Olkoon R X Y. Sen käänteisrelaatio R 1 on joukosta Y joukkoon X määritelty relaatio, jonka laki on yr 1 x xry. Siis R 1 = { (y, x) Y X (x, y) R }. Esimerkki. Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 1)}. Sen käänteisrelaatio on R 1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1)}.
Käänteisrelaation R 1 nuolikuvio on muuten sama kuin relaation R, paitsi että nuolten kulkusuunnat vaihtuvat. Jos lähtöjoukko halutaan vasemmalle puolelle, niin nuolikuvio on piirrettävä uudestaan vaihtamalla joukkojen paikkaa. Esimerkki käänteisrelaation nuolikuviosta, digraafista (eli polkukuviosta) ja matriisista Taululla.
Esimerkki. Olkoon X kaikkien TaY:ssa opiskelleiden ihmisten joukko ja Y kaikkien TaY:ssa opettajana toimineiden joukko. Määritellääan relaatio R X Y säännöllä: xry x on (ollut) y:n oppilas. Tällöin sen käänteisrelaation sääntö on yr 1 x y on x:n opettaja. Kirjoittamalla x:n paikalle y:n ja y:n paikalle x:n saamme sen muotoon xr 1 y x on y:n opettaja.
Olkoon R X Y ja olkoon S Y Z. Siis relaation R maalijoukko on sama kuin relaation S lähtöjoukko. Näiden relaatioiden yhdistetty relaatio R S on joukosta X joukkoon Z määritelty relaatio, jonka sääntö on Toisin sanoen x(r S)z y Y : xry ysz. R S = { (x, z) X Z y Y : (x, y) R (y, z) S }. Alkiot x X ja z Z ovat siis keskenään relaatiossa R S joss nuolikuviossa päästään x:stä nuolia pitkin z:aan.
Jos R on joukon X relaatio, voidaan muodostaa yhdistetty relaatio R 2 = R R. Siis xr 2 y pätee joss relaation R polkukuviossa x:stä päästään y:hyn kahden nuolen pituisella reitillä. Vastaavasti merkitsemme R 3 = (R R) R, jne. Esimerkki. Olkoon R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1)} ja S = {(1, 2), (2, 1), (3, 3))}. Mikä on R S, S R, R 2, S 2, S 3, S 4,...? Taululla.
Yleistämme nyt relaatioiden yhdistämisen määritelmän luopumalla R:n maalijoukon ja S:n lähtöjoukon samuudesta. Olkoon R X Y ja olkoon S U Z. Menettelemme kuten edellä, mutta meidän on vaadittava, että y Y U. Saamme relaatiolle R S säännön eli x(r S)z y Y U : xry ysz R S = { (x, z) X Z y Y U : (x, y) R (y, z) S }.
Relaatioille voidaan suorittaa joukko-opin laskutoimituksia. Esimerkki. Jos R X Y ja S X Y ovat relaatioita, niin niiden yhdiste R S on myös relaatio joukosta X joukkoon Y. Relaation R S sääntö on x(r S)y (xry xsy). Vastaavasti myös R S ja R \ S ovat relaatioita, ja niiden säännöt ovat x(r S)y (xry xsy) x(r \ S)y (xry x Sy)
Relaatioiden yhdistäminen ei yleisessä tapauksessa ole vaihdannaista, sillä jos R X Y ja S Y Z, missä X Z =, niin S R =, kun taas R S on yleensä epätyhjä. Seuraava esimerkki osoittaa, että vaihdantalaki ei päde vaikka tarkastellaan vain yhdessä joukossa X määriteltyjä relaatioita. Esimerkki. Olkoot X = {a, b}, R = {(a, a), (a, b)} ja S = {(b, a)}. Tällöin R S = {(a, a)}, mutta S R = {(b, a), (b, b)}.
Relaatioiden yhdistäminen ei siis noudata vaihdantalakia, mutta se noudattaa kuitenkin liitäntälakia. Lause 3. Olkoot R X Y, S Y Z ja T Z U relaatioita. Tälllöin R (S T ) = (R S) T. Todistus. Taululla. Liitäntälain perusteella voimme jättää sulut pois ja siis kirjoittaa R S T. Vastaavasti voimme menetellä, kun yhdistettäviä relaatioita on useampia.
Jos R on joukossa X määritelty relaatio, niin merkitsemme R n = R R (n kpl). Tälllöin xr n y, jos ja vain jos relaation R polkukuviossa alkiosta x päästään alkioon y reitillä, jossa on n nuolta. Lisäksi on luonnollista määritellä R 0 = I X (joukon X identtinen relaatio) ja R n = (R 1 ) n. Huom. Relaation potenssimerkintä on valitettavasti ristiriidassa karteesisen tulon potenssimerkinnän kanssa. Jos siitä aiheutuu väärinkäsityksen vaara, niin relaation R n-kertaista karteesista potenssia voidaan merkitä vaikkapa R (n).
Lause 4. Olkoot R ja S joukossa X määriteltyjä relaatioita. Tällöin (1) (R 1 ) 1 = R, (2) R S R 1 S 1, (3) (R S) 1 = R 1 S 1, (4) (R S) 1 = R 1 S 1, (5) (R S) 1 = S 1 R 1. Todistus. (osittain) Taululla.