Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi, Testisuure, Testisuuree ormaaliarvo, Testit suhdeasteikollisille muuttujille, t-testi, t-testi parivertailuille, Vaihtoehtoie hypoteesi, Variassie vertailutesti, Yhde otokse t-testi, Yleie hypoteesi. Kahde riippumattoma otokse t-testi STATISTIX-tiedostossa MORT o esitetty 9 amerikkalaispaki käyttämät korot (muuttuja KORKO; yksikkö = %) asutolaioille. Laiat voidaa ryhmitellä kahtee ryhmää se mukaa oko korko ollut kiiteä vai vaihtuva (muuttuja LAINATYYP; 0 = kiiteä korko, = vaihtuva korko). (a) (b) Ratkaisu: (a) Määrää kummalleki laiatyypille: aritmeettie keskiarvo, keskihajota, miimi, maksimi, 95 %: luottamusväli keskimääräiselle korolle, Box ja Whisker -kuvio Tee tulostuste perusteella johtopäätöksiä laiatyyppie koroista. Testaa kahde riippumattoma otokse t-testillä ollahypoteesia, että keskimääräie korko o kummalleki laiatyypille sama. Käytä vaihtoehtoisea hypoteesia oletusta: Keskimääräie laiakorko o kiiteäkorkoiselle laialle korkeampi. Vaihtoehtoie hypoteesi vastaa taloustietee käsitystä korkoje määräytymismekaismista. Muotoile myös kaikki testii liittyvät hypoteesit. Käytätkö variassie yhtäsuuruusoletuksee vai erisuuruusoletuksee perustuvaa t-testiä? Perustele! Tuusluvut, luottamusvälit, Box ja Whisker -kuvio Tavaomaiste otostuuslukuje, odotusarvo luottamusväli ja Box ja Whisker -kuvio määritelmät: ks.. harjoitukset. Tuusluvut ja luottamusväli Statistics > Summary Statistics > escriptive Statistics escriptive Variables = KORKO Groupig Variable = LAINATYYP C. I. Percet Coverage = 95 TKK @ Ilkka Melli (005) /7
ESCRIPTIVE STATISTICS FOR LAINATYYP = 0 KORKO N 3 LO 95% CI 7.08 MEAN 7.373 UP 95% CI 7.5534 S 0.3907 MINIMUM 6.7500 MAXIMUM 8.0000 ESCRIPTIVE STATISTICS FOR LAINATYYP = KORKO N 6 LO 95% CI 4.393 MEAN 4.967 UP 95% CI 5.594 S 0.6455 MINIMUM 4.500 MAXIMUM 6.0000 Tuuslukuje ja luottamusvälie perusteella äyttää ilmeiseltä, että kiiteäkorkoiste laioje korot (LAINATYYP = 0) ovat keskimääri korkeampia. Box ja Whisker -kuvio Statistics > Summary Statistics > Box ad Whisker Plots Model Specificatio = Categorical epedet Variable = KORKO Groupig Variable = LAINATYYP Box ja Whisker -kuvio muodostuu laatikosta ja viiksistä (ks. tarkemmi. harjoituste tehtävä ratkaisua): Alakvartiili Q määrää laatiko alareua paika. Yläkvartiili Q 3 määrää laatiko yläreua paika. Puolet havaitoarvoista o laatiko sisällä. Mediaai Q = Me paikka merkitää poikkiviivalla laatiko sisää. Viiksie kärjet kertovat ormaalie havaitoje miimi ja maksimi paikat. Poikkeukselliste havaitoje paikat merkitää tähdillä tai ympyröillä viiksie jatkeille. TKK @ Ilkka Melli (005) /7
Box ad Whisker Plot 8. 7.3 KORKO 6.5 5.7 4.9 4. 0 LAINATYYP 9 cases missig cases Kuvio perusteella o ilmeistä, että kiiteäkorkoiste laioje korot (LAINATYYP = 0) ovat keskimääri korkeampia. (b) Kahde riippumattoma otokse t-testi Koska havaitoja eri laiatyyppejä käyttävistä pakeista voidaa pitää riippumattomia otoksia, sovelletaa kahde riippumattoma otokse t-testiä. Olkoo LAINATYYP = 0 X i = kiiteäkorkoise laia korko pakissa i LAINATYYP = X j = vaihtuvakorkoise laia korko pakissa j H 0 : µ = µ Vaihtoehtoie hypoteesi: H : µ > µ TKK @ Ilkka Melli (005) 3/7
STATISTIX tulostaa yhdellä kertaa tulokset 3:sta testistä: Kahde riippumattoma otokse t-testi, ku ryhmäkohtaiset variassit saavat erota toisistaa (ks. Testi ratkaisuje lopussa). Kahde riippumattoma otokse t-testi, ku ryhmäkohtaiset variassit ovat yhtä suuret (ks. Testi ratkaisuje lopussa). Variassie vertailutesti (ks. Testi 4 ratkaisuje lopussa). Statististics > Oe, Two, Multi-Sample Tests > Two Sample T Test Model Specificatio = Categorical epedet Variable = KORKO Categorical Variable = LAINATYYP Null Hypothesis = 0 Alterate Hypothesis = Greater Tha TWO-SAMPLE T TESTS FOR KORKO BY LAINATYYP SAMPLE LAINATYYP MEAN SIZE S.. S.E. ---------- ---------- ------ --------- --------- 0 7.373 3 0.3907 0.084 4.967 6 0.6455 0.635 IFFERENCE.4006 NULL HYPOTHESIS: IFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HYP: IFFERENCE > 0 ASSUMPTION T F P 95% CI FOR IFFERENCE ----------------- ------ ------ ------ --------------------- EQUAL VARIANCES 0.4 7 0.0000 (.9009,.9004) UNEQUAL VARIANCES 8.43 6.8 0.0000 (.79, 3.0794) F NUM F EN F P TESTS FOR EQUALITY ------- ------ ------ ------ OF VARIANCES.73 5 0.075 CASES INCLUE 9 MISSING CASES Variassie yhtäsuuruutta testaava F-testisuuree arvo =.73 ja vastaava p-arvo = 0.075. Site ollahypoteesi variassie yhtäsuuruudesta voidaa hyväksyä 5 %: merkitsevyystasolla. Site kahde riippumattoma otokse t-testeistä voidaa valita yhtä suurii variasseihi perustuva versio. Vastaava testisuuree arvo = 0.4. Sitä vastaava p-arvo o eljällä desimaalilla = 0.0000. Site ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä kaikilla tavaomaisilla merkitsevyystasoilla: Kiiteäkorkoiste laioje keskimääräiset korot ovat korkeampia kui vaihtuvakorkoiste laioje korot. TKK @ Ilkka Melli (005) 4/7
. t-testi parivertailuille STATISTIX-tiedostossa PalkkaMF o esitetty 0 amerikkalaismiehe (= MALE) ja 0 amerikkalaisaise (= FEMALE) vuosipalkat (yksikkö = $). Havaiot muodostuvat sovitetuista pareista, joissa jokaista miestä vastaa samalaise tausta (iä, ammati, koulutustaso, työpaika je.) omaava aie. (a) (b) (c) (d) Ratkaisu: (a) Määrää aiste ja mieste palkoille: aritmeettie keskiarvo, keskihajota, miimi, maksimi, 95 %: luottamusväli keskimääräiselle korolle, Box ja Whisker -kuvio Tee tulostuste perusteella johtopäätöksiä palkkaeroista. Testaa t-testillä parivertailuille ollahypoteesia, että mieste ja aiste palkat eivät eroa tosistaa. Käytä vaihtoehtoisea hypoteesia oletusta: Naiste ja mieste palkat eroavat toisistaa. Testaa riippumattomie otoste t-testillä ollahypoteesia, että mieste ja aiste palkat eivät eroa tosistaa. Vertaa (b)- ja (c)-kohda tuloksia toisiisa. Kumpi meettely o oikea? Tuusluvut, luottamusvälit, Box ja Whisker -kuvio Tuusluvut ja luottamusväli Statistics > Summary Statistics > escriptive Statistics escriptive Variables = FEMALE, MALE C. I. Percet Coverage = 95 ESCRIPTIVE STATISTICS FEMALE MALE N 8 8 LO 95% CI 4484 4497 MEAN 44838 46438 UP 95% CI 479 48678 S 85. 680. MINIMUM 4300 4700 MAXIMUM 49300 49300 Tuuslukuje ja luottamusvälie perusteella äyttää siltä, että aiste palkat saattavat olla keskimääri pieempiä kui mieste palkat. TKK @ Ilkka Melli (005) 5/7
Box ja Whisker -kuvio Statistics > Summary Statistics > Box ad Whisker Plots Model Specificatio = Categorical epedet Variable = KORKO Groupig Variable = LAINATYYP Ks. kuvio selitystä tehtävässä. 000 Box ad Whisker Plot 000 000 000 FEMALE MALE 6 cases Kuvio mukaa aiste palkat äyttävät yleesä oleva pieempiä kui mieste palkat. (b) t-testi parivertailuille t-testi parivertailuille: ks. Testi 3 ratkaisuje lopussa. Olkoo FEMALE X i = aise palkka parissa i MALE X i = miehe palkka parissa i i = X i X i TKK @ Ilkka Melli (005) 6/7
H : µ = 0 Vaihtoehtoie hypoteesi: 0 H: µ 0 Statististics > Oe, Two, Multi-Sample Tests > Paired T Test Sample Variables = FEMALE, MALE Null Hypothesis = 0 Alterate Hypothesis = Not Equal PAIRE T TEST FOR FEMALE - MALE NULL HYPOTHESIS: IFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HYP: IFFERENCE <> 0 MEAN -600.0 ST ERROR 64. LO 95% CI -3076.0 UP 95% CI -3.97 T -.56 F 7 P 0.0374 CASES INCLUE 8 MISSING CASES 0 t-testisuuree arvo =.56 ja vastaava p-arvo = 0.0347. Nollahypoteesi H 0 voidaa hylätä 5 %: merkitsevyystasolla: Naiste ja mieste palkat eroavat toisistaa. (c) Kahde riippumattoma otokse t-testi Olkoo FEMALE X i = aise palkka parissa i MALE X i = miehe palkka parissa i H : µ = µ 0 Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ µ TKK @ Ilkka Melli (005) 7/7
STATISTIX tulostaa yhdellä kertaa tulokset 3:sta testistä: Kahde riippumattoma otokse t-testi, ku ryhmäkohtaiset variassit saavat erota toisistaa (ks. Testi ratkaisuje lopussa). Kahde riippumattoma otokse t-testi, ku ryhmäkohtaiset variassit ovat yhtä suuret (ks. Testi ratkaisuje lopussa). Variassie vertailutesti (ks. Testi 4 ratkaisuje lopussa). Statististics > Oe, Two, Multi-Sample Tests > Two Sample T Test Model Specificatio = Table Table Variables = FEMALE, MALE Null Hypothesis = 0 Alterate Hypothesis = Not Equal TWO-SAMPLE T TESTS FOR FEMALE VS MALE SAMPLE VARIABLE MEAN SIZE S.. S.E. --------- --------- ------ --------- --------- FEMALE 44838 8 85. 995.34 MALE 46438 8 680. 947.54 IFFERENCE -600.0 NULL HYPOTHESIS: IFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HYP: IFFERENCE <> 0 ASSUMPTION T F P 95% CI FOR IFFERENCE ----------------- ------ ------ ------ --------------------- EQUAL VARIANCES -.6 4 0.638 (-4547.4, 347.4) UNEQUAL VARIANCES -.6 4.0 0.638 (-4548., 348.) F NUM F EN F P TESTS FOR EQUALITY ------- ------ ------ ------ OF VARIANCES.0 7 7 0.4500 CASES INCLUE 6 MISSING CASES 0 Variassie yhtäsuuruutta testaava F-testisuuree arvo =.0 ja vastaava p-arvo = 0.4500. Site ollahypoteesi variassie yhtäsuuruudesta voidaa hyväksyä kaikilla tavaomaisilla merkitsevyystasoilla. Site kahde riippumattoma otokse t-testeistä voidaa valita yhtä suurii variasseihi perustuva versio. Vastaava testisuuree arvo =.6. Sitä vastaava p-arvo = 0.638. Site ollahypoteesi H 0 jätetää voimaa: Naiste ja mieste palkat eivät eroa toisistaa. TKK @ Ilkka Melli (005) 8/7
(d) Kohtie (b) ja (c) testie vertailu (b)- ja (c)-kohtie testit atavat ristiriitaiset tulokset. (c)-kohda testiä ei saa kuitekaa käyttää, koska havaiot muodostuvat sovitetuista pareista, mikä johtaa muuttujie riippuvuutee; muuttujie MALE ja FEMALE korrelaatio o 0.7946 (varmista tämä lla). Opetus: Väärä tilastollise meetelmä perusteella ei voi tehdä luotettavia johtopäätöksiä! 3. t-testi parivertailuille STATISTIX-tiedostossa VERENP o tulokset samoille potilaille tehdyistä verepaiee mittauksista (s. yläpaie) ee (muuttuja ENNEN) ja jälkee (muuttuja JALKEEN) verepaietta aletava lääkkee atamise. (a) (b) (c) Ratkaisu: (a) Testaa t-testillä parivertailuille ollahypoteesia, että lääkkee atamisella ei ole vaikututusta verepaieesee, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että lääke aletaa verepaietta. Muodosta verepaieide erotukset ja tee iille tavallie t-testi, jossa ollahypoteesia o, että erotuste odotusarvo = 0. Vertaa kohtie (a) ja (b) tuloksia toisiisa. t-testi parivertailuille t-testi parivertailuille: ks. Testi 3 ratkaisuje lopussa. Olkoo ENNEN X i = potilaa i verepaie ee lääkkee atamista JALKEEN X i = potilaa i verepaie lääkkee atamise jälkee i = X i X i H : µ = 0 Vaihtoehtoie hypoteesi: 0 H: µ > 0 Statististics > Oe, Two, Multi-Sample Tests > Paired T Test Sample Variables = ENNEN, JALKEEN Null Hypothesis = 0 Alterate Hypothesis = Greater Tha TKK @ Ilkka Melli (005) 9/7
PAIRE T TEST FOR ENNEN - JALKEEN NULL HYPOTHESIS: IFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HYP: IFFERENCE > 0 MEAN 4.5000 ST ERROR.439 LO 95% CI.0967 UP 95% CI 7.9033 T 3.3 F 7 P 0.0083 CASES INCLUE 8 MISSING CASES 0 t-testisuuree arvo = 3.3 ja vastaava p-arvo = 0.0083. Site ollahypoteesi H 0 voidaa hylätä % merkitsevyystasolla: Lääke aletaa verepaietta. (b) Yhde otokse t-testi Lisätää tiedostoo VERENP muuttuja = ENNEN JALKEEN ata > Trasformatios Trasformatio Expressio = ENNEN JALKEEN Yhde otokse t-testi: ks. Luetokalvot. Olkoo ENNEN X i = potilaa i verepaie ee lääkkee atamista JALKEEN X i = potilaa i verepaie lääkkee atamise jälkee i = X i X i H : µ = 0 Vaihtoehtoie hypoteesi: 0 H: µ > 0 TKK @ Ilkka Melli (005) 0/7
Statististics > Oe, Two, Multi-Sample Tests > Oe-Sample T Test Sample Variables = Null Hypothesis = 0 Alterate Hypothesis = Greater Tha ONE-SAMPLE T TEST FOR NULL HYPOTHESIS: MU = 0 ALTERNATIVE HYP: MU > 0 MEAN 4.5000 ST ERROR.439 LO 95% CI.0967 UP 95% CI 7.9033 T 3.3 F 7 P 0.0083 CASES INCLUE 8 MISSING CASES 0 t-testisuuree arvo = 3.3 ja vastaava p-arvo o 0.0083. Site ollahypoteesi voidaa hylätä %: merkitsevyystasolla: Verepaieide erotuste keskimääräie arvo o positiivie. (c) Parivertailutesti ja yhde otokse t-testi vertailu (a)- ja (b)-kohdat atavat sama tulokse kute pitääki! TKK @ Ilkka Melli (005) /7
4. Kahde riippumattoma otokse t-testi STATISTIX-tiedostossa COMPRo tiedot betoi puristuslujuutta koskevista testeistä. Muuttuja CONCR sisältää testitulokset betoierästä, jotka o tehty valmistusmeetelmällä ja muuttuja CONCR sisältää testitulokset 30 betoierästä, jotka o tehty valmistusmeetelmällä. Puristuslujuude yksikköä o kg/cm. Testaa kahde riippumattoma otoste t-testillä ollahypoteesia, että keskimääräiset puristuslujuudet eivät eroa toisistaa, ku vaihtoehtoisea hypoteesia o, että e eroavat. Ratkaisu: Kahde riippumattoma otokse t-testi Koska havaitoja eri meetelmillä tehdystä betoista voidaa pitää riippumattomia otoksia, sovelletaa kahde riippumattoma otokse t-testiä. Olkoo CONCR X i = testitulos meetelmä betoierästä i CONCR X j = testitulos meetelmä betoierästä j H 0 : µ = µ Vaihtoehtoie hypoteesi: H : µ µ STATISTIX tulostaa yhdellä kertaa tulokset 3:sta testistä: Kahde riippumattoma otokse t-testi, ku ryhmäkohtaiset variassit saavat erota toisistaa (ks. Testi ratkaisuje lopussa). Kahde riippumattoma otokse t-testi, ku ryhmäkohtaiset variassit ovat yhtä suuret (ks. Testi ratkaisuje lopussa). Variassie vertailutesti (ks. Testi 4 ratkaisuje lopussa). Statististics > Oe, Two, Multi-Sample Tests > Two Sample T Test Model Specificatio = Table Table Variables = CONCR, CONCR Null Hypothesis = 0 Alterate Hypothesis = Greater Tha TKK @ Ilkka Melli (005) /7
TWO-SAMPLE T TESTS FOR CONCR VS CONCR SAMPLE VARIABLE MEAN SIZE S.. S.E. --------- --------- ------ --------- --------- CONCR 309.4 7.9804.745 CONCR 95.5 30 7.3470.344 IFFERENCE 4.083 NULL HYPOTHESIS: IFFERENCE = 0 ALTERNATIVE HYP: IFFERENCE <> 0 ASSUMPTION T F P 95% CI FOR IFFERENCE ----------------- ------ ------ ------ --------------------- EQUAL VARIANCES 6.50 49 0.0000 (9.7309, 8.435) UNEQUAL VARIANCES 6.4 40.9 0.0000 (9.6434, 8.53) F NUM F EN F P TESTS FOR EQUALITY ------- ------ ------ ------ OF VARIANCES.8 0 9 0.3353 CASES INCLUE 5 MISSING CASES 9 Variassie yhtäsuuruutta testaava F-testisuuree arvo =.8 ja vastaava p-arvo = 0.3353 Nollahypoteesi variassie yhtäsuuruudesta voidaa hyväksyä 5 %: merkitsevyystasolla. Site kahde riippumattoma otokse t-testeistä voidaa valita yhtäsuurii variasseihi perustuva versio. Vastaava testisuuree arvo = 6.50. Sitä vastaava p-arvo o eljällä desimaalilla = 0.0000. Nollahypoteesi H 0 voidaa hylätä kaikilla tavaomaisilla merkitsevyystasoilla: Valmistusmeetelmät eroavat toisistaa ja meetelmä tuottaa puristus-lujuudeltaa parempaa betoia. TKK @ Ilkka Melli (005) 3/7
Liitteet Testi : Olkoo Yleie hypoteesi H : Riippumattomie otoste t-testi, ku ryhmäkohtaiset variassit saavat erota toisistaa X i = muuttuja havaittu arvo havaiossa i X j = muuttuja havaittu arvo havaiossa j () Havaiot X ~N( µ, σ ), i =,,, i () Havaiot X ~N( µ, σ ), j =,,, j (3) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j H : µ = µ 0 Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ > µ H: µ < µ H: µ µ Testisuure ja se approksimatiivie jakauma ollahypoteesi pätiessä: jossa t = ν = X X s s + s a t( ν ) s + s s + Testisuuree approksimatiivisea jakaumaa ollahypoteesi pätiessä käytetää usei myös stadardoitua ormaalijakaumaa: t = X X s s + a N(0,) Tämä approksimaatio o kuiteki heikompi kui edellä maiittu t-jakaumaa perustuva approksimaatio. TKK @ Ilkka Melli (005) 4/7
Testi : Olkoo Yleie hypoteesi H : Riippumattomie otoste t-testi, ku ryhmäkohtaiset variassit ovat yhtä suuret X i = muuttuja havaittu arvo havaiossa i X j = muuttuja havaittu arvo havaiossa j () Havaiot X i i ~N( µ, σ ), =,,, () Havaiot X j ~N( µ, σ ), j =,,, (3) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j H : µ = µ 0 Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: µ > µ H: µ < µ H: µ µ Testisuure ja se jakauma ollahypoteesi pätiessä: jossa X X t = t ( + ) sp + s ( ) s + ( ) s P = + TKK @ Ilkka Melli (005) 5/7
Testi 3: Olkoo t-testi parivertailuille X i = muuttuja havaittu arvo havaiossa i X i = muuttuja havaittu arvo havaiossa i i = X i X i Yleie hypoteesi H : () Havaiot ~N( µ, σ ), i =,,, i () Havaiot i ovat riippumattomia kaikille i H : µ = 0 Vaihtoehtoiset hypoteesit: 0 H: µ > 0 H: µ < 0 H: µ 0 Testisuure ja se jakauma ollahypoteesi pätiessä: t = t ( ) s / TKK @ Ilkka Melli (005) 6/7
Testi 4: Variassie vertailutesti Olkoo X i = muuttuja havaittu arvo havaiossa i X j = muuttuja havaittu arvo havaiossa j Yleie hypoteesi H : () Havaiot X ~N( µ, σ ), i=,,, i () Havaiot X j ~N( µ, σ ), j =,,, (3) Havaiot X i ja X j ovat riippumattomia kaikille i ja j H : σ = σ 0 Vaihtoehtoiset hypoteesit: H: σ > σ H: σ < σ H: σ σ Testisuure ja se jakauma ollahypoteesi pätiessä: s F = F(, ) s TKK @ Ilkka Melli (005) 7/7