulkinnat funktiolle α. Struktuurin A tulkintajono on mikä tahansa funktio, jolla pätee β(v i ) A kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla i. Tässä tulkintajonon määritelmä perustuu osittain Ebbinghausin, Flumin ja Thomasin [2, s. 27] määritelmään. Määritelmä 2.6. Olkoon A = A, α aakkoston σ struktuuri ja olkoon β struktuurin A tulkintajono. Termin t arvo struktuurissa A tulkintajonolla β on t A,β = β(x), kun termi t on muuttuja x; t A,β = c A funktion α mukaan, kun termi t on vakio c; t A,β = f A (t A,β 1,..., t A,β k ) funktion α mukaan, kun termi t on f(t 1,..., t k ). Määritellään FO-kaavojen totuus Tarskin totuusmääritelmän mukaan. Kaavoissa mahdollisesti esiintyvien kvanttorien ja sidottujen muuttujien takia tulkintajonolle β määritellään funktio { β(x j ), kun i j β(x i /a)(x j ) = a, kun i = j, jossa a A. Toisin sanoen funktio β(x i /a)(x j ) vastaa muutoin tulkintajonoa β mutta tulkitsee x i esiintymät symboleiksi a A. Määritelmä 2.7. Olkoon A mielivaltainen σ-struktuuri. Määritellään FOkaavojen totuusarvo struktuurissa A tulkintajonolla β induktiivisesti: A, β t 0 = t 1, jos ja vain jos t A,β 0 = t A,β 1. A, β R(t 1,..., t k ), jos ja vain jos (t A,β 1,..., t A,β k ) R A. A, β ϕ, jos ja vain jos A, β ϕ ei pidä paikkaansa. A, β ϕ ψ, jos ja vain jos A, β ϕ tai A, β ψ. 9

Olkoon ψ = x i ϕ. Tällöin on voimassa A, β ψ, jos ja vain jos A, β(x i /a) ϕ pätee jollakin a A. Sanotaan, että kaava ϕ on tosi struktuurissa A tulkintajonolla β, kun pätee A, β ϕ. Koska lauseissa ei ole vapaita muuttujia, lauseen Φ totuusarvo ei riipu tulkintajonosta. Jos lause Φ on tosi struktuurissa A, käytetään merkintää A Φ ja sanotaan, että struktuuri A on lauseen Φ malli. Kun kaavan ϕ vapaat muuttujat ovat muuttujien x 1,..., x n joukossa, voidaan merkitä ϕ(x 1,..., x n ). Merkitään ϕ( x) silloin, kun jonon x pituus on selvä tai merkityksentön. Koska kaavan ϕ(x 1,..., x n ) totuusarvo riippuu ainoastaan tulkinnoista β(x i ) = a i, missä i {1,..., n}, voidaan merkinnän A, β ϕ sijaan käyttää merkintätapaa A ϕ(a 1,..., a n ) [2, s. 37]. Luvun päätteeksi esitellään erityisen hyödyllinen struktuurien laajennus Libkinin tapaan [4, s. 15-16]. Tietyssä tapauksessa struktuurien laajennus sallii kaavojen ja lauseiden edestakaisen tarkastelun, mikä on erityisen hyödyllistä pelien yhteydessä, sekä kaavojen ja lauseiden ilmaisuvoimaa tarkasteltaessa. Olkoot σ ja σ toisistaan eriävät aakkostot. Olkoon A = A, α σ-struktuuri ja olkoon A = A, α σ -struktuuri. Huomaa, että struktuureilla on sama universumi. Käytetään merkintää (A, A ) = A, α, α sellaiselle σ σ - struktuurille, jossa aakkoston σ symbolit tulkitaan struktuurin A mukaisesti tulkintafunktiolla α ja aakkoston σ symbolit struktuurin A mukaisesti tulkintafunktiolla α. Siirrytään nyt olennaiseen laajennukseen, jossa aakkosto σ koostuu ainoastaan vakiosymboleista c 1,..., c n. Käytetään kyseisen laajennuksen aakkostolle tästä lähtien informatiivisempaa merkintätapaa σ n. Tässä tapauksessa vakiot c 1,..., c n tulkitaan universumin A alkioiksi a 1,..., a n. Selvyyden vuoksi merkinnän (A, A ) sijaan käytetään merkintää (A, a 1,..., a n ). Apulause 2.1. Olkoon ϕ(x 1,..., x n ) aakkoston σ kaava ja olkoon A σ- struktuuri. Muodostetaan σ n -lause Φ kaavasta ϕ korvaamalla kaikki vapaat muuttujat x 1,..., x n uusilla vakioilla c 1,..., c n. Tällöin voidaan osoittaa (induktiolla kaavojen suhteen): A ϕ(a 1,..., a n ), jos ja vain jos (A, a 1,..., a n ) Φ. 3 Samanlaisuus Täysin identtisten struktuurien tarkastelu ei ymmärrettävästi ole mielenkiintoista. Sen sijaan on hyödyllisempää tutkia, mitä oletuksia erilaiset säännönmukaisuudet struktuurien välillä oikeuttavat tekemään. Tässä luvussa käsitellään Ehrenfeuchtin ja Fraïssén pelin kannalta oleellisimpia samanlaisuu- 10

den käsitteitä, jotka perustuvat struktuurien alkioiden välisiin suhteisiin ja samojen lauseiden toteutumiseen eri struktuureissa. 3.1 Isomorsmi Isomorsmi kuvaa samanlaisuutta useilla matematiikan osa-alueilla. Yleisesti ottaen isomorsmi kuvaa rakenteellisia yhtäläisyyksiä. Jos struktuurista A muodostetaan toinen struktuuri B korvaamalla struktuurin A alkiot toisilla alkioilla siten, että alkioiden väliset suhteet eivät muutu, struktuurit A ja B ovat isomorset. Isomorsmin täsmällinen määritelmä annetaan Ebbinghausin, Flumin ja Thomasin [2, s. 38] mukaisesti. Määritelmä 3.1. Olkoot A ja B aakkoston σ struktuureita. Kuvaus h : A B on isomorsmi struktuurista A struktuuriin B, jos (i) h on bijektio; (ii) jokaiselle aakkoston σ vakiosymbolille c pätee h(c A ) = c B ; (iii) jokaiselle aakkoston σ k-paikkaiselle relaatiosymbolille R ja jokaiselle jonolle a 1,..., a k A pätee R A (a 1... a k ), jos ja vain jos R B (h(a 1 )... h(a k )); (iv) jokaiselle aakkoston σ k-paikkaiselle funktiosymbolille f ja jokaiselle jonolle a 1,..., a k A pätee h(f A (a 1,..., a k )) = f B (h(a 1 ),..., h(a k )). Jos on olemassa isomorsmi struktuurista A struktuuriin B, käytetään merkitään A = B ja sanotaan, että A ja B ovat isomorset. Isomora säilyttää totuuden. Näin ollen, jos σ-struktuurit A ja B ovat isomorset, kaikille FO-lauseille Φ on voimassa A Φ, jos ja vain jos B Φ pitää paikkansa. Yleisemmin kaikille FO-kaavoille ϕ(x 1,..., x n ) ja tulkinnoille β(x i ) = a i, missä i {1,..., n}, on voimassa A ϕ(a 1,..., a n ), jos ja vain jos B ϕ(h(a 1 ),..., h(a n )) pitää paikkansa. Katso [2, s. 38-39]. Isomorsmin sijaan struktuurien samanlaisuuteen päästään helpommin käsiksi osittaisella isomorsmilla. Itse asiassa osittaisen isomorsmin todistaminen kahden struktuurin välillä oikeuttaa tekemään hyvinkin merkittäviä oletuksia. Esitetään määritelmä lähteitä [8, s. 1] ja [4, s. 27] mukaillen. Määritelmä 3.2. Olkoot A ja B σ-struktuureita. Kuvaus p on osittainen isomorsmi struktuurista A struktuuriin B, jos (i) dom(p) A ja rg(p) B; 11

(ii) p on injektio; (iii) kaikille aakkoston σ vakiosymboleille c ja jokaiselle a dom(p) pätee c A = a, jos ja vain jos c B = p(a); (iv) kaikille aakkoston σ k-paikkaisille relaatiosymboleille R ja jokaiselle jonolle a 1,..., a k dom(p) pätee R A (a 1,..., a k ), jos ja vain jos R B (p(a 1 ),..., p(a k )); (v) kaikille aakkoston σ k-paikkaisille funktiosymboleille f ja kaikille alkioille a 1,..., a k, a dom(p) pätee f A (a 1,..., a k ) = a, jos ja vain jos f B (p(a 1 ),..., p(a k )) = p(a). Käytetään merkintää part(a, B) struktuurien A ja B välisille osittaisille isomorsmeille. Peliteoreettisissa tarkasteluissa on joskus luontevaa puhua parin ( a, b) määrittelemästä osittaisesta isomorsmista, kun pätee {a 1,..., a n } = dom(p) ja {b 1,..., b n } = rg(p), missä a = (a 1,..., a n ) ja b = (b 1,..., b n ). Puhtaasti relationaalisen aakkoston struktuureita tarkasteltaessa osittainen isomorsmi säilyttää atomikaavojen totuuden. Olkoon σ puhtaasti relationaalinen aakkosto ja olkoot A ja B aakkoston σ struktuureita. Olkoon kuvaus p osittainen isomorsmi struktuurista A struktuuriin B ja olkoon ϕ(x 1,..., x n ) aakkoston σ mielivaltainen atomikaava. Tällöin on voimassa A ϕ(a 1,..., a n ), jos ja vain jos B ϕ(p(a 1 ),..., p(a n )) pitää paikkansa, kun a 1,..., a n dom(p). Aakkoston on oltava relationaalinen, sillä ekvivalenssi ei päde vakioita tai funktioita sisältäville kaavoille. Toisaalta, vaikka aakkosto σ olisi puhtaasti relationaalinen, osittainen isomorsmi ei säilyttäisi kvanttorillisten kaavojen totuutta. Katso [2, s. 181-182]. Siirrytään nyt käsittelemään elementaarista ekvivalenssia, joka on isomorsmin rinnalla hyvin olennainen samanlaisuuden peruskäsite. Elementaarisen ekvivalenssin määritelmän lisäksi perehdytään Fraïssén tulokseen, johon Ehrenfeuct-Fraïssé peli olennaisesti perustuu. 3.2 Elementaarinen ekvivalenssi Kun isomorsmi kertoo kahden struktuurin rakenteellisista yhtäläisyyksistä, elementaarinen ekvivalenssi vertaa struktuureita suhteessa käytettävään kieleen, tässä ensimmäisen kertaluvun logiikkaan. Määritelmä 3.3. Aakkoston σ struktuurien A ja B sanotaan olevan elementaarisesti ekvivalentit, jos kaikille σ-lauseille Φ pätee A Φ, jos ja vain jos B Φ. Elementaarisesti ekvivalenteille struktuureille käytetään merkitää A B. 12

Fraïssén elementaarisen ekvivalenssin algebrallinen karakterisointi perustuu ekvivalenssirelaatioon, joka sijoittuu merkitykseltään elementaarisen ekvivalenssin ja isomorsmin välimaastoon. Koska isomorsmi säilyttää totuuden, mielivaltaiset isomorset struktuurit A ja B ovat elementaarisesti ekvivalentit. Sen sijaan elementaarisesti ekvivalentit struktuurit eivät välttämättä ole isomorset [2, s. 39-40]. Tästä syystä kahden struktuurin elementaarisen ekvivalenssin osoittamiseen riittää isomorsmia lievempi ehto. Fraïssé käytti elementaarisen ekvivalenssin karakterisointiin osittaisten isomorsmien joukkoja ja osittaisten isomorsmien laajennuksia. Samastetaan osittainen isomorsmi p joukkoon {(a, p(a)) a dom(p)} ja käytetään merkitää p q, kun q on osittaisen isomorsmin p laajennus. Määritelmä 3.4. σ-struktuurit A ja B ovat m-isomorset, A = m B, jos on olemassa jono (P j ) j m siten, että (i) jokainen P j on epätyhjä joukon part(a, B) osajoukko; (ii) kaikille j < m, p P j+1 ja a A on olemassa q P j siten, että p q ja a dom(q) ja (iii) kaikille j < m, p P j+1 ja b B on olemassa q P j siten, että p q ja b rg(q). Jos jonolla (P j ) j m on ominaisuudet (i)-(iii), sanotaan struktuureita A ja B m-isomorsiksi jonolla (P j ) j m ja merkitään (P j ) j m : A = m B. Ominaisuudesta (ii) käytetään käsitettä laajentumissominaisuus eteenpäin ja ominaisuuden (iii) kohdalla puhutaan laajentumisominaisuudesta taaksepäin. Vastaavasti elementaarisen ekvivalenssin rinnalle voidaan määritellä joustavampi m-ekvivalenssi. Määritelmää varten tarvitaan käsite, joka antaa tietoa kaavan rakenteesta. Kvanttoriaste selvittää, kuinka paljon kaavassa on sisäkkäistä kvantiointia enimmillään. Määritelmä 3.5. Olkoon ϕ FO-kaava. Määritellään kaavan ϕ kvanttoriaste qr(ϕ) seuraavasti: qr(ϕ) = 0, jos ϕ on atomikaava; qr(ϕ 1 ϕ 2 ) = max(qr(ϕ 1 ), qr(ϕ 2 )); qr( ϕ) = qr(ϕ); qr( xϕ) = qr(ϕ) + 1. Käytetään merkintää FO[m] niiden FO-kaavojen joukolle, joiden kvanttoriaste on yhtäsuuri tai pienempi kuin m. 13

Esimerkki 3.1. FO[0] koostuu atomikaavojen Boolen kombinaatioista, eli kvanttorittomista kaavoista. Oletetaan, että ϕ on joukon FO[m + 1] kaava. Jos kaava ϕ muodostuu kaavojen ϕ 0 ja ϕ 1 Boolen kombinaatioista, ovat ϕ 0 ja ϕ 1 joukon FO[m + 1] kaavoja. Jos on voimassa ϕ = xψ(x) tai ϕ = xψ(x), kaava ψ on joukon FO[m] kaava. Tästä johtuen jokainen joukon FO[m + 1] kaava on ekvivalentti muotoa xψ(x) olevien kaavojen Boolen kombinaation kanssa, kun ψ FO[m]. Vertaa [4, s. 33]. Määritelmä 3.6. Olkoon m luonnollinen luku. Sanotaan, että σ-struktuurit A ja B ovat m-ekvivalentit, A m B, jos kaikille lauseille Φ FO[m] on voimassa A Φ, jos ja vain jos B Φ. Voidaan myös sanoa, että struktuurit A ja B ovat elementaarisesti ekvivalentit kvanttoriasteeseen m saakka. Esimerkki 3.2. Olkoon A 0 B. Tällöin kaikille atomilauseille eli kvanttorittomille lauseille Φ FO[0] pätee A Φ, jos ja vain jos B Φ pätee. Olkoon σ puhtaasti relationaalinen aakkosto. Osoitetaan, että m-isomor- smi säilyttää niiden aakkoston σ kaavojen ϕ totuuden, joille on voimassa qr(ϕ) m [2, s. 187-188]. Apulause 3.1. Olkoon (P j ) j m : A = m B. Tällöin jokaiselle aakkoston σ kaavalle ϕ FO[m] pätee A ϕ(a 1,..., a n ), jos ja vain jos B ϕ(p(a 1 ),..., p(a n )), jos on voimassa p P j ja a 1,..., a n dom(p). Todistus. Todistetaan väite induktiolla aakkoston σ kaavojen suhteen. Olkoon ϕ(x 1,..., x n ) σ-kaava siten, että qr(ϕ) m. Oletetaan, että p P j ja a 1,..., a n dom(p). Edellä mainittiin, että puhtaasti relationaalisen aakkoston struktuureita tarkasteltaessa osittainen isomorsmi säilyttää atomikaavojen totuuden [2, s. 181]. Täten väite on voimassa atomikaavoille. Olkoon ϕ = ψ. Nyt pätee A ϕ(a 1,..., a n ), jos ja vain jos A ψ(a 1,..., a n ) ei pidä paikkaansa. Induktio-oletuksen perusteella A ψ(a 1,..., a n ) ei pidä paikkaansa, jos ja vain jos B ψ(p(a 1 ),..., p(a n )) ei pidä paikkaansa. Edelleen B ψ(p(a 1 ),..., p(a n )) ei pidä paikkaansa, jos ja vain jos B ϕ(p(a 1 ),..., p(a n )) pätee. Tapaus ϕ = ψ 1 ψ 2 todistetaan vastaavasti. Olkoon ϕ = xψ.koska pätee ϕ FO[m], on oltava ψ FO[m 1]. Todistetaan väite seuraavalla ekvivalenssiketjulla: (1) A ϕ(a 1,..., a n ). 14

(2) On olemassa alkio a A siten, että A ψ(a 1,..., a n, a). (3) On olemassa alkio a A ja osittainen isomorsmi q P j 1 siten, että p q, a dom(q) ja A ψ(a 1,..., a n, a). (4) On olemassa alkio a A ja osittainen isomorsmi q P j 1 siten, että p q, a dom(q) ja B ψ(p(a 1 ),..., p(a n ), q(a)). (5) On olemassa alkio b B ja osittainen isomorsmi q P j 1 siten, että q p, b rg(q) ja B ψ(p(a 1 ),..., p(a n ), b). (6) On olemassa alkio b B siten, että B ψ(p(a 1 ),..., p(a n ), b). (7) B ϕ(p(a 1 ),..., p(a n )). Kohtien (2) ja (3) ekvivalenssi voidaan todistaa määritelmän 3.4 kohtaan (ii) nojautuen. Kohtien (5) ja (6) ekvivalenssi voidaan todistaa vastaavasti määritelmän 3.4 kohtaan (iii) nojautuen. Kohtien (3) ja (4) ekvivalenssi seuraa induktio-oletuksesta. Apulause 3.1 on osoitettu päteväksi myös toiseen suuntaan [2, s. 190]. Näin saavutettua ekvivalenssia kutsutaan Fraïssén lauseeksi. Seuraus 3.2 (Fraïssé). Olkoot A ja B puhtaasti relationaalisen aakkoston σ struktuureita. Tällöin kohdat (1) ja (2) ovat yhtäpitävät. (1) A m B (2) A = m B 4 Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli Ehrenfeuchtin ja Fraïssén pelin kulku kuvataan kirjallisuudessa lähes poikkeuksetta samalla tavalla. Tässä mukaillaan osittain Libkinin [4, s. 26-27] ja Hodgesin [3, s. 74-75] määritelmiä. Huomautus. Jatkossa käsitellään ainoastaan relationaalisia aakkostoja, ellei toisin mainita. Pelikenttä koostuu kahdesta saman aakkoston struktuurista, joita merkitään tuttuun tapaan symboleilla A ja B. Struktuurien A ja B väliselle m- kierroksiselle EF-pelille käytetään merkintää EF m (A, B). Kierrosten määrä m on kiinnitetään ennen peliä. Peli suoritetaan kahden pelaajan välillä, joista pelaaja I pyrkii osoittamaan, että struktuurit ovat erilaiset. Pelaajan II tavoite on osoittaa, että struktuurit ovat samanlaiset. Pelissä jokainen kierros etenee seuraavien vaiheiden mukaisesti: Pelaaja I valitsee joko alkion a i stuktuurista A tai alkion b i struktuurista B, missä i {1,..., m} on kierroksen luku. 15

Pelaaja II valitsee alkion jäljelle jääneestä struktuurista. Jos pelaaja I on valinnut alkion a i struktuurista A, pelaaja II valitsee alkion b i struktuurista B. Jos pelaaja I on valinnut alkion b i struktuurista B, pelaaja II valitsee alkion a i struktuurista A. Olkoot a = (a 1,..., a i ) struktuurista A suoritetut valinnat ja b = (b 1,..., b i ) struktuurista B suoritetut valinnat kun i kierrosta on pelattu. Pelaajan II on suoritettava valintansa siten, että jokaisen kierroksen i jälkeen pari ( a, b) määrittelee osittaisen isomorsmin p struktuurien A ja B välillä. Tällöin p(a j ) = b j pätee kaikilla j {1,..., i}. Ellei pelaaja II pysty suorittamaan valintaansa näillä ehdoilla, peli päättyy pelaajan I voittoon. Pelaaja II voittaa pelin vain siinä tapauksessa, että viimeisenkin kierroksen jälkeen pari ( a, b) määrittelee osittaisen isomorsmin struktuurien A ja B välillä. Strategia on joukko sääntöjä, joiden mukaan pelaaja suorittaa valintansa vastapuolen tekemästä valinnasta riippuen. Struktuurien rakenne ja tehdyt valinnat ovat kummankin pelaajan tiedossa koko pelin ajan. Strategiaa, jota noudattamalla toinen pelaaja voittaa toisen pelaajan valinnoista riippumatta, sanotaan voittostrategiaksi. Jos pelaajalla II on voittostrategia m- kierroksisessa pelissä, merkitään A m B. Vain toisella pelaajista voi olla voittostrategia samassa pelissä. Esimerkki 4.1. Jos pelaaja II tietää, että on olemassa isomorsmi h : A B, seuraavaa strategiaa noudattamalla hän voittaa huolimatta pelin pituudesta tai pelaajan I valinnoista. ( ) Jos pelaaja I valitsee vuorollaan alkion a i A, pelaaja II valitsee seuraavaksi alkion b i = h(a i ). Jos pelaaja I valitsee alkion b i B, pelaaja II valitsee alkion a i = h 1 (b i ). Apulause 4.1. Olkoot A ja B σ-struktuureita. Relaatiolla m muassa alla luetellut ominaisuudet. on muun (1) Jos struktuurit A ja B ovat isomorset, kaikille luonnollisille luvuille m pätee A m B. (2) Jos A m B pitää paikkansa, niin myös kaikille lukua m pienemmille luonnollisille luvuille i pätee A i B. (3) Olkoon M σ-struktuurien luokka. Relaatio m on ekvivalenssirelaatio luokassa M. Todistus. (1) Kun A = B pitää paikkansa, pelaajalla II on voittostrategia esimerkin 4.1 mukaisesti. (2) Oletetaan, että pelaajalla II on voittostrategia pelissä EF m (A, B). Tällöin pelaaja II pystyy suorittamaan valintansa siten, että jokaisella kierroksella i valinnoista a ja b muodostuva pari ( a, b) määrittelee struktuurien 16

A ja B osittaisen isomorsmin. Peli voidaan tästä johtuen keskeyttää minkä tahansa kierroksen i jälkeen, ja pelaaja II voittaa pelin. Toisin sanoen pelaajalla II on voittostrategia myös kaikkissa niissä peleissä EF i (A, B), missä i on lukua m pienempi luonnollinen luku. (3) Relaatio m on selvästi reeksiivinen, sillä jokainen struktuuri on itsensä kanssa isomornen. Toisin sanoen jokaiselle struktuurille A pätee A m A ominaisuuteen (1) vedoten. Oletetaan sitten, että A m B pitää paikkansa. Tällöin pätee myös B m A, sillä pelin sääntöihin vedoten pelaaja II voi käyttää samaa voittostrategiaa kuin pelissä EF m (A, B). Täten relaatio m on myös symmetrinen. Todistetaan relaation m transitiivisuus peliteoriassa tyypillisellä menetelmällä [3, s. 76]. Olkoot A, B ja C aakkoston σ struktuureita. Oletetaan, että pelaajalla II on voittostrategiat peleissä EF m (A, B) ja EF m (B, C). Väitetään, että tällöin pelaajalla II on voittostrategia myös pelissä EF m (A, C), eli A m C. Todistetaan väite käsittelemällä samaan aikaan kaikkia näitä kolmea peliä. Varsinainen peli EF m (A, C) pelataan pelaajien I ja II välillä siten, että pelaaja II suorittaa kyseisen pelin valinnat pelaamalla samaan aikaan kuvitteellisia apupelejä EF m (A, B) ja EF m (B, C). Oletetaan, että peli EF m (A, C) alkaa pelaajan I valinnalla a 1 A, jolloin pelaaja II suorittaa valintansa seuraavalla strategialla: ( ) Pelaaja II kuvittelee, että pelaaja I valitsee alkion a 1 A pelissä EF m (A, B), jolloin hän valitsee alkion b 1 B pelin EF m (A, B) voittostrategian mukaisesti. Seuraavaksi pelaaja II kuvittelee valinnan b 1 B olevan pelaajan I valinta pelissä EF m (B, C) ja valitsee alkion c 1 C pelin EF m (B, C) voittostrategian mukaisesti. Valinta c 1 C on pelaajan II vastaus pelaajan I valintaan a 1 A pelissä EF m (A, C). Kun peliä EF m (A, C) on pelattu m kierrosta, on muodostunut kolme jonoa: a 1,..., a m, b 1,..., b m ja c 1,..., c m. Pelaajan II oletettujen voittostrategioiden perusteella on olemassa osittaiset isomorsmit p : {a 1,..., a m } {b 1,..., b m } ja q : {b 1,..., b m } {c 1,..., c m } siten, että jokaiselle alkiolle a i pätee p(a i ) = b i ja jokaiselle alkiolle b i pätee q(b i ) = c i kaikilla i {1,..., m}. Nyt voidaan muodostaa yhdistetty kuvaus q(a i ) = r(p(a i )) siten, että q : {a 1,..., a m } {c 1,..., c m } on osittainen isomorsmi, joka kuvaa jokaisen alkion a i alkiolle c i, kun i {1,..., m}. Täten pelaajalla II on voittostrategia myös pelissä EF m (A, C), eli A m C. Määritelmä 4.1. Olkoon relaation < tulkinta struktuurin perusjoukon lineaarijärjestys. Kun aakkosto σ sisältää järjestysrelaation <, aakkoston σ struktuureita kutsutaan järjestetyiksi struktuureiksi. Esimerkki 4.2. Olkoot L ja L järjestettyjä σ-struktuureita muodoltaan {1,..., n}, <, missä luku n on yhtäsuuri tai suurempi kuin luonnollinen luku m. Onko pelaajalla II voittostrategia pelissä EF m (L, L )? 17

Voidaan osoittaa, että L m L ei päde edes tapauksessa m = 2. Olkoot L = {1, 2, 3}, < ja L = {1, 2}, <. Aloittakoon pelaaja I pelin EF m (L, L ) valitsemalla alkion 2 struktuurista L. Oletetaan, että pelaaja II valitsee alkion 1 struktuurista L, jolloin pelaajan I toinen valinta on alkio 1 L. Pelaaja II häviää, sillä struktuurissa L ei ole olemassa lukua 1 pienempää alkiota a. Toisaalta jos pelaaja II valitsee ensimmäiseksi alkion 2 L, pelaaja I vastaa tähän valitsemalla alkion 3 L. Jälleen pelaaja II on mahdottomassa asemassa, sillä struktuurissa L ei ole lukua 2 suurempaa alkiota a. Tästä syystä pelaaja I voittaa pelin, eli L 2 L. Voidaan todistaa, että pelaajalla II on voittostrategia, jos oletetaan struktuurien L ja L olevan riittävän paljon suurempia kuin pelin kierrosluku. Lause 4.2. Olkoon m positiivinen kokonaisluku ja olkoot L sekä L lineaarisia järjestyksiä siten, että L 2 m ja L 2 m. Tällöin pätee L m L. [4, s. 29]. Todistus. Lause todistetaan induktiolla pelin kierrosten lukumäärän m suhteen. Induktiotodistus ei onnistu, jos tehdään oletus ainoastaan sellaisen isomorsmin olemassa olosta, jonka perusteella pelaajalla II on voittostrategia kierroksen i jälkeen. Tästä syystä tehdään kaksi lisäoletusta, joiden avulla tällaisen osittaisen isomorsmin todistaminen on mahdollista ilman, että lisäoletukset itsessään koituisivat ongelmaksi. Laajennetaan aakkostoa σ kahdella uudella vakiosymbolilla min ja max. Tulkitaan min lineaarisen järjestyksen pienimmäksi alkioksi ja max suurimmaksi alkioksi. Olkoon {1,..., n} struktuurin L universumi, ja olkoon {1,..., n } struktuurin L universumi siten, että n, n 2 m. Universumin alkioiden x ja y etäisyydelle x y käytetään merkintää d(x, y). Osoitetaan, että pelaajalla II on voittostrategia pelissä EF m (L, L ). Oletetaan, että on pelattu i kierrosta peliä EF m (L, L ). Jono a = (a 1, a 0,..., a i ) koostuu alkioista a 1 = min L, a 0 = max L ja pelin aikana tehdyistä valinnoista a 1,..., a i L. Vastaavasti jono b = (b 1, b 0,..., b i ) koostuu alkioista b 1 = min L, b 0 = max L ja pelin aikana tehdyistä valinnoista b 1,..., b i L. Nyt induktio-oletuksena kaikille 1 j, l i on voimassa: (i) jos d(a j, a l ) < 2 m 1, niin d(b j, b l ) = d(a j, a l ); (ii) jos d(a j, a l ) 2 m 1, niin d(b j, b l ) 2 m 1 ; (iii) a j a l, jos ja vain jos b j b l. Kohta (iii) riittäisi osoittamaan vaadittavan osittaisen isomorsmin olemassaolon. Kohdat (i) ja (ii) ovat lisäoletuksia. Todistetaan, että kohdat (i)-(iii) ovat voimassa jokaisella kierroksella i. Tapaus i = 0 on selvä, sillä lauseen oletusten mukaan d(a 1, a 0 ), d(b 1, b 0 ) 2 m. Todistetaan tapaus i + 1. Oletetaan, että kierroksella i + 1 pelaaja I tekee valintansa struktuurista L. (Tapaus L on symmetrinen.) Kohdat (i)-(iii) pätevät, jos pelaaja II suorittaa valintansa seuraavien ehtojen mukaisesti. 18

Jos pelaaja I valitsee alkion a i+1 = a j, missä j i, pelaaja II valitsee vastaavasti alkion b i+1 = b j. Muutoin voidaan olettaa, että pelaaja I valitsee alkion a j < a i+1 < a l siten, että mikään valinnoista a 1,... a i ei sijoitu järjestyksessä alkioiden a j ja a l väliin. Ehdon (iii) perusteella myöskään valinnat b 1,... b i eivät sijoitu järjestyksessä alkioiden b j ja b l väliin. Nyt pelaajan II valinta riippuu alkioiden a j ja a l etäisyydestä. Olkoon d(a j, a l ) < 2 m i. Tällöin on voimassa d(b j, b l ) = d(a j, a l ) ja välit [a j, a l ] sekä [b j, b l ] ovat isomorset. Pelaaja II valitsee alkion b i+1 siten, että alkion b i+1 etäisyydet alkioista b j ja b l ovat yhtäsuuret kuin alkion a i+1 etäisyydet alkioista a j ja a l. Toisin sanoen d(a j, a i+1 ) = d(b j, b i+1 ) ja d(a i+1, a l ) = d(b i+1, b l ). Selvästi kohdat (i)-(iii) pitävät paikkansa. Olkoon sitten d(a j, a l ) 2 m i. Nyt on voimassa d(b j, b l ) 2 m i. On kolme eri mahdollisuutta. (1) Jos pelaajan I valinta a i+1 sijoittuu välille [a j, a l ] siten, että d(a j, a i+1 ) < 2 m (i+1), on oltava d(a i+1, a l ) 2 m (i+1). Tällöin pelaaja II voi valita alkion b i+1 siten, että d(b j, b i+2 ) = d(a j, a i+1 ) ja d(b i+1, b l ) 2 m (i+1). (2) Tapaus d(a i+1, a l ) < 2 m (i+1) käsitellään kuten edellä. (3) Oletetaan lopuksi, että pelaaja I valitsee alkion a i+1 siten, että etäisyydet d(a j, a i+1 ) 2 m (i+1) ja d(a i+1, a j ) 2 m (i+1) pitävät paikkansa. Koska d(b j, b l ) 2 m i on voimassa, pelaaja II valitsee alkion b i+1 välin [b j, b l ] keskeltä, jotta myös etäisyydet d(b j, b i+1 ) < 2 m (i+1) ja d(a i+1, a l ) < 2 m (i+1) pätevät. Täten kohdat (i)-(iii) pätevät ja on osoitettu, että pelaajalla II on voittostrategia m-kierroksisessa pelissä EF m (L, L ). 5 Ensimmäisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoima FO-logiikan ilmaisuvoimassa on kaksi eri puolta. Toisaalta FO-logiikka ei pysty määrittelemään joitakin yksinkertaisia ominaisuuksia, kuten struktuurin koon parillisuutta tai verkkojen yhtenäisyyttä. Toisaalta jokaiselle äärelliselle struktuurille A on olemassa FO-lause Φ siten, että kaikille struktuureille B pätee B Φ, jos ja vain jos A = B. Toisin sanoen jokainen äärellinen struktuuri voidaan kuvailla yhdellä ensimmäisen kertaluvun lauseella [1, s. 13]. Tästä syystä yksittäiset struktuurit 19

eivät ole määriteltävyyden kannalta mielenkiintoisia. Sen sijaan struktuuriluokat ja niiden ominaisuudet tuovat haasteita määriteltävyyteen. Olkoon M äärellisten struktuurien luokka, jolloin ominaisuus P määritellään isomorsmin suhteen suljetuksi luokan M osajoukoksi. Käytetään merkintää P ominaisuuden P komplementtijoukolle M \ P. Voidaan myös osoittaa, että mikä tahansa äärellisten struktuurien luokka on mahdolllista määritellä numeroituvalla määrällä FO-lauseita Φ i [1, s. 14]. Tästä syystä ominaisuus P pyritään määrittelemään yhdellä FO-lauseella. Tässä luvussa osoitetaan, että FO-logiikan ilmaisuvoima voidaan kuvata Ehrenfeuchtin ja Fraïssén pelin avulla. Tätä varten esitellään malliteorialle tavanomainen käsite, joka jakaa FO-kaavat tyyppiluokkiin erityisen hyödyllisellä tavalla. Seuraava apulause voidaan todistaa myös kaavoille [2, s. 189-190]. Muista, että aakkosto σ on relationaalinen. Apulause 5.1. Olkoon σ mielivaltainen aakkosto. Joukko FO[m] sisältää loogiseta ekvivalenssia vaille äärellisen monta lausetta Φ aakkoston σ yli. Todistus. Todistetaan induktiolla luvun m suhteen. Vertaa [4, s. 34]. Tapaus FO[0] on selvä, sillä äärellisen relationaalisen aakkoston σ atomilauseita on olemassa vain äärellisen monta. Tästä johtuen aakkoston σ atomilauseista voidaan muodostaa äärellinen määrä Boolen kombinaatioita loogista ekvivalenssia vaille. Osoitetaan joukon FO[m + 1] äärellisyys. Esimerkkiin 3.1 vedoten jokainen lause Φ FO[m + 1] voidaan esittää Boolen kombinaationa muotoa xψ(x) olevista lauseista, missä ψ FO[m]. Induktio-oletuksen mukaan joukko FO[m] sisältää äärellisen monta lausetta loogista ekvivalenssia vaille. Täten myös joukko FO[m + 1] sisältää äärellisen monta lausetta loogista ekvivalenssia vaille. Määritelmä 5.1. Olkoon σ kiinteä aakkosto. Olkoon A σ-struktuuri ja olkoon a = (a 1,..., a n ) jono vakioita universumin A yli. Määritellään jonon a asteen m n-tyyppi struktuurin A yli seuraavasti: tp m (A, a) = {ϕ FO[m] A ϕ( a)}. Asteen m n-tyyppi voi olla mikä tahansa muotoa tp m (A, a) oleva kaavajoukko, missä a = (a 1,..., a n ). Puhutaan lyhyemmin m-astetyypeistä, kun luku n on selvä. Tapauksessa n = 0 merkitään tp m (A). Joukko tp m (A) koostuu niistä FO[m] lauseista, jotka pätevät struktuurissa A. Huomaa, että jokaiselle kaavalle ϕ(x 1,..., x n ) FO[m] pätee joko ϕ tp m (A, a) tai ϕ tp m (A, a). Apulauseen 5.1 perusteella voidaan todeta, että asteen m n-tyypit ovat äärellisiä loogista ekvivalenssia vaille. Koostukoon jono ϕ 1 ( x),..., ϕ N ( x), missä x = (x 1,..., x n ), kaikista toisistaan eriävistä joukon FO[m] kaavoista. Tällöin jokainen FO[m]-kaava on ekvivalentti jonkin kaavan ϕ i kanssa. Nyt m-astetyyppi voidaan määritellä yksikäsitteisenä osajoukkona M 20

{1,..., N}, joka määrittää m-astetyyppiin kuuluvat kaavat ϕ i. Näin ollen m-astetyyppi voidaan esittää kaavalla (5.1) θ M ( x) ϕ i ϕ j, i M jolla on mahdollista testata, että jono a toteuttaa kaikki kaavat ϕ i, missä i M, eikä mitään kaavoista ϕ j, missä j / M. Huomaa, että kaava θ M ( x) on myös joukon FO[m] kaava, sillä uusia kvanttoreita ei otettu mukaan. Itse asiassa kaavan θ M ( x) ollessa joukon FO[m] kaava, on jonossa ϕ 1 ( x),..., ϕ N ( x) oltava kaavan θ M ( x) kanssa ekvivalentti kaava ϕ i. Muotoilu 5.1 on hyödyllinen havainnollistuksen kannalta. Todetaan, että kaikille toisistaan eriäville osajoukoille M ja M pätee: jos A ϕ M ( a), niin A ϕ M ( a). Lisäksi todetaan, että jokainen kaava ϕ FO[m] voidaan ilmaista joidenkin kaavojen θ M disjuktiona. Lause 5.2. (1) Asteen m n-tyyppien määrä on äärellinen aakkostolle σ. (2) Olkoon T 1,..., T r kaikkien asteen m n-tyyppien jono. On olemassa kaavat θ 1 ( x),..., θ r ( x) siten, että kaikille σ-struktuureille A ja jonoille a A n on voimassa: A θ i ( a), jos ja vain jos tp m (A, a) = T i j / M jokainen FO[m] kaava ϕ(x 1,..., x n ) on ekvivalentti joidenkin kaavojen θ i disjunktion kanssa. Jatkossa asteen m n-tyyppeihin viitataan niiden määrittelykaavoilla θ i (5.1). On olennaista muistaa, että asteen m n-tyyppien määrittelykaavojen kvanttoriaste on m. 5.1 Ehrenfeuchtin ja Fraïssén lause Ehrenfeuchtin ja Fraïssén pelin hyöty määriteltävyystuloksissa perustuu pelin seuraavaan ominaisuuteen: jos pelaajalla II on voittostrategia pelissä EF m (A, B), struktuurit A ja B ovat m-ekvivalentit. Tämän todistamisessa käytetään tyypillisesti m-isomorsmia [1, s. 20] ja Fraïssén lausetta 3.2, mutta Libkin soveltaa kirjassaan hieman eri tavoin määriteltyä edestakaisinrelaatiota [4, s. 36]. Käytetään Libkinin edestakaisin-relaatiolle samaa symbolia kuin m-isomorsmille, sillä käytännössä relaatiot vastaavat toisiaan. Huomaa, että edestakaisin-relaation määritelmän merkintätapa (A, a) viittaa luvun 2.2 lopussa esitettyyn laajennukseen. Määritelmä 5.2. Olkoot A ja B aakkoston σ struktuureita. Määritellään edestakaisin-relaatio A = B indukiivisesti. (i) A = 0 B, jos ja vain jos A 0 B. 21

(ii) A = m+1 B, jos ja vain jos seuraavat laajenemisehdot pätevät: eteen: kaikille a A on olemassa b B siten, että (A, a) = m (B, b); taakse: kaikille b B on olemassa a A siten, että (A, a) = m (B, b). Lause 5.3 (Ehrenfeucht-Fraïssé). Olkoot A ja B relationaalisen aakkoston σ struktuureita. Tällöin seuraavat kohdat ovat yhtäpitävät: (1) A m B (2) A = m B (3) A m B Todistus. Todistetaan väite induktiolla FO-lauseille luvun m suhteen. Tapaus m = 0 on selvä. Tapauksessa m + 1 käsitellään ensimmäisenä kohtien (1) ja (2) ekvivalenssi. Oletetaan, että struktuurit A ja B ovat m+1-ekvivalentit. Osoitetaan, että tällöin A = m+1 B pitää paikkansa. Todistetaan laajenemisehto eteenpäin määritelmän 5.2 mukaisesti. Valitaan a A. Määritelköön kaava θ i asteen m 1-tyypin tp m (A, a). Nyt pätee A xθ i (x). Koska lauseen xθ i (x) kvanttoriaste on m + 1, oletuksen mukaan myös B xθ i (x) pätee. Toteuttakoon b lauseen xθ i (x), jolloin on voimassa tp m (A, a) = tp m (B, b). Täten kaikille aakkoston σ 1 lauseille Φ FO[m] pätee (A, a) Φ, jos ja vain jos (B, b) Φ pitää paikkansa. Nyt struktuurien A ja B laajennukset (A, a) ja (B, b) ovat elementaarisesti ekvivalentit lauseiden Φ FO[m] suhteen, ja oletuksen mukaan tällöin on voimassa (A, a) = m (B, b). Laajenemisehton taaksepäin todistaminen etenee vastaavalla tavalla. Oletetaan sitten, että A = m+1 B pätee. Osoitetaan, että tällöin struktuurit A ja B ovat m + 1-ekvivalentit. Huomaa yhteys apulauseeseen 3.1. Esimerkin 3.1 mukaan jokainen FO[m + 1]-lause on Boolen kombinaatio muotoa xψ(x) olevista lauseista, missä ψ FO[m]. Todistetaan väite muotoa xψ(x) oleville lauseille. Sivuutetaan Boolen kombinaatiot. Oletetaan, että A xψ(x) pitää paikkansa. On siis olemassa a A, jolle pätee A ψ(a). Määritelmän 5.2 eteen-ominaisuuden perusteella on olemassa b B siten, että (A, a) = m (B, b). Induktio-oletuksen mukaan laajennukset (A, a) ja (B, b) ovat m-ekvivalentit. On siis oltava B ψ(b) ja täten myös B xψ(x) pitää paikkansa. Toinen suunta todistuu vastaavasti määritelmän 5.2 taakseominaisuuteen nojautuen. Todistetaan lopuksi kohtien (2) ja (3) ekvivalenssi. Olkoon A = m+1 B. Osoitetaan, että struktuurit A ja B ovat m + 1 ekvivalentit. Oletetaan, että pelaaja I valitsee alkion a. Laajenemisehdon perusteella pelaaja II löytää alkion b siten, että A = m B pitää paikkansa. Näin voidaan jatkaa edelleen m kierrosta, joiden jälkeen pelaaja II on suorittanut m+1 valintaa onnistuneesti ja voittaa pelin. Toinen suunta todistetaan vastaavasti. 22

Kun kohtien (1) ja (2) ekvivalenssiin viitataan Fraïssén lauseena, kohtien (1) ja (3) ekvsivalenssista puhutaan Ehrenfeuchtin lauseena. Laajemmin Ehrenfeuchtin ja Fraïssén lauseista on kirjoittanut muun muassa Ebbinghaus, Flum ja Thomas [2, s. 187-192]. 5.2 EF-peli FO-logiikan ilmaisuvoiman kuvaajana Määritelmä 5.3. Ominaisuus P on määriteltävissä FO-logiikassa struktuuriluokassa M, jos on olemassa FO-lause Φ siten, että jos A P, niin A Φ, ja jos A P, niin A Φ. Osoitetaan, että Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli riittää karakterisoimaan ensimmäisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoiman. Vertaa [4, s. 35]. Lause 5.4. Ominaisuus P on määriteltävissä FO-logiikassa, jos ja vain jos on olemassa m siten, että kaikille struktuureille A ja B pätee jos A P ja A m B, niin B P. Todistus. Oletetaan, että P on määriteltävissä FO-lauseella Φ ja asetetaan m = qr(φ). Valitaan struktuuri A P, jolloin A on lauseen Φ malli. Olkoon B struktuuri, jolle pätee A m B. Tällöin lauseen 5.3 perusteella myös struktuurin B on oltava lauseen Φ malli ja tästä syystä B P pitää paikkansa. Oletetaan sitten, että kaikille struktuureille A ja B pätee: jos struktuurilla A on ominaisuus P ja pelaajalla II on voittostrategia pelissä EF m (A, B), niin myös struktuurilla B on ominaisuus P. Nyt kahdella mielivaltaisella struktuurilla, joilla on sama m-astetyyppi, on ominaisuus P. Ominaisuus P voidaan siten käsittää tyyppien yhdisteenä, jolloin P on määriteltävissä joidenkin kaavojen θ i disjunktiona. Logiikoiden ilmaisuvoimaa tutkittaessa ollaan pääasiassa kiinnostuneita määrittelemättömyystuloksista. Tyypillisesti ominaisuuden määrittelemättömyys todistetaan EF-pelillä siten, että mielivaltaiselle luonnolliselle luvulle m konstruoidaan struktuurit A P ja B P, joille pätee A m B. Edelliseen lauseeseen vedoten tämä riittää. Muotoillaan väite täsmällisemmin. Seuraus 5.5. Ominaisuus P ei ole määriteltävissä FO-logiikassa, jos ja vain jos kaikille luonnollisille luvuille m on olemassa struktuurit A P ja B P siten, että pelaajalla II on voittostrategia pelissä EF m (A, B) On olemassa lukuisia tunnettuja määrittelemättömyystuloksia, jotka osoittavat ensimmäisen kertaluvun logiikan ilmaisuvoiman heikkouden. Annetaan kaksi esimerkkiä Libkinin mukaan [4, s. 33 ja 37]. 23