Kuvalähdemenetelmä Paul Kemppi TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja Multimedian Laboratorio pkemppi@cc.hut.fi Tiivistelmä Tämä paperi käsittelee huoneakustiikan mallinnuksessa yleisesti käytetyn kuvalähdemenetelmän toimintaperiaatteita, sovelluksia ja rajoituksia. Kuvalähdemenetelmän avulla voidaan mallintaa mielivaltaisen muotoisen tilan impulssivaste yksinkertaistamalla tila äärelliseksi määräksi tasopintoja ja muodostamalla virtuaalikuvalähteet näiden tasopintojen suhteen. Kuvalähdemenetelmän merkittävin rajoitus on sen vaatiman laskenta-ajan voimakas kasvu heijastuskertaluvun funktiona. Tämän vuoksi kuvalähdemenetelmän rinnalla impulssivastetta muodostettaessa käytetään usein muita menetelmiä myöhäisten heijastusten ja jälkikaiunnan mallintamiseen. 1 JOHDANTO Kuvalähdemenetelmä on sädeakustiikkaan pohjautuva menetelmä, jolla kyetään mallintamaan tarkasti suoran äänen ja varhaisten heijastusten vaikutus syntyvään äänikenttään. Menetelmän soveltuvuutta on kehitetty yksinkertaisen suorakaiteen muotoisen huoneen käsittelystä (Allen et al., 1978) mielivaltaisen monitahokkaan virtuaalilähteiden laskemiseen (Borish, 1984). Laskenta-ajan vähentämiseksi on kehitetty myös menetelmä alemman kertaluvun heijastuksista laskettujen tuloksien ekstrapoloimiseksi mallintamaan korkeamman asteen heijastuksia (Kristiansen et al., 1992). Kuvalähdemenetelmän avulla kyetään mallintamaan vain peilikuvaheijastuksina etenevän äänen energian jakautuminen. Heijastuspinnan epätasaisuuden aiheuttamaa sirontaa voidaan kuitenkin mallintaa lisäämällä kuvalähdemenetelmän avulla saatuun impulssivasteeseen diffuusi taustasignaali (Heinz, 1992). Paperin alussa käsitellään kuvalähdemenetelmän yleiset perusteet, jonka jälkeen esitetään kuvalähteiden muodostamiseen ja näkyvyystarkasteluihin liittyvät vaiheet. Tämän lisäksi esitellään keino ekstrapoloida kuvalähdemenetelmän avulla laskettuja tuloksia korkeamman asteen heijastuksille. Loppuosassa käsitellään kuvalähdemenetelmän soveltamista impulssivasteen muodostamisessa, erimuotoisten tilojen akustiikan vertailussa sekä säteenseurantamenetelmän analysoimisessa. 1
2 MENETELMÄN PERUSTEET Kuvalähdemenetelmä kuuluu fysikaalisiin mallinnusmenetelmiin ja on perusteltavissa keinona täyttää reunaehto rajapinnalla. Menetelmässä äänen aallonpituuden oletetaan olevan lähdes nolla, jolloin ääntä voidaan käsitellä valon tavoin energian säteittäisenä etenemisenä. Mallinnettavan tilan rajapinnoissa tapahtuvat heijastukset voidaan tällöin olettaa noudattavan peiliheijastuslakia. Äänen aallonpituuden olettaminen lähes nollaksi johtaa siihen, että äänen aaltoluonne jää huomiotta. Tämän vuoksi kuvalähdemenetelmän avulla ei voida mallintaa äänen diffraktoitumista eli ilmiötä, jossa ääniaalto kaartuu esteen taakse kulkiessaan sen ohi. Kuvalähdemenetelmä ei myöskään ota huomioon äänen siroamista epätasaisista heijastuspinnoista eli diffuusiota. Tapauksissa, jossa äänen aallonpituus on suuri verrattuna mallinnettavan tilan pintojen epätasaisuuteen, mutta pieni verrattuna tilan pinta-alaan, on tehty oletus kuitenkin suhteellisen pätevä. 3 KUVALÄHTEIDEN MUODOSTAMINEN Kuvalähteet muodostetaan peilaamalla alkuperäinen äänilähde jokaisen tilaa rajaavan tason kanssa. Näin saadut kuvalähteet peilataan edelleen, jolloin tuloksena saadaan toisen asteen kuvalähteet. Tällä periaatteella jatketaan, kunnes ollaan saatu muodostettua haluttu määrä kuvalähteitä. Muodostettavien kuvalähteiden määrää rajoittavia ehtoja käsitellään tarkemmin luvussa 2. Kuvassa 1 on esitetty suorakaiteen muotoisen kaksiulotteisen huoneen lähteen kaikki neljä ensimmäisen asteen kuvalähdettä. Kuva 1. Ensimmäisen asteen kuvalähteet. Mielivaltaisen muotoisen heijastavan tasopinnan ja lähdepisteen koordinaattien pohjalta voidaan kuvalähteen koordinaattipisteet määrittää yksikertaisella vektorilaskulla. Olkoon nˆ heijastavaa tasoa kohtisuorasti vastaan osoittava suuntavektori ja p origon etäisyys heijastustasoon. Kuvasta 2 voidaan helposti nähdä, että kuvalähteeseen päädytään kulkemalla alkuperäisestä lähdepisteestä 2d pituinen matka heijastustasoa vastaan kohtisuoraa janaa pitkin. Alkuperäisen lähteen etäisyys heijastustasosta on täten d p P nˆ, (1) ja vektori origosta kuvalähdepisteeseen R P 2dnˆ. (2) 2
Kuva 2. Kuvalähteen koordinaattivektori R saadaan laskemalla ensin lähteen etäisyys d heijastusrajapinnasta. 4 NÄKYVYYSTARKASTELUT Edellisessä luvussa käsiteltiin laskuperiaate, jonka avulla mielivaltaiselle monitahokkaalle voidaan laskea kuvalähdepisteiden paikkakoordinaatit. Jos laskettujen heijastusten määrä on N ja heijastuspintojen lukumäärä M, niin mahdollisia kuvalähteitä on yhteensä 1 M ( M 1) N. Näin saatu kuvalähteiden määrä on kuitenkin hyvin epärealistinen, koska siinä ei ole huomioitu vielä mitenkään tarkasteltavan tilan geometriaa. Kuvalähteet voidaan esittää puurakenteena, jossa jokainen kerros vastaa yhtä uutta heijastusastetta (Kuva 3) Kuva 3.M -heijastuspintaisen huoneen kaikki kuvalähteet puurakenteena. Kuvalähteet 1,1 ja M,1 voidaan hylätä suoraan. Jokaisen heijastuksen käänteisheijastuksen voidaan luonnollisesti hylätä suoraan. Jäljelle jääneistä kuvalähteistä osa karsiutuu edelleen pois, sillä kuvalähdepisteiden tulee toteuttaa kolme kriteeriä. Ensimmäinen kriteeri on oikeellisuus (validity). Kriteerin mukaan kaikki 3
sellaiset kuvalähdepisteet, jotka on muodostettu peilaamalla kuvalähdepiste tarkasteltavan tilan rajapinnan ulkopuolelta pinnan sisäpuolelle, mitätöidään. Kuten Borish (1984, s. 1828) on esittänyt julkaisussaan, rajapintojen voidaan ajatella olevan peilejä, joiden heijastava pinta osoittaa huoneen sisäpuolelle. Tällöin ainoastaan ne kuvalähdepisteet, jotka saadaan peilaamalla toinen kuvalähde peilin heijastavalta puolelta rajapinnan ulkopuolelle, toteuttavat oikeellisuusehdon. Kuvassa 4 pisteet P1 ja P2 toteuttavat oikeellisuuskriteerin, mutta piste P3 ei, sillä se on peilautunut pisteestä P2, joka sijaitsee 2. rajapinnan heijastamattomalla puolella. Kuva 4. Virtuaalisista kuvalähdepisteistä P1 ja P2 täyttävät oikeellisuuskriteerin. Toinen kriteeri on läheisyys (proximity). Tällä tarkoitetaan kuvalähdepisteiden määrän rajoittamista perustuen muodostetun kuvalähteen ja havainnointipisteen väliseen etäisyyteen. Toisin sanoen kaikki ne kuvalähteet, jotka sijaitsevat määritettyä maksimietäisyyttä kauempana, hylätään. Samalla myös kyseisen kuvalähteen jälkeläisinä muodostetut kuvalähdepisteet voidaan jättää tarkastelun ulkopuolelle, koska niiden etäisyys havainnointipisteestä on automaattisesti isäsolmuna toimivan pisteen etäisyyttä suurempi ja ylittää siten määritetyn maksimietäisyyden. Kolmantena kriteerinä on näkyvyys (visibility), joka kaksiulotteisessa tarkastelussa tarkoittaa sitä, että havainnointipisteen täytyy sijaita peilikuvalähteen ja peilauksessa käytetyn rajapinnan reunapisteiden välille muodostetussa näkyvyyskeilassa. Kuvassa 5 havainnointipisteen A suhteen peilikuvalähde toteuttaa näkyvyyskriteerin, mutta pisteen B kohdalla peilikuvalähde hylättäisiin. Kuva 5. Peilikuvalähteen näkyvyyskeila. Lähteen A suhteen kuvalähde toteuttaa näkyvyyskriteerin. 4
Kolmiulotteisessa mallissa näkyvyystarkastelu muuttuu niin, että peilikuvalähteestä piirretään yhdysjana tarkastelupisteeseen ja jos kyseinen jana leikkaa rajapinnan suuntaisen tason tasoalueen sisäpuolella, toteuttaa piste näkyvyyskriteerin. Matemaattisesti sama tarkastelu voidaan tehdä muodostamalla yhdysjanan ja rajapintatason leikkauspisteestä vektorit tasoalueen kulmapisteisiin ja laskemalla näiden vektorien ristitulot. Jos kaikkien ristitulojen antamat vektorit osoittavat samaan suuntaan, jana leikkaa tason ja siten näkyvyyskriteeri täyttyy. Jos taas yhdenkin vektoritulon tuottama vektori osoittaa päinvastaiseen suuntaan kuin muut tulosvektorit, jana ei leikkaa tasoaluetta ja siten tarkastelussa ollut kuvalähde voidaan hylätä. Kuvassa 6 on esitetty kahdesta kuvalähteestä tarkastelupisteeseen muodostetut yhdysjanat. Huomataan, että ristitulo v 1 v osoittaa päinvastaiseen suuntaan, kuin tulo 2 v 2 v 3, joten kuvalähde P1 ei toteuta näkyvyyskriteeriä. Toisen kuvalähteen kohdalla tilanne on toisaalta se, kaikkien vektorien t1 t2, t2 t3,..., t5 t6 väliset ristitulot osoittavat samaan suuntaan ja siten P2 toteuttaa näkyvyyskriteerin. Kuva 6. Näkyvyystarkastelu kuvalähteiden P1 ja P2 osalta. Edellä mainittu menetelmä näkyvyystarkastelun suorittamiseen ei kuitenkaan ole riittävä, jos tasopinta käsittää yli 180 asteen kulmia. Tällöin kuulijasta kuvalähdepisteisiin piirrettyjen vektorien välinen ristitulo saattaa tuottaa keskenään erisuuntaisia vektoreita siitä huolimatta, että yhdysjanan ja tason leikkauspiste sijaitsisi tasoalueen sisäpuolella. Tällöin tarvitaan lisätarkastelu, jossa summataan tason kulmapisteisiin piirrettyjen vektorien väliset kulmat. Jos näiden kulmien summa on 2, leikkauspiste on tason reunojen sisäpuolella. Jos taas summaksi saadaan 0, leikkauspiste on tasonalueen reunojen ulkopuolella. Mainittakoon vielä, että näkyvyystarkastelun tekemiseen on tarjolla muitakin algoritmeja, kuten yhdistetty säteenseuranta/kuvalähdealgoritmi. Lisäksi on joudutaan vielä erikseen suorittamaan katvealueiden tarkastelu jokaiselle kuulijan ja virtuaalilähteen välisen polun segmentille. Ne virtuaalilähteet, joista kuulijapisteeseen 5
vedetty jana leikkaa katveen muodostavan tason, hylätään. Koska katvealuetarkastelu aiheuttaa lisää kompleksisuutta ja siten kasvattaa laskenta-aikaa, potentiaalisesti katvealueen muodostavat tasot merkitään erikseen ylös ja siten voidaan rajoittaa niiden pintojen määrää, joille katvetarkastelu suoritetaan. Kuvassa 7 on esimerkki yli 180 asteen kulman aiheuttamasta katvealueesta. Kuten kuva osoittaa, kuvalähteen ja havainnointipisteen välinen estepinta aiheuttaa heijastuksen aivan kuten muutkin tilan pinnat ja siten uusi kuvalähdepiste muodostetaan myös esteen aiheuttaman pinnan suhteen. Kuva 7. Yli 180 asteen kulma aiheuttaa simuloitavaan tilaan katvealueen. Koska kuvalähteiden muodostaminen näkyvyystarkasteluineen kasvattaa laskenta-aikaa heijastuskertaluvun kuutiona, on kehitetty ekstrapolointimenetelmiä korkeamman asteen virtuaalilähteiden mallintamiseksi alemman kertaluvun virtuaalilähteiden pohjalta. Yksi vaihtoehto on olettaa, että ensimmäisten N heijastuksen jälkeen jäljellä oleva energia on diffuusia ja tämän oletuksen pohjalta korvata heijastukset N 1 lähtien tilastollisilla menetelmillä luodulla jälkikaiunnalla. Toisena vaihtoehtona on olettaa heijastusten jatkuvan peilikuvaheijastuksina ja muodostaa kuvalähteet ekstrapoloimalla jo laskettuja varhaisempia heijastuksia. Kristiansen et al. (1992, s. 201) tutki ekstrapolointimenetelmän toimivuutta yksinkertaisen suorakulmaisen huoneen tapauksessa. Kuuden varhaisimman heijastusasteen perusteella muodostettiin ekstrapolointifunktiot näkyvien kuvalähteiden määrälle ja kuvalähteiden keskimääräiselle etäisyydelle. Tämän jälkeen samalle huoneelle ekstrapolointimenetelmällä approksimoitujen kuvalähteiden tarkat sijainnit tietokoneella (Allen et al., 1978). Verrattaessa ekstrapolointimenetelmällä saatuja tuloksia tarkasti laskettuihin arvoihin huomattiin, että niiden korreloivat hyvin keskenään. 5 SOVELLUKSET Kuvalähdemenetelmän pääasiallinen käyttötarkoitus on erilaisten konserttisalien akustisen tilavaikutelman mallinnus laskettujen virtuaalilähteiden pohjalta muodostetun impulssivasteen perusteella. Menetelmää kuitenkin käytetään myös mm. erimuotoisen tilojen akustisten ominaisuuksien vertailuun ja toisten akustisten mallinnusmenetelmien analysointiin. Kuvalähdemenetelmän heikkoutena on, että se ottaa huomioon vain peilimäiset heijastukset. Heijastuspintojen epätasaisuudesta johtuva äänen sironta jää tarkastelun ulkopuolelle. Lisäksi kuvalähdemenetelmä ei myöskään sovellu jälkikaiunnan 6
mallintamiseen, sillä heijastusten kertaluvun kasvaessa muodostettavien kuvalähteiden määrä kasvaa heijastustasojen kuutiona. Tästä johtuen laskenta-aika kasvaa nopeasti liian suureksi ja toisaalta kuvalähdemenetelmä on turhan pikkutarkka jälkikaiunnan mallinnukseen. Jälkikaiunta onkin järkevämpää muodostaa erikseen käyttäen apuna tilastollisia menetelmiä. 5.1 Impulssivasteen muodostaminen kuvalähteiden perusteella Jotta voidaan tuottaa vaikutelma siitä, että ääni on tuotettu simuloitavassa tilassa, täytyy väritön äänisignaali konvoloida tilan impulssivasteen kanssa. Kuvalähdemenetelmän avulla muodostetut virtuaalilähteiden sijainnit voidaan konvertoida impulssivasteeksi melko suoraviivaisesti. Ensin lasketaan suoran äänisignaalin viive, joka aiheutuu äänilähteen ja kuulijan välisestä etäisyydestä kaavalla vs0 l t 0, (4) c missä vektorit vs 0 ja l osoittavat lähteen ja kuulijan sijainnin sekä c äänennopeuden. Koska kuulijan on mahdotonta havaita suoran äänen viivettä pelkän kuuloaistinsa avulla, kaikkia myöhemmin saapuneita heijastuksia verrataan suoran äänen saapumisaikaan. Heijastuneiden signaalien saapumisajat lasketaan täten kaavalla missä vs i l i t0, i 0, (5) c vs i on paikkavektori i :teen virtuaalilähteeseen. Saapumisaikojen lisäksi viivästyneille äänisignaaleille on laskettava myös niiden amplitudit. Kuvalähdemenetelmän yhteydessä otetaan huomioon kolme vaimennusta aiheuttavaa tekijää. Ensimmäinen tekijä on äänipainetason riippuminen äänisignaalin kulkemasta matkasta. Oletuksena on yleensä, että äänilähde on pistemäinen ja siten se tuottaa pallomaisia ääniaaltorintamia. Toinen tekijä on äänienergian absorboituminen heijastusrajapinnoissa ja kolmas väliaineen eli ilman aiheuttama vaimennus. Näiden kahden tekijän perusteella viivästyneille äänisignaaleille voidaan laskea suoran äänen amplitudiin verrannollinen voimakkuus kaavalla R0 g i j, (6) R i j S missä R i on etäisyys kuulijan ja i :en virtuaalilähteen välillä, S on kuulijan ja lähteen välillä olevien heijastuspintojen lukumäärä ja j on j :en heijastuspinnan heijastuskerroin. Lisäksi voidaan myös ottaa huomioon ilman absorboiva vaikutus äänienergiaan lisäämällä 0.5 mr i eksponenttitermi, missä m on ilman absorbointivakio. e Kuten jo aiemmin mainittiin, kuvalähdemenetelmällä ei kyetä mallintamaan äänen sirontaa. Lopullisen impulssivasteen todenmukaisuuden kannalta äänen diffuusilla osalla 7
on kuitenkin merkitystä. Heinz (1992, s. 147) on esittänyt menetelmän, jolla hieman modifioituun kuvalähdemenetelmään lisätään diffuusi taustasignaali. Menetelmä perustuu siihen, että karkeista pinnoista aiheutuvan diffuusin sironnan voidaan olettaa olevan suunnaltaan satunnaisesti jakautunutta. Sironnan estimointiin käytetään äänipartikkelin seurantamenetelmää alhaisella aikaresoluutiolla. Menetelmässä äänipartikkelin reittiä jäljitetään siten, että aina heijastuspintaan osuessaan partikkelin energiaa skaalataan termillä 1 a, missä a on heijastuspinnan absorbointivakio kyseisellä taajuusalueella. Kuulijapisteen ympärillä ajatellaan olevan pallomainen esim. 1m halkaisijaltaan oleva vastaanottopinta. Pintaan törmänneiden hiukkasten pohjalta muodostetaan diffuusin äänienergian tehospektri, johon kohdistetaan Poisson prosessi. Tuloksena saadaan sarja Dirac pulsseja, jotka ovat Poisson jakautuneet aika-akselille. Jotta diffuusi taustasignaali vastaisi mahdollisimman hyvin todellisuudessa havaittavaa äänisignaalin sironnasta aiheutuvaa osuutta, Dirac pulssit vielä konvoloidaan HRTF siirtofunktion kanssa. 5.2 Erimuotoisten tilojen akustiikan vertailu kuvalähdemenetelmän avulla Impulssivasteen muodostamisen lisäksi kuvalähdemenetelmää voidaan käyttää suoraan erimuotoisten tilojen akustisten ominaisuuksien vertailemiseen. Vertailussa käytetään hyväksi kuvalähdepisteiden sijainneista muodostettua kuvaajaa. Kuvaaja voi olla projisioitu kolmiulotteinen näkymä kuvalähdepisteiden sijainnista. Kuvalähdepisteen voidaan myös esittää pelkästään kulman funktiona kaksiulotteisessa koordinaatistossa, jolloin virtuaalilähteen amplitudi esitetään esimerkiksi kuvalähteitä esittävien rastien suuruudella (Kuva 8). Kuva 8. Kuvalähdepisteitä esitettynä kulmakoordinaastistossa Kolmas tapa esittää kuvalähdepisteiden sijainti ja voimakkuus on käyttää polaarikoordinaatistoa (Kuva 9), jossa kulma 0 osoittaa todellisen lähteen suuntaan ja virtuaalilähteet on esitetty tarkkailupisteestä lähtevillä janoilla. Janan pituus ilmoittaa vain vastaavan virtuaalilähteen suhteellisen amplitudin, joten elevaatioinfo häviää. 8
Kuva 9. Kuvalähdepisteitä esitettynä polaarikoordinaatistossa. Kuvalähdepisteiden sijaintien ja voimakkuuksien perusteella voidaan siis myös päätellä miten esimerkiksi konserttisalin muoto vaikuttaa tilavaikutelman syntymiseen. Borish (1984, s. 1833) vertaili suorakaiteen muotoisen, viuhkan sekä käänteisen viuhkan muotoisten salien kuvalähteiden sijoittumista (Kuva 10). Vertailussa havaittiin, että suorakaiteen muotoisen salin kuvalähdepisteet asettautuivat suoriin riveihin salin etu- ja takapuolelle. Viuhkan muotoisen salin tapauksessa kuvalähderivit kaartuivat pois päin salin keskustasta ja vastaavasti käänteisen viuhkan tapauksesta salin keskustaan päin. Tästä voitiin vetää johtopäätös, että parhaimman tilavaikutelman synnyttää käänteisen viuhkan mallinen sali, koska sen tapauksessa kuvalähdepisteet ympyröivät tasaisimmin salia. Vastaavasti viuhkan muotoinen sali oli tällä perusteella huonoin vaihtoehto. Kuva 10. Kolmen salityypin kuvalähdepisteiden sijainnin vertailu. Käänteisen viuhkan tapauksessa kuvalähdepisteet ympyröivät tasaisimmin salia. 5.3 Kuvalähteiden käyttö säteenseurantamenetelmän analysoinnissa Kuvalähdemenetelmän avulla voidaan analysoida toista huoneakustiikan mallinnuksessa yleisesti käytettävää menetelmää, säteenseurantaa. Säteenseurannan etuna kuvalähdemenetelmään nähden on sen helpompi ohjelmoitavuus geometrialtaan monimutkaisten tilojen simuloinnissa. Säteenseurantamenetelmällä on kuitenkin omat haittapuolensa, joiden paljastamiseen voidaan käyttää kuvalähdemenetelmää. 9
Säteenseurantamenetelmässä säteitä emittoidaan lähdepisteestä tasaisesti joka suuntaan. Säteitä seurataan niin kauan kunnes saavutetaan jokin virtuaalisista kuulijapisteistä. Kuvalähdemenetelmän avulla säteenseurantaan liittyvät ongelmatilanteet voidaan esittää kuvan 11 mukaisesti. Kuva 11. Säteenseurannan ongelmatilanteet kuvalähdemenetelmän avulla analysoituna. Nähdään, että säteeltä A jää kokonaan huomaamatta toinen virtuaalinen kuuntelija, joka jää lähellä olevan kuuntelijapisteen katveeseen. Toisaalta säteeltä B jää huomaamatta lähellä olevat virtuaaliset kuulijapisteet, koska säde vain sivuaa niitä. Toisin kuin kuvalähdemenetelmän tapauksessa, säteenseurannan avulla ei siis havaita kaikkia tietyn etäisyyden sisäpuolella olevia virtuaalipisteitä, vaan osa niistä jää huomaamatta. 6 YHTEENVETO Kuvalähdemenetelmä on yksi eniten käytetyistä menetelmistä huoneakustiikan mallinnuksessa. Menetelmän avulla voidaan simuloida tarkasti äänilähteen varhaisia heijastuksia. Menetelmää voidaan soveltaa mielivaltaisen muotoiseen tilaan. Haittapuolena on heijastusten kertaluvun funktiona eksponentiaalisesti kasvava laskenta-aika ja toisaalta monimutkaisen geometrian omaavien tilojen mallinnuksen ohjelmointi on suhteellisen hankalaa. Kuvalähdemenetelmää käytetään mm. erilaisissa huoneakustiikan mallinnusohjelmistoissa. Sillä voidaan tutkia varhaisten heijastusten sekä ajallista, että myös spatiaalista jakaumaa. Yhdistämällä kuvalähdemenetelmän avulla luotujen varhaisten heijastusten impulssivaste tilastollisesti luotuun jälkikaiuntaan voidaan menetelmää hyödyntää myös auralisoitaessa mallinnustuloksia esimerkiksi suunnitteilla olevasta konserttisalista. 10
LÄHDEVIITTEET Allen, J.B., Berkley, D.A. Image Method for Efficiently Simulating Small-Room Acoustics, J. Acoust. Soc. Am., 65, 5, April, 1979, 943-951. Borish, Jeffery. Extension of the image Model to Arbitrary Polyhedra. J. Acoust. Soc. Am., 75, 6, June, 1984, 1827-1836. Kristiansen, U.R., A. Krokstad, and T.Follestad. Extending the Image Method to Higher- Order Reflections. J. Applied Acoustics, 38, 2-4, 1993, 195-206. Heinz, R. Binaural Room Simulation Based on an Image Source Model with Addition of Statistical Methods to Include the Diffuse Sound Scattering of Walls and to Predict the Reverberant Tail J. Applied Acoustics, 38, 2-4,1993,145-160. 11