. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x + 8, f (3) (2) = 66, f () (x) = 2, f () (2) = 2 ja f (n) (x) =, kun n 5. Funktion f Taylorin polynomin T n (x, a) kaava on T n (x, a) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) 2 + + f (n) (a) (x a) n n! ja nyt kun ollaan laskemassa niitä monta peräkkäin, niin huomataan, että T n (x, a) = T n (x, a) + f (n) (a) (x a) n, n! ja koska f (n) (x) =, kun n 5, niin T n (x, 2) = T (x, 2), kun n 5. Lasketaan siis Taylorin polynomit T,... T : T (x, 2) = f(2) = 56, T (x, 2) = 56 + 7(x 2) = 7x 92, T 2 (x, 2) = 7x 92 + 86 (x 2)2 = 3x 2 98x + 8, T 3 (x, 2) = 3x 2 98x + 8 + 66 3! (x 2)3 = x 3 23x 2 + 3x 8, T (x, 2) = x 3 23x 2 + 3x 8 + 2! (x 2) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, eli T on sama kuin alkuperäinen polynomi. Kuvaajat löytyvät kuvasta. 2. Kirjoitetaan ja derivoidaan: f(x) = x x 2 = x 2 + = + x 2 x 2 f (x) = (x 2) 2, f () =, f 2 (x) = (x 2) 3, f () =, f (3) 6 (x) = (x 2), f (3) () = 3 8.
. Taylorin polynomi ja f. Taylorin polynomi ja f.5 2 2.5 3 -.5 2 2.5 3 2. Taylorin polynomi ja f 3. Taylorin polynomi ja f.5 2 2.5 3.5 2 2.5 3 Kuva : Tehtävän Taylorin polynomit punaisella ja funktio f sinisellä katkoviivalla. Haluttu Taylorin polynomi on siis Kuvaajat löytyvät kuvasta 2. T 3 (x, ) = f() + f ()x + f () = 2 x 8 x2 6 x3. x 2 + f (3) () x 3 3! 3. Jäännöstermin R n (x) = f(x) T n (x, ) Lagrangen muoto on R n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x a)n+, eli se muistuttaa seuraavan Taylorin polynomin korkeinta astetta olevaa termiä, mutta derivaatta lasketaan pisteessä ξ, joka on kehityskeskuksen a ja x:n väliltä. Tarkkaa arvoa ξ:lle (joka saadaan väliarvolauseesta) ei siis yleensä tiedetä. 2
.8.6..2 -.2 -. -.6 -.8 - -.5 - -.5.5.5 Kuva 2: Tehtävän 2 Taylorin polynomi punaisella ja yhtäjaksoisella viivalla, funktio f sinisellä ja katkoviivalla ja virhe f T 3 (x, ) turkoosilla pisteviivalla. a) Lasketaan ensin haluttu Taylorin polynomi: f(x) = x + 5 = (x + 5) /2, f() = 5, f (x) = 2 (x + 5) /2, f () = 2 5, f (x) = (x + 5) 3/2, f () = 5 3, f (3) (x) = 3 8 (x + 5) 5/2, f (3) = 3 8 5 5, joiden avulla saadaan, että Tässä tapauksessa T 3 (x, ) = 5 + 2 5 x 8 5 3 x2 + 6 5 5 x3 R 3 (x) = 5 6! (ξ + 5) 7/2 x. 3
Arvioidaan R 3 (x) :n suuruutta, kun x [, ]. Ainakin x. ξ on puolestaan nollan ja x:n väliltä, joten se löytyy myös väliltä [, ]. Tällöin ξ + 5 [, 6] ja /(ξ + 5) 7/2 [6 7/2, 2 7 ]. Yhdistetään nämä tiedot: ) r n = max R 3(x) = x [,] max x [,] 5 28 max (ξ + ξ [,] 5) 7/2 5 28 2 7, ( 5 6! (ξ + 5) 7/2 x max x [,] x joten välillä [, ] tapahtuva virhe approksimoitaessa funktiota f Taylorin polynomilla T 3 (x, ) on ainakin pienempi kuin 5/28 2.35. b) Lasketaan taas derivaatat f(x) = 2 x = e ln 2x = e x ln 2, f() =, f (x) = e x ln 2 ln 2, f () = ln 2, f (x) = e x ln 2 (ln 2) 2, f () = (ln 2) 2 ja vastaavasti f (n) () = (ln 2) n, kun n = 3,, 5. Kysytty Taylorin polynomi on T 5 (x, ) = + (ln 2)x + (ln 2)2 x 2 + (ln 2)3 3! x 3 + (ln 2)! x + (ln 2)5 5! x 5 ja Lagrangen muoto jäännöstermistä on R 5 (x) = eξ ln 2 (ln 2) 6 6! x 6 = 2ξ (ln 2) 6 6! x 6. Kun x, ξ [, ] on x 6 ja 2 ξ [/2, 2], joten saadaan arvio r 5 = max R (ln 2)6 5(x) 2. x [,] 6! Välillä [, ] tapahtuva virhe approksimoitaessa funktiota f Taylorin polynomilla T 5 (x, ) on korkeintaan 2(ln 2) 6 /6!.38 eli ainakin kolme desimaalia on oikein approksimaatiossa T 5 (x, ).. Käytetään hyväksi geometrisen sarjan summaa joka on voimassa, kun y <. y = + y + y2 + y 3 + = y k, k=
Muunnetaan annettu funktio sopivan näköiseksi: f(x) = 2 + x 3 = 2 + x3 = ) k ( x3 2 k= = ( k x 2 ) 3k. k= = 2 ( x3 ) (Kehitelmä on voimassa, kun x 3 / < eli kun x < 3.) Koska Taylorin polynomi ja sarja ovat yksikäsitteisiä ja katkaistun termin jäännöstermit ovat samaa astetta vastaavien Taylorin polynomin jäännöstermien kanssa, voi näin saadusta sarjasta lukea Taylorin polynomin haluttuun asteeseen saakka: T 2 (x, ) = 2 k= ( ) k x 3k = 2 8 x3 + 32 x6 28 x9 + 52 x2. 5