MB5 YHTEENVETO Todennäköisyyslaskenta
Klassinen todennäköisyys Suotuisten tapahtumien lukumäärä Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä k n Todennäköisyys = P (A) = suotuisat kaikki k n
Todennäköisyys P(A) Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys 0 Varman tapahtuman todennäköisyys 1 0 < P(A) < 1 0% < P(A) < 100%
Todennäköisyyden yhteenlaskusääntö TAI Yhteenslasku Jos tapahtumat A ja B eivät mitenkään vaikuta toisiinsa eli ovat toisistaan riippumattomia, niin P(A tai B) = P(A) + P(B)
ESIMERKKI Otetaan korttipakasta kortti. P(kortti on joko pataässä tai hertta) P(pataässä) + P(hertta) 1 13 52 52 0, 269.. ( 27%)
Todennäköisyyden kertosääntö JA, Molemmat Kertolasku Jos tapahtumat A ja B eivät mitenkään vaikuta toisiinsa eli ovat toisistaan riippumattomia, niin P(A ja B) = P(A). P(B)
ESIMERKKI Pussissa on 5 sinistä, 3 valkoista ja 7 mustaa kuulaa. Pelaaja ottaa umpimähkään pussista kuulan, palauttaa sen pussiin ja ottaa toisen kuulan P(molemmat kuulat sinisiä) =? P(eka sininen JA toka sininen) 5 5 15 15 0,11
Todennäköisyyden kertosääntö Jos tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippuvia P(ensin A ja sitten B) = P(A). P(B, kun A on tapahtunut) B-tapahtumassa otetaa huomioon muuttunut tilanne: suotuisat muuttuneet kaikki muuttuneet jne.
ESIMERKKI Pussissa on 5 sinistä, 3 valkoista ja 7 mustaa kuulaa. Pelaaja ottaa peräkkäin pussista kaksi kuulaa palauttamatta kuulaa välillä pussiin. P(molemmat kuulat sinisiä) Eka Toka 5 4 20 2 15 14 210 21 0,095
Mikä on todennäköisyys, että pakasta nostetaan peräkkäin 4 ässää? 4 3 2 1 24 52 51 50 49 6497400 3,69 10 6
A:n vastatapahtuma ei-a Tapahtuma A Vastatapahtuma (=ei-tapahtuma) eia Todennäköisyyksien summa = 1 = 100 % P(A) + P(eiA) = 1 = 100 % P(A) = 1 P(eiA) P(eiA) = 1 P(A) Yleensä: Ainakin yksi Vastatapahtuman avulla
ESIMERKKI Perheeseen syntyy neljä lasta P(A)= P(kaikki ovat sunnuntailapsia) 1 P( su) 7 Eka toka kolmas neljäs 1 1 1 1 1 1 PA ( ) 4, 2 10 7 7 7 7 7 2401 4 4
ESIMERKKI Perheeseen syntyy neljä lasta P(A)= P(kaikki eri viikonpäivinä) 7 6 5 4 PA ( ) 0,35 7 7 7 7
AINAKIN... A= Ainakin yhden kerran = 1,2,3, kertaa vastatapahtuma = eia = ei kertaakaan= 0 kertaa P(A ainakin 1 kertaa) = 1 - P(A 0 kertaa) 1 P(ei kertaakaan)
Millä todennäköisyydellä 4 lapsesta ainakin yksi on syntynyt sunnuntaina? P(ainakin yksi on syntynyt sunnuntaina) = 1 P(kaikki syntyneet ei-su) P( ei su) suotuisat päivät 6 kaikki päivät 7 eka toka kolmas neljäs 6 6 6 6 1 0, 46 7 7 7 7
ESIMERKKI Tullissa tarkastetaan sattumanvaraisesti 5% matkailijoista. Kuinka suuri on todennäköisyys, että 10 hengen seurueesta ainakin 1 joutuu tarkastukseen? tarkastus p = 0,05 ei-tarkastus = 1 0,05 = 0,95 P(ainakin 1) = 1 P(ei yhtään joudu tarkastukseen) P(ainakin 1) = 1 0,95 10 = 0,40126 40 %
Todennäköisyys Erilaisia vaihtoehtoja Peräkkäiset tapahtumat ensin A, sitten B -viittaavat kertolaskuun Rinnakkaiset tapahtumat A tai B viittaavat yhteenlaskuun
Jonon järjestyksiä n alkiota voidaan järjestää jonoon n! = 1. 2. 3 n eri tavalla Kuinka monella eri tavalla viisi erilaista pelinappulaa voidaan asettaa pelilaudalle peräkkäin? 5! = 1. 2. 3. 4. 5 = 120 eri tavalla
Valintoja: alijoukkoja isommasta joukosta Kuinka monta erilaista k:n alkion ryhmää voidaan valita n :stä alkiosta? "n yli k" = n k Laskimessä yleensä ncr
ESIMERKKI Kuinka monella eri tavalla voidaan 10:stä henkilöstä valita 4 henkilöä? 10 210 4
Todennäköisyys saada lotossa 7 oikein yhdellä rivillä 1 1 39 7 15 380 937 6,5 10 8 Yksi mahdollisuus noin 15 miljoonasta
Todennäköisyys saada Viking-lotossa 6 oikein 48 numeron joukosta 6 oikein: 1 1 48 6 12 271 512 8,15 10 8 Yksi mahdollisuus noin 12 miljoonasta
Lotossa kaikki 7 väärin Lotossa numeroita 39, niistä oikeita 7 Joten vääriä numeroita 39 7 = 32 kpl Vääriä 7:n rivejä yhteensä 32 Kaikki rivit 39 7 Kaikki vääriä: rastitettu 7 numeroa 32:n joukosta 32 väärät rivit 7 P(kaikki 7 väärin) = 0,219 kaikki rivit 39 7 7
Lotossa yhdellä rivillä ainakin yksi Numero oikein P(ainakin 1 oikein ) = 1 P(ei yhtään oikein) 1 P(kaikki väärin) 1 P(kaikki väärin) = 1-0,219 = 0,781 V: 0,78
KORTTIPELIN TODENNÄKÖISYYKSIÄ (Pakassa 52 korttia. 5 KORTIN KÄSI) 1) Kuinka monta eri kättä? 52 5 2 598 960 eri "kättä 2) Herttareeti = herttavärisuora = 10, jätkä, rouva kuningas,ässä (Kuningasvärisuora) P(herttareeti) suotuisat tapaukset 1 1 kaikki tapaukset 52 2 598 960 5
KORTTITODENNÄKÖISYYKSIÄ 4) P (ässäneloset) =? 4 ässää ja yksi muu kortti Muita kortteja 52 4 ässää = 48 kpl Ässäneloset sisältäviä käsiä on siis 48 kpl P(Ässäneloset) suotuisat 48 1 kaikki 52 54 145 1,8 10 5 5
Miten monella eri tavalla voi veikata? Joka rivillä kolme vaihtoehtoa: 1, x, 2 3 13 = 1 594 323 mahdollisuutta 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2
Mikä on todennäköisyys veikata 13 oikein? Suotuisia veikkausrivejä 1 Kaikkia rivejä 3 13 3 1 13 Tai erikseen 13 ottelua, kukin 1/3 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 13 6,3 10 7
Tehtäviä: Kuinka monella eri tavalla 16 oppilasta voi tehdä jonon? Kuinka monella eri tavalla voidaan 16 oppilaan joukosta valita 4 oppilasta?
Harjoitus 5 Millä todennäköisyydellä 16 oppilaan joukossa ainakin kaksi on syntynyt samassa kuussa? Varma tapaus, koska kuukausia on enemmän kuin oppilaita Todennäköisyys = 1 = 100%
Tehtävä Kuinka monta kättelyä tarvitaan 16 oppilaan joukossa, jos kaikki kättelevät toisiaan? Siis kuinka monta erilaista kättelyparia voidaan muodostaa 16 oppilaasta 16 2 120
Tehtävä Ampuja osuu yleensä kymppiin joka viidennellä laukauksella. Hän ampuu kolme kertaa. Miten suuri mahdollisuus hänellä on saada a) kolme kymppiä? P( kymppiin) 1 5 P(eka10 ja toka10 ja kolmas10) 1 1 1 1 5 5 5 125
Tehtävä Ampuja osuu yleensä kymppiin joka viidennellä laukauksella. Hän ampuu kolme kertaa. Miten suuri mahdollisuus hänellä on saada b) ei yhtään kymppiä? p = P(kymppi) = 1/5=0,20 P(ei-kymppi) = 0,80 0,8 0,8 0,8 = 0,512 = 51,2 %
Tehtävä Laskettelija kaatuu rinteessä 20% todennäköi - syydellä. Hän laskee kolme laskua peräkkäin. Millä todennäköisyydellä hän kaatuu ainakin yhden kerran. Ainakin kerran Lasketaan vastatapahtuman avulla. P(kaatuu) = 0,20 p(ei-kaadu) = 0,80 P(kaatuu ainakin kerran) = 1 P(ei kaadu kertaakaan) 1-0,8 0,8 0,8 0,49
HARJOITUS Seuran hallitus valitaan 9 ehdokkaan joukosta. Hallituksen jäsenet tulevat olemaan puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja. Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa on vaalissa, kun a) valitaan hallituksen jäsenet ja heille tehtävät 9 8 7 6 3024
Tehtävä Seuran hallitus valitaan yhdeksän ehdokkaan joukosta. Hallituksen jäsenet tulevat olemaan puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja. Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa on vaalissa, kun b) valitaan neljä henkilöä hallitukseen ja annetaan heidän päättää myöhemmin keskinäisestä työnjaosta. Valitaan siis 4 henkilö 9 joukosta: 9 126 4
HARJOITUS Elossa olevia 100 000 syntynyttä kohti ikä naiset miehet 0 100 000 100 000 10 99 265 99 062 20 99 035 98 482 30 98 606 97 187 40 97 816 94 893 50 96 179 90 648 60 92 100 80 817 70 81 533 60 058 75 71 127 45 718 80 55 670 29 872 85 35 404 15 395 Laske tilaston mukaan seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: a) Vastasyntynyt tyttö elää vähintään 70-vuotiaaksi. 81533 = 82% 100000 b) 30-vuotias mies elää vähintään 80-vuotiaaksi. 29872 = 31% 97187 c) 50-vuotias nainen elää 80- vuotiaaksi, mutta ei 85-vuotiaaksi. 55670-35404 = 21% 96179