LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Arvosanat

3 Tilastotutkimuksen analysointi ja raportointi 194. Arvosanat taulukkona: Arvosana f f % Keskuskulma (astetta) 1 4,8 % 17 6 3,8 % 86 7 3,8 % 86 8 8 38,1 % 137 9 9, % 34 Sektoridiagrammina: 37 % 10 % Arvosanat % 4 % 4 % 6 7 8 9 19. Kuvaajasta vuoden 1989 vähenemisprosentti on noin 1,3 % ja lukumääräinen väheneminen on noin 81 asukasta. Merkitään asukasmäärää vuoden 1989 alussa muuttujalla x. Saadaan yhtälö 0,013 x 81 : 0,013 x 630,769 631. Vuoden 1989 alussa asukasmäärä on ollut 631 ja vuoden lopussa asukasmäärä on ollut 631 81 = 610. Taulukoidaan vuosiarvot: Vuosi Asukasmäärä vuoden lopussa Muutos 1989 610 1990 607 7 1991 60 0 199 960 6 1993 910 0 1994 860 0 199 70 140 1996 68 3 1997 60 3 1998 4 10 1999 44 100 000 30 1 001 00 10 00 11 8 003 00 6 004 03 1 00 4990 4 006 4940 0 007 486 7 Hahmotellaan pylväsdiagrammi. KERTOMA! MAB 8

7000 6000 000 4000 3000 000 1000 0 1989 1991 Asukasmäärä vuoden lopussa 1993 199 1997 Ratkaisu riippuu graafin lukutarkkuudesta. Graafi antaa informaatiota ennen kaikkea muutoksesta ja tarkan asukasmäärän laskeminen on mahdotonta. Likimääräisen tuloksen tietojen perusteella voi laskea. Todelliset arvot ovat oheisessa taulukossa. 1999 001 003 00 007 Vuosi Asukasluku 1989 6 104 1990 6 030 1991 978 199 914 1993 86 1994 811 199 671 1996 638 1997 60 1998 498 1999 396 000 7 001 1 00 070 003 007 004 4 99 00 4 91 006 4 900 007 4 8 Vastaus: Väestömäärän muutos prosentteina ilmoitettuna on suurempi vuonna 007 kuin 1989, koska väestömäärä on paljon pienempi 007 kuin vuonna 1989. 196. Luokitellaan tulokset kolmeen luokkaan. Luokka Luokkakeskus f [76,80[ 78 3 [80,84[ 8 [84,88[ 86 Piirretään histogrammi. KERTOMA! MAB 83

f 197. Muutetaan ajat sekunneiksi. 4:9 4:08 4:1 4:7 :4 3:17 :00 3:1 6:9 4:39 3:4 6: 3:40 :30 :30 99 48 67 34 197 300 19 419 79 41 0 330 10 3:07 4:36 4:8 0:44 4: 4:03 4:31 3:6 7:16 3:06 4:0 3:36 4:18 3:7 :6 187 76 68 44 9 43 71 36 436 186 4 16 8 37 36 Luokitellaan ajat viiteen luokkaan. Luokkakeskus Frekvenssi [0, 100[ 0 1 [100, 00] 10 [00, 300[ 0 17 [300, 400[ 30 4 [400, 00[ 40 3 Histogrammi: f 6 4 3 1 0 0 1 10 0 Berliini 14.6.009 78 8 86 Heiton pituus Kappaleiden kesto 0 10 0 30 40 aika (s) 198. Jos koko kulutus on 100A, niin välillisen kulutuksen osuus on 6A ja välittömän 44A. Tällöin välilliselle kulutukselle esimerkiksi elintarvikkeiden osuus koko kulutuksesta on 0,38 6A = 1,8A eli noin 1,3 % koko kulutuksesta. Vastaavasti saadaan muut välillisen kulutuksen osuudet koko kulutuksesta. Välittömille saadaan vastaavasti esimerkiksi kotitaloussähkön osuus 0,18 44A = 7,9A eli 7,9 % koko kulutuksesta. Taulukoidaan arvot ja piirretään sektoridiagrammi. Osuus koko kulutuksesta % Elintarvikkeet 1 Tavarat ja palvelut 11 Vaatetus 4 Välillinen asuminen 1 Välillinen liikenne 8 Kotitaloussähkö 8 Valaistus 1 Lämmitys 0 Lämminkäyttövesi Henkilöautoliikenne 10 Sektoridiagrammi: Osuus koko kulutuksesta % % 0 % 1 % 10 % 8 % 8 % 1 % 11 % 4 % 1 % Elintarvikkeet Tavarat ja palvelut Vaatetus Välillinen asuminen Välillinen liikenne Kotitaloussähkö Valaistus Lämmitys Lämminkäyttövesi Henkilöautoliikenne KERTOMA! MAB 84

4 Tunnuslukuja 199. Yleisin arvosana on 3, joten se on moodi. Keskimmäinen arvosana on 3, koska suhteellinen summafrekvenssi ylittää 0 %. Mediaani on siis 3. Keskiarvo ja keskihajonta voidaan laskea laskimen tilastotoiminnoilla: Keskiarvo on x =,87,9. Otoskeskihajonta on s = 1,031 1,0. Perusjoukon keskihajonta on s = 1,07 1,0. Laaditaan arvosanoista pylväsdiagrammi. Arvosanat Jos (perusjoukon) keskihajonta lasketaan taulukoimalla, niin saadaan f( xi x) 118, 1,07 n 11 60 0 40 30 0 10 0 1 3 4 00. Vastaus: Moodi on Mo = 3, mediaani on Md = 3, keskiarvo on x =,87,9 ja keskihajonta on s 1,0. Muodostetaan frekvenssitaulukko. Arvosana f f % sf sf % 1 1 11 % 1 11 % 3 1 % 3 31 % 3 46 % 87 78 % 4 17 1 % 104 93 % 8 7 % 11 100 % Yhteensä 11 Silmien väriin voi soveltaa luokitteluasteikon tunnuslukuja, joten moodi on ainut sopiva tunnusluku. Vihreän frekvenssi on suurin, joten moodi on vihreä. Vastaus: Moodi on Mo = vihreä. KERTOMA! MAB 8

01. b) Harjoituksia on yhteensä 49. Viikossa on harjoituksia keskimäärin 49 3,76 3, 8 13. Vastaus: 3,8 c) Kokonaisharjoitusaika on 7, h ja kertoja on 49. Harjoituksen pituus tunteina on keskimäärin 7, 1, 480 1, 49. Taulukoidaan molempien diagrammien frekvenssit. Lasketaan lisäksi neljänteen sarakkeeseen harjoitusaikojen keskiarvot d-kohtaa varten. Viikko Aika (h) Kerrat Keskimääräinen aika (h) 1 3 3 0,6 4,1 3 1,4 3 10, 6 1,7 4 11 7 1,6,1 3 1,7 6 0 0 7 4,1 3 1,4 8 4 9, 1, 10 6 1, 11 11, 7 1,6 1 8, 1,7 13 3 1, Yhteensä 7, 49 1, Vastaus: 1, h d) Piirretään pylväsdiagrammi taulukon neljännen sarakkeen luvuista. aika (h) 3, 1, 1 0, 0 Keskimääräinen harjoitusaika 1 3 4 6 7 8 9 10 11 1 13 viikko a) Viikoittaiset frekvenssit on esitetty kolmessa ensimmäisessä sarakkeessa. KERTOMA! MAB 86

0. Ryhmän arvosanat: Ryhmä 1 Ryhmä 4 6 4 9 4 8 8 4 6 8 7 9 7 9 6 6 4 4 6 4 6 7 8 6 6 7 9 7 4 8 8 10 8 7 9 7 8 6 9 7 6 6 173 169 Laaditaan ensin frekvenssitaulukko. Arvosana Ryhmä 1 Ryhmä 4 1 7 7 6 6 7 6 8 3 9 6 0 10 0 1 9 Lasketaan keskiarvot ja keskihajonnat laskimella molemmille ryhmille ja lasketaan vertailuluvut arvosanalle 7. Ryhmä 1: x 6, 9, s 1,63 Normitettu arvo on xx 76,9 z 0,049 s 1, 63 Ryhmä : x,87, s 1,9 Normitettu arvo on xx 7,87 z 0,71 s 1, 9 Arvosanan 7 vertailuluku (normitettu arvo) on parempi ryhmässä, joten 7 on parempi arvosana ryhmässä. Vastaus: Ryhmässä On laskettava keskiarvo ja keskihajonta molemmille ryhmille sekä niiden avulla vertailuluvut (normitetut arvot) arvosanalle 7. KERTOMA! MAB 87

03. Nikellä on kolme samaa arvosanaa. Merkitään tätä arvosanaa muuttujalla x. Yhden kurssin arvosana on yhden arvosanan verran huonompi, kuin nuo kolme, joten merkitään sitä x 1. Viidennen kurssin arvosanaa Nikke ei muista, joten merkitään sitä muuttujalla y. Viimeinen kuudes arvosana on vielä tulossa, ja merkitään sitä muuttujalla z. Jotta kuuden kurssin keskiarvo on vähintään 7,, arvosanojen summan on oltava vähintään 6 7, = 4. Niken arvosanojen summa on 3x + (x 1) + y + z = 4x 1 + y + z. Ajatellaan, että viimeisen kurssin suoritus on vähintään seitsemän. Lasketaan Niken erilaiset keskiarvovaihtoehdot. x y z 4x-1+y+z 4 10 10 3 10 10 39 6 10 10 43 7 8 10 4 7 9 9 4 7 10 8 4 8 4 10 4 8 9 4 8 6 8 4 8 7 7 4 Taulukosta voidaan tarkastella tilannetta tarkemmin. Taulukosta voidaan päätellä, että kolmen saman arvosanan (x) on oltava vähintään seitsemän. Jos kolmesta ensimmäisestä kurssista tuli arvosanaksi 7, niin neljäs arvosana on x 1 = 7 1 = 6. Viides arvosana (y) riittää olla 8, jos kuudennesta tulee arvosana 10. Jos kolmesta ensimmäisestä kurssista tuli arvosanaksi 8, niin neljäs arvosana on x 1 = 8 1 = 7. Viides arvosana (y) riittää tällöin olla 4, jos kuudennesta tulee arvosana 10. Vastaus: Viidestä ensimmäisestä kurssista on pitänyt saada vähintään kolme seiskaa, yksi kuutonen ja kahdeksan, että keskiarvo kahdeksan on mahdollinen. 04. Merkitään: Musiikin numero on A ja kaikkien aineiden arvosanojen summa jouluna B ja keväällä C. Todistuksessa on n ainetta. Taulukoidaan tiedot. Keskiarvo musiikin numeron kanssa Joulu B x, josta saadaan B = nx. n Kevät C x 0,37, josta saadaan n C = n(x + 0,37). Keskiarvo ilman musiikin numeroa B A y n 1 C A y 0,4, josta saadaan n 1 C A y 0,4. n 1 Sijoitetaan saadut B ja C keskiarvon lausekkeisiin ilman musiikin numeroa. Kirjoitetaan yhtälö kevään ja joulun välille (jouluna y on sama kuin keväällä y). KERTOMA! MAB 88

y y BA CA 0, 4 n1 n1 nx A n( x 0,37) A 0, 4 ( n 1) n1 n1 nx A nx 0,37n A 0, 4( n 1) nx nx A A 0,37n 0, 4n 0, 4 00,37n0,4n0,4 0,37n0, 4n0, 4 0,0n 0, 4 : 0,0 n 16 Kun n = 16, niin C = nx + 0,37n = 16x + 0,37 16 = 16x + 6 ja B = nx = 16x. Huomataan, että arvosanojen summa kasvoi kuudella. Jos mikään ei noussut yli kahta numeroa, niin ainakin kolme ainetta nousi (kaikki nousivat kahdella.) Vastaus: Arvosanat kuudestatoista aineesta ja ainakin kolme arvosanaa nousi. Todennäköisyys 0. Luokalla on yhteensä 4 + 11 + 10 + = 30 oppilasta. a) Suotuisia on kappaletta: P(19 - vuotias) 0,166 0,17 30 Vastaus: 0,17 b) Suotuisia ovat 16- ja 17-vuotiaat, joita on 4 + 11 = 1: 1 P(19 - vuotias) 0, 30 Vastaus: 0, c) Luokalla ei ole yhtään 19-vuotiasta. Vastaus: 0 06. a) Ainut vaihtoehto on laskea, kuinka monta kuolemaa tilastollisesti sattuu miljoonan ajokilometrin aikana. Tässä ei voida huomioida Matin asemaa kuljettajana tai hänen ajotaitojaan yms. 6 10 P(kuolema) 0, 4 0,0008 9 110 Vastaus: 0,08 % KERTOMA! MAB 89

b) Tehtävässä pitää arvioida, kuinka paljon keskimäärin autolla tai pyörällä ajetaan vuodessa. Jos autoilija ajaa 1 000 km vuodessa ja pyöräilijä 00 km, niin todennäköisyydet kolmenkymmenen vuoden aikana ovat 301000 P(kuolema henkilöauto) 3,1 0,000139 ja 9 110 3000 P(kuolema pyörä) 3,1 0,000669. 9 110 Vastaus: Henkilöautolla 0,01 % ja pyörällä 0,07 % 07. Laatikossa on 13 palloa, joista vihreitä on neljä. Lisätään laatikkoon n palloa, jolloin oranssin todennäköisyys on n 4 P(oranssi). n 13 Määritetään yhtälöstä P(oranssi) = 0,, millä arvolla päästään täsmälleen arvoon 0,. n 4 0, ( n 13) n 13 n40,( n13) n40,n6, 0,n, : 0, n Kun lisätään oranssia palloa, todennäköisyys on täsmälleen 0 %, joten oransseja palloja on lisättävä kuusi. 08. Määritetään etäisyys pohjasta: Ylempi osa kartiosta on suotuisa alue. (Jos ollaan täsmällisiä, niin reuna on kaareva, koska etäisyydet kärjestä ja pohjasta eivät ole samalla kohtisuoralla kuin erikoistapauksessa.) Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Ja tämä suhde on myös kysytty todennäköisyys. A 3 1 P(lähempänä kärkeä) 0,1 A 8 Vastaus: 0,1 A A Vastaus: 6 KERTOMA! MAB 90

09. 0cm 9cm 0cm b) Suotuisa aikaväli on tulla viisi minuuttia ennen bussin saapumista tai kun bussi odottaa pysäkillä. P(odotus alle min) 0,833 0,8 1 Vastaus: 0,8 c) Matkailijan odotusaika on 0 min minuutin aikavälillä, koska silloin pääsee suoraan bussiin. P(0 min) 0,1666 0,17 1 Suotuisa alue on oranssilla väritetty alue. Alueen pinta-ala on neliön pinta-ala vähennettynä ympyrän pinta-alalla. Ympyrän ala: A = πr Neliön ala: A = s 0 9 P(etäisyys keskipisteeestä yli 9) 0,3638 0,36 0 Vastaus: 0,36 10. Aikaväli on 1 min, josta min bussi on pysäkillä. min 1 min min a) Bussiin nousemista ei tarvitse odottaa koskaan yli 11 min, koska pisin odotusaika on 10 min. Vastaus: 0 Vastaus: 0,17 11. Ensimmäisen jaon jälkeen pakassa on = 47 korttia. P(ruutu) = 0,. Ruutujen määrä x: x 0, 47 47 x 9, 4 Pakassa on täten joko 10 tai 9 ruutua Molemmat pyöristyvät arvoon 0,. Voidaan ajatella, että Matilla on kädessä jo 4 ruutua, joten pakassa on 9 ruutua. Vastaus: 9 1. Ihmisiä: 100, tupakoi: 0A Keuhkosyöpä niillä, jotka tupakoivat: 0,0 0A = A Keuhkosyöpä niillä, jotka eivät tupakoi: 0,01 80A = 0,8A Yhteensä keuhkosyöpäisiä on A + 0,8A = 1,8A. Näistä tupakoi A, joten A 100%, % 6% 1, 8A. Vastaus: 6 % KERTOMA! MAB 91

13. a) Erilaisia vaihtoehtoja on viisi, joissa yhdessä on teksti 1 P(teksti piilossa) 0,. Vastaus: 0, b) Koska vaihtoehtoja on viisi ja muoto on säännöllinen, niin sivu ei voi olla suoraan ylöspäin. Vastaus: 0 6 Lukumäärien laskeminen 8 14. a) Kahdeksasta joukkueesta voidaan muodostaa pari 8 eri tavalla. (Tai 87 8 ) 4 b) Molemmissa lohkoissa pelataan loppuottelu. 4 4 1 13 (Tai 43 43 1661 13) eri peliä. Lopussa on yksi Tietyt kaksi joukkuetta (esim. joukkueet A ja B) voidaan valita siihen alkulohkoon vain yhdellä tavalla (eli 1 ). Heidän lisäksi samaan alkulohkoon voidaan valita kaksi muuta joukkuetta kuudesta jäljellä 6 olevasta 1 eri tavalla, joten saadaan todennäköisyys 6 11 3 P(pari) 0,148 0,14. 8 70 14 4 Vastaus: a) 8 b) 13 c) 0,14 1. a) Muodostetaan yhtälö: n 6 3 n! 6 3!( n 3)! nn ( 1)( n)( n3)! 6 3! ( n 3)! nn ( 1)( n) 6 3! Yhtälö ei ratkea lyhyen matematiikan taidoilla, joten ratkaistaan yhtälö kokeilemalla: 4 6 7 8 4, 10, 0, 3, 6, joten saadaan n = 8. 3 3 3 3 3 c) Alkulohkoon voidaan valita kahdeksasta joukkueesta neljä 8 joukkuetta 70 eri tavalla. 4 KERTOMA! MAB 9

b) Muodostetaan yhtälö, joka ratkaistaan. n 311 n! 311!( n )! nn ( 1)( n)! 311! ( n )! nn ( 1) 311! nn ( 1) 311 nn ( 1) 60 n n60 0 1 1 4160 1499 n 1499 1499 n 0 tai n 49 Negatiivinen arvo n = 49 ei kelpaa, joten n = 0. Vastaus: a) n = 8 b) n = 0 10 16. Psykologian kokeessa on 6 13 Fysiikan kokeessa on 8 10 erilaista tapaa valita tehtävät. 187 erilaista tapaa valita tehtävät. Prosentteina 187 6,18, eli 13 % enemmän. 10 13 10 8 6 (Tai laskemalla 100 13% ) 10 6 17. a) 16 pelaajasta saadaan 8 paria, joten ensin pelataan 8 peliä. Sitten muodostetaan edellisten pelien voittajista peliparit eli pelataan 4 peliä. Seuraavaksi vielä peliä ja lopuksi finaali eli 1 peli. Yhteensä 8 + 4 + + 1 = 1 peliä. b) Paras pelaaja voi ensimmäisellä kierroksella kohdata 14 pelaajaa (ei toiseksi parasta) 1 mahdollisesta, toisella kierroksella vastaavasti 6 pelaajaa 7 mahdollisesta ja kolmannella pelaajaa 3 mahdollisesta ja viimeisessä eli finaalissa vain sen toiseksi parhaan eli 14 6 1 146 168 8 P(kaksi parasta finaalissa) 1 7 3 1 173 31 1 0, 333 Vastaus: a) 1 b) 8 0,33 1 18. Maaliskuussa on 31 päivää. Peräkkäisiä päiviä on 30 eri tapaa (Peräkkäisistä päivistä ensimmäinen päivä voi olla 30 tavalla (jotta on molemmat maaliskuussa) ja sitä seuraava päivä vain 1 tavalla.). Peräkkäisiä päiviä ovat 1,;,3; 30,31. Siis peräkkäisiä päiviä on 30 kappaletta. Jos he ovat syntyneet eri päivinä, niin näitä vaihtoehtoja on 31 46. Jos he ovat syntyneet samana päivänä, niin vaihtoehtoja on 31. Saadaan todennäköisyys 30 1 P(peräkkäin) 0,06048 0,060. 31 48 31 Vastaus: 6,0 % Vastaus: Fysiikan kokelaalla on 13 % enemmän valintavaihtoehtoja. KERTOMA! MAB 93

19. Viisi korttia voidaan valita korttipakan kortista 707 eri tavalla. 13 Kaksi ruutua voidaan valita 13 ruudusta 78 eri tavalla. Niiden lisäksi kolme muuta korttia voidaan valita ei-ruuduista 39 (3 maata 13 korttia = 39) 9139 eri tavalla. 3 Saadaan todennäköisyys 13 39 3 789139 P(täsmälleen kaksi ruutua) 98960 0,747... 0,74. (Tai P(kaksi ruutua (mitkä vain viidestä) ja 3 jotain muuta maata) 13 1 39 38 37 0,747 ) 1 0 49 48 Vastaus: 0,74 0. Lippu voidaan värittää tuloperiaatteen mukaan 0 19 18 = 6 840 eri tavalla. Vastaus: 6 840 1. a) Jos on 30 oppilasta ja 30 pulpettia, niin erilaisia istumajärjestyksiä voidaan muodostaa 30! =,6 10 3,6 10 3. b) Jos on 30 oppilasta ja 30 pulpettia, niin kolme tyhjää pulpettia 30 voidaan valita 4060 eri tavalla. 3 Ensimmäinen oppilas voi valita paikan 30 pulpetista. Seuraava 9 jne. Viimeinen valitsee 4 pulpetista, joten erilaisia istumajärjestyksiä voidaan muodostaa 30! 31 31 30 9 8 4 4,408 10 4,4 10 3! kappaletta. (Laskimella 30 npr 7) 30! 0 c) Aikaa kuluu, 6 10 1 10 s. 1 vuosi = 36, vrk = 36, 4 60 60 s = 31 7 600 s. Kone käsittelee siis 10 1 36, 4 60 60 järjestystä vuodessa. Kuluva aika vuosina on 0 0 30!,610,610 1 10 6060436, 6060436, 317600 1 1 8,4010 8,410. Vastaus: a) 30!,6 10 3 b) 4 060 tapaa ja c) 8,4 10 1 vuotta 31 4, 4 10 järjestystä 6. Kuudesta paikasta voidaan valita pisteelle kolme paikkaa tavalla. Vastaus: 0 0 3 eri KERTOMA! MAB 94

7 Todennäköisyyden laskusääntöjä 3. a) Violetti pallo voi tulla joko laatikosta A (3 violettia ja yht. 6 palloa) tai laatikosta B (1 violetti ja yht. palloa). Tapahtumat ovat erilliset. PviolettiPlaatikko A JA violetti Plaatikko B JA violetti 1 3 1 1 7 0,3 6 0 Vastaus: 0,3 b) Violetti tai keltainen. Laatikosta A saa varmasti ja laatikossa B (1 violetti ja yhteensä 6 palloa) P violetti TAI keltainen P laatikko A JA violetti tai keltainen Plaatikko B JA violetti 1 6 1 1 3 0,6 6 Vastaus: 0,6 4. Hatussa on joko kaksi oranssia palloa tai musta ja oranssi pallo. Tässä esiintyy neljä yhtä todennäköistä vaihtoehtoa, joissa avustaja ottaa joko oranssin tai mustan pallon. Avustaja ottaa Hattuun jää ORANSSIN (kaksi O hatussa) ORANSSI ORANSSIN (kaksi O hatussa) ORANSSI ORANSSIN MUSTA MUSTAN ORANSSI Kun avustaja ottaa oranssin, niin on kolme alkeistapausta (keltaisella). Näistä kahdessa on oranssi pallo hatussa. P oranssi 3. Lasketaan vastatapahtuman avulla. Tällöin kaikkien korttien pitää olla eri numeroa. Ensimmäinen kortti voi olla mikä vain ( vaihtoehtoa). Toisen pitää olla eri kuin ensimmäisen (48 vaihtoehtoa). Kolmannen eri kuin ensimmäisen ja toisen jne. Pvähintään kaksi samaa 1Pkaikki eri numeroa 48 44 40 36 1 10,0708 0,499 0,493 1 0 49 48 Vastaus: 0,493 6. Taulukoidaan tapahtumat ja merkitään suotuisat tapaukset rastilla. Ainakin toisen pitää olla kuutonen. 6 X X X X X X X 4 X 3 X X 1 X 1 3 4 6 Suotuisia tapahtumia on 11 kappaletta. 11 P(suurempi kuin viisi) 0,30 36 Vastaus: 0,306 7. a) Kuuden pallon ryhmiä voidaan valita 48 pallosta 48 48! 1711 kappaletta. 6 6! (486)! Vastaus: 1 71 1 Vastaus: 3 KERTOMA! MAB 9

b) Kuudesta oikeasta numerosta voidaan valita neljä 6 6! 6 1 eri tavalla. 4 4! (64)!! Väärät kaksi numeroa valitaan 4 numerosta. Nämä voidaan valita 4 4! 861 eri tavalla.! (4)! Erilaisia rivejä, joissa on neljä oikeaa numeroa (lisänumerot ovat tietysti mahdollisia, mutta tässä ei haeta voittoluokkia) on 861 1 = 1 91 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on a-kohdan avulla 6 4 4 P(neljä oikein) 0,00104 48 6 Vastaus: 0,0010 c) Kuudesta oikeasta numerosta voidaan valita viisi 6 6! 6 6! (6 )! 1 eri tavalla. Kahdesta lisänumerosta voidaan valita yksi oikea kahdella eri tavalla. Erilaisia rivejä, joissa on viisi oikeaa numeroa ja yksi lisänumero on 6 = 1 kappaletta. Kysytty todennäköisyys on a-kohdan avulla 6 1 7 P(neljä oikein) 9,77 10. 48 6 Vastaus: 9,8 10 7 = 0,00000098 8. a) Pyksi tai kaksi Pyksi Pkaksi p p 1 0,13 0,13 0,4 1!! Vastaus: 0,4 1 b) Pvähintään kolme1palle kolme 1PnollaPyksiPkaksi 1p0 p1 p 0 1 1 0,13 0,13 0,13 0! 1!! 10,67 0,3 Vastaus: 0,3 c) Yhden tunnin kuluessa ei tule yhtään puhelua: 0 p0 0,13 0,13 0! Tämä tapahtuu kolmesti peräkkäin: P(ei yhtään puhelua) = 0,13 3 = 0,0046 0,00 Vastaus: 0,00 9. a) Jako on ensimmäinen, joten kuvien laskeminen ei vaikuta tilanteeseen. Pakassa on yhteensä 100 140 kuvakorttia. Yhteensä jaetaan 10 korttia ja kaikkien on oltava kuvia. Lasketaan todennäköisyys 7 pakan tilanteessa, jolloin kortteja on 7 = 364, kuvakortteja 4 4 7 = 11 ja ässiä on 4 7 = 8. KERTOMA! MAB 96

Ensimmäisen pelaajan jälkeen korttien määrä on vähentynyt kahdella ja kuvien ja ässien yhdellä jne. kaikilla ässä ja kuva P P P3.pelaajalla ässä ja kuvap4.pelaajalla ässä ja kuva P.pelaajalla ässä ja kuva P = 1.pelaajalla ässä ja kuva.pelaajalla ässä ja kuva 118 1117 1106 109 1084 1, 68 10 364 36 360 38 36 Vastaus: 1,7 10 7 = 0,00000017 b) P(ainakin yhdellä on molemmat 1-9) = 1 P(kaikilla on 10,11,1 TAI 13) Lasketaan jälleen 7 kortin pakalla. 11 110 108 106 104 1 0,999943 364 36 360 38 36 Vastaus: 0,999994 7 30. Numerot voivat olla peräkkäin joko (1) 1XX tai () X1X tai (3) XX1, missä X on numero 1-6. Tapahtumat 1 ja 3 eivät ole erilliset. Jos kaksi tapahtuu, niin 1 ja 3 ei voi tapahtua. P 1 ja peräkkäin P 1 P P 3 P1 ja 3 1 1 6 6 6 1 1 6 6 6 1 1 1 1 1 1 0,086 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Vastaus: 0,086 31. Arpojen määrä on pieni, joten se on otettava huomioon. Todennäköisyys on helpompi laskea vastatapahtuman avulla. Voitottomia arpoja on 44 kappaletta. P Mirkku saa ainakin yhden voiton 1P Mirkku ei saa voittoa 44 43 4 41 40 39 1 0 49 48 47 46 4 10,4440,7 0,6 Vastaus: 0,6 3. P(arpa voittaa) = 0, P(arpa ei voita) = 0,7 Veikkauksen arpoja on miljoonia, joten tässä edellisen arvan voitottomuus ei merkittävästi vaikuta tulokseen. a) P(10 arpaa ja ei yhtään voittoa) = 0,7 10 = 0,0631 0,06 Vastaus: 0,06 b) Ostetaan n arpaa. P(vähintään yksi voitto) = 1 P(ei yhtään voittoa) Jos ostetaan n arpaa, niin P(ei yhtään voittoa) = 0,7 n. Todennäköisyydellä 0,99 vähintään yksi voitto: 1 P(ei yhtään) > 0,99. Ratkaistaan vastaava yhtälö. n 1 0,7 0,99 n 0,7 0, 01 lg n lg 0,7 lg 0,01 nlg 0,7 lg 0,01 : lg 0,7 n 16,007 Vastaus: On ostettava vähintään 17 arpaa. KERTOMA! MAB 97

33. A = Sami voittaa P(A) = 0,3 B = Teemu voittaa P(B) = 0,3 C = Tero voittaa P(C) = 0,4 Sami ei saa voittaa enää yhtään peliä. Teemu voi voittaa vielä kaksi peliä ja Teron pitää voittaa kolme peliä. Suotuisa tilanne päättyy Teron kolmanteen voittoon. Peli päättyy Teron voittoon seuraavilla kombinaatioilla: Teemu voittaa kahdesti 1) BBCCC ) BCBCC 3) BCCBC 4) CCBBC ) CBBCC 6) CBCBC Teemu voittaa kerran: 7) BCCC 8) CBCC 9) CCBC Tero voittaa kolmesti peräkkäin: 10) CCC On kymmenen erilaista tapaa päätyä Teron voittoon. Pelien 1) 6) todennäköisyydet ovat samat esim. P(1) = 0,3 0,4 3 = 0,0076. Samoin pelien 7) 9): P(7) = 0,3 0,4 3 = 0,019 P(Tero voittaa) = 6 0,0076 + 3 0,019 + 0,4 3 = 0,1616 Vastaus: 16 % 8 Normaalijakauma 34. Lasketaan, millä todennäköisyydellä satunnainen nainen on alle 17 cm pitkä. Keskiarvo on 163 (cm) ja keskihajonta on 6 (cm). Normitetaan muuttujan arvo x = 17. xx 17 163 z s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 17) = P(z <,00) 97,7 % = Ф(,00) = 0,977,00 Satunnainen nainen on alle 17 cm pitkä todennäköisyydellä 0,977. Lasketaan, millä todennäköisyydellä satunnainen mies on alle 17 cm pitkä. Keskiarvo on 177 (cm) ja keskihajonta on 7 (cm). Normitetaan muuttujan arvo x = 17. xx 17 177 z 0, 8 0,9 s 7 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 17) = P(z < 0,9) = P(z > 0,9) = 1 Ф(0,9) = 1 0,6141 38,9 % 61,41 % = 0,389 0,9 Satunnainen mies on alle 17 cm pitkä todennäköisyydellä 0,389. P(Satunnainen mies ja nainen ovat molemmat alle 17 cm pitkiä) = 0,389 0,977 = 0,37710 38 % Vastaus: Satunnainen mies ja nainen ovat molemmat alle 17 cm pitkiä 38 %:n todennäköisyydellä. KERTOMA! MAB 98

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto 3. Keskiarvo on 04 (g) ja keskihajonta on 6 (g). Lasketaan kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli alle 00 g eli P(x < 00). Normitetaan muuttujan arvo x = 00. x x 00 04 z 0,666 0,67 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 00) = P(z < 0,67) = P(z > 0,67) = 1 Ф(0,67) = 1 0,7486 = 0,14 =,14 % %,14 % P(00 < x < 10) = P( 0,67 < z < 1) = P(z < 1,00) P(z < 0,67) = Ф(1,00) (1 Ф(0,67) ) = 0,8413 (1 0,7486) = 0,8413 0,14 = 0,899 9 % 84,13 %,14 % 9,99 % 0,67 1,00 84,13 % 1,00 74,86 % 0,67,14 % Lasketaan, kuinka monella prosentilla pakkauksista massa oli välillä 00 g 10 g eli P(00 < x < 10). 74,86 % 0,67 Vastaus: Massa oli alle 00 g % pakkauksista ja massa oli välillä 00 g 10 g 9 % pakkauksista. Normitetaan molemmat muuttujan arvot: x x 00 04 z 0,666 0,67 s 6 x x 10 04 z 1 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. (Voidaan myös käyttää hyödyksi edellistä laskelmaa ja kuvaa.) KERTOMA! MAB 99

36. Keskiarvo on 97 (km/h) ja keskihajonta 1 (km/h). Nopeus noudattaa normaalijakaumaa v ~ N(97, 1). Määritetään ensin, kuinka monta prosenttia ylittää nopeusrajoituksen 100 km/h eli P(v > 100). xx 100 97 z 0, s 1 Pv ( 100) Pz ( 0,) 1 Pz ( 0,) 1 (0,) 10,987 0,4013 9,87 % 40,13 % Katsotaan taulukosta, mikä arvo normeeratulle muuttujalle on lähinnä arvoa 0,968. Φ(1,8) = 0,9678 Φ(1,86) = 0,9686 Kun z = 1,8, niin saadaan yhtälö nopeudelle. x 97 1,8 1 1 x 97, x 97, x 119, Vastaus: 119 km/h 96,8 % 3, % 1,8 0, Jos autoilijoiden määrä on A, niin edellisen perusteella 0,4013A autoilijaa ylittää nopeusrajoituksen 100 km/h. Näistä 8 % on 0,08 0,4013A = 0,03104A. Merkitään puuttumisrajaa muuttujalla x, jolloin P(v > x) = 0,03 eli P(v < x) = 0,968. Normeerauksen jälkeen: x97 x97 pv ( x) Pz 0,968 1 1 KERTOMA! MAB 100

37. Keskiarvo on 7 (g) ja keskihajonta on 4, (g). Normitetaan muuttujan arvo x = 70. xx 70 7 z 0, 444 0, 44 s 4, Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x < 70) = P(z < 0,44) = P (z > 0,44) = 1 Ф(0,44) = 1 0,6700 = 0,3300 = 33 % 33,00 % 67,00 % 0,44 Kiekoista 33 % on massaltaan alle 70 g. Merkitään keskiarvoa muuttujalla x ja keskihajonta on 4, (g). Valmistaja haluaa, että 70 % kiekoista painaa alle 70g eli P(x < 70) = 0,70. Normitetaan muuttujan arvo x = 70. x x 70 x z s 4, Halutaan löytää se muuttujan x = 70 normitettu arvo a, jolle pätee P(x < 70) = 0,70 eli P(z < a) = 0,70. Tutkitaan tilannetta mallikuvan avulla. 70 % a Etsitään taulukkokirjasta se normitettu arvo a, jolle Ф (a) = 0,70. Löydetään Ф(0,) = 0,698 ja Ф(0,3) = 0,7019. Kun haettavaa todennäköisyyden arvoa ei löydy taulukosta, valitaan lähin mahdollinen arvo. Lähempänä lukua 0,70 on 0,698, joten saadaan a = 0,. Voidaan merkitä P(x < 70) = 0,70 P(z < 0,) 0,70. Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan muuttujan x arvo. 70 x 0, 4, 4, 70 x,34 x,34 70 x 747,66 x 747,66 Jos käytetään samaa tarkkuutta, kun tehtävän keskiarvossa on, niin saadaan keskiarvoksi 748. Tällöin xx 70 x 70 748 z 0,444 0,44. s 4, 4, P(x < 70) = P(z < 0,44) = Ф(0,44) = 0,6700 = 67 % 67,00 % 0,44 Huom. Tarkkuudella 747,7 saadaan P(x < 70) = P(z < 0,1) = Ф(0,1) = 0,690 = 69,0 %. Vastaus: Kiekoista 33 % on massaltaan alle 70 g. Keskiarvolla 748 g noin 70 % painaa alle 70 g. KERTOMA! MAB 101

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto 38. Keskiarvo on 76,0 (km/h) ja keskihajonta on (6,0 km/h). Kysytään todennäköisyyttä P(80 < x < 9). Normitetaan molemmat muuttujan arvot. x x 80 76 z 0,666 0,67 s 6 x x 9 76 z 3,1666 3,17 s 6 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(80 < x < 9) = P(0,67 < z < 3,17) = P(z < 3,17) P(z < 0,67) = Ф(3,17) Ф(0,67) = 0,999 0,7486 = 0,06 % Lasketaan seuraavaksi, kuinka suuri osuus lukion B opiskelijoista menestyi kokeessa keskiarvoa paremmin, mutta huonommin kuin Bertta, eli lasketaan P(7 < x < 80). Lukion B keskiarvo on 7 ja keskihajonta 6,8. Normitetaan molemmat muuttujan arvot. x x 7 7 z 0 6,8 s x x 80 7 z 1,1764 1,18 6,8 s Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(7 < x < 80). =P(0 < z < 1,18) = P(z < 1,18) P(z < 0) = Ф(1,18) Ф(0) = 0,8810 0,0 = 0,381 = 38,1 % 88,10 % 99,9 % 74,86 %,06 % 0,67 3,17 0 % Vastaus: Autoilijoista % voisi saada rikesakon. 0 39. Lukiossa A keskiarvo oli 7 ja keskihajonta 9,. Alinan pistemäärä oli 8 ja sen normitettu arvo on x x 8 7 1,0869 1,09. s 9, Lukiossa B keskiarvo oli 7 ja keskihajonta 6,8. Bertan pistemäärä oli 80 ja sen normitettu arvo on x x 80 7 1,1764 1,18. s 6,8 1,18 0 % 0 88,10 % Bertan normitettu pistemäärä on suurempi, joten hän menestyi paremmin suhteessa oman lukionsa opiskelijoihin. KERTOMA! MAB 38,10 % 1,18 10

Keskiarvon ja Bertan välissä oli 38,1 % koulun B opiskelijoista. Lasketaan seuraavaksi, kuinka suuri osuus lukion A opiskelijoista menestyi kokeessa Alinaa paremmin eli lasketaan P(x > 8). Lukion A keskiarvo on 7 ja keskihajonta 9,. Normitetaan muuttujan arvo x = 8. xx 8 7 z 1,0869 1,09 s 9, Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x > 8) = P(z > 1,09) = 1 Ф(1,09) = 1 0,861 = 0,1379 = 13,79 % 13,8 % 40. Hahmotellaan tilanne mallikuvien avulla. Keskiarvo on 100, joten arvot 97 ja 103 ovat yhtä kaukana keskiarvon molemmin puolin. 43 % 43 % 97 100 103 93 % 103 86 % = 43 % + 43 % 0 % + 43 % = 93 % Keskiarvo on 100 ja merkitään keskihajontaa muuttujalla s. Normitetaan muuttujan arvo x = 103: xx 103 100 3 z s s s 86,1 % 13,79 % 1,09 Alinaa paremmin menestyi 13,8 % lukion A opiskelijoista. Vastaus: Bertta menestyi paremmin oman lukionsa tasoon verrattuna. Keskiarvon ja Bertan välissä oli 38,1 %. Alinaa parempia oli 13,8 %. 93 % Halutaan löytää se muuttujan x = 103 normitettu arvo a, jolle pätee P(x < 103) = 0,93 eli P(z < a) = 0,93. Etsitään taulukkokirjasta se normitettu arvo a, jolle Ф(a) = 0,93. Löydetään Ф(1,47) = 0,99 ja Ф(1,48) = 0,9306. a Jos kysyttyä todennäköisyyden arvoa ei löydy taulukosta, valitaan lähin mahdollinen arvo. Lähempänä lukua 0,93 on 0,9306, joten valitaan a = 1,48. KERTOMA! MAB 103

Saadaan yhtälö, josta ratkaistaan muuttujan s arvo. xx 103 100 3 z s s s 3 1, 48 s s 3 1,48s 1, 48s 3 : 1, 48 s,070 Lasketaan P(x > 10), kun keskiarvo on 100 ja keskihajonta on s =,070 xx 10 100 z, 4666, 47 s, 070 Piirretään mallikuva ja lasketaan todennäköisyys. P(x > 10) = P(z >,47) = 1 Ф(,47) = 1 0,993 = 0,0068 = 0,68 % 99,3 % 0,68 %,47 Vastaus: Mittausarvo on yli 10 todennäköisyydellä 0,68 %. 41. Taulukoidaan ja lasketaan arvosanojen keskiarvo ja keskihajonta. Sitten arvioidaan pisterajaa normaalijakaumalla. Pisteet f Pisteet f 7 1 47 3 8 1 48 16 49 4 17 0 4 18 1 1 3 1 3 1 3 3 4 1 4 4 3 6 1 6 7 1 7 3 8 8 1 9 3 9 3 60 1 30 31 3 3 33 1 34 3 3 1 36 38 6 40 6 41 1 4 1 43 44 46 1 Lasketaan keskiarvo ja -hajonta laskimen toiminnoilla: Keskiarvo on 37,4. Keskihajonta on 1,9. Arvioidaan pistemäärää normaalijakaumalla, joten merkitään, että pistemäärä p noudattaa normaalijakaumaa p ~ N(37,4; 1,9). KERTOMA! MAB 104

Merkitään laudaturin rajaa muuttujalla x. Tällöin P(p < x) = 0,9. Normeerauksen jälkeen: x37,4 x37,4 P( p x) Pz 0,9 1,9 4, Katsotaan taulukosta, mikä arvo normeeratulle muuttujalle on lähinnä 0,9. Φ(1,64) = 0,949 Φ(1,6) = 0,90 Voidaan käyttää taulukon alaosasta löytyvää arvoa Φ(1,6449) = 0,9. Kun z = 1,6449, niin saadaan yhtälö rajapistemäärälle x 37, 4 1,6449 1,9 1,9 x 37,4 1,191 x 8,6191 Vastaus: Pisterajan on oltava 9 pistettä. Huom. Jos käytetään jakaumaa N(37,13), saadaan pisterajaksi 8. Tai keskiarvo ja hajonta taulukoimalla: Pisteet f Tulo 7 1 7 93,377 8 1 8 863,601 16 3 914,818 17 34 831,674 18 1 18 37,89 1 4 37,0739 44 473, 3 3 69 60,967 4 4 96 716,874 3 7 460,30 6 9,3319 7 3 81 33,673 8 1 8 88,1179 9 3 87 11,030 30 60 109,1384 31 6 81,9001 3 3 96 87,0643 33 1 33 19,466 34 3 10 34,4177 3 1 3,69831 36 7 3,84807 38 6 8,390 40 6 40 40,9638 41 1 41 13,0307 4 1 4 1,7888 43 86 63,00937 44 88 87,46098 46 1 46 74,181 47 3 141 77,37 48 96,674 49 4 196 39,4381 0 4 00 636,3413 1 3 13,9334 104 47,0739 3 1 3 43,767 4 1 4 7,9886 110 60,487 6 1 6 346,440 7 1 7 384,666 8 116 849,7836 9 3 177 1401,33 60 1 60 11,3434 93 3477 138,06 keskiarvo 37,3871 keskihajonta 1,979 KERTOMA! MAB 10

4. Heitetään kolikkoa 100 kertaa, joten n = 100. Tällöin keskiarvo on 0,n = 0, 100 = 0 ja keskihajonta on s 0,n 0,100, joten klaavojen määrä x ~ N(0, ). Tehtävässä oleva muuttuja on diskreetti. Tässä sitä sovelletaan kuitenkin normaalijakaumaan, jossa käytetään jatkuvaa muuttujaa. Siksi a-kohdassa luvun 60 tilalla käytetään lukua 9,, joka pyöristyy lukuun 60. Vastaavasti b-kohdassa välin 40 < x < 60 tilalla käytetään väliä 39, < x < 60,. c-kohdan Tasan 0 on ns. pistetodennäköisyys, jota ei voida laskea normaalijakaumalla. Tässä kuitenkin em. seikoista johtuen käytetään Tasan 0 tilalla väliä 49, < x < 0,, jonka todennäköisyys voidaan määrittää. a) On vähintään 60 klaavaa eli 9, (pyöristyy lukuun 60). P(x > 9,) = 1 P(x < 9,) 9, 0 1 Px ( 9,) 1Pz 11,910,97130,087 60, 0 39, 0 px ( 60,) px ( 39,) P z P z Pz (,1) pz (,1) (,1) 1 (,1) 0,981 (1 0,981) 0,964 Vastaus: 96 % c) P(0) = P(49, < x < 0,) = P(x < 0,) P(x < 49,) 0, 0 49, 0 px ( 0,) px ( 49, ) P z P z Pz ( 0,1) pz ( 0,1) (0,1) 1 (0,1) 0,398 (1 0,398) 0,0796 3,98 % Vastaus:,9 % 97,13 %,87 % 1,90 Vastaus: 8,0 % 46,0 % 7,96 % 0,1 0,1 b) P(39, < x < 60,) = P(x < 60,) P(x < 39,) 98,1 % 1,79 % 96,4 %,10,10 KERTOMA! MAB 106