1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät ilmoitetaan lauseina. Seuraako lause toisesta lauseesta, on logiikan pääaiheita. 1.1 Logiikan symbolit Propositio eli suljettu lause sisältää jonkin väitteen tai päätelmän. Väite voi olla totta tai sitten epätotta. Esimerkki 1.1. Lauseita ovat Helsinki on Suomen pääkaupunki. Ville Virtanen on Suomen presidentti. 2+4 = 566 3 < 8 Näistä ensimmäinen ja viimeinen lause on totta ja keskimmäiset epätotta. Sen sijaan suomen kielen lauseet Jaaha. Miksei Suomessa ole kuningasta? eivät ole logiikan lauseita. Tämä logiikan järjestelmä rakentuu siis kahdelle periaatteelle: kielletyn kolmannen laki: Jokainen lause on tosi tai epätosi. Kolmatta vaihtoehtoa ei ole. kielletyn ristiriidan laki: Mikään lause ei voi olla sekä tosi että epätosi. Koska lauseet ovat tosia tai epätosia, lauseella on aina totuusarvo 1 tai 0: jos lause on tosi, lauseella on totuusarvo 1, ja jos lause on epätosi, sillä on totuusarvo 0. Edellä olevat propositiot katsotaan logiikassa atomilauseiksi. Propositioita voidaan yhdistellä ja saada näin aikaan uusia propositioita. Atomilauseista yhdistettyjä propositioita sanomme yhdistetyiksi lauseiksi. Seuraavaksi katsomme viisi eri tapaa yhdistellä lauseita. 1
Negaatio Negaatio (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä sanaa ei. Esimerkki 1.2. Jos lausetta Helsinki on Suomen pääkaupunki merkitään p:llä, niin p tarkoittaa lausetta Helsinki ei ole Suomen pääkaupunki. Tämä voidaan myös ilmoittaa muodossa Ei pidä paikkaansa, että Helsinki on Suomen pääkaupunki. Esimerkki 1.3. Jos merkitään q:llä lausetta 6 ei ole parillinen, niin p tarkoittaa lausetta 6 on parillinen. Huomaa, että jos p on tosi, niin p on epätosi. Jos taas p on epätosi, niin p on tosi. Lauseen p totuusarvotaulukko on alla. Konjunktio p p 0 1 1 0 Konjunktio (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä sanaa ja. Esimerkki 1.4. Jos merkitään p:llä lausetta Aino laulaa ja q:lla lausetta Bertta soittaa huilua, niin p q tarkoittaa lausetta Aino laulaa ja Bertta soittaa huilua. Tämä lause on tosi, jos Aino laulaa ja Bertta soittaa huilua ovat molemmat tosia lauseita. Esimerkki 1.5. Jos merkitään p:llä lausetta 3 < 1 ja q:lla lausetta 2 < 4, niin p q tarkoittaa lausetta 3 < 1 ja 2 < 4. Tämä lause ei ole tosi, sillä lause p ei ole tosi. Myöskään lause q p ei ole tosi. Esimerkki 1.6. Jos p on edelleen epätosi lause 3 < 1 ja q onkin lause 4 < 2, joka on myös epätosi, niin lause p q eli 3 < 1 ja 4 < 2 on epätosi. Propositio p q on siten tosi vain silloin, kun molemmat lauseet p ja q ovat tosia. Totuusarvotaulukossa on nyt neljä riviä propositioiden p ja q eri totuusarvovaihtoehtojen mukaan. p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 2
Disjunktio Disjunktio (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä sanaa tai. Esimerkki 1.7. Jos merkitään p:llä lausetta Maari syö mansikoita ja q:lla lausetta Meeri syö mustikoita, niin p q tarkoittaa lausetta Maari syö mansikoita tai Meeri syö mustikoita. Tämä lause on tosi, jos Maari syö mansikoita tai jos Meeri syö mustikoita. Lause on myös tosi, jos molemmat p ja q ovat tosia, ts. jos Maari syö mansikoita ja Meeri mustikoita. Huomaa, että disjunktio eroaa puhekielen tai -sanasta siinä, että puhekielessä usein voidaan tarkoittaa, että vaihtoehdoista on valittava jompi kumpi. Esimerkiksi Kahvi tai tee kuuluu hintaan tarkoittaa käytännössä usein, ettei asiakas saa ottaa sekä kahvia että teetä vaan jompaa kumpaa. Jos tarkoitetaan, että molemmat vaihtoehdot ovat sallittuja, puhutaan inklusiivisesta taista, ja jos vain jompikumpi vaihtoehto on sallittu, puhutaan eksklusiivisesta (poissulkevasta) taista. Esimerkki 1.8. Jos merkitään p:llä lausetta Kuu on juustoa ja q:lla lausetta Kuussa sataa vettä, niin lause p q eli Kuu on juustoa tai Kuussa sataa vettä on epätosi, koska kumpikaan lauseista p ja q ei ole tosi. Disjunktion totuusarvotaulukko on alla. Implikaatio p q p q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Implikaatio (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä jos... niin tai seuraa. Lause p q voidaan sanoa muodossa jos p, niin q tai muodossa p:stä seuraa q. Tämä tarkoittaa, että jos p on totta, niin myös q on totta. Siten lause p q, on selvästi tosi, jos p on tosi ja q on tosi. Selvästi myös lause p q on epätosi, jos p on tosi, mutta q ei olekaan tosi. Silloin p:n voimassaolosta ei seuraakaan q:n voimassaolo. Entä sitten jos p onkin epätosi? Jos p on epätosi, niin lause jos p, niin q ei sano mitään siitä, onko q tosi vai ei. 3
Esimerkki 1.9. Olkoon p lause Kirja on alennuksessa ja q lause Ostan kirjan. Lause p q tarkoittaa silloin Jos kirja on alennuksessa, ostan kirjan. Mitä jos kirja ei ole alennuksessa? Silloin p on epätosi. Onko lause p q totta vai ei? Tällöin katsotaan, että p q on tosi, sillä siitä asiantilasta, että kirja ei ole alennuksessa, ei sanota mitään. Silloin voin joko siltiostaakirjantaiollaostamatta,eikäsemuutalauseenp q totuusarvoa mihinkään. Ainoa tapaus, jossa p q on epätosi, on se tapaus, missä kirja on alennuksessa, mutta en ostakaan kirjaa. Esimerkki 1.10. Olkoon p lause x > 7 ja q lause x > 2. Jos p on totta, täytyy muuttujan x olla suurempi kuin 7. Silloin muuttujan x täytyy olla myös lukua 2 suurempi. Siten lause q on totta. Täten implikaatio p q on tosi. Sen sijaan implikaatio q p ei ole tosi. Jos q on totta, muuttuja x on suurempi kuin 2. Tästä ei voi päätellä, että x on suurempi kuin 7, sillä x:hän voi olla esimerkiksi 4, jolloin p ei ole totta, vaikka q on totta. Sovimme siis implikaation totuusarvotaulukoksi alla olevan. p q p q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Huomaa, että pänvastoin kuin aiemmin, propositiot p ja q ovat nyt eriarvoisessa asemassa. Konjunktion ja disjunktion totuustaulut ovat symmetriset p:n ja q:n suhteen, mutta implikaation totuustaulu ei ole. Ekvivalenssi Ekvivalenssi (merkitään ) tarkoittaa puhekielessä ovat yhtäpitävät tai jos ja vain jos. Lause p q voidaan sanoa muodossa p ja q ovat yhtäpitävät tai pjaqovatekvivalentit taimuodossa pjosjavainjosq.tämätarkoittaa, ettäjokopjaq ovatmolemmat tosiataisittenpjaq ovatmolemmat epätosia. Toisin sanoen propositioilla p ja q on sama totuusarvo. Lause p jos ja vain jos q tarkoittaa, että jos toinen propositioista on tosi, niin toinenkin on. Silloin ei voi olla niin, että toinen propositioista on tosi 4
ja toinen epätosi. Ekvivalentit propositiot seuraavat täten toisistaan, jolloin p q jaq p.tämäselittää,miksi ekvivalenssin merkki onyhdistetty kahdesta erisuuntaisesta implikaatiosta ja. Esimerkki 1.11. Merkitään p:llä lausetta Akseli on töissä ja q:lla lausetta Akseli ansaitsee palkkaa. Silloin jos Akseli saa työstään palkan ja jos Akseli ei saa palkkaa muuten kuin käymällä töissä, niin p q. Toisin sanoen jos Akseli on töissä, hän saa palkkaa, ja jos Akseli saa palkkaa, hän on töissä. Esimerkki 1.12. Olkoon p lause x+2 = 7 ja q lause x 3 = 2. Jos p on totta, täytyy muuttujan x olla arvoltaan 5. Silloin lause q:kin on totta. Jos q on totta, täytyy jälleen muuttujan x olla 5, jolloin lause p:kin on totta. Siten lauseet p ja q ovat ekvivalentit. Voidaan siis kirjoittaa (x+2 = 7) (x 3 = 2). Järkevämpää olisi lisätä apulause x = 5 ja kirjoittaa (x+2 = 7) (x = 5) (x 3 = 2). Kun sulut vielä jätetään pois, nähdään, että tavalliset yhtälönratkaisuketjut ovat yleensä juuri ekvivalenssien jonoja. Ekvivalenssin totuustaulu on alla. Yhdistetyt lauseet p q p q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Kaikkia edellisiä yhdistelymerkkejä,,,, sanotaan konnektiiveiksi. Jo konnektiiveilla yhdistettyjä lauseita voi yhdistellä edelleen. Aloitetaan propositioista p, q, r,... Nyt emme kiinnitä huomiota propositioiden sisältöön, vaan vain niiden totuusarvoon. Siksi kutsumme propositioita p, q, r... propositiomuuttujiksi. Näistä yhdisteltyjä lauseita ovat esimerkiksi p q r ja (p q) p. Näitä yhdistettyjä lauseita merkitään isoilla kirjaimilla P, Q, R,... Yhdistettyjen lauseiden totuusarvot saadaan selville, kun tiedetään siinä esiintyvien propositiomuuttujien totuusarvot. 5
Esimerkki 1.13. Tutkitaan lauseen (p q) ( p) totuusarvo, kun lauseen p totuusarvo on 1 ja lauseen q totuusarvo on 0. Silloin konjunktiivin totuustaulun kolmannen rivin mukaan lauseen p q totuusarvo on 0. Lauseen p totuusarvo on 0, sillä p:n totuusarvo on 1. Ekvivalenssin (p q) ( p) totuusarvo on 1, sillä lauseilla p q ja p on sama totuusarvo, 0. Edellä tarkistettiin totuusarvoyhdistelmä, jossa lauseen p totuusarvo on 1 ja lauseen q totuusarvo on 0. Propositiomuuttujien totuusarvot on helpompi ilmoittaa funktiona. Tässä tapauksessa funktio on α joukolta {p, q} totuusarvojen joukolle{0, 1}. Tällaista funktiota α sanotaan tulkinnaksi(tai totuusarvotukseksi). Ã skeisen esimerkin tulkinta voidaan ilmoittaa näin: α(p) = 1 ja α(q) = 0. Usein halutaan tietää yhdistetyn lauseen totuusarvot kaikissa totuusarvoyhdistelmissä eli kaikissa tulkinnoissa. Sitä varten kannattaa tehdä totuustaulu. Totuustaulun jokaiselle riville kirjoitetaan yksi totuusarvoyhdistelmä. Silloin taulun jokaisella rivillä on yksi propositiomuuttujien tulkinta. Taulun sarakkeita voi täyttää konnektiivi kerrallaan, kunnes osalauseista on koottu kysytty yhdistetty lause viimeiseen sarakkeeseen. Edellisen esimerkin lauseen totuustaulu onkin alla. p q p q p (p q) ( p) 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 Edellisen esimerkin tulkinta (α(p) = 1 ja α(q) = 0) on nyt totuustaulun kolmannella rivillä. Totuustaulusta nähdään, että lause (p q) ( p) on melkein aina epätosi ja tosi ainoastaan silloin, kun lauseella p on totuusarvo 1 ja lauseella q on totuusarvo 0. Huomaa myös, että luettelemme tulkinnat aina samassa järjestyksessä: 00, 01, 10, 11. Kun totuusarvoyhdistelmät tulkitaan binäärilukuina, ne muodostavat luvut 0, 1, 2, 3 suurenevassa järjestyksessä. Vastaavat tulkinnat saavatkin kätevästi nimet α 0, α 1, α 2 ja α 3. Jokainen yhdistetty lause voidaan kuvata puumuodossa. Yksi propositiomuuttuja kuvataan yhtenä pisteenä. Lauseen p q puussa on kolme pistettä p, q ja p q ja näistä p q on ylimpänä ja siitä on viivat pisteisiin p ja q. Edelleen lauseen (p q) puu saadaan, kun edellinen puu yhdistetään viivalla ylempään pisteeseen (p q). Alla on tämän puun kuva: 6
p q Lauseita voi kuvailla puumuodossa ylimpänä esiintyvän konnektiivin mukaan. Edellisen esimerkin lausetta (p q) voi sanoa negaatioksi, sillä on lauseen uloin konnektiivi ja samalla puun ylin merkki. Lauseessa (p q) ( p) käytimme sulkuja konjunktion ja negaation ympärillä. Yleensä sulkuja halutaan kirjoittaa kuitenkin mahdollisimman vähän. Mutta silloin emme tiedä välttämättä, mitä yhdistettyä propositiota tarkoitetaan. Tarkoittaako esimerkiksi p q p lausetta(p q) p vai lausetta p (q p)? Nehän eivät ole sama lause, mikä nähdään alla olevasta totuustaulusta. p q p q (p q) p q p p (q p) 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Korostetuilla sarakkeilla näkyvät tutkittavien lauseiden totuusarvot. Ensimmäisellä rivillä totuusarvot eroavat: siksi lauseet eivät merkitse samaa. Tämän takia sovitaan konnektiivien sitomisjärjestys. Sovitaan, että negaatio sitoo eniten, seuraavaksi konjunktio ja disjunktio, ja vähiten sitovat implikaatio ja ekvivalenssi. Järjestys on siis 1) 2), 3),. Siten esimerkiksi lause p q p tulkitaan lauseeksi p (q p) eikä lauseeksi (p q) p. Lauseesta (p q) ei sen sijaan voi jättää sulkuja pois ja muuttaa sitä lauseeksi p q, sillä silloin se tulkittaisiinkin lauseeksi ( p) q. Myöskin lauseeseen p q r on lisättävä kuitenkin sulut, että tiedetään, tarkoitetaanko lausetta (p q) r vai lausetta p (q r). Propositiomuuttujia voi olla enemmänkin kuin kaksi. Esimerkki 1.14. Lauseessa p (q r) esiintyy kolme muuttujaa p, q ja r. Muuttujille p ja q tarvitaan neljä eri totuusarvoyhdistelmää. Nämä 7
neljä tarvitaan lauseen r arvolla 0 ja toiset neljä lauseen r arvolla 1. Totuustauluun tarvitaan siis kahdeksan riviä. Järjestetään rivit taas nousevaan binäärilukujärjestykseen. Alla olevaan totuustauluun on lisätty vastaavat binääriluvut ensimmäiseen sarakkeeseen. p q r q r p (q r) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 1 1 0 4 1 0 0 1 1 5 1 0 1 1 1 6 1 1 0 0 0 7 1 1 1 1 1 Huomaa, että jos totuustaulussa on n propositiomuuttujaa, rivejä on 2 n kappaletta. 1.2 Tautologia Esimerkki 1.15. Lause p p saa aina totuusarvon tosi: jos nimittäin p on tosi, myös disjunktio p p on tosi, ja jos taas p on epätosi, niin p on tosi, ja silloin taas disjunktio p p on tosi. Siis disjunktiossa p p joko p tai p on aina tosi, jolloin disjunktio ei voi olla koskaan epätosi. Tällaista lausetta, joka on propositiomuuttujien totuusarvoista riippumatta aina tosi, sanotaan identtisesti todeksi lauseeksi eli tautologiaksi. Tällaisen lauseen totuustaulussa kaikki rivit ovat ykkösiä: p p p p 0 1 1 1 0 1 Lause, jonka totuusarvo on aina epätosi riippumatta propositiomuuttujien arvosta, on identtisesti epätosi (eli kontradiktio). Esimerkki 1.16. Lause p q (p q) on identtisesti epätosi. Tämä nähdään sen totuustaulustakin: 8
p q q p q p q (p q) 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1.3 Looginen seuraus ja looginen ekvivalenssi Määritelmä 1.17. Lauseet P ja Q ovat loogisesti ekvivalentit, jos niiden totuusarvot ovat samat kaikissa tulkinnoissa. Tällöin merkitään P Q. Esimerkki 1.18. Tarkastellaan lauseita P = (p q) ja Q = p q. Tutkitaan, ovatko lauseet P ja Q loogisesti ekvivalentteja. Tapa 1. Tehdään totuustaulut. Koska jokaisella totuustaulun rivillä on yksi tulkinta ja taulussa on kaikki mahdolliset tulkinnat, riittää tarkastaa, ovatko taulun sarakkeet kohdissa P ja Q samat. p q q p q P Q 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 Huomataan, että viimeiset sarakkeet ovat samat, joten P Q. Tapa 2. Katsotaan, mitkä ovat ne tulkinnat, joilla P on tosi, ja mitkä ne tulkinnat, joilla Q on tosi. Jos tulkinnat ovat täsmälleen samat, lauseet ovat loogisesti ekvivalentit. Lause P = (p q) on tosi, kun lause p q on epätosi. Implikaatio p q taas on epätosi, kun p on tosi ja q on epätosi. Siten tulkintoja, joilla P on tosi, on vain yksi kappale. Merkitään tätä tulkintaa α:lla; silloin α(p) = 1 ja α(q) = 0. Lause Q = p q on tosi, kun p on tosi ja q on tosi. Lause q taas on tosi, kun q on epätosi. Jälleen saatiin vain yksi tulkinta, jossa Q on tosi. Merkitään tätä tulkintaa β:lla; silloin β(p) = 1 ja β(q) = 0. Koska ainoat tulkinnat, joilla P ja Q ovat tosia, α ja β ovat samat, niin P ja Q ovat ekvivalentit. Ensimmäinen tapa osoittaa lauseet loogisesti ekvivalenteiksi on hyvä, kun propositiomuuttujia on melko vähän. Toinen tapa voi olla parempi, kun propositiomuuttujia on paljon, sillä silloin totuustauluista voi tulla melko isoja. 9
Esimerkki 1.19. Ovatko lauseet P = (p q) r ja Q = p (q r) loogisesti ekvivalentit? Jälleen voidaan laatia totuustaulut, mutta nyt muuttujia on enemmän ja työtäkin on enemmän. Kokeillaan sen sijaan toista tapaa. Arvaamme, että P ja Q eivät ole loogisesti ekvivalentit. Silloin riittää etsiä tulkinta, jossa toinen lauseista P ja Q on tosi ja toinen epätosi. Koska P on konjunktio (ulommaisin konnektiivi on konjunktio), se on useimmassa tulkinnoissa epätosi. Lause Q taas on disjunktiona useimmiten tosi. Etsitään siis tulkinta, jossa P on epätosi ja Q tosi. Jos valitaan r epätodeksi, niin P on epätosi riippumatta p:n ja q:n totuusarvoista. Nyt Q saadaan todeksi valitsemalla p ja q todeksi. Näin siis tulkinnassa α, jossa α(p) = α(q) = 1 ja α(r) = 0, lauseilla P ja Q on eri totuusarvot, joten P ja Q eivät ole loogisesti ekvivalentit. Yllä olevasta esimerkistä huomataan, ettei sulkuja voi välttämättä siirrellä muuttamatta lauseen totuusarvoa. Määritelmä 1.20. Jos lause Q on tosi kaikissa tulkinnoissa, joissa lause P on tosi, niin lause Q on lauseen P looginen seuraus, merkitään P Q. Esimerkki 1.21. LauseQ = p q onlauseenp = p q looginenseuraus, sillä Q on tosi aina, kun P on tosi. Tämä nähdään myös lauseiden totuustaulusta: p q p q p q 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 On vain yksi rivi, jossa p q on tosi; se on totuustaulun viimeinen rivi. Tällä rivillä myös p q on tosi. Siten p q p q. Huomaa, että siitä ei tarvitse välittää, että lauseen p q sarakkeessa on muitakin tosia rivejä. Esimerkki 1.22. Lause Q = (p q) r ei ole lauseen P = p (q r) looginen seuraus, sillä lause P on tosi tulkinnassa α(p) = α(q) = α(r) = 0 ja lause Q on siinä epätosi. Sama voidaan todeta katsomalla totuustaulun ensimmäistä riviä: p q r q r P p q Q 0 0 0 1 1 0 0... 10
1.4 Päättelyt Päättely tarkoittaa johtopäätöksen tekemistä oletuksista. Päättely on pätevä, jos johtopäätös on tosi, kun oletukset ovat tosia. Esimerkki 1.23. Aristoteles antoi seuraavan esimerkin pätevästä päättelystä. Oletukset ovat (O1) Ihmiset ovat kuolevaisia ja (O2) Sokrates on ihminen. Johtopäätös on(q) Sokrates on kuolevainen. Päättelyn oletukset kirjoitetaan viivan yläpuolelle ja johtopäätös alapuolelle. O1 Ihmiset ovat kuolevaisia. O2 Sokrates on ihminen. Q Sokrates on kuolevainen. Päättely on pätevä, sillä jos ihmiset ovat kuolevaisia ja Sokrates on yksi ihmisistä, täytyy Sokrateenkin olla kuolevainen. Esimerkki 1.24. Päättely O1 Kaikki hyvät kirjat ovat paksuja. O2 Mikään runokirja ei ole paksu. Q Mikään runokirja ei ole hyvä kirja. on pätevä. Jos jokin runokirja olisi hyvä kirja, se olisi oletuksen O1 perusteella paksu. Mutta oletuksen O2 perusteella mikään runokirja ei ole paksu. Siten runokirja ei voi olla hyvä kirja. Huomaa, että hieman järjettömältä tuntuva johtopäätös perustuu ainoastaan oletuksiin, joten mahdollisesti oletukset eivät ehkä pidä paikkaansa. Silti päättely on aivan looginen maailmassa, jossa oletukset pitävät paikkansa, ja tätähän tässä haetaan. Esimerkki 1.25. Fifi on koira. Gigi on koira. Didi on koira. Mimi on koira. Päättely ei ole pätevä. Vaikka Fifi, Gigi ja Didi ovat koiria, siitä ei seuraa ilman muuta, että Mimi on koira. Myös matematiikka perustuu päättelyihin. Seuraavassa luvut a, b ja c tulkitaan reaaliluvuiksi. 11
Esimerkki 1.26. a > b b > c (a > b) (b > c) = (a > c) a > c Esimerkki 1.27. a > b (a > b) = (a+c > b+c) a+c > b+c Esimerkki 1.28. a > b c > 0 (a > b) (c > 0) = (ac > bc) ac > bc Esimerkki 1.29. a > 1 2 < 0 (a > b) (c < 0) = (ca < cb) 2a < 2 Yllä olevissa esimerkeissä on aina otettu oletukseksi mukaan myös epäyhtälöiden yleisiä sääntöjä: T: (a > b) (b > c) = (a > c) P: (a > b) = (a+c > b+c) M+: (a > b) (c > 0) = (ac > bc) M-: (a > b) (c < 0) = (ac < bc) Ajatellaan nyt, että nämä säännöt ovat käytettävissä ilman erikseen kirjoittamatta oletuksiin. Tarkastellaan päättelyitä, joissa on useampi vaihe. Esimerkki 1.30. Päätellään seuraavaksi, että jos a > b > 0, niin a 2 > b 2. Oletuksia on siis kaksi: a > b ja b > 0. Johtopäätös on a 2 > b 2. a > b a > b b > 0 (T) a > 0 (M+) ab = ba (V) a 2 > ba ba = ab a 2 > b 2 a > b b > 0 (M+) ab > b 2 (T) 12
Käytetyt säännöt on kirjoitettu päättelyviivan vasemmalle puolelle. Tarvitsimme yllä myös reaalilukujen vaihdantalakia ab = ba (V) ja yhtäsuuruuden symmetrisyyttä a = b = b = a. Päättelyitä voidaan esittää myös puhtaasti logiikan lausein. Esimerkki 1.31. Päättely P Q on pätevä, sillä jos oletus P Q on tosi, P niin silloin sekä P että Q ovat tosia. Erityisesti näistä Q on tosi. Esimerkki 1.32. Päättely P Q ei ole pätevä, sillä jos oletus P Q on P tosi, niin silloin P tai Q on tosi. Jos vain Q on tosi, niin silloin johtopäätös P ei ole tosi. Esimerkki 1.33. Päättely P Q Q P P on pätevä. Nimittäin jos P olisi tosi, niin Q olisi tosi ensimmäisen oletuksen nojalla. Silloin toisen oletuksen Q P perusteella P olisi tosi. Täten P olisikin epätosi. Tämä on mahdotonta, koska oletimme P:n todeksi. Ainoa mahdollisuus on, että P on epätosi ja johtopäätös P on tosi. Tärkeitä päättelysääntöjä ovat modus ponens ja modus tollens: P Q P Q P Q Q P Modus ponensia käytimme kovin päättelyissä lukujen epäsuuruudesta, esimerkeissä 1.26 1.29. Joskus oletukset ovat ristiriidassa keskenään, jolloin mitään johtopäätöstä ei voi tehdä. Haluamme ilmaista tämän lauseella, joka on aina epätosi. Toisessa tapauksessa haluamme ilmaista, että lause on aina tosi. Tähän tarkoitukseen ovat totuusvakiot: ja. Lause on tosi kaikissa tulkinnoissa ja lause on epätosi kaikissa tulkinnoissa. Niitä voi käyttää esimerkiksi seuraavissa pätevissä päättelyissä: P P P P P P 13