Tekijäfunktiosta ja sen ominaisuuksista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu-tutkielma Katja Auvinen Tekijäfunktiosta ja sen ominaisuuksista Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Toukokuu 2005

Tampereen Yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos AUVINEN, KATJA: Tekijäfunktiosta ja sen omaisuuksista Pro gradu -tutkielma, 44s. Matematiikka Toukokuu 2005 Tiivistelmä Työ käsittelee tekijäfunktiota ja sen ominaisuuksia. Aluksi määritellään käsitteitä, joita tarvitaan varsinaisen aiheen käsittelyyn. Ensimmäisessä luvussa määritellään muun muassa aritmeettinen funktio ja funktion multiplikatiivisuus. Toisessa luvussa määritellään tekijäfunktio. Tekijäfunktiolla voidaan määrittää sekä luvun n tekijöiden lukumäärä, että luvun n tekijöiden summa. Tekijöiden lukumäärää merkitään symbolilla d(n) ja tekijöiden summa symbolilla σ(n). Toisessa luvussa esitellään myös täydellinen luku. Luvut voidaan jakaa täydellisiin, vajaisiin ja runsaisiin lukuihin tekijäfunktion avulla. Luku n on täydellinen, jos σ(n) = 2n. Jos σ(n) < 2n, niin luku n on vajaa, ja jos σ(n) > 2n, niin luku n on runsas. Luvussa esitellään myös monia muita ominaisuuksia, jotka saadaan käyttämällä tekijäfunktiota. Kolmannessa luvussa käsitellään Mersennen ja Fermat n lukuja. Mersennen alkuluvuksi sanotaan alkulukua, joka on muotoa M p = 2 p. Lucas- Lehmerin testillä voidaan helposti tutkia, onko jokin tietty Mersennen luku alkuluku. Fermat n alkuluvuksi sanotaan alkulukua, joka on muotoa 2 2m +. Pepinin testillä taas voidaan tutkia, onko jokin Fermat n luku alkuluku. Neljännessä luvussa käsitellään tekijäfunktion sovelluksia. Luvussa todistetaan Dirichlet n asymptoottinen kaava sekä funktiolle d(n), että funktiolle σ(n).

Sisältö Johdanto Algebrallisia määritelmiä 2. Alkuluvut............................. 2.. Määritelmä........................ 2..2 Suurin yhteinen tekijä.................. 3..3 Yksikkötekijä....................... 3.2 Aritmeettinen funktio....................... 4.2. Dirichlet n tulo...................... 4.2.2 Funktion multiplikatiivisuus............... 5.3 Funktioita............................. 7.3. Möbiuksen funktio.................... 7.3.2 Eulerin funktio...................... 8.3.3 Möbiuksen ja Eulerin funktion välinen yhteys..... 0 2 Tekijäfunktio ja täydelliset luvut 2 2. Tekijäfunktio........................... 2 2.2 Täydelliset luvut......................... 7 2.3 Tekijäfunktion ja täydellisen luvun sovelluksia......... 9 3 Mersennen ja Fermat n luvut 24 3. Mersennen alkuluku........................ 25 3.. Rationaalinen sovinnollinen lukupari.......... 27 3.2 Fermat n luku........................... 29 4 Aritmeettisten funktioiden keskiarvo 33 4. Määritelmiä ja aputuloksia.................... 33 4.. Iso O-notaatio ja funktioiden asymptoottinen yhtäsuuruus............................ 33 4..2 Eulerin summakaava................... 34 4..3 Alkeellisia asymptoottisia kaavoja............ 35 4.2 Tekijäfunktion kertaluku..................... 38 4.2. Tekijäfunktion d(n) keskiarvo.............. 38 4.2.2 Tekijäfunktion σ α (n) keskiarvo............. 39 4.2.3 Tekijäfunktion sovellus.................. 4 Viitteet 45 i

Johdanto Tämä työ käsittelee tekijäfunktiota ja täydellisiä lukuja sekä niiden sovelluksia. Lukijan oletetaan tuntevan algebran peruskäsitteet sekä Tampereen Yliopiston lukuteorian kurssin. Sellaisia peruskäsitteitä on esitelty ensimmäisessä luvussa, jotka liittyvä läheisesti aiheeseen. Toisessa luvussa käsitellään tekijäfunktiota ja täydellisiä lukuja. Luvussa määritellään tekijäfunktio ja todistetaan, että se on multiplikatiivinen. Lisäksi luvussa esitellään tekijäfunktion ja täydellisen funktion ominaisuuksia, muun muassa miten luvut jaotellaan täydellisiin, vajaisiin ja runsaisiin lukuihin. Kolmas luku käsittää Mersennen ja Fermat n luvut ja neljännessä luvussa esitellään joitakin tekijäfunktion sovelluksia. Aliluvussa 4.2 todistetaan Dirichlet n asymptoottinen kaava tekijäfunktioiden d(n) ja σ α (n) osasummille. Esimerkit ovat itse keksittyjä, ellei toisin mainita. Koska joitakin ominaisuuksia laskettaessa saadaa tulokseksi hyvin suuria lukuja ja lähdekirjallisuuksien esimerkeissä käytetään esimerkkeinä sellaisia laskuja, joista saadaan pieni numeroinen tulos, niin joitakin tämän työn esimerkkejä saataa esiintyä lähdekirjoissa. Todistukset ovat samoista lähteistä kuin lauseetkin, ellei toisin ole mainittu. Päälähdeteoksina on Tom M. Apostolin kirja Introduction to Analytic Number Theory, Kenneth H. Rosenin kirja Elementary Number Theory and Its Applications sekä MathWorld-internetsivustoa. Viitattaessa MathWorld-internetsivustoon viitteen perässä on hakusana, jolla ko. asia sivustolta löytyy.

Algebrallisia määritelmiä. Alkuluvut.. Määritelmä Määritelmä. Alkuluku on positiivinen kokonaisluku ja >, joka on jaollinen ainoastaan ykkösellä ja itsellään. Esimerkki Luvut 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9 ovat alkulukuja. Määritelmä.2 Positiivista kokonaislukua, joka ei ole alkuluku, kutsutaan yhdistetyksi luvuksi. Lause. Jokainen luku n, n >, on jaollinen alkuluvulla. ([3], s.) Todistus. Tarkastellaan luvun n tekijöiden joukkoa. Joukon alkiot ovat suurempia kuin, mutta pienempiä kuin luku n itse. Joukko on joko tyhjä tai ei-tyhjä. Jos se on tyhjä, niin luku n on määritelmän mukaan alkuluku, sillä luvun n jakaa luku n itse. Jos joukko on ei-tyhjä, niin on olemassa pienin tekijä d. Jos luvulla d on tekijä, joka on suurempi kuin ja pienempi kuin d, niin myös luvulla n on tämä tekijä. Tämä on mahdotonta, sillä d on pienin tekijä. Siis luku d on alkuluku ja luvulla n on alkulukutekijä, nimittäin luku d. Lause.2 Jokainen luku n, n >, voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona. ([3], s.) Todistus. Edellisen lauseen mukaan tiedämme, että on olemassa sellainen alkuluku p, että p n. Nyt siis n = p n,missä n < n. Jos n =, niin n = p on kirjoitettu alkulukujen tulona. Jos n >, niin edellisestä lauseesta saadaan, että on olemassa alkuluku, joka jakaa luvun n. Nyt n = p 2 n 2, missä p 2 on alkuluku ja n 2 < n. Jos n 2 =, niin n = p p 2 on alkulukujen tulo. Mutta jos n 2 >, niin jälleen edellisen lauseen perusteella n 2 = p 3 n 3, missä p 3 on alkuluku ja n 3 < n 2. Jos n 3 =, niin lause pätee, jos n 3 >, niin jatketaan kuten aiemmin. Ennen pitkään saadaan n i =, jossa n < n < n 2... ja jokainen n i on positiivinen luku, joten epäyhtälö ei voi jatkua loputtomiin. Jollakin luvulla k, on n k =, missä tapauksessa n = p p 2 p k ja luku n on kirjoitettu alkulukujen tulona. 2

Esimerkki 2 Luvut 6, 2, 0 ovat yhdistettyjä lukuja, sillä ne voidaan esittää alkulukujen tulona seuraavalla tavalla..2 Suurin yhteinen tekijä 2 3 = 6 4 3 = 2 2 3 = 2 55 2 = 2 5 = 0. Määritelmä.3 Kahden luvun a ja b suurin yhteinen tekijä on suurin luku, joka jakaa sekä luvun a että luvun b. Suurinta yhteistä tekijää merkitään (a, b). Esimerkki 3 Selvästi (2, 4) = 4 (36, 42) = 6. Määritelmä.4 Luvut a ja b ovat suhteellisia alkulukuja, jos lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä on. ([7], s.74) Esimerkki 4 Luvut 99 ja 00 ovat suhteellisia alkulukuja, sillä..3 Yksikkötekijä (99, 00) =. Määritelmä.5 Luku d on yksikkötekijä (engl. Unitary Divisor), jos luku d on luvun n tekijä ja luvun d ja luvun n/d suurin yhteinen tekijä on yksi. Toisin sanoen (d, n/d) =. ([9], Unitary Divisor) Esimerkki 5 Luvun 20 tekijät ovat {, 2, 4, 5, 0, 20}. Nyt (, 20) = (20, ) = (2, 0) = (0, 2) = 2 (4, 5) = (5, 4) =, joten luvun 20 yksikkötekijät ovat {, 4, 5, 20}. 3

Esimerkki 6 Luvun 0 tekijät ovat {, 2, 5, 0,, 22, 55, 0}. Koska (, 0) = (0, ) =, (2, 55) = (55, 2) =, (5, 22) = (22, 5) =, (0, ) = (, 0) =, niin kaikki luvun 0 tekijät ovat myös sen yksikkötekijöitä..2 Aritmeettinen funktio Määritelmä.6 Aritmeettinen funktio on funktio, joka on reaali- tai kompleksiarvoinen ja jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko.([], s.24) Esimerkki 7 Olkoon α R. Symbolilla N α merkitään sellaista aritmeettista funktiota, että N α (n) = n α, kun n Z +. Erityisesti merkitään N = N ja N 0 = ζ. Siis N(n) = n ja ζ(n) =, kun n Z +. ([5], s.27).2. Dirichlet n tulo Määritelmä.7 Jos funktiot f ja g ovat aritmeettisia funktioita, määritellään niiden Dirichlet n tulo (Dirichlet n konvoluutio) aritmeettisella funktiolla h, missä h(n) = f(d)g( n d ). d n Tulo voidaan kirjoittaa myös h = f g ja h(n) = (f g)(n). ([], s.29) Lause.3 Dirichlet n tulo on kommutatiivinen ja assosiatiivinen ([], s.29). Todistus. Todistetaan ensin kommutatiivisuus. Funktio f g voidaan kirjoittaa muodossa (f g)(n) = a b=n f(a)g(b), missä a ja b käy läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut, joiden tulo on n. Tästä seuraava kommutatiivisuus on itsestään selvää. Siis f g = g f ja Dirichlet n tulo on siis kommutatiivinen. Todistetaan seuraavaksi assosiatiivisuus. Olkoon A = g k. Nyt f A = f (g k) ja voidaan kirjoittaa 4

(f A)(n) = a d=n f(a)a(d) = b c=n f(a) b c=d g(b)k(c) = a b c=n f(a)g(b)k(c). Olkoon nyt B = f g. Nyt B k = (f g) k ja voidaan kirjoittaa (B k)(n) = d c=n B(d)k(c) = a b=d f(a)g(b) d c=n k(c) = a b c=n f(a)g(b)k(c) Koska f A = B k, niin Dirichlet n tulo on assosiatiivinen..2.2 Funktion multiplikatiivisuus Määritelmä.8 Aritmeettista funktiota sanotaan multiplikatiiviseksi, jos f() = ja f(mn) = f(m)f(n), kun (m, n) =. Multiplikatiivista funktiota sanotaan täydellisesti multiplikatiiviseksi, jos ([7], s.207) f(mn) = f(m)f(n), kaikilla positiivisilla luvuilla m ja n. Lause.4 Jos funktiot f ja g ovat multiplikatiivisia, niin myös f g on multiplikatiivinen. ([], s.35) Todistus. Olkoon h = f g ja luvut m ja n suhteellisia alkulukuja. Tällöin h(mn) = c mn f(c)g( mn c ). Nyt jokainen luvun mn tekijä c voidaan kirjoittaa muodossa c = ab, missä a m ja b n. Koska (a, b) = ja ( m, n ) =, niin a b h(mn) = f(ab)g( mn ab ) = f(a)f(b)g( m a )g(n b ) a m,b n = a m g( m a ) b n a m,b n f(b)g( n b ) = h(m)h(n). 5

Lause.5 Olkoon funktio f multiplikatiivinen. Funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos ja vain jos kaikilla n. ([], s.36) f (n) = µ(n)f(n), Todistus. Olkoon g(n) = µ(n)f(n). Jos funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, niin (g f)(n) = ( n ) µ(d)f(d)f = f(n) µ(d) = f(n)i(n) = I(n), d d n d n kun f() = ja I(n) = 0, kun n >. Siis g = f. Oletetaan nyt, että f (n) = µ(n)f(n). Todistaaksemme, että funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, riittää osoittaa, että f(p a ) = f(p) a kaikille alkulukupotensseille. Yhtälöstä f (n) = µ(n)f(n) saadaan ( n ) µ(d)f(d)f = 0, kaikille n >. d d n Nyt valitsemalla n = p a saadaan µ()f()f(p a ) + µ(p)f(p)f(p a ) = 0. Koska f(p a ) = f(p)(p a ), niin f(p a ) = f(p) a. Siis funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen. Lause.6 Jos f on multiplikatiivinen funktio, niin aritmeettinen funktio F (n) = d n f(d) on myös multiplikatiivinen. ([7], s.28) Todistus. Näyttääksemme, että funktio F on multiplikatiivinen täytyy todistaa, että jos luvut m ja n ovat suhteellisia alkulukuja, niin F (mn) = F (m)f (n). Oletetaan siis, että (m, n) =. Saadaan F (mn) = f(d). d m n 6

Koska (m, n) =, jokainen luvun m n tekijä voidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti luvun m suhteellisten alkulukutekijöiden d ja luvun n suhteellisten alkulukutekijöiden d 2 tulona. Jokainen luvun m tekijän d ja luvun n tekijän d 2 pari vastaa luvun m n tekijää d = d d 2. Nyt saadaan F (mn) = f(d d 2 ). d m,d 2 n Koska funktio f on multiplikatiivinen ja (d, d 2 ) =, saadaan F (mn) = d m,d 2 n f(d )f(d 2 ) = f(d ) f(d 2 ) d m d 2 n = F (m)f (n)..3 Funktioita.3. Möbiuksen funktio Määritelmä.9 Möbiuksen funktio µ(n) määritellään seuraavasti: Kun µ() = ja jos n >, n = p a p a k k, missä p on alkuluku, niin { ( ) k jos a µ(n) = = a 2 = = a k =. 0 jos ja vain jos a >. ([], s.24) Lause.7 Jos n, niin µ(d) = d n ([], s.25) Todistus. Jos n =, lause on selvästi tosi. [ ] { jos n =. = n 0 jos n >. 7

Oletetaan, että n > ja olkoon n = p a p a k k. Summassa d n µ(d) on ainoastaan nollasta eroavia termejä, joten d = ja nämä luvun n tekijät ovat eri alkulukuja. Siis µ(d) = µ() + µ(p ) +... + µ(p k ) + µ(p p 2 ) +... + µ(p k p k ) d n +... + µ(p p 2 p k ) ( ) ( ) ( ) k k k = + ( ) + ( ) 2 +... + ( ) k = ( ) k = 0. 2 k.3.2 Eulerin funktio Määritelmä.0 Olkoon n. Eulerin funktio φ(n) määritellään siten, että se on niiden positiivisten lukujen lukumäärä, jotka ovat pienempiä kuin luku n ja jotka ovat suhteellisia alkulukuja luvun n kanssa. ([7], s.20) Toisin sanoen φ(n) = {r : r n, (r, n) = }, n Z + ([5], s.4). Lause.8 Olkoon p alkuluku ja a Z +. Tällöin φ(p a ) = p a p a. ([3], s.66) Todistus. Ne positiiviset luvut, jotka ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin p a ja jotka eivät ole suhteellisia alkulukuja luvun p kanssa, ovat jaollisia luvulla p. Nämä luvut ovat muotoa kp, missä k p a. Kun tällaisia lukuja on täsmälleen p a kappaletta, on sellaisia lukuja, jotka ovat pienempiä kuin p a ja suhteellisia luvun p a kanssa, p a p a kappaletta. Joten φ(p a ) = p a p a = p a (p ). Esimerkki 8 Selvästi φ(33) = 3 2 = 2 ( ) = 20 ja φ(8352) = 7 4 7 3 = 7 3 (7 ) = 78608. 8

Määritelmä. Jos m on positiivinen luku, sanotaan, että luku a on luvun m neliöjäännös, jos (a, m) = ja kongruenssilla x 2 a (mod m) on ratkaisu. Jos kongruenssilla x 2 a (mod m) ei ole ratkaisua, sanotaan, että luku a on luvun m neliöepäjäännös. ([7], s.33) Lause.9 Fermat n pieni lause Jos p on alkuluku ja a on positiivinen kokonaisluku siten, että luku p ei jaa lukua a, niin a p (mod p). ([7], s.87) Todistus. Kts. ([7], s.87) Määritelmä.2 Olkoon luvut a ja m suhteellisia alkulukuja. Pienin sellainen positiivinen kokonaisluku x, että a x (mod m), on a:n kertaluku modulo m. Merkitään ord m a. ([7], s.278) Esimerkki 9 Etsitään ord 3 3. Selvästi 3 3 (mod 3), 3 2 9 (mod 3), 3 3 (mod 3). Siispä ord 3 3 = 3. Määritelmä.3 Jos luvut r ja n ovat suhteellisia alkulukuja ja n > 0. Jos ord n r = φ(n), niin lukua r sanotaan primitiiviseksi juureksi modulo n.([7], s.280) Lause.0 Eulerin kriteeri. Olkoon p pariton alkuluku ja (a, p) =. Luku a on luvun p neliöjäännös, jos ja vain jos a (p )/2 (mod p). ([2], s.8) Todistus. Oletetaan, että lukun a on luvun p neliöjäännös siten, että kongruenssi x 2 a (mod p) antaa ratkaisun x. Koska (a, p) =, niin (x, p) =. Voidaan siis käyttää Fermat n pientä lausetta, jolloin saadaan a (p )/2 (x 2 ) (p )/2 x p (mod p). Oletetaan nyt kongruenssi a (p )/2 (mod p) ja olkoon luku r luvun p 9

primitiivinen juuri. Nyt a r k (mod p), jollekin luvulle k, missä k p. Joten r k(p )/2 a (p )/2 (mod p). Nyt luvun r kertaluvun p täytyy jakaa eksponentti k(p )/2. Tästä seuraa, että k on parillinen luku ja k = 2j. Siis (r j ) 2 = r 2j = r k a (mod p), jolloin saadaan luku r j kongruenssin x 2 a (mod p) ratkaisuksi. Tämä todistaa, että luku a on alkuluvun p neliöjäännös. Seuraus Olkoon p pariton alkuluku ja (a, p) =. Luku a on luvun p neliöjäännös tai neliöepäjäännös, eli ([2], s.82) a (p )/2 (mod p) tai a (p )/2 (mod p). Esimerkki 0 Olkoon p =, jolloin Siis luku 3 on luvun neliöjäännös. 3 ( )/2 = 3 5 = 243 (mod )..3.3 Möbiuksen ja Eulerin funktion välinen yhteys Lause. Jos n, niin φ(n) = d n µ(d) n d. ([], s.26) Todistus. Eulerin funktio voidaan kirjoittaa muodossa φ(n) = n k= [ ]. (n, k) 0

Kun k käy läpi kaikki luvut välillä k n. Käyttämällä lausetta.7 ja korvaamalla luku n luvulla (n, k) saadaan φ(n) = n µ(d) = k= d (n,k) n µ(d). k= d n,d k Luvun n jakajaa d varten täytyy laskea summa kaikista luvuista k välillä k n, jotka ovat luvun d kerrannaisia. Kirjoitetaan k = qd, missä k < n jos ja vain jos q n. Voidaan siis kirjoittaa d φ(n) = d n Tämä todistaa lauseen. n/d q= µ(d) = d n n/d µ(d) = q= d n µ(d) n d. Eulerin funktio φ(n) voidaan kirjoittaa myös tulona. Lause.2 Jos n, niin φ(n) = n p n ( ). p ([], s.27) Todistus. Kun n = 0 tulo on nolla, sillä ei ole olemassa alkulukua, joka jakaisi luvun. Olkoon n > ja olkoot luvut p,..., p r luvun n eri alkulukutekijöitä. Tulo voidaan siis kirjoittaa ( ) r ) = ( pi p p n i= = + +... + ( )r.() p i p i p j p i p j p k p p 2 p r Yhtälön oikealla puolella termi p i p j p k tarkoittaa kaikkia mahdollisia tuloja p i p j p k kun kerrotaan luvun n kolme eri alkulukutekijää kerrallaan. Oikealla puolella jokainen termi on muotoa ±, missä luku d jakaa luvun n, d joka on joko tai eri alkulukujen tulo. Luku ± on Möbiuksen funktio µ(d).

Nyt µ(d) = 0 jos d on jonkin alkuluvun p i neliön jakaja. Nyt nähdään, että summa () on täysin sama kuin Tämä todistaa lauseen. d n µ(d) d. Esimerkki Osoitetaan, että φ(586) = φ(587) = φ(588). Ratkaisu. Ratkaistaan tehtävä käyttämällä lausetta.2. Selvästi φ(586) = φ(2 2593) = 586 ( 2 )( 2593 ) = 2592 φ(587) = φ(3 7 3 9) = 587 ( 3 )( 7 )( 3 )( 9 ) = 2592 φ(588) = φ(2 2 297) = 588( 2 )( 297 ) = 2592. Siis φ(586) = φ(587) = φ(588) = 2592. 2 Tekijäfunktio ja täydelliset luvut 2. Tekijäfunktio Määritelmä 2. Olkoon α R ja n. Tekijäfunktio σ α (n) = d n d α määritellään luvun n tekijöiden α:nen potenssien summana. ([], s.38) Funktiot σ α ovat multiplikatiivisia, koska σ α = ξ N α, eli kahden multiplikatiivisen funktion Dirichlet n tulo. (kts. lause.4) Kun α = 0, niin σ 0 (n) on luvun n tekijöiden lukumäärä ja merkitään d(n). Kun α =, niin σ (n) on luvun n tekijöiden summa ja merkitään σ(n). 2

Koska σ α on multiplikatiivinen, niin σ α (p a p a k k ) = σ α(p a ) σ α (p a k k ). Nyt alkulukutulon p a tekijät ovat, p, p 2,..., p a, joten ([], s.38) σ α (p α ) = α + p α + p 2α +... + p aα = pα(a+) p α, jos α 0. = a +, jos α = 0. Määritelmä 2.2 Rajoitettu tekijäfunktio (engl. Restricted Divisor Function) on luvun n aitojen tekijöiden summa s(n) σ(n) n, missä σ(n) on tekijäfunktio. ([9], Restricted Divisor Function) Tekijöiden summa σ(n) voidaan esittää seuraavalla tavalla. Olkoon N = ab, missä a b ja (a, b) =. Nyt mille tahansa luvun n tekijälle d pätee d = a i b i, missä a i on luvun a tekijä ja b i on luvun b tekijä. Luvun a tekijät ovat, a, a 2,... ja luvun b tekijät ovat, b, b 2,.... Tekijöiden summat ovat Nyt jollain tietyllä luvulla a i σ(a) = + a + a 2 +... + a, σ(b) = + b a + b 2 +... + b. a i ( + b + b 2 +... + b) = a i σ(b). Nyt kun lasketaan kaikki luvut a i yhteen, niin ( + a + a 2 +... + a)σ(b) = σ(a)σ(b), joten σ(n) = σ(ab) = σ(a)σ(b). Ja jakamalla luvut a ja b alkulukutekijöihin saadaan σ(n) = σ(p α )σ(p α 2 2 ) σ(p αr ).([9], Divisor Function) Lause 2. Olkoon p alkuluku ja α positiivinen luku. Tällöin r ja σ(p α ) = ( + p + p 2 + + p α ) = pα+ p 3 (2)

d(p α ) = α +. ([7], s.29) Todistus. Luvun p α tekijät ovat, p, p 2,..., p α, p a. Koska luvulla p α on täsmälleen α + kappaletta tekijöitä, niin d(p α ) = α +. Nyt σ(p α ) = + p + p 2 + + p α + p α = pα+. p Tekijöiden summa σ(n) voidaan nyt esittää muodossa σ(n) = r i= p α i+ i p. Jos luku N on alkuluku voidaan yhtälö (2) kirjoittaa muotoon σ(p) = p2 p = p +. Ja samalla tavalla, jos luku N on kakkosen potenssi, yhtälö (2) voidaan kirjoittaa σ(2 α ) = 2α+ = 2 α+. 2 ([9], Divisor Function) Lause 2.2 Kaikilla n on σα (n) = d n d α µ(d)µ( n d ). ([], s.39) Todistus. Koska σ α = N α ξ, niin (kts. [], s.3) voidaan kirjoittaa σ α = (N α ξ) = (N α ) ξ. Nyt koska Möbiuksen funktio µ on funktion ξ käänteisfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen ja N α on täydellisesti multiplikatiivinen, niin lauseen.5 mukaan voidaan kirjoittaa σ α = (N α ξ) = (N α ) ξ = µn α µ. 4

Esimerkki 2 Lasketaan d(23), σ(23), d(485), σ(485). Ratkaisu. Selvästi d(23) = d(3 7 ) = d(3)d(7)d() = d 3 d 7 d = ( + )( + )( + ) = 2 2 2 = 8, σ(23) = σ(3 7 ) = σ(3)σ(7)σ() = d 3 d d 7 d d d = ( + 3)( + 7)( + ) = 4 8 2 = 384, d(485) = d(3 2 7 2 ) = d(3 2 )d(7 2 )d() = d 9 d 49 d = ( + + )( + + )( + )) = 3 3 2 = 8, σ(485) = σ(3 2 7 2 ) = σ(3 2 )σ(7 2 )σ() = d 9 d d 49 d d d = ( + 3 + 9)( + 7 + 49)( + ) = 3 57 2 = 8892. Esimerkki 3 Etsitään σ 3 (4), σ 3 (6), σ 3 (2). Ratkaisu. Selvästi σ 3 (4) = d 4 d3 = 3 + 2 3 + 4 3 = 73, σ 3 (6) = d 6 d3 = 3 + 2 3 + 3 3 + 6 3 = 252, σ 3 (2) = d 2 d3 = 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 6 3 + 2 3 = 2044. Määritelmä 2.3 Luvun n parittomien tekijöiden k:nnen potenssien summaa sanotaan parittomaksi tekijäfunktioksi. Pariton tekijäfunktio σ (o) k (n) on kuten tekijäfunktio, mutta huomioon otetaan vain parittomat tekijät. Kun k =, niin σ (o) (n) = σ (n) 2σ (n/2), missä σ k (n/2) = 0, jos n on pariton. ([9], Odd Divisor Function) Määritelmä 2.4 Luvun parillisten tekijöiden potenssien summaa sanotaan parilliseksi tekijäfunktioksi. Parillinen tekijäfunktio σ (e) k (n) on kuten tekijäfunktio, mutta huomioon otetaan vain parilliset tekijät. Parillinen tekijäfunktio ilmaistaan tekijäfunktion termeillä seuraavasti σ (e) k (n) = { 0 kun n on pariton 2 k σ k (n/2) kun n on parillinen. ([9], Even Divisor Function) 5

n σ (o) (n) σ (e) (n) 0 2 2 3 4 0 4 6 5 6 0 6 4 8 7 8 0 8 4 9 3 0 0 6 2 2 0 2 4 24 3 4 0 4 8 6 5 24 0 6 30 7 8 0 8 3 26 9 20 0 20 6 36 Taulukko : Pariton ja parillinen tekijäfunktio, kun n 20. Määritelmä 2.5 Yksikkötekijäfunktio (engl. Unitary Divisor Funktion) σ k (n) on tekijäfunktion σ k(n) vastine yksikkötekijöille ja tarkoittaa yksikkötekijöiden k:nen potenssien summaa. Kuten tavallinenkin tekijäfunktio, yksikkötekijäfunktio σ (n) kirjoitetaan usein σ (n). ([9], Unitary Divisor Function) Yksikkötekijöiden lukumäärä σ 0(n) on sama kuin luvun n neliövapaiden tekijöiden lukumäärä. Esimerkiksi 2 q, missä q on sellaisten alkulukujen lukumäärä, jotka jakavat luvun n. Jos n on neliövapaa, niin σ(n) = σ (n). Yksikkötekijäfunktio voidaan laskea käyttämällä yhtälöä 6

([9], Unitary Divisor Function) σ k(p α p α2 ) = ( + p kα )( + p kα 2 2 ) Esimerkki 4 Lasketaan σ (35), σ 3(5) ja σ 7(6). Selvästi σ (35) = σ (5 7) = ( + 5)(7 + ) = 48, σ 3(5) = σ 3(3 5) = ( + 3 3 )( + 5 3 ) = 3528, σ 7(2) = σ 7(2 2 3) = ( + 2 7 2 )( + 3 7 ) = 35850380. 2.2 Täydelliset luvut Määritelmä 2.6 Jos n > 0 ja σ(n) = 2n, niin luku n on täydellinen luku. ([7], s.223) Lause 2.3 Positiivinen luku n on parillinen täydellinen luku, jos ja vain jos n = 2 m (2 m ), kun m 2 ja 2 m on alkuluku. ([7], s.223) Todistus. Todistetaan ensin, että jos n = 2 m (2 m ), missä 2 m on alkuluku, niin luku n on täydellinen. Koska 2 m on pariton, saadaan (2 m, 2 m ) =. Koska σ on multiplikatiivinen funktio, saadaan σ(n) = σ(2 m )σ(2 m ). Lauseen 2. mukaan σ(2 m ) = 2 m ja σ(2 m ) = 2 m. Oletuksen mukaan 2 m on alkuluku. Joten σ(n) = (2 m )2 m = 2n osoittaa, että n on täydellinen luku. Olkoon nyt n parillinen täydellinen luku. Kirjoitetaan n = 2 s t, missä s ja t ovat positiivisia lukuja ja t on pariton. Koska (2 s, t) =, lauseesta 2. saadaan σ(n) = σ(2 s t) = σ(2 s )σ(t) = (2 s+ )σ(t). (3) Koska n on täydellinen, saadaan σ(n) = 2n = 2 s+ t. (4) 7

Yhdistämällä yhtälöt (3) ja (4) saadaan (s s+ )σ(t) = 2 s+ t. (5) Koska (2 s+, 2 s+ ) =, niin 2 s+ σ(t). Joten on olemassa sellainen luku q, että σ(t) = 2 s+ q. Asettamalla tämä yhtälöön (5) saadaan ja siten (2 s+ )2 s+ q = 2 s + t, (2 s+ )q = t. (6) Näin ollen q t ja q t. Kun korvataan luku t yhtälön (6) vasemmalla puolella, saadaan t + q = (2 s+ )q + q = 2 s+ q = σ(t). (7) Näytetään, että q =. Jos q, niin on olemassa ainakin kolme eri positiivista luvun t tekijää, nimittäin, q ja t. Tästä seuraa, että σ(t) t + q +, mikä on ristiriidassa yhtälön 7 kanssa. Näin ollen q = ja yhtälöstä (6) nähdään että t = 2 s+. Ja yhtälöstä (7) nähdään, että σ(t) = t +, joten luvun t on oltava alkuluku ja sen ainoat positiiviset tekijät ovat ja t. Täten n = 2 s (2 s+ ), missä 2 s+ on alkuluku. Lauseesta 2.3 nähdään, että löytääksemme täydellisen luvun on ensin löydettävä alkuluvut, jotka on muotoa 2 m. Löytääksemme tätä muotoa olevat alkuluvut, osoitamme, että eksponenttin m on oltava alkuluku. Lause 2.4 Jos m on positiivinen luku ja 2 m on alkuluku, niin luvun m on oltava alkuluku. ([7], s.224) Todistus. Oletetaan, että m ei ole alkuluku, joten m = ab, missä < a < m ja < b < m. Joten 2 m = 2 ab = (2 a )(2 a(b ) + 2 a(b 2) + + 2 a + ). Koska kummatkin tekijät yhtälön oikealla puolella ovat suurempia kuin yksi, nähdään, että 2 m on yhdistetty luku, jos m ei ole alkuluku. Täten jos 2 m on alkuluku, niin luvun m on myös oltava alkuluku. 8

Esimerkki 5 Osoitetaan, että 828 on täydellinen luku. Ratkaisu. Valitaan m = 7, joka on alkuluku. Nyt 2 m = 27 on myös alkuluku. Joten 2 (m ) 2 m = 2 6 27 = 828. Siis 828 on täydellinen luku. 2.3 Tekijäfunktion ja täydellisen luvun sovelluksia Määritelmä 2.7 Luku n on positiivinen luku. Jos σ(n) < 2n, niin sanotaan että luku n on vajaa (engl. deficient). Jos σ(n) > 2n, niin luku n on runsas (engl. abundant). Jokainen luku on joko vajaa, täydellinen tai runsas. ([7], s.230) Esimerkki 6 Etsitään kaksi vajaata ja kaksi runsasta lukua. Ratkaisu. Selvästi σ(5) = d 5 d = + 5 = 6 < 2 5 vajaa σ(3) = d 3 d = + 3 = 4 < 2 3 vajaa σ(2) = d 2 d = + 2 + 3 + 4 + 6 + 2 = 28 > 2 2 runsas σ(20) = d 20 d = + 2 + 4 + 5 + 0 + 20 = 42 > 2 20 runsas Määritelmä 2.8 Kahta positiivista lukua m ja n sanotaan sovinnolliseksi lukupariksi (engl. Amicable Pair), jos σ(m) = σ(n) = m + n. ([7], s.230) Esimerkki 7 Tutkitaan, ovatko luvut 2620 ja 2924 sovinnollinen lukupari. Ratkaisu. Nyt σ(2620) = d 2620 d = + 2 + 4 + 5 + 0 + 20 + 3 + 262 + 524 + 655 + 30 + 2620 = 5544, σ(2924) = d 2924 d = + 2 + 4 + 7 + 34 + 43 + 68 + 86 + 72 + 73 + 462 + 2924 = 5544. Luvut 2620 ja 2924 ovat siis sovinnollinen lukupari. Esimerkki 8 Luvut 20 ja 90 eivät ole sovinnollinen lukupari. Ratkaisu. Nyt σ(20) = σ(90) = 360, 9

mutta 20 + 90 = 30. Summan olisi pitänyt olla 360, jotta luvut olisivat olleet sovinnollinen lukupari. Määritelmä 2.9 Kokonaislukua n sanotaan k-täydelliseksi, jos σ(n) = kn. ([7], s.230) Esimerkki 9 Osoitetaan, että 30240 = 2 5 3 3 5 7 on 4-täydellinen. Selvästi σ(30240) = σ(2 5 )σ(3 3 )σ(5)σ(7) = 63 40 6 8 = 20960. Koska 20960 = 4 30240, luku 30240 on 4-täydellinen. Määritelmä 2.0 Kokonaisluku n on k-runsas, jos σ(n) > kn. ([7], s.23) Esimerkki 20 Etsitään 3-runsas kokonaisluku. Luku 240 on 3-runsas, sillä σ(240) = 744 > 3 240 = 720. Määritelmä 2. Olkoon σ(n) (n) n, missä σ(n) on tekijäfunktio. Lukupari (k, m) on kaveripari (engl. Friendly Pair) ja sanotaan, että luku k on luvun m kaveri, jos (k) = (m). ([9], Friendly Pair) Esimerkki 2 Tutkitaan, onko luku 30 luvun 40 kaveri. Ratkaisu. σ(30) = d 30 d = + 2 + 3 + 5 + 6 + 0 + 5 + 30 = 72, (30) = σ(30) = 72 = 2, 30 30 5 σ(40) = d 40 d = + 2 + 4 + 5 + 7 + 0 + 4 + 20 + 28 + 35 + 70 + 40 = 336, (40) = σ(40) 40 = 336 40 = 2 5. Nyt (30) = (40), joten luvut 30 ja 40 ovat kaveripari. ([9], Friendly Pair) 20

Määritelmä 2.2 Lukua, jolla ei ole kaveria, kutsutaan yksinäiseksi (engl. Solitary Number). Yksinäisiin lukuihin kuuluvat kaikki alkuluvut, alkulukujen potenssit ja luvut, joille (n, σ(n)) =, missä (a, b) on suurin yhteinen tekijä ja σ(n) on tekijäfunktio. ([9], Solitary Number) Esimerkki 22 Esimerkiksi luku 23 on yksinäinen, koska se on alkuluku. Myös luku 25 on yksinäinen, sillä σ(25) = + 5 + 25 = 3 ja (25, 3) =. Määritelmä 2.3 Positiivista lukua n kutsutaan supertäydelliseksi, jos σ(σ(n)) = 2n. ([7], s.23) Esimerkki 23 Etsitään supertäydellinen luku. Ratkaisu. Nyt σ(2) = + 2 = 3, σ(3) = + 3 = 4 = 2 2. Koska σ(σ(2)) = 2 2, luku 2 on supertäydellinen. σ(4) = + 2 + 4 = 7, σ(7) = + 7 = 8 = 2 4. Koska σ(σ(4)) = 2 4, luku 4 on supertäydellinen. Luku 3 ei ole supertäydellinen. σ(3) = + 3 = 4, σ(4) = + 2 + 7 + 4 = 24. Määritelmä 2.4 Lukua n sanotaan k-hypertäydelliseksi luvuksi, jos n = + k i d i = + k[σ(n) n ], missä σ(n) on tekijäfunktio ja tekijät ovat välillä < d i < n. Kun järjestetään yhtälö uudelleen saadaan kσ(n) = (k + )n + k. ([9], k-hyperperfect Number) Jos k =, saadaan tavallinen täydellinen luku. Jos k > on pariton kokonaisluku, ja p = (3k+) ja q = 3k + 4 = 2p + 3 ovat alkulukuja, niin p 2 q on 2 k-hypertäydellinen. Samoin, jos p ja q ovat parittomia alkulukuja, niin että k(p+q) = pq jollakin kokonaisluvulla k, niin n = pq on k-hypertäydellinen. Lopuksi, jos k > 0 ja p = k + on alkuluku, niin jos q = p i p + on alkuluku jollakin i >, niin n = p i q on k-hypertäydellinen. ([9], k-hyperperfect Number) 2

Määritelmä 2.5 Kokonaislukua n sanotaan melkein täydelliseksi luvuksi (engl. Almost Perfect Number), jos σ(n) = 2n. ([9], Almost Perfect Number) Ainoat tunnetut melkein täydelliset luvut ovat luvun 2 potenssit, nimittäin, 2, 4, 8,.... Ei kuitenkaan ole pystytty todistamaan, että luku on melkein täydellinen, jos ja vain jos luku on muotoa 2 m. ([9], Almost Perfect Number) Määritelmä 2.6 Yksikkö sovinnollinen lukupari (engl. Unitary Amicable Pair) on lukujen m ja n lukupari, jolle σ (m) = σ (n) = m + n, missä σ (n) on yksikkötekijäfunktio. ([9], Unitary Amicable Pair) Määritelmä 2.7 Lukua n sanotaan super yksikkö täydelliseksi luvuksi (engl. Super Unitary Perfect Number), jos σ (σ (n)) = 2n, missä σ on yksikkötekijäfunktio. ([9], Super Unitary Perfect Number) Esimerkki 24 Super yksikkö täydellisiä lukuja ovat muun muassa 2, 9, 238, 4320, 0824,... ([9], Super Unitary Perfect Number) Ei tiedetä, onko olemassa muita parittomia super yksikkö täydellisiä lukuja kuin luku 9. Määritelmä 2.8 Olkoon s(n) σ(n) n, missä σ(n) on tekijäfunktio ja s(n) on rajoitettu tekijäfunktio. Lukujonoa s 0 (n) n, s (n) = s(n), s 2 (n) = s(s(n)),... sanotaan alikvuotiksi lukujonoksi (engl. Aliquot Sequence).([9], Aliquot Sequence) 22

Jos lukujono on rajoitettu, se joko päättyy kun s() = 0 tai tulee jaksolliseksi. Alikvuotilla lukujonolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:. Jos lukujono saavuttaa vakion, tämä vakio on täydellinen luku. 2. Jos lukujono saavuttaa vuorottelevan parin, tämä pari on ystävällinen lukupari. 3. Jos, k:n iteraatiokierroksen jälkeen, lukujono tuottaa syklin, jonka minimi pituus on t ja on muotoa s k+ (n), s k+,..., s k+t (n), nämä luvut muodostavat kertaluvun t seurallisten lukujen (engl. Sociable Number) ryhmän. ([9], Aliquot Sequence) On löydetty seurallisten lukujen yleistys määrittelemällä se yleistämällä aito lukujono σ(a(n )) a(n) =. m Multitäydelliset luvut ovat kiinteissä pisteissä tässä kuvauksessa, sillä a(n) = a(n ), joten ma(n) = σ(a(n)), joka taas on m-multitäydellisen luvun määritelmä. Jos lukujono a(n) muuttuu sykliseksi termin k > jälkeen, niin lukua sanotaan k:nen kertaluvun /m-seuralliseksi luvuksi Jos luvut M m ja M n ovat erillisiä Mersennen alkulukuja, niin 2 σ(2m M n ) = 2 (2m )2 n = 2 n M m ja 2 σ(2(n )M m) = 2 m M n, joten 2 m M n ja 2 n M m ovat toisen kertaluvun /2-seurallisia lukuja. ([9], Sociable Number) Mersennen alkulukuja käsitellään tarkemmin seuraavassa kappaleessa. 23

n σ(n) d(n) vajaa 2 3 2 vajaa supertäydellinen 3 4 2 vajaa 4 7 3 vajaa supertäydellinen 5 6 2 vajaa 6 2 4 täydellinen 7 8 2 vajaa 8 5 4 vajaa 9 3 3 vajaa 0 8 4 vajaa 2 2 vajaa 2 28 6 runsas 3 4 2 vajaa 4 24 4 vajaa 5 24 4 vajaa 6 3 5 vajaa supertäydellinen 7 8 2 vajaa 8 39 6 runsas 9 20 2 vajaa 20 42 6 runsas Taulukko 2: Tekijöiden summat ja lukumäärät, kun n 20. Lisäksi luvut on luokiteltu täydellisiin, vajaisiin, runsaisiin ja supertäydellisiin. 3 Mersennen ja Fermat n luvut Edellisissä lauseissa on käsitelty vain parillisia täydellisiä lukuja. Kukaan ei tiedä eikä ole pystynyt todistamaan, että lauseet pätisivät myös parittomiin täydellisiin lukuihin. Tiedetään kuitenkin, että jos pariton täydellinen luku on olemassa, se on suuri luku, suurempi kuin 0 38. Esimerkiksi, jos p, p 2,..., p k ovat parittoman täydellisen luvun alkulukutekijöitä, niin /p + /p 2 + + /p k > (50/5) ln 2. 24

3. Mersennen alkuluku Määritelmä 3. Jos m on positiivinen luku, niin luku M m = 2 m on m:s Mersennen luku. Jos p on alkuluku, niin alkulukuja, jotka ovat muotoa M p = 2 p sanotaan Mersennen alkuluvuiksi. ([7], s.225) Esimerkki 25 Etsitään kaksi Mersennen alkulukua ja kaksi Mersennen lukua. Ratkaisu. M 3 = 2 3 = 7 M 3 = 7 Mersennen alkuluku M 5 = 2 5 = 3 M 5 = 3 Mersennen alkuluku M 4 = 2 4 = 5 M 4 = 3 5 = 5 4:s Mersennen luku M 6 = 2 6 = 63 M 6 = 3 2 = 63 6:s Mersennen luku On olemassa monia lauseita, jolla voidaan todeta onko jokin Mersennen luku alkuluku. Seuraavaksi esitetään yksi. Lause 3. Jos p on pariton alkuluku, niin mikä tahansa Mersennen luvun m p = 2 p + tekijä on muodossa 2kp +, missä k on positiivinen luku. ([7], s.225) Todistus. Olkoon q alkuluku, joka on luvun m p = 2 p tekijä. Fermat n pienen lauseen mukaan tiedetään että q (2 q ). Lisäksi tiedetään, että (2 p, 2 q ) = 2 (p,q ). (8) Koska luku q on lukujen 2 p ja 2 q yhteinen tekijä, niin (2 p, 2 q ) >. Joten (p, q ) = p, sillä toinen mahdollisuus, (p, q ) =, antaisi yhtälöstä (8) tuloksen (2 p, 2 q ) =. Niinpä p (q ) ja täten q = mp, missä m on positiivinen luku. Koska q on pariton, niin luvun m on oltava parillinen, jotta m = 2k, missä k on positiivinen luku. Siispä q = mp + = 2kp +. Esimerkki 26 Tutkitaan, onko M = 2 = 2047 alkuluku. Ratkaisu. Tarvitsee käydä läpi ainoastaan sellaiset alkulukutekijät, jotka ovat pienempiä kuin 2047 = 45, 243... Lauseen 3. mukaan alkulukutekijä on muotoa 22k+. Siis ainoa mahdollinen on 23. Koska 23 89 = 2047, M on yhdistetty luku. 25

Esimerkki 27 Tutkitaan, onko M 9 = 2 9 = 524287 alkuluku. Ratkaisu. Tarvitsee siis käydä läpi sellaiset alkulukutekijät,jotka ovat pienempiä kuin 524287 = 724, 0766... Lauseen 3. mukaan alkulukutekijä on muotoa 38k+. Siis mahdolliset tekijät ovat 9, 229, 49, 457, 57 ja 647. Mikään näistä alkuluvuista ei kuitenkaan jaa lukua 524287, joten M 9 on alkuluku. Lause 3.2 Lucas-Lehmerin testi. Olkoon p alkuluku ja M p = 2 p Mersennen p:s luku. Asetetaan r = 4 ja k 2, jolloin r k r 2 k 2 (mod M p ), 0 r k < M p. M p on alkuluku jos ja vain jos r p 0 (mod M p ). ([7], s.226-227) Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki 28 Tutkitaan, onko M 7 = 2 7 = 27 alkuluku. Ratkaisu. Nyt lauseen 3.2 mukaan r = 4, k 2 ja 0 r k < M p. Siis M 7 = 27 on alkuluku. r 2 4 2 2 = 4 (mod 27), r 3 4 2 2 67 (mod 27), r 4 67 2 2 42 (mod 27), r 5 42 2 2 (mod 27), r 6 2 2 0 (mod 27). Määritelmä 3.2 Mersennen kaksoisluku(engl. Double Mersenne Number) on luku, joka on muotoa M Mn = 2 2n, missä M n on Mersennen luku. Mersennen kaksoisluku, joka on alkuluku, on Mersennen kaksoisalkuluku. ([9], Double Mersenne Number) Koska Mersennen alkuluku M n voi olla alkuluku vain, jos n on alkuluku, niin Mersennen kaksoisalkuluku voi olla alkuluku vain, jos M n on alkuluku, toisin sanoen, jos M n on Mersennen alkuluku. 26

3.. Rationaalinen sovinnollinen lukupari Määritelmä 3.3 Rationaalinen sovinnollinen lukupari (engl. Rational Amicable Pair) sisältää kaksi kokonaislukua a ja b, joiden tekijäfunktiot ovat yhtäsuuret ja on muotoa σ(a) = σ(b) = P (a, b) Q(a, b) = R(a, b), (9) missä P (a, b) ja Q(a, b) ovat kahden muuttujan polynomeja ja joille pätee seuraavat ominaisuudet.. Kaikkien termien asteet oikeanpuoleisen osamäärän osoittajassa ovat samat. 2. Kaikkien termien asteet oikeanpuoleisen osamäärän nimittäjässä ovat samat. 3. Polynomin P aste on yhden suurempi kuin polynomin Q. ([9], Rational Amicable Pair) Jos a = b ja polynomi P (a, b) on muotoa ma r, niin yhtälö (9) tuottaa erikoistapauksen σ(a) = m n a, joten jos m n on kokonaisluku, niin luku a on multitäydellinen luku. Olkoon polynomi muodossa R n (a, b) = (a + b)n. (0) a n + bn Kun n =, yhtälö (0) tuottaa josta ei tiedetä olevan esimerkkejä. Kun n = 2, yhtälö (0) tuottaa σ(a) = σ(b) = /2(a + b), σ(a) = σ(b) = (a + b)2 (a + b) = a + b, 27

joten (a,b) on sovinnollinen lukupari. Kun n = 3, yhtälö (0) tuottaa σ(a) = σ(b) = (a + b)3 a 2 + b 2. Tästä on löydetty kolmea erityyppistä ratkaisujoukkoa. Ensimmäinen ratkaisujoukko on muotoa [ 9 2 m M m 3 5 2 3 3 39 277 3877 239 ], missä M m on Mersennen alkuluku, ja m 2 5. Toinen ratkaisujoukko on muotoa [ 83 93 2 m M m 3 7 2 7 2 9 2 23 27 307 359 3739 22433 68209 62287 missä m 2 3 7. Kolmas tyyppi on yksikäsitteinen ratkaisu 2 3 7 3 7 9 2 23 4 27 227 27 54 2269 24429 [ 29 569 7099 ], ]. Ajattellaan polynomit yleisemmässä muodossa R k,n (a, b) = Kun (k, n) = (2, 4), on löydetty ratkaisu (a + b) n k(a n + b n ). 2 m M m 3 5 7 23 2 59 79 37 547 2477 58527 [ ] 83 93 73428537 867426849, 62287 missä m on Mersennen alkuluvun indeksi lukuunottamatta kun m = 2 ja m = 3. Ajatellaan polynomit nyt muodossa R r/s (a, b) = r (a + b) 3 s a 2 + ab + b. 2 28

Kun r/s = 3/2, niin on löydetty ratkaisu 2 8 3 2 3 7 4 53 73 2 80 97 [ 5 7 ]. Polynomit voidaan ajatella myös muodossa tai vastaavasti muodossa R k (a, b) = kab a + b σ(a) = σ(b) = a +. ([9], Rational Amicable Pair) b 3.2 Fermat n luku Määritelmä 3.4 Jos n on positiivinen kokonaisluku, niin Fermat n luvuksi sanotaan lukua F n, joka on muotoa ([2], s.226) 2 2n +. Määritelmä 3.5 Fermat n lukua F n = 2 2n +, joka on alkuluku, sanotaan Fermat n alkuluvuksi. ([2], s.226) Esimerkki 29 Fermat n lukuja ovat esimerkiksi F 0 = 2 20 + = 3, F = 2 2 + = 5, F 2 = 2 22 + = 7, F 3 = 2 23 + = 257, F 4 = 2 24 + = 65537, F 5 = 2 25 + = 4294967297. Lause 3.3 Numeroiden lukumäärä Fermat n luvussa voidaan laskea kaavalla D(n) = [log(2 2n + )] + log(2 2n + ) = 2 n log 2 +.([9], Fermat Number) 29

Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki 30 Edellisessä esimerkissä lasketun kuuden ensimmäisen Fermat n luvun numeroiden lukumäärä on D(0) = 2 0 log 2 + =, D() = 2 log 2 + =, D(2) = 2 2 log 2 + = 2, D(3) = 2 3 log 2 + = 3, D(4) = 2 4 log 2 + = 5, D(5) = 2 5 log 2 + = 0. Seuraavien viiden Fermat n luvun numeroiden lukumäärä on D(6) = 2 6 log 2 + = 20, D(7) = 2 7 log 2 + = 39, D(8) = 2 8 log 2 + = 78, D(9) = 2 9 log 2 + = 55, D(0) = 2 0 log 2 + = 309. Lause 3.4 Jos k, a ja b ovat positiivisia kokonaislukuja, siten että k = ab, missä luku a on pariton, niin 2 b + 2 k +. Erityisesti, jos 2 k + on alkuluku, niin luku k on 0 tai luvun 2 potenssi. ([8], s.98) Todistus. Osoitetaan 2 k + 0 (mod 2 b + ) eli 2 k (mod 2 b + ). Nyt 2 b (mod 2 b + ), joten 2 k = 2 ab = (2 b ) a ( ) a (mod 2 b + ), missä ensimmäinen kongruenssi seuraa lauseesta.2 (kts.[8], s. 39). Toinen kongruenssi seuraa siitä, että luku a on pariton. Jos k > 0 ei ole luvun 2 potenssi, niin valitaan a >. Joten < 2 b + < 2 k +, ja täten luvulla 2 k + on jokin muu positiivinen tekijä kuin luku tai luku itse. 30

Määritelmä 3.6 Olkoon luku p pariton alkuluku ja (a, p) =. Legendren symboli määritellään seuraavasti. { jos a on luvun p neliöjäännös (a/p) = jos a on luvun p neliöepäjäännös. ([2], s.85) Lause 3.5 Pepinin testi Jos n > 0, niin Fermat n luku F n = 2 2n + on alkuluku jos ja vain jos ([2], s.228) 3 (Fn )/2 (mod F n ). () Todistus. Oletetaan ensin, että 3 (Fn )/2 (mod F n ). Jos luku p on mikä tahansa alkuluku, joka jakaa luvun F n, niin saadaan 3 (Fn+)/2 (mod p), koska jos a b (mod m) ja d m, niin a b (mod d). Neliöimällä nyt yhtälö saadaan 3 Fn+ (mod p). Olkoon k luvun 3 modulo p kertaluku. Nyt luku k jakaa luvun F n = 2 2n. Joten k = 2 t, jollakin luvulla t 2 n. Oletetaan, että t < 2 n. Nyt kongruenssin 3 k (mod p) molemmat puolet voidaan korottaa potenssiin 2 2n t ja saadaan (3 k ) 22n t = 3 2t (2 2n t ) = 3 22n = 3 22n /2 = 3 (Fn )/2 (mod p). Mutta tämä tarkoittaa että p = 2, mikä on mahdotonta. Täytyy siis olla t = 2 n ja k = 2 2n = F n. Nyt Fermat n pienen lauseen mukaan k p. Siis p k + = F n. Koska luku p on luvun F n tekijä, niin on oltava p = F n. Joten luku F n on alkuluku. Oletetaan, että F n on alkuluku. Nyt 3 (Fn )/2 (mod F n ), jos ja vain jos luku 3 ei ole neliö modulo F n. Käyttämällä resiprookkilakia (engl. Quadratic Reciprocity) (kts.[2], s.96) voidaan osoittaa, että luku 3 ei ole minkään luvun neliö modulo F n. Olkoon (a/b) 2 neliön symboli. Kun n, niin (3/F n ) 2 = (F n /3) 2 (silloin kun F n = (mod 4), n ) = ((( ) 2n + )/3) 2 = (2/3) 2 =. 3

Siis luku 3 ei ole neliö modulo F n, sillä käyttämällä Eulerin kriteeriä saadaan 3 (Fn )/2 (mod F n ). Näin ollen kongruenssi pitää paikkansa. Esimerkki 3 Osoitetaan Pepinin testillä, että F 4 Nyt 3 (F 4 )/2 = 3 32768 = 3 (25 ) Siis F 4 = 65537 on alkuluku.. 79524 (26 ) (mod 65537). 64 (23 ) (mod 65537). 65536 (mod 65537) (mod 65537). = 65537 on alkuluku. Lause 3.6 Mikä tahansa Fermat n luvun F n = 2 2n + alkulukutekijä p on muotoa p = k 2 n+2 +, missä n 2. ([2], s.230) Todistus. Luvun F n alkulukutekijälle p pätee josta saadaan 2 2n (mod p), 2 2n+ (mod p). Jos luku h on luvun 2 kertaluku modulo p kongruenssista saadaan h 2 n+. Nyt h = 2 r, missä r n ja tästä saadaan 2 2n (mod p). Ja kääntäen tämä johtaa siihen että p = 2, mikä on ristiriita. Voidaan siis olettaa, että h = 2 n+. Koska luvun 2 kertaluku modulo p jakaa luvun φ(p) = 32

p, voidaan päätellä, että 2 n+ p. Ja näin saadaan p (mod 8), kun n 2 ja käyttämällä Legendren symbolia, saadaan (2/p) =. Käyttämällä Eulerin kriteeriä saadaan 2 (p )/2 (2/p) = (mod p). Lauseen 8. (kts. [2], s.58) mukaan h (p )/2 tai 2 n+ (p )/2. Tästä saadaan 2 n+ p ja näin ollen p = k 2 n+2 + jollakin luvulla k. Tämä päättää todistuksen. 4 Aritmeettisten funktioiden keskiarvo Tässä kappaleessa tarkastellaan aritmeettisten funktioiden käyttäytymistä suurilla luvun n arvoilla. Esimerkiksi funktio d(n) saa erittäin suuren arvon, kun luvulla n on paljon tekijöitä. Usein on kuitenkin vaikea päätellä miten aritmeettiset funktiot käyttäytyvät suurilla luvun n arvoilla. Tässä kappaleessa todistetaan tekijäfunktiolle tulos, jonka Dirichlet näytti vuonna 849, nimittäin d(k) = x log x + (2C )x + O( x) (2) k x kaikille x. Tässä C on Eulerin vakio, joka määritellään C = lim ( + 2 + 3 + + n ) log n. (3) n 4. Määritelmiä ja aputuloksia 4.. Iso O-notaatio ja funktioiden asymptoottinen yhtäsuuruus Määritelmä 4. Jos g(x) > 0 kaikilla x a, voidaan kirjoittaa f(x) = O(g(x)) tarkoittamaan, että osamäärä f(x)/g(x) on rajoitettu kun x a. Toisin sanoen on olemassa sellainen M > 0, että ([], s.53) f(x) Mg(x) kaikilla x a. 33

Yhtälö, joka on muotoa f(x) = h(x) + O(g(x)), tarkoittaa, että f(x) h(x) = O(g(x)). Huomattaan, että f(t) = O(g(t)), kun t a, josta saadaan x f(t)dt = O( x g(t)dt), kun x a. ([], s.53) a a Määritelmä 4.2 Jos f(x) lim x g(x) =, sanotaan, että funktiot f(x) ja g(x) ovat asymptoottisesti yhtäsuuret, kun x ja tällöin kirjoittetaan ([], s.53) f(x) g(x) kun x. Esimerkiksi, yhtälöstä (2) saadaan d(k) x log x, kun x. k x Yhtälön (2) termiä x log x sanotaan summan asymptoottiseksi arvoksi; kaksi muuta termiä kertoo virheen, joka tehdään kun arvioidaan summaa sen asymptoottisella arvolla. Kun merkitään virhettä symbolilla E(x), niin yhtälöstä (2) saadaan E(x) = (2C )x + O( x). (4) Tämä voidaan myös kirjoittaa muodossa E(x) = O(x). Tämä merkintä ei kuitenkaan anna tarkempaa tietoa yhtälöstä (4). Yhtälöstä (4) nimittäin nähdään, että sen aymptoottinen arvo on (2C )x.([], s.54) 4..2 Eulerin summakaava Joskus osittaissumman asymptoottinen arvo voidaan löytää vertaamalla sitä integraaliin. Eulerin summakaava antaa tarkan lausekkeen virheelle, joka tehdään aproksimaatiossa. Tässä kaavassa [t] tarkoittaa suurinta kokonaislukua, joka on t. 34

Lause 4. Eulerin summakaava. Jos funktio f on jatkuva ja derivoituva välillä [y, x], missä 0 < y < x, niin y<n x ([], s.54) f(x) = x y f(t)dt+ x y (t [t])f (t)dt+f(x)([x] x) f(y)([y] y). (5) Todistus. Olkoon m = [y] ja k = [x]. Luvuille n ja n välillä [y, x] pätee n n [t]f (t)dt = n n (n )f (t)dt = (n )f(x) f(n ) = nf(n) (n )f(n ) f(x). Kun merkitään n = m + ja n = k saadaan k m [t]f (t)dt = k n=m+ nf(x) (n )f(n ) y<n x f(x) = kf(k) mf(m) y<n x f(n), joten y<n x f(x) = = k m x Integrointi osittain antaa yhtälön x y y f(t)dt = xf(x) yf(y) [t]f (t)dt + kf(k) mf(m) [t]f (t)dt + kf(x) mf(y). (6) x y tf (t)dt. Kun tämä yhdistetään yhtälöön (6), saadaan yhtälö (5). 4..3 Alkeellisia asymptoottisia kaavoja Seuraavan kaavan (a)-kohdassa vakio C on Eulerin vakio, joka määriteltiin yhtälössä (4). Kohdassa (b) ξ(s) tarkoittaa Riemannin zeta-funkiota,joka määritellään yhtälöllä ξ(s) = n= jos s >, ns 35

ja yhtälöllä ξ(s) = lim x ( n x ) n x s s s jos 0 < s <. Lause 4.2 Jos x, saadaan (a) n x = log x + C + O ( n x), (b) n x = x s + ξ(s) + n s s O(x s ) jos s > 0, s, (c) n>x = O(x s ) jos s >, n s (d) n x nα = xα+ + α+ O(xα ) jos α 0. ([], s.55) Todistus. Kohdassa (a) asetetaan f(t) = /t Eulerin summakaavaan ja saadaan n x = x dt n t x t = log x x t [t] t 2 t [t] = log x + x dt + x [x] x dt + + O ( ) t 2 x t [t] dt + t 2 x t [t] t 2 dt + O ( x). Epäoleellinen integraali (t [t])t 2 dt on olemassa, koska sitä rajoitetaan integraalilla t 2 dt. Siis, t [t] 0 dt t 2 x t dt = 2 x, joten viimeinen yhtälö saadaan muotoon n x n = log x + Tämä todistaa kohdan (a), kun C = Kun x kohdassa (a), saadaan ( ) lim x n log x n x 36 t [t] dt + O t 2 t [t] dt. t 2 = ( ). x t [t] dt, t 2

joten C on Eulerin vakio. Osoitettaessa kohtaa (b) käytetään saman tyyppistä perustelua mutta funktiolle f(x) = x s, missä s > 0, s. Eulerin summakaavasta saadaan Täten missä n x = x dt n s t s s x t [t] dt + x [x] t s+ x s = x s s s + s n x t [t] t s+ dt + O(x s ). n s = x s s + C(s) + O(x s ), (7) C(s) = s s t [t] t dt. s+ Jos s >, niin vasen jäsen yhtälöstä (7) lähestyy vakiota ξ(s), kun x ja kumpikin termeistä x s ja x s lähestyvät nollaa. Joten C(s) = ξ(s) jos s >. Jos 0 < s <, niin x s 0 ja yhtälö (7) osoittaa, että lim x ( n x n s x s s ) = C(s). Täten C(s) on yhtäsuuri vakion ξ(s) kanssa, jos 0 < s <. Tämä todistaa kohdan (b). Kohtaa (c) todistettaessa käytetään kohtaa (b) kun s > ja saadaan n>x kun x s x s. n = ξ(s) s n = x s s s + O(x s ) = O(x s ), n x Lopuksi kohta (d) todistetaan käyttämällä Eulerin summakaavaa kun f(t) = t α ja näin ollen saadaan n x nα = x tα dt + α x tα (t [t])dt + (x [x])x α = xα+ + O(α x α+ α+ tα dt) + O(x α ) = xα+ + α+ O(xα ). 37

4.2 Tekijäfunktion kertaluku 4.2. Tekijäfunktion d(n) keskiarvo Tässä luvussa johdetaan Dirichlet n aymptoottinen kaava tekijäfunktion d(n) osasummalle. Lause 4.3 Kaikilla x on voimassa d(n) = x log x + (2C )x + O( x), (8) n x missä C on Eulerin vakio. ([], s.57) Todistus. Kun d(n) = a n, saadaan n x d(n) = n x. Tämä on kaksoissumma yli lukujen n ja a. Koska a n, voidaan kirjoittaa n = qa ja käydä summa läpi kaikilla positiivisilla kokonaislukupareilla q, a, missä qa x. Siis d(n) =. (9) n x a n q,a,qa x Tämä voidaan tulkita summata yli tiettyjen hilapisteiden qa-tasolla (hilapiste on piste kokonaislukukoordinaatistosta). Hilapisteet qa = n on hyperbolilla, joten summa (7) laskee hilapisteiden lukumäärän hyperbolilla, jotka vastaavat arvoja n =, 2,..., [x]. Jokaiselle a x voidaan laskea ensimmäinen hilapiste vaakasuoralla suorasegmentillä q x/a ja tämän jälkeen voidaan laskea summa yli kaikkien a x. Joten yhtälö (9) saadaan muotoon. (20) n x d(n) = a x q x/a Nyt käytetään kohtaa (d) lauseesta 4.2, kun α = 0 ja saadaan = x a + O(). q x/a Käyttämällä tätä yhdessä lauseen 4.2 kohdan (a) kanssa, saadaan n x d(n) = a x { x + O()} = x a a x + O(x) a = x{log x + C + O ( x) } + O(x) = x log x + O(x). 38

Tämä on heikko versio yhtälöstä (8), joka merkitsee, että d(n) x log x kun x n x ja että tekijäfunktion d(n) keskimääräinen kertaluku on log n. Todistaaksemme tarkemman kaavan (8) täytyy palata summaan (9), joka laskee hyperbolisella alueella olevien hilapisteiden lukumäärän ja ottaa huomioon suoralla q = a olevan alueen symmetrian. Alueen hilapisteiden kokonaismäärä on d(n) = 2 [ x { a} + [ a] x]. n x a x Käytetään nyt relaatiota [y] = y +O() ja lauseen 4.2 kohtia (a) ja (d), joista saadaan n x d(n) = 2 a x { x d + O()} + O( x) a = 2x a x s a a x a + O( x) = 2x{log ( x + C + O x )} 2{ x + O( x)} + O( x) 2 = x log x + (2C )x + O( x). Tämä päättää Dirichlet n kaavan todistuksen. 4.2.2 Tekijäfunktion σ α (n) keskiarvo Tapaus α = 0 käsiteltiin lauseessa 4.3. Seuraavaksi tarkastellaan reaalista α > 0 ja käsitellään tapaus α = erikseen. Lause 4.4 Kaikilla x on voimassa σ α (n) = 2 ξ(2)x2 + O(x log x). (2) ([], s.60) n x Todistus. Menetelmä on samanlainen kun jota käytettiin derivoitaessa lauseen (4.3) heikkoa versiota. Käyttämällä lauseen (4.2) kohtia (a) ja (b) saadaan n x σ (n) = n x q n q = q,a,qa x q = a x q x/a q = a x { ( x ) 2 ( 2 a + O x a) } = x 2 2 a x + O ( x ) a 2 a x a = x2 { + ξ(2) + O ( ) 2 x x } + O(x log x) = 2 2 ξ(2)x2 + O(x log x). 39

Huomautus. Voidaan osoittaa, että ξ(2) = π 2 /6. Siksi yhtälö (2) osoittaa, että tekijäfunktion σ (n) keskimääräinen kertaluku on π 2 n/2. ([], s.60) Lause 4.5 Jos x ja α > 0, α, niin σ α (n) = n x missä β = max{, α}. ([], s.60) ξ(α + ) α + xα+ + O(x β ), Todistus Tällä kertaa käytetään lauseen 4.2 kohtia (b) ja (d), joista saadaan n x σ α(n) = n x q n qα = a x q x/a qα = { ( x α+ ( a x α+ a) + O x α ) } a α = xα+ α+ a x + O ( x ) α { a α+ a x a α } = xα+ x α + ξ(α + ) + α+ α O(x α ) { }) + O (x α x α + ξ(α) + α O(x α = ξ(α+) α+ xα+ + O(x) + O() + O(x α ) = ξ(α+) α+ xα+ + O(x β ), missä β = max{, α}. Jotta löydetään tekijäfunktion σ α (n) keskiarvo negatiiviselle arvolle α, merkitään α = β, missä β > 0. ([], s.60) Lause 4.6 Jos β > 0, niin olkoon δ = max{0, β}. Sitten jos x >, saadaan n x σ β(n) = ξ(β + )x + O(x δ ), jos β, = ξ(2)x + O(log x), jos β =. [], s.6) Todistus. Nyt on n x σ β(n) = n x a n = a x { x a β a β = a n a q x/a β a + O() } = x a x 40 + O ( ) a β+ a x a. β

Viimeinen termi on O(log x), jos β = ja O(x β ), jos β. Joten x d x x β = dβ+ β + ξ(β + )x + O(x β ) = ξ(β + )x + O(x β ). Tämä päättää todistuksen. 4.2.3 Tekijäfunktion sovellus Alkulukuteoriaa voidaan joskus käyttää arvioimaan multiplikatiivisten aritmeettisten funktioiden suuruusluokkaa. Tässä kappaleessa sitä käytetetään johtamaan tekijäfunktion d(n) epäyhtälöitä. Aikaisemmin todistettiin, että tekijäfunktion d(n) keskiarvo on log n. Kun n on alkuluku, niin d(n) = 2, joten funktion d(n) kasvu korostuu eniten kun luvulla n on monta tekijää. Oletetaan, että n on kaikkien lukua x pienempien alkulukujen tulo, siis n = 2 3 5 p π(x), (22) missä π(x) on sellaisten alkulukujen lukumäärä, jotka ovat pienempiä kun luku x (kts.[], s.74). Koska d(n) on multiplikatiivinen, niin d(n) = d(2)d(3) d(p π(x) ) = 2 π(x), ([], s.264) Suurilla luvun x arvoilla, π(x) on arviolta x/ log x ja yhtälöstä (22) saadaan log n = p x log p = ϑ(x) x, missä ϑ on Chebysevin funktio (kts. [], s.79). Edellisten yhtälöiden perusteella 2 π(x) on arviolta 2 log n/ log log n. Nyt 2 a log n = e a log n log 2 = n a log 2, joten 2 log n/ log log n = n log 2/ log log n. Toisinsanoen, kun n on yhtälön (22) muodossa, niin d(n) on arviolta 2 log n/ log log n = n log 2/ log log n. Kehittämällä tätä hiukan enemmän saadaan seuraavat tekijäfunktion d(n) epäyhtälöt. ([], s.294) 4

Lause 4.7 Olkoon ɛ > 0 annettu, jolloin saadaan (a) On olemassa kokonaisluku N(ɛ) siten, että kun n N(ɛ), niin d(n) < 2 (+ɛ) log n/ log log n = n (+ɛ) log 2/ log log n. (b) Äärettömän monella luvulla n on d(n) > 2 ( ɛ) log n/ log log n = n ( ɛ) log 2/ log log n. Huomautus. Epäyhtälöt ovat yhtäpitäviä yhtälön log d(n) log log n lim sup n log n = log 2 kanssa. ([], s.294) Todistus. Kirjoitetaan n = p a p a k k, joten d(n) = k i= (a i + ). Jaetaan tulo kahteen osaan ja erotetaan alkutekijät, jotka ovat < f(n), alkutekijöistä, jotka ovat f(n). Funktio f(n) määritellään myöhemmin. Näin ollen d(n) = P (n)p 2 (n), missä P (n) = (a i + ) ja P 2 (n) = (a i + ). p <f(n) p i f(n) Tulossa P 2 (n) käytetään epäyhtälöä (a+) 2 a, jotta saadaan P 2 (n) 2 S(n), missä k S(n) = a i. Nyt joten Tästä saadaan n = k i= p a i i p i f(n) i=,p i f(n) p a i i p i f(n) log n S(n) log f(n) eli S(n) Arvioitaessa tuloa P (n) saadaan { P (n) = exp f(n) a i = f(n) S(n), log n log f(n). P 2 (n) 2 log n/ log f(n). (23) p i <f(n) 42 } log(a i + )