VIRHELASKENNAN ALKEITA

Lukioiden harjoitustyökurssi Turun yliopisto / fysiikan laitos Ojanen, Kalle VIRHELASKENNAN ALKEITA MIKSI VIRHELASKENTA ON TÄRKEÄÄ JA OLEELLINEN OSA FYSIKAALISTA TUTKIMUSTA? Taustoihin viittaaminen fysiikka 1 kpl 3 Virhearvioinnin luonne Miksi virhearviointia Mittarin tekemän virheen ja mittaajan tekemän virheen fundamentaalit erot Kokonaisdifferentiaalin käyttö (taso matemaattisista taustoista riippuen) Jos taitoa löytyy, otetaan perusteluja, miksi fysiikka ei ole matematiikkaa. 1. RIIPPUVUUSSUHTEEN TAI LAIN HAVAINNOLLINEN ILMENTYMINEN Taulukkomuotoiset mittaustulokset eivät näytä selvästi, miten mitatut suureet riippuvat toisistaan eli esimerkiksi suoraan verrannolliset asettuvat suoralle. Tämä korostuu varsinkin, kun mittaustulokset ovat desimaalilukuja eikä tasalukuja. Esimerkkinä voidaan esittää vaikka seuraavan taulukon mittaustulokset piiristä, jossa oli jännitelähde sekä vastus ja mitattiin sähkövirtaa ja jännitettä vastuksen yli. TAULUKKO I Mittaustulokset numeerisessa muodossa I / A U / V 0 0 0,05 0,19 0,11 0,835 0,19 1,609 0,24 2,21 0,35 3,29 0,48 4,56 0,57 5,56 0,66 6,43 0,76 7,37 1

Siirtymällä graafiseen esitykseen saavutetaan mm. seuraavat edut: - Havaintopisteet järjestyvät automaattisesti vaaka-akselin suureen arvon mukaiseen järjestykseen, joten taulukon sekasotku selkiytyy. - Havaintoihin voidaan sovittaa matemaattisin menetelmin (pienimmän neliösumman menetelmä) sopiva funktio, joka kuvaa mitattujen suureiden riippuvuutta toisistaan. Hajontaluvuista saadaan tietoa mittauksen sisäisestä tarkkuudesta. - Suoran fysikaalisesta kulmakertoimesta voidaan määrittää suoraan vastuksen resistanssi. Seuraavassa kuvassa on taulukon 1 mittaustulokset graafisesti esitettynä ja havaintoihin on sovitettu suora pienimmän neliösumman menetelmällä. (MaOL taulukot, Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede/kahden diskreetin muuttujan tilastollinen jakauma/suoran sovitus pistejoukkoon) 8 7 6 5 Jännite U / V 4 3 2 Linear Regression Y = A + B * X Parameter Value Error ------------------------------------------------------------ B 9,99473 0,11856 ------------------------------------------------------------ 1 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Sähkövirta I / A Kuva 1. Jännitteen ja sähkövirran mittauksen graafinen esitys tasavirtapiirissä (Ojanen, K., Vähä-Heikkilä, K., Demonstraatiotyö, Turun yliopisto, fysiikan laitos, 2002) Havaintohin sovitetun suoran fysikaaliseksi kulmakertoimeksi saadaan 9,99 Ω, joka on sopusoinnussa valmistajan ilmoittaman 10 Ω ± 5 % kanssa. 2

2. LAIN PÄTEVYYSALUEEN YLITTYMISEN HAVAITSEMINEN Vastaavanlaisella mittauksella kuin edellä tutkittiin jännitteen ja virran muutoksia hehkulampussa (6 V, 5 A) (esim. vanhan kulpavolkkarin lamppu). Seuraavassa taulukossa on mittaustuloksia numeerisessa muodossa. TAULUKKO II Jännitteen ja virran välinen yhteys hehkulampussa. I / A U / V 0 0 0,16 0,0184 0,21 0,0261 0,76 0,1164 1,08 0,199 1,41 0,401 1,62 0,677 1,83 0,954 2,03 1,241 2,2 1,5 2,39 1,788 2,66 2,228 2,94 2,709 3,21 3,243 3,62 4,04 Seuraavassa kuvassa on taulukon 2 mittaustulokset graafisesti esitettynä. 5 4 3 Lampun hehkulanka on kuuma: Ohmin laki ei ole voimassa Jännite U / V 2 1 Ohmin lain pätevyysalue Linear Regression Y = B * X 0 Parameter Value Error ------------------------------------------------------------ B 0,23074 0,02571 ------------------------------------------------------------ -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Sähkövirta I / A Kuva 2. Hehkulampun jännite ja virta graafisesti esitettynä. 3

Nähdään, millä alueella Ohmin laki on voimassa ja milloin sen pätevyysalue on ylitetty lämpenemisen takia (käännepiste). Havaintojen alkupäähän on sovitettu suora pienimmän neliösumman menetelmällä. Suora jatkuisi samansuuntaisena, jos ohmin laki olisi aina voimassa. Suoran fysikaaliseksi kulmakertoimeksi saadaan V 0,20374 A 0,2 Ω. 3. KOKONAISEN ILMIÖN HAVAITSEMINEN MITTAUSDATAN PERUSTEELLA Franckin ja Hertzin kokeessa tutkitaan elektronisiirtymiä korkeammalta energiatilalta matalammalle. Nämä siirtymät ovat yleensä vapaaehtoisia (energiaminimin periaate). Siirtymän tapahtuessa havaitaan sähkövirrassa maksimi, kun elektroneja alkaa laskeutua alemmalle tilalle. Kun jännitettä, jolla viritystiloja keinotekoisesti aikaansaadaan muutellaan, voidaan virtamaksimien perusteella löytää kullekin aineelle ominaiset viritystilojen energiat. Turun yliopistossa on tutkittu mm. elohopean viritysjännitteitä, joista saaduista mittaustuloksista eräät ovat esitettynä seuraavassa taulukossa. TAULUKKO III Franckin ja Hertzin kokeen mittaustulokset (Vihervuori, P., Fysiikan harjoitustyöt III, Turun yliopisto, fysiikan laitos, 2001) U /V I / A U /V I / A U /V I / A U /V I / A U /V I / A U /V I / A U /V I / A 2,453 0,395 4,54 1,763 6,77 1,598 10,11 7,13 13,75 8,845 16,98 5,85 21,47 22,59 2,629 0,450 4,76 2,096 6,84 1,607 10,22 6,40 14,01 9,980 17,38 7,10 22,01 22,85 2,808 0,504 5,01 2,395 7,21 1,824 10,37 5,77 14,48 11,835 17,88 9,48 22,37 24,35 2,885 0,540 5,22 2,430 7,51 2,117 10,76 4,32 14,59 12,185 18,24 11,09 22,87 28,75 2,942 0,565 5,41 2,310 7,78 2,435 11,03 3,64 14,82 12,100 18,62 12,87 23,24 33,25 3,107 0,636 5,64 2,058 7,95 2,640 11,50 3,13 15,02 12,000 18,99 35,50 23,69 39,89 3,215 0,688 5,79 1,850 8,21 3,016 11,88 3,35 15,22 10,980 19,33 39,99 24,04 47,24 3,370 0,763 5,93 1,725 8,55 3,565 12,17 3,70 15,40 10,051 19,59 42,29 24,52 52,75 3,450 0,790 6,01 1,648 8,87 4,245 12,46 4,20 15,61 8,520 19,97 43,39 24,95 52,70 3,610 0,883 6,20 1,559 9,23 5,220 12,82 5,08 16,04 6,390 20,24 39,13 25,17 49,10 3,950 1,129 6,33 1,524 9,69 6,800 13,15 6,25 16,49 5,327 20,76 29,66 25,48 42,40 4,310 1,485 6,58 1,519 10,01 7,125 13,59 8,19 16,85 5,629 21,06 25,35 25,79 39,00 Virtahuippujen löytäminen taulukosta on vaikeaa. Seuraavan kuvan graafisen esityksen perusteella virran paikallisia maksimeja vastaavien jännitteiden löytäminen on kuitenkin helppoa. 4

60 50 Vahvistettu kiihdytysvirta I / A 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 Hilajännite U / V Kuva 3. Franckin ja Hertzin kokeen mittaustulosten graafinen esitys. 4. TÄYSIN VIRHEELLISEN MITTAUSDATAN POISSULKEMINEN Termoelementin kalibroinnissa on saatu seuraavan taulukon mukaiset tulokset, jotka eivät sinänsä herätä millään lailla erityistä huomiota. Termoelementtien lähdejännitteen tiedetään olevat verrannollinen lämpötilaeron toiseen potenssiin (kuvaaja paraabeli). Tavoitteena on ollut piirtää elementille ominainen käyrä (ominaiskäyrä, jossa lähdejännite E esitetään lämpötilan T funktiona. TAULUKKO IV. Termoelementin kalibroinnin mittaustulokset (Vähä-Heikkilä, K., Fysiikan harjoitustyöt II, Turun yliopisto, fysiikan laitos, 2001) E / mv T / o C 0,31 2,41 0,6 13,11 0,71 15,53 0,85 18,43 1,04 23,2 1,3 29,82 1,48 33,51 1,87 42,51 2,08 47,62 0,123-100 2,2 49,95-5,53-195,34 0,41 0,77-0,67-20,35-1,79-51,71-2,47-73,29-3,19-95,58-3,72-114,21 5

Vasta graafisen esityksen laatiminen osoittaa, että joukossa on virheellinen datapiste. Virheellisen pisteen syyt voivat olla moninaiset, kuten mittarinlukuvirhe. 3 2 1 Lähdejännite E / [mv] 0-1 -2-3 -4-5 -6-200 -150-100 -50 0 50 100 150 Lämpötila T / o C Kuva 4. Termoelementin kalibroinnin mittaustulokset esitettynä graafisesti. Lämpötilassa T = -100 o C näkyy virheellinen mittapiste. Riippumatta virheen syystä, pitää virheellinen datapiste poistaa ennen kuin havaintoihin voidaan sovittaa toisen asteen polynomifunktio. Nämä toimenpiteet on tehty seuraavaan kuvaan. Lähdejännite E / [mv] 3 2 1 0-1 -2-3 -4-5 -6-200 -150-100 -50 0 50 100 150 Lämpötila T / o C Kuva 5. Termoelementin kalibroinnin mittaustulokset esitettynä graafisesti virheellisen mittapisteen poiston jälkeen. Havaintohin on sovitettu ohjelmallisesti toisen asteen polynomifunktio. 6

5. MITTAUSTEN TOISTETTAVUUDEN JA SISÄISEN TARKKUUDEN ARVIOINTI Graafinen esitys kertoo myös heti, onko mittauksen sisäinen tarkkuus kohdallaan. Sisäiseen tarkkuuteen liittyy myös toistettavuuden arviointi. Seuraavassa on esimerkkinä kahden eri teollisuussimulaation tulokset. Ensimmäisessä lääkkeiden sidosaineena paljon käytetty mikrokiteinen selluloosa on virrannut polypropyleeniputken ja toisessa lasiputken läpi. Taaskaan taulukkomuotoisesta mittausdatasta ei suurempia ole pääteltävissä, mutta graafisesta esityksestä sitäkin enemmän. Taulukko V Mikrokiteisen selluloosan hankausvarautuminen liu utuksessa polypropyleeniputken läpi (Ojanen, K., Jauhemaisten materiaalien sähköstaattisia tutkimuksia, Pro gradu tutkielma, Turun yliopisto, fysiikan laitos, 2000) m / g Q/m / nc/g 0,0529 2,23062 0,1364 5,44072 0,271 3,02452 0,3636 2,27781 0,5045-0,481547 0,6908 0,538379 0,8737-1,46774 1,2372-0,649243 1,5873 3,0924 1,7908 0,908919 2,4414 0,281125 6 Jauheen ominaisvaraus / nc/g 4 2 0-2 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Putken läpi virrannut massa m / g Kuva 6. Mikrokiteisen selluloosajauheen varautuminen polypropyleeniputkessa. 7

Kokeen toistettavuuden havaitaan olevan huono. Tämä voi johtua kahdesta eri seikasta. Joko mittaajan toiminta ei ole ollut riittävän tarkkaa tai mittausmenetelmässä on jotain huomionarvoista. Edellä on kyse jälkimmäisestä. Polypropyleeniputki ei sovi mikrokiteisen selluloosan kuljetukseen, jos jauheen sähkövarausta halutaan kontrolloida tarkasti. Sähkövaraus sen sijaan vaihtelee huomattavasti kuljetusprosessin aikana. Sopiviakin materiaaleja mikrokiteisen selluloosan kuljetukseen löytyy. Seuraavassa on tutkittu lasiputken sopivuutta. Taulukko VI. Mikrokiteisen selluloosan hankausvarautuminen liu utuksessa lasiputken läpi (Ojanen, K., Jauhemaisten materiaalien sähköstaattisia tutkimuksia, Pro gradu tutkielma, Turun yliopisto, fysiikan laitos, 2000) m / g Q/m / nc/g m / g Q/m / nc/g 0,0042 60,0536 0,813 5,90838 0,0215 38,3671 0,9194 8,23449 0,0733 18,9643 1,0547 8,06726 0,1362 8,67647 1,2011 6,60929 0,1966 10,0613 1,3339 8,10806 0,2808 9,70487 1,4458 7,3025 0,4331 9,44271 1,6306 8,04545 0,532 7,06926 1,8466 7,53889 0,6274 7,20493 2,1401 7,46797 0,7426 9,29557 2,4465 6,74918 70 60 Jauheen ominaisvaraus / nc/g 50 40 30 20 10 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Putken läpi virrannut massa m / g Kuva 7. Mikrokiteisen selluloosajauheen varautuminen lasiputkessa. 8

Kuvasta huomataan, että puhtaassa putkessa (ihan mittauksen aluksi) jauhe varautuu paljon, mutta kun jauhetta tarttuu putken seiniin, tasaantuu varaus tiettyyn arvoon. Jauheeseen sekoitettavilla lisäaineilla voidaan vieläpä siirtää tätä arvoa jopa sähköisesti täysin neutraaliksi. Edellä esitettyjen syiden takia tieteellisissä raporteissa ja artikkeleissa mittaustulokset tavallisesti esitetäänkin graafisessa muodossa. Kuva 8. Esimerkkejä tieteellisten julkaisujen graafisista esityksistä. Graafeihin on saatu vaihteluväli hajontalukujen avulla (Murtomaa, M., Laine, E., Electrostatic Measurements on Lactose-glucose Mixtures, J. Electrostat. 48, 155-162 (2000), Turun yliopisto). 9

MITTAUSTULOSTEN GRAAFINEN ESITTÄMINEN ASKEL ASKELEELTA Seuraavista kohdista valitaan aina tarkoituksenmukaisimmat. Edetä kannattaa kuitenkin numerojärjestyksessä ja jättää aina epäsopivat kohdat yksikertaisesti pois välistä. 1. Valitaan akselit (eli mikä minkä funktiona halutaan esittää). 2. Silmäillään lukuarvojen suuruuksia ja valitaan sopiva paperi (mm tai logaritmipaperi). 3. Piirretään akselit näkyviin ja nimetään ne. 4. Valitaan sopiva askeikko siten, että koko paperin ala tulee mahdollisimman hyvin käytettyä. Tällöin piirtämisen tarkkuus on maksimissaan. Asteikkojen valinta tehdään sen perusteella, mikä on suurin vaaka- ja mikä suurin pystyakselin arvo. 5. Merkitään havaintopisteet oikelle paikoilleen rasteiksi tai muiksi symboleiksi. 6. Arvioidaan, mikä funktio (käyrä) pisteisiin sopisi parhaiten. Hylätään teoriaan täysin sopimattomat pisteet, joissa mittausvirhe on ilmeinen. 7. Sovitetaan valittu käyrä pistejoukkoon siten, että käyrän ylä- ja alapuolille jää yhtä paljon pisteitä. Tämän vaiheen voi tehdä myös matemaattisesti ns. pienimmän neliösumman menetelmällä tai graafista laskinta apuna käyttäen, jolloin saadaan sopivimman käyrän yhtälö, kunhan sen asteluku tiedetään. Saadun yhtälön perusteella piirretään funktion kuvaaja pisteistön joukkoon. 8. Nimetään graafinen esitys. 9. Vaikka käytettäsiinkin piirtämisen apuna tietokoneohjelmia, täytyy kaikki kohdat silti tarkistaa automaattitoiminnoista huolimatta. 10. Jos käyränsovituksen tekee joko tietokoneella tai laskimella, saadaan myös parametreille hajontaluvut. Mittavirheiden oletetaan usein noudattavan normaalijakaumaa (Gaussin kellokäyrä), jolloin luottamusvälien tarkastelu tulee mahdolliseksi. Tällöin fysikaalisen kulmakertoimen arvo liittyy todennäköisyyslaskentaan seuraavalla tavalla esim. kuvan 1. graafille: Vastuksen resistanssi on 68,2 %:n todennäköisyydellä 9,99 Ω ± 0,12 Ω tai 95 %:n todennäköisyydellä 9,99 Ω ± 1,96 x 0,12 Ω = 9,99 Ω ± 0,23 Ω tai 99 %:n todennäköisyydellä 9,99 Ω ± 2,58 x 0,12 Ω = 9,99 Ω ± 0,31 Ω tai 99,9 %:n todennäköisyydellä 9,99 Ω ± 3,29 x 0,12 Ω = 9,99 Ω ± 0,39 Ω riippuen varmuudesta, joka halutaan saavuttaa. Kaikki edellisistä sisältävät kuitenkin saman tiedon ja ovat eksakteja tapoja ilmoittaa tulos. (ks. MaOLtaulukot, Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede / Luottamusvälit) 10

HARJOITUSTEHTÄVÄ KÄSIN JA KONEELLA PIIRRETTÄVISTÄ GRAAFEISTA 1. Piirrä seuraavista mittaustuloksista käsin graafinen esitys, jossa resistanssit on esitettynä lämpötilan funktiona lähtien paperin valinnasta asti. Määritä käyrien kulmakerroin kohdassa T = 50 C. Voit piirtää käyrät joko samalle tai eri papereille, Taulukko VII PTC- ja NTC-vastusten resistanssit öljyssä lämpötilan funktiona (Kivelä, H., Fysiikan harjoitustyöt I, Turun yliopisto, fysiikan laitos, 1996) T / o C R 1 / Ω R 2 / Ω 25 410 44,94 30 323 48,13 35 257 53,06 40 203 61,2 45 164 74,15 50 133,3 96,9 55 107 146,1 60 8509 311 65 68,6 633 70 56,3 1230 75 45,5 2399 80 36,4 4687 85 29,8 8920 90 24,6 16770 2. Piirrä tämän materiaalin mukana olevan ohjeen mukaan tietokoneella graafinen esitys seuraavista mittaustuloksista, joissa kalorimetrin osuus energiankulutuksesta oletetaan erittäin pieneksi. Määritä kuvaajasta tutkitun nesteen ominaislämpökapasiteetti ja ilmoita tulos tilastollisine virherajoineen. Voit tehdä tehtävän joko Exelillä tai Originilla. Taulukko VIII Pakkasnesteen (m = 160 g) lämpökapasiteetin määritys kalorimetrisesti (muunneltu yo-tehtävä, s-1985). ΔQ /J T / o C 0 21,8 1268 25,8 2497 30,1 3752 34,2 5033 38,1 8932 40,5 6314 42 7634 45,6 8876 49,8 10170 53,6 11

YHTEENVETO Soveltavassa biologisessa tutkimuksessa tutkitaan diffuusiota, jossa ainetta siirtyy solukalvon läpi, kun konsentraatioerot tasautuvat. Mittaustuloksiksi saatavista graafeista on pääteltävissä jo tämä siirtymisen mekanismi tuntemalla jotain. Viime kädessä graafin muoto tietysti riippuu siitä, mikä esitetään minkäkin funktiona. Jos ajatellaan vaikka diffuntoituneen aineen määrää ajan funktiona, niin diffuusio on aluksi suhteellisen kiivasta ja myöhemmin tasaantuu konsentraatioerojen vähentyessä. Tarkempi kineettinen analyysi kertoisi lisää (esim. onko hidastavia tekijöitä, inhibiittoreita jne.). Lopullinen graafin muoto selviää mittaukset tekemällä. Käsin tehdyt graafit kerran piirrettyäsi, voit tehdä lopulliset vaikka koneella, koska siten lopullinen tuotos tulee paljon siistimmäksi. Käyräviivainen funktionsovitus on kuitenkin ohjelmallisesti aika hankalaa ilman tarkempaa kineettistä analyysiä yhtälön muodossa (ks. esim. Tiihonen, K., Nikinmaa, M., Lappivaara, J., The Journal of Experimental Biology, 198, 577-583, Helsingin Yliopisto, 1995). Käsin sen voi toki myös tehdä. 12

ORIGIN-OHJELMAN OHJEET Käynnistys: Ohjelma käynnistetään normaalisti Windowsissa kaksoisklikkaamalla ko. ohjelman pikakuvaketta tai hakemalla ohjelma Start-valikosta. Tulosten kirjaaminen: Ohjelman käynnistyttyä näyttöön tulee kaksi saraketta (A ja B). Kirjoita nyt tuloksesi sarakkeisiin. Jos kaksi saraketta ei riitä, niin lisää sarakkeita saa Column-valikosta (Add New Columns) kirjoittamalla haluamasi sarakkeiden ruutuun. Kun olet saanut kirjoitettua tuloksesi, voit nimetä kunkin sarakkeen kaksoisklikkaamalla sarakkeen harmaata palkkia, jolloin näyttöön ilmestyy Worksheet Column Format -valikko. Valikon Column Label osaan voit kirjoittaa kyseisen sarakkeen teidot. Kuvaajan piirtäminen: Akselien asettaminen: Valitse haluttu sarake klikkaamalla sarakkeen yläpalkkia. Valikosta Column voit valita ko. sarakkeelle akselin. Esim. halutessasi valita kyseisen sarakeen x-akseliksi, valitse Column-valikon Set As X. Vastaavasti haluttu y-akseli. Kuvaajan piirtäminen: Halutessasi tehdä kuvaajan tiettyjen sarakkeiden pisteistä, valitse Plot-valikkosta Scatter. Nyt näytölle tulee ruutu Select Columns for Plotting. Voit valita haluamasi sarakkeen x- ja y-akseliksi klikkaamalla hiirellä saraketta ja tämän jälkeen haluttua akselia. Kuvaajan akselien nimeäminen ja asteikon muuttaminen: Kaksoisklikkaamalla akselin tekstiä (X axis tittle) tulee esiin Text Control -ruutu. Voit kirjoittaa ruutuun haluamasi x-akselin tekstin. Y-akselin tekstien kirjoitus käy vastaavasti. Halutessasi muuttaa akselien asteikkoa, kaksoisklikkaa akselia, jolloin näytölle ilmestyy X Axes - ruutu. Nyt voit muuttaa akselin asteikkoa, alku- ja loppupisteitä jne. Kulmakertoimen määrittäminen: Kulmakerroin saadaan määritettyä valitsemalla Analysis-valikosta Fit Linear. Nyt näytölle ilmestyi data-ruutu, missä näkyy suoran kulmakerroin, y-akselin leikkauspiste ja hajonta (error). Saatu yhtälö on muotoa Y = A + B * X. Voit kopioida saadun data-ruudun tulokset käyrän ikkunaan maalaamalla hiiren oikea näppäin alas painettuna haluamasi teksti ja klikkaamalla maalatun osan päällä hiiren oikeaa näppäintä sekä valitsemalla Copy- tai Cut-komento. Klikkaa tämän jälkeeen kuvaajan ruutua ja valitse Edit-valikosta Paste. Suoran poisto kuvaajasta tapahtuu klikkaamalla suoraa ja painamalla Delete-näppäintä. Kaikkia kuvaajassa olevia ruutuja voi muokata samalla tavoin, kuten akseleitakin (kaksoisklikkaamalla ko. ruutua jne.). Mittauspisteiden poistaminen kuvaajasta: Jos kuvaajassa on jokin väärä mittauspiste sen voi poistaa valitsemalla Data-valikosta Remove Bad Data Point. Klikkaa hiirellä väärää mittauspistettä ja paina Enter. Graafin liittäminen raporttiin: Voit kopioida piirtämäsi graafin tietokoneen leikepöydän kautta tekstinkäsittelyyn. Valitse Editvalikosta Copy Page, siirry käyttämääsi tekstinkäsittelyyn ja valitse Paste/Liitä. Graafi kopioituu kuvana, jonka suurentaminen ja pienentäminen on mahdollista. 13

Liite I. Millimetripaperi 14

Liite 2. Puolilogaritmipaperi 10000 1000 100 10 1 15