802120P Matriisilaskenta (5 op) Tero Vedenjuoksu Matemaattiset tieteet Syksy 2015 1 / 159 Luennoitsija: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi M321 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) sekäoptimaa (optima.oulu.fi) Luentomoniste (osissa Noppaan) Harjoitustehtävät, luennot Luento- ja harjoitusajat Tenttiajat Verkkomateriaalia: YouTube, Khan Academy (https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra) 2 / 159
Opintojakson suorittaminen Kurssi koostuu luentotapaamisista, ryhmätyöskentelystä sekä itsenäisestä opiskelusta. Viikottain tehtäviä asioita: luentojen esitehtävät (esim. helpohko ongelma ratkaistavaksi ja tulevan kerran käsitteisiin tutustumista) Luennoilla ratkaistavat tehtävät Kurssi suoritetaan loppukokeella TAI jatkuvan arvioinnin kautta. Jatkuva arvionti: Palautettavat viikkotehtävät sekä ennakkotehtävät (n. 3-4 teht /viikko) Itsearvioinnit (oliko hankalia asioita, miten osaan asiakokonaisuuksia, miten paljon käytin aikaa läpikäymiseen, minkä arvosanan antaisin itselleni,...) Päättötyö/-koe Jatkuvassa arvioinnissa kaikki osat pakollisia. Tarkemmat ohjeet sekä piste/arvosanataulukko tulee Optimaan. 3 / 159 Mistä tukea opintojakson sisältöjen opiskeluun Luennot TI ja TO klo 10-12 Valmistaudu ennakkoon tekemällä ennakkotehtävä Ryhmätyöskentelyä Uskalla kysyä ja keskeyttää Tutortupa (3. krs) avoinna MA-PE 13-16 Laskuharjoitukset/laskupäivät To 12-14 Pe 10-12 Ke 10-12 4 / 159
Lineaarialgebraa ja matriiseja tarvitaan lähes jokaisella matematiikan kurssilla, ja lisäksi tilastotieteessä, fysiikassa,... Sovelluskohteita: Kuvankäsittely Signaalinkäsittely Tomografia GPS Virheen havaitsevat koodit ja virheen korjaavat koodit Kuvanpakkaus... 5 / 159 Kurssin sisältöä: Vektorit Lineaarinen yhtälöryhmä ja sen ratkaiseminen Matriisit ja niiden laskutoimitukset Determinantti Vektoriavaruudet Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Similaarisuus ja diagonalisoituvuus 6 / 159
Vektorit 7 / 159 Määritelmä 1 Olkoon n 2 N = {1, 2, 3,...}. Jono x =(x 1, x 2,...,x n ), missä x 1, x 2,...,x n 2 R, on n-ulotteinen tai n-komponenttinen vektori. Kaikkien n-ulotteisten vektorien joukko on avaruus R n, ts. R n = {(x 1, x 2,...,x n ) x 1, x 2,...,x n 2 R}. Vektorit x, y 2 R n ovat samat, jos x i = y i kaikilla i = 1,...,n. Olkoot x, y 2 R n ja 2 R. Tällöin x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,...,x n + y n ) 2 R n ja x = ( x 1, x 2,..., x n ) 2 R n. 8 / 159
Lause 1 Olkoot x, y, z 2 R n ja,µ2 R. Tällöin (a) x + y = y + x (vaihdannaisuus) (b) x +(y + z) =(x + y)+z (liitännäisyys) (c) on olemassa nollavektori 0 =(0,...,0) 2 R n ja x + 0 = x (d) on olemassa vastavektori x = 1 x ja x +( x) =0 (e) (µx) =( µ)x (f) 1 x = x (g) ( + µ)x = x + µx (h) (x + y) = x + y (osittelulait). Huomautus Edellisen lauseen (d)-kohdan nojalla jokaisella vektorilla y 2 R n on vastavektori y 2 R n. Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä x y := x +( y). 9 / 159 Määritelmä 2 Vektoreiden u =(u 1,...,u n ) 2 R n ja v =(v 1,...,v n ) 2 R n pistetulo on u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + + u n v n. Määritelmä 3 Vektorit u 2 R n ja v 2 R n ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos u v = 0. 10 / 159
Luentopähkinät Ratkaise ryhmissä 1 Olkoot u =(1, 3, 5, 2), v =( 3, 6, 3, 1) ja w =(2, 1, 1, 3). a) Laske v + 4w. b) Ovatko jotkin vektoreista ortogonaaliset? c) Ratkaise x =(x 1, x 2, x 3, x 4 ) yhtälöstä 2x = u 3w. 2 Olkoot x, y, z 2 R n ja,µ2 R. Osoita, että (a) x +(y + z) =(x + y)+z (b) ( + µ)x = x + µx. 11 / 159 Määritelmä 4 Avaruuden R n, n = 2, 3, suora on joukko {u + kv k 2 R}, missä u 2 R n ja v 2 R n \{0}. Tätä suoran esitystä kutsutaan suoran vektoriesitykseksi. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoria v suuntavektoriksi. Avaruuden R 2 suora voidaan esittää myös muodossa ax 1 + bx 2 + c = 0, missä a, b, c 2 R ja vähintään toinen luvuista a tai b on nollasta eroava. 12 / 159
Määritelmä 5 Avaruuden R 3 taso on joukko {u + kv + tw k, t 2 R}, missä u 2 R 3 ja v, w 2 R 3 \{0} ja vektorit v ja w eivät ole yhdensuuntaiset. Vektoria u kutsutaan paikkavektoriksi ja vektoreita v ja w suuntavektoreiksi. Taso avaruudessa R 3 on myös sellaisten pisteiden (x 1, x 2, x 3 ) 2 R 3 joukko, jotka toteuttavat yhtälön ax 1 + bx 2 + cx 3 + d = 0, missä a, b, c, d 2 R ja ainakin yksi luvuista a, b, c on nollasta eroava. Tätä yhtälöä kutsutaan tason skalaariyhtälöksi. 13 / 159 Luentopähkinät 1 Olkoot x =(1, 1, 1), y =(4, 0, 2) ja z =(0, 1, 1) avaruuden R 3 pisteitä. Kirjoita näiden pisteiden kautta kulkeva taso vektorimuodossa {u + kw + tv k, t 2 R}. 2 Tiedetään, että vektori n =( 2, 5, 1) on kohtisuorassa edellisen tehtävän tasoa vastaan. Määrää taso skalaariyhtälönä eli muodossa ax 1 + bx 2 + cx 3 + d = 0. 14 / 159